折疊問(wèn)題

1.（2025?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形43CD中，點(diǎn)E是邊A4上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線CE折

疊，點(diǎn)4落在點(diǎn)尸處，連接Z）/7交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，連接下列四個(gè)結(jié)論：①BH=FH；②

NCHD=45。：③DF:AH=五：④ZAHD=NBHC；其中正確的是（）

A.①②④B.①③@C.②③④D.①②③④

2.（2025春?宜興市期末）如圖，矩形A3C。中，AD=3AB.將矩形A3C。對(duì)折，得到折痕MN:沿著

CW折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)、為F：再沿著折疊，使得4M與EM重合，折痕為

MP,此時(shí)點(diǎn)小的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論：①△CWQ是直角三角形；②點(diǎn)C、E、G在同一條直線上；

③PN=?BP；④點(diǎn)尸是CP的中點(diǎn)，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2025?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，在AABC中，。是8C邊上的中點(diǎn)，連接4）,把AACZ）沿AD翻折,

得至U&IDC,DC與AB交于點(diǎn)反連接8C,若BD=BC=2y[i,AD=3&,則AAPE的面積為（）

7

A.B.|V3?5

4.（2025秋?梁溪區(qū)校級(jí)月考）如圖在四邊形ABEC+,NBEC和NA/AC都是直角，且人8=4C.現(xiàn)將MEC

沿AC翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,8￡與4c邊相交于。點(diǎn)，，恰好8￡是1鉆。的角平分線，若CE=1,

則的長(zhǎng)為（）

A.1.5B.V2C.2

5.（2025?媒化）如圖所示，在矩形紙片八夕8中，4?=3

上的動(dòng)點(diǎn)，將該紙片沿直線石廠折疊.使點(diǎn)8落在矩形邊4）上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)G,點(diǎn)A落在M處,

連接EF、BG、BE,EF與BG交手點(diǎn)、N.則下列結(jié)論成立的是（）

①BN=AB：

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，EF=—;

2

③AGNr的面積S的取值范圍是？歿心-：

42

④當(dāng)=T時(shí)，S3里

A.①③B.③④C.②③D.②④

6.（2025?綿陽(yáng)模擬）如圖，在MBC中，。是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把ABDC沿皮>翻折，得到MDC,

DC與AB交十點(diǎn)、E,連接AC,若A￡>=AC=2,BD=3,則點(diǎn)。到3c的距離為（）

A.沏B.萍C.手D,萍

7.（2025?牡丹江）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E為BC邊上一點(diǎn)、,BE=\,將正方舫沿GF折疊,

使點(diǎn)4恰好與點(diǎn)E重合，連接"，EF,GE,則四邊形AGEF的面積為（)

A.2MB.2行C.6D.5

8.（2025?惠山區(qū)模擬）如圖，矩杉A3CD中，E是BC上一點(diǎn)、,連接AE,將矩形沿AE翻折，使點(diǎn)8落

在CO邊"處，連接4b,在A/7上取點(diǎn)O,以。為圓心，OF長(zhǎng)為半徑作OO與40相切于點(diǎn)尸.若44=6,

BC=3后,則下列結(jié)論：①尸是CD的中點(diǎn)；②OO的半徑是2;③AE=3CE;④S陰影=與.其中正確

的結(jié)論有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在RtAABC中，8C=5,tanZABC=2,點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn).將

AA4C沿斜邊A3翻折得到AAHD,點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,點(diǎn)、G是BD上一點(diǎn)、,若CE=DG,

且NFEG=45。，則反;的長(zhǎng)度為（)

A.華B.警C.竽D.2x/lO

10.（2024?河南模擬）如圖所示,ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方影，E為3C邊的中點(diǎn)，沿AP折疊使。點(diǎn)

落在AE上的〃處,連接尸〃并延長(zhǎng)交3。于小點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（）

A.亨B.得C.3舊-3

n.（2024秋?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形/WC力中，A4=6,點(diǎn)E在邊8上，且。/）=3。石，將A4DE

沿4￡對(duì)折至AA/E,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF,則下列結(jié)論:

①A4BGVAA尸G；

②BG—CG:

@AG!/CF；

④ShFGC~3.2；

@ZAGB+ZAED=145°.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.如圖，在oMC/J中，8c=3,C/J=4,點(diǎn)七是CL>邊上的中點(diǎn)，將上沿班翻折得位心七，連接

AE,A、G、E■在同一直線上，則點(diǎn)G到的距離為（）

「3V15

P3屏n3后

15.-------L?-------LJ■----------

A?季8162

13.（2025?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形A3CD中，M>N分別是4）、3C邊上的點(diǎn)，將四邊形A3MW

沿直線MN翻折，使得點(diǎn)4、〃分別落在點(diǎn)4、9處，且點(diǎn)夕恰好為線段CD的中點(diǎn)，A夕交4）于點(diǎn)

G,作DP上MN于點(diǎn)、P,交A?于點(diǎn)Q.若人G=4,則PQ=

14.（2025?游仙區(qū)模擬）如圖，在正方形A8CD中，AO=6,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接QE,過(guò)

點(diǎn)、E作EF工ED,連接"'交AC于點(diǎn)G,將AEAG沿所翻折，得到AERW.連接力M.交所于點(diǎn)N.若

AF=2.則/VMV的面積是.

