2025年滁州市高一教學質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學試卷

注意事項：

L答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，務(wù)必擦凈后再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,全集為R,集合A=3-2VXV2},8={#40或*23},則廠金8=()

A.[—2,0]B.[―2,3]

C.(0,2]D.(-OO,-2]J[3,E)

【答案】C

【解析】

【分析】利用補集和交集運算即可求解.

【詳解】因為8={比武0或轉(zhuǎn)3},所以東8=(0,3),

又因為4={乂-2VxV2},所以4"<3=[-2,2]0(0,3)=(0,2],

故選：C.

2.下列不等式中正確的是()

-a+b

Aa+—^2B-礪"2

D.sina+—5—>2(0<a<n)

C.log2?+logt,2>2

sina

【答案】D

【解析】

【分析】由特殊值可排除A、B、C,由基本不等式可判斷D.

【詳解】對于A,取。=-1,則。+工=-2<2,故A錯誤；

對于B,取々=〃二—1,則J6=-2<2，故B錯誤;

對干C,取則1082〃+10842=1082：+1。8|2=-2<2,故?錯誤；

222

對于D,?.?ae(0,TT)=sina>0：?sina+-^―>2sina--^―=2

sina7sina

|TT

當且僅當sina=----,即sina=l,即a=一時等號成立，故D正確

sma2

故選：D

3.已知函數(shù)/（x）=log2（x2+2i）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.7（x）的定義域為R

B.“X）的值域是[0,+8）

C.“X）是偶函數(shù)

D.〃力的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,-2）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷C；根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可判斷D.

【詳解】對于A,要使函數(shù)/（可有意義，則丁+2]>0,解得xv—2或x>0,

所以函數(shù)/（制定義域為（一。,一2）"O,+8）,故A錯誤；

對于B,由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)/（力的值域是R,故B錯誤；

對于C,因為函數(shù)/（X）定義域不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)/（x）不具有奇偶性，故C錯誤；

對于D,令〃=X2+2工，則/（〃）=log2〃，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，JU=X?+2x在區(qū)間（-9,-2）上單調(diào)遞減，

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，/（//）=log2A在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/（x）在區(qū)間（—,一2）上單調(diào)遞減，故D正確.

故選:D

4.若平面向量〃，〃滿足。=（2,6），忖=8,。與人的夾角為T，則方在〃方向上的投影向量為

【答案】A

【解析】

【分析】只需求出口U，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.

【詳解】由題意,卜"^=3,忖=8,°與b的夾角為短，

所以〃?力=3x8x--1=-12,

ab-12-4-

力w在〃方向上的投影向量為—Ta=一~一

IZ77

故選：A.

5.在平行四邊形A8CQ中，￡是3c的中點，DE交AC于點、F，則EF=（）

1—1—

A.-AB——ADB.一一AB+-AD

C.—AB—ADD.一一AB+-AD

【答案】B

【解析】

【分析】由題可得耳；=（皮＞,再根據(jù)向量運算法則即可表示.

【詳解】在平行四邊形A5CD中，AD//BC,

EFEC

所以正CF~^DFA?=

DFAD

因為E是3c的中點,

FF1一I?

所以一二一，即"=一￡。,

DF23

因為EO=EC+CO=-A8+—4。,

2

在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為0一112n=j_

X-----1——X故B錯誤;

232)2

在兩輪比賽中，4B恰好答對三題的概率為2*卸一|卜窗+停卜嗎“用斗故C正

確;

在兩輪比賽中，A3答對四題的概率為（2]X（L]=1,

⑴⑴9

1Q

所以在兩輪比賽中，4B至多答對三題的概率為1-大二二，故D錯誤；

99

故選：C.

8.對于數(shù)集X={a,〃,c},定義向量集V={u=（）尿〃￡X目"w〃}.若存在至少一對不等向量

匕,匕￡丫滿足匕〃彩（即兩向量平行），則稱X具有性質(zhì)L.若數(shù)集X={1,2?}具有性質(zhì)L,則所有可能

k值個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

【分析】若數(shù)集X={1,2?},見對應(yīng)的向量集為{（1,2）,（2,1）,（1次）,（匕1）,（2,%）,化2）},分15種情況

討論即可求解.

【詳解】若數(shù)集X={1,2/},見對應(yīng)的向量集為{（1,2）,（2,1）,（1次）,（匕1）,（2次）,化2）},

若（1,2）,（2,1）,則4=1，但這不可能，所以（1,2）,（2,1）不平行,

若（1,2）,（1次）平行，則女=2,

1

得

解-

若（1,2）,（女1）平行，則兼=1,2-

若（1,2）,（2閨平行，則U=4,

若（1,2）,（攵,2）平行，則象=2,解得〃=1,

1

得

解-

若（2,1）,（1㈤平行,則象=1,2-

若（2,1）,化1）平行，則。=2,

若（2,1）,（2㈤平行,則2&=2,解得2=1,

若（2,1）,化,2）平行，則攵=4,

若（1㈤,（2/）平行，則尸=1，解得八士1,

若（1次）,（2,。平行，則22=攵，解得攵=0,

若（1?）,化2）平行，則公=2,解得k=±近，

若伏,1）,（2次）平行，則攵2=2,解得/=土血,

若依,1）,（攵,2）平行，則24=攵，解得4=0,

若（2㈤，化2）平行,則公=4,解得』=±2,

由集合X={1,2,4}中元素的互異性可知,m2,

綜上所述，所有可能的/值為：共7個.

2

故選：D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列不等式成立的是（）

I1

A.log23<log25B.（_LJJ

0,3

C.2>log32D.log23>log34

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，金函數(shù)的單調(diào)性進行大小比較即可，對于D,可以用作商法，再對無理

數(shù)放縮進行大小比較即可.

【詳解】利用），=log2X單調(diào)遞增函數(shù)，可得Iog23<log25,故A正確;

fn1)

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:>

3>

，所以缶m

利用塞函數(shù)的單調(diào)性可知:,故B錯誤;

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：2-〉2O=1，

利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：log32<logQ=l,所以2°3〉log32,故C正確;

2

log23_log23

-

利用作商法log34log24

1鳴3

因為2&<2?=亞<囪=3,所以Iog23>log22應(yīng)=6,

2

即座建

>1,所以logzSAlog',故D正確;

log*

故選：ACD

10.已知復數(shù)4，z2,則下列命題正確的是（）

A.砧=卜『

B.若憶—ZzRz]+Z2I，則"2=0

C.若z；>l,則Z>1或Z]<-1

D.若+卜2_21=0,則4=]且Z2=2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用復數(shù)的運算可判斷AB,利用復數(shù)中的實數(shù)才有大小比較可判斷C,利用舉反例可判斷D.

【詳解】設(shè)馬=a+歷（a,Z?eR）,則44=（〃1歷）（4Z?i）=tz21b2=|z||2?故AiE確；

設(shè)4=a]+印馬=%+與，（4，偽，。2，&eR），

則歸+z2|=>pz1+3一%—匈=何+3+生+匈

=>J（4一。2）2+（4一d）2=J（q+。2了+（4+8）2na\a2+”也=。，

而平2=（4+可）3+3）=44-地2+（22+4%）"所以得不到2招2=0,故B錯誤;

設(shè)4=〃+歷（a,〃wR）,由于z：>I,可得z：=（〃+為『=a2-/?2+2而>1,

根據(jù)虛數(shù)不能比較大小，所以z；為實數(shù)，則由上式可得8=0,/>1,

所以〃>1或4<一1,又因為Z1=4,所以Z[〉1或Z]<-1,故C正確；

不妨令Z=l+i且z?=3也滿足（馬一爐+仁―2）2=0,所以馬=1且Z2=2是不一定成立，故D錯誤;

故選：AC.

11.在邊長為4的菱形ABC。中，M為邊A8的中點，DM=26，沿DW將△ADW折起，形成如圖

所示的四棱錐P-8CDW（翻折過程中尸點始終位于平面3C7W上方），N為PC的中點，則在翻折過

A.BN//平面PDM

B.平面長W_L平面

C.異面直線門必與BN所成的角始終為

D.點N的軌跡的長度為兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,取乃。中點￡,連接EM,EN,只需證明BN//EM,再結(jié)合線面平行的判定定理即可

得證；對于B,只需證明D/W_L平面。8W，然后結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；對于C,結(jié)合異面直

線的定義說明異面直線與技V所成的角始終為=］即可判斷；對于D,點N的軌跡的長度為

點P的軌跡的長度的一半，故只需求出點尸的軌跡的長度即可判斷.

【詳解】對于A,如圖所示，取中點七，連接EM,EN,

2

AMB

因為點N為P。的中點，所以EN//DC,EN==DC,

2

在菱形ABC。中，點M為A8的中點，所以MB//AQ,M8二，A。，

2

所以MBHEN,MB=EN,所以四邊形M5NE是平行四邊形，

所以BN//EM,

而WEu平面產(chǎn)力M,BN（Z平面PZW,從而BN//平面故A正確;

對干B,由題意AM=2,OM=2JJ,AQ=4,所以M4z十加。？=AO?，

所以DW_LAM,由翻折關(guān)系可知，DM工PM，

而三點共線，從而DMLBM，

又因為DM±PM,PMcBM=M,PM,BMu平面PBM,

所以DW_L平面P8W，

乂因為DMu平面刊W,所以平面PDW_L平面P3M,故B正確；

對干C,由題意在直角三角形0M。中，兩直角邊為MP=2,MO=2jL斜邊為。尸=4,

又因為點E為斜邊OP的中點，所以ME=、DP=DE=PE,

2

所以MP=PE=EM=2,所以三角形MPE1是等邊三角形，

所以NPME=工，

3

員為MEHBN,所以異面直線與8N所成的角始終為/0ME=],故C錯誤；

對于D,由題意點尸在以點M為圓心M4=2為半徑的半圓上運動（不包含點4B）,

所以點P的運動軌跡長度為2兀，

因為點N是PC的中點，點C是固定點，所以點N的運動軌跡長度為兀，故D正確.

選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.柜子中有兩雙不同的鞋，從中隨機取出兩只，則事件“取出的鞋不是同一雙鞋”的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】4只鞋，分別設(shè)為。，b,c,d,其中。泊為一雙，c,d為一雙,先求出總的情況數(shù)，再得到取出的

鞋不是同?雙鞋的情況數(shù)，相除得到答案.

【詳解】4只鞋,分別設(shè)為a,Z7,c,d,其中&Z?為一雙,c,d為一雙.

從中隨機取出兩只，有6種情況，分別為{〃,b},{〃,c},{〃,"},{b,c},{b,d},{c,d},

其中“取出的鞋不是同一雙鞋”的情況為{。，小{a,4,{Ac}]""},有4種情況，

故”取出的鞋不是同一雙鞋”的概率為±二2.

63

故答案為：一

3

13.在正三樓臺4旦G-482c2中，M,N分別為楂G4，。片的中點，&N上B2M,

AB1=2&鳥=4,則直線GG與平面4月與人2所成角的余弦值為.

【解析】

【分析】利用正三棱臺補形為正三棱錐，再利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，從而可得正四面體,

再利用正四面體來求線面角即可.

如圖添加輔助線,由于44=2&層=4,所以4,星,。2分別為尸4,9,PG的中點,

又因為M，N分別為梭GA，G4的中點，所以MN//A4,且=

又因為人生//4用，且與，所以MN//482且&&=MN,

即四邊形MN324是平行四邊形，又因為4N_L層M,

所以四動形MNBjA2是菱形,即MN=MA2,

又因為M4=5PG，MN=3、B\,所以PG=A4,

即可得PC】=P\=PB[=Ag=Bg=AG,

即四面體P-44G是正四面體，取。為AA的中點，

所以可得GQ，44，尸Q，4片，

又因為GQQPQ=Q，GQ，PQu平面PC?，

所以4耳1?平面PGQ,又因為aqu平面尸A4,

所以平面與_L平面PGQ，

即直線GG與平面A田層4所成角為NC/Q,

設(shè)正四面體P-A/IG的棱長為1，

.33

1H-----16

則cosNC/Q=_y.=

2xlx——

2

3

14.設(shè)函數(shù)/(1)=(尤2一"+3]4，若/(力雙則〃的最大值為.

【答案】1

【解析】

【分析】利用分段討論，即可得到二次函數(shù)滿足的條件，從而可得參數(shù)范圍.

【詳解】因為x>l,igx>0,由/(x)=(Y-ai+〃)lgxN0,所以當X>1時，x2-ax+b>0^

因為0<xvl,lg%<0,由/(.r)=(f一依+〃卜gxN。，所以當0Vx<1時，x2-ax+b<0^

由上可得：當x=l時，x2-ax-^b=}-a+b=0=>b=a-\?

當工=0時，x2-ar+Z?=Z?<0?

所以有h=a-l?0=aWl,即。的最大值為1,

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.歐拉公式：en=cosx+isinx(e是自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位，xwR),建立了指數(shù)函數(shù)和三

角函數(shù)之間的關(guān)系，進而可以化成復數(shù)的代數(shù)形式.

(1)根據(jù)歐拉公式將小新化成復數(shù)的代數(shù)形式；

沖設(shè)函數(shù)/(力=02"+。一2"+4528訂，0<X<^,求/(X)的值域.

【答案】⑴e>=-@+匕

22

⑵[-2,2>/2]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)歐拉公式，代人求解即可；

(2)變形得到/(力=2及sin(2x+1),并得到+深，從而得到了(力的最值，求出值域.

【小問1詳解】

根據(jù)歐拉公式e"=cos^+isirtc?可得e""'=cos—7r+isin—TI=--+—i；

6622

小問2詳解】

/(.r)=e2,v+e2u+4siarco￡i=(cos2x+isin2x)+(cos2x-isin2x)+2sin2x

=2sin2x+2cos2x=25/2sin^2x+-j,

.八，7C7T_—7T57r

?0WxW—，0<2x<7i>/.—W2x4—W—.

2444

當2X+￥=E,即x=E時，y(x)=2x/2；

當2工十二二型，即工=四時，/(x),=-2：

442、7m,n

所以/(x)的值域為[-2,2垃].

16.在V/W?C中，角A,R,。所對的邊分別為“，b,c,若3=30。，〃=J5，c=2,求A,C,

a.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】由正弦定理得C=45?；駽=135。，然后分別利用正弦定理求出邊m利用內(nèi)角和為180。求出角

A，即可得解.

【詳解】由正弦定理，得sinC==2si?。。=也,

b422

因為c〉〃，3=30。，所以30。＜。＜180。，于是C=45?；駽=135。.

當C=45。時，^4=180°-30°-45°=105%

bsinA_\/2sinl05o75sin(60。+45°)亞(sin60°cos450+cos60°sin45°)

此時4=

sinBsin30°sin30°―sin30°

2

當C=135°時,A=\80°-30°-135°=15°,

加inA_而inl5。缶訪(60。-45。)

此時a=

sinBsin30°sin30°

V2(sin600cos45°-cos600sin45°)

sin30°

2

17.某校高一年級進行數(shù)學計算能力大賽，數(shù)學備課組從全年級的1000名學生的成績（滿分100分）中抽

且成績在區(qū)間［50,60）的人數(shù)為5.

（1）求頻率分布直方圖中的心并估計全年級學生競賽成績的眾數(shù).

（2）從樣本中成績在［80,100］的學生中隨機抽取2人，則所抽取的2人成績恰好在［80,90）和［90,100］

各I人的概率是多少？

⑶已知樣本中成績在［50,60）的平均數(shù)1=57,方差s；=14,在［60,70）的平均數(shù)5=68,方差

4=3.試估計總體成績在［50.70）的方差?

【答案】（1）x=0.012,眾數(shù)估計值為75.

（2）1

(3)38.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出x=0.012,并得到眾數(shù)估計值為75.

（2）先求出樣本容量為2=25,求出成績在［80,90）和［90,100］內(nèi)的人數(shù)，列舉出從這5人中隨機抽

取兩人的情況數(shù)和［80,90）和［90,100〉各1人的情況數(shù)，得到概率；

（3）計算出成績落在［50,60）與［60,70）的人數(shù)比，利用整體方差和樣本方差的計算公式計算出答案.

【小問I詳解】

由1Ox=1-10x(0.036+0.024+0.020+0.008),解得x=0.012,

由圖可得全年級學生競賽成績的眾數(shù)估計值為75.

【小問2詳解】

由成績在［50,60）的頻率為0.020x10=0.2,頻數(shù)為5,得樣本容量為卷=25,

成績在［80,90）內(nèi)的人數(shù)為25x0.12=3人，編號為1,2,3,

成績在［90,100］內(nèi)的人數(shù)為25x0.08=2人，編號為4,5,

從這5人中隨機抽取兩人的隨機試驗的樣本空間為

Q=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）｝,H（Q）=10

設(shè)事件A廿所抽取的2人成績分別在［80,90）和［90,100］“，則

A:｛（1,4）,（1,5）,（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）｝,〃（A）=6,則尸（4）二微=］

.1J

【小問3詳解】

由題意知成績落在［50,60）與［60,70）的人數(shù)比為0.020:0.024=5:6,

5Z|+622

則這兩組成績的總樣本平均數(shù)為2==5x57+6x68=63,

1111

所以樣本中這兩組成績的總方差為

,55；+「一4）2卜63+卜一Z2）15xp4+（63-57?J+6x3+（63-68）1.

1111

所以由樣本方差估計總體成績在［50,70）的方差為38.

4/

18.已知函數(shù)=x1.

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：/（X）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

（2）若“40,函數(shù)g（r）=|/（x）|.

（i）證明：*（不）的圖象關(guān)于直線戈=1對稱；

（ii）求g（x）在［0,l）U（l,2］上的值域（用含。的式子表示）.

【答案】（1）證明見解析；

（2）（i）證明見解析；（ii）見解圻

【解析】

【分析】（1）由單調(diào)性的定義證明即可；

（2）（i）只需證明g（x）=g（2-x）成立即可；（ii）根據(jù)對稱性可知，只需研究“X）在區(qū)間（1,2］上的值

域即可，結(jié)合函數(shù)/（x）的單調(diào)性即可得解.

【小問1詳解】

2

4a1,任取不/W（1,+OO）,且工|《々，

〃x)二x7^1

則4％）-/5）二%一熟—

44

二（不一々）1

-l)(x2-l)

因為與,天￡（1,+?），且所以西一工2<0，%一1〉0，x2-1>0,

所以〃%）-/（方）<。，即〃*）</（&），故"X）在（1,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

42

（i）由題意得g（x）=|/（x）|二R-一、一1，

X—1

22

小、I"c7c4/,4at4a,

g（2-x）=|/（2-”）|=2-"-1777rl=一一力+l=廠有一1

故g(x)=g(2-x),故g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

(ii)由于g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以只需研究區(qū)間(1,2］,

由⑴知，(/)在(1,+8)上單調(diào)遞增，令/(力=0,則x一絲一1二0,整理得

x-1

f_2x+l_4a2=0，又。40,解得％=1-2。.

當〃=0時，N(x)在(1,2)單調(diào)遞增，"x)的值域為(0』；

當-!<。<()時，1<1-2?<2,

2

所以g(x)在(1/一2。)單調(diào)遞減，在。一加,2)單調(diào)遞增,屋外的值域為［0,48)；

當〃工一,時，1一加22,g(x)在(1,2)單調(diào)遞減，又g(2)=卜4/卜4/-1,

83的值域為［4/-1,+8).

19.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，通常用曲率刻畫空間的彎曲性.規(guī)定：多面體頂點的曲率等

于2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：

正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為三，故其各個頂點的曲率均為2兀-3x工二兀.如圖，在直

33

三棱柱ABC-AgG中，AB=BC,AJ\=?AC=2O,M為棱AC的中點，點N在棱CG上，

且在四面體BCMN中，點M的曲率的正切值為-匹.

2

(1)求證：4C7/平面A8M：

(2)求證：平面A8M；

(3)若在四面體中，點8的曲率為兀，求五面體朋MN、的體積.

【答案】（1）證明