15.（2025?市南區(qū)三模）如圖，在矩形ABC。中,A8=3,AD=9f點(diǎn)E,尸分別在邊4),BC上,

且AE=2,沿直線加'翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為分別在線段

EF,48上取點(diǎn)M,N,沿直線MN二次翻折，使點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合，則線段MN的長(zhǎng)為.

16.（2025?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖所示，矩形紙片A3CD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為4）邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)

點(diǎn)，將紙片沿過(guò)跳:的直線折疊點(diǎn)A的落點(diǎn)記為〃，連接Cr、DF,若AC/）廠是以。尸為腰的等腰三角

形，AE=

17.（2025?錫山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C,力分別為A?軸、），軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A,

OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形Q43C,且?guī)仔?。?2四，將矩形OA3C翻折，使點(diǎn)8與原點(diǎn)。重合,

折痕為MN,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在第四象限，過(guò)“點(diǎn)的反比例函數(shù)），=?（%H0）的圖象恰好過(guò)MN的中

x

點(diǎn)，則攵的值為，點(diǎn)U的坐標(biāo)為

18.（2025?鳳泉區(qū)校級(jí)一模）如圖，矩形48CD中，AB=6f8C=8,點(diǎn)￡是8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AABE

沿AE折疊得到AAFE.若點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)尸恰好落在矩形的對(duì)稱軸上，則8石的長(zhǎng)為

19.如圖，在RtAABC中，ZACB=9CP，點(diǎn)。在上，點(diǎn)E為BC上的動(dòng)點(diǎn)、，將MDE沿。石翻折得到AFDE,

所與AC相交于點(diǎn)G,若AB=34),AC=3,BC=6,CG=0.8,則CE的值為

20.（2025?天府新區(qū)模擬）已知：如圖，在RtAABC中，ZA=90°,

的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線8c上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），連接MN,將ACWV沿MN翻折得AEMV,

連接BE,CE,當(dāng)線段5E的長(zhǎng)取最大值時(shí)，sinZMZ的值為

21.（2025春?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，將直角AA&?沿斜邊AC翻折后4點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"，點(diǎn)P、Q是

線段至、4c上的動(dòng)點(diǎn)，且BP=B'Q,已知4A=12,BC=5,則線段PQ的最小值為

22.（2025?西工區(qū)模擬）如圖，在正方形A8CD中，E是CD邊上一點(diǎn)、,DE=2,過(guò)8作AE的垂線，

垂足為點(diǎn)/，BF=3,將A4￡）石沿AE翻折，得到AAGE,AG與BF干點(diǎn)、M,連接8G,則ABMG的周長(zhǎng)

為.

23.（2025?谷城縣二模）如圖，將矩形4圮?）對(duì)折，折痕為PQ,然后將其展開(kāi)，K為8c邊上一點(diǎn),

再將“沿瓦折疊，使點(diǎn)。剛好落在線段他的中點(diǎn)尸處，則發(fā)一.

24.（2025?和平區(qū)二模）如圖，在正方形人ACO中，點(diǎn)E,點(diǎn)尸，點(diǎn)G分別在邊4）上，邊CO上，邊AB

上，將正方形紙片沿尸G折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，連接EG,EF,FG,CG.若sin4=

DE+AB=12,下列結(jié)論：①AEGACG〃；②四邊形￡GC『是菱形；③/）￡=3；④MEG的周長(zhǎng)是12+屈；

⑤cosZ.EGF=.其中正確的是（只填寫(xiě)序號(hào)）.

34

25.（2025?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形A8CD中，A8=8,BC=6,ZB=60°,NC=12O。，點(diǎn)。、

E分別是A3、C￡＞的中點(diǎn)，O〃_L3C于點(diǎn)〃，點(diǎn)P是邊3c上的一點(diǎn)，連接OP,將AOH。沿著OP所在

直線翻折，點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為"，當(dāng)”缶取最小值時(shí)邊8的長(zhǎng)為.

26.（2025春?江陰市期中）如圖，有一張矩形紙片/WC7）,八4=6,BC=2,點(diǎn)、M、N分別在邊44、

CD上，CN=\.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)4、。分別落在點(diǎn)夕、C上，在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊與邊CD交于點(diǎn)E.點(diǎn)七相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

27.（2025春?溫嶺市期中）如圖，把一張矩形紙片A3CQ沿EF,用N對(duì)折，得到五邊形GEFNM.其

中，頂點(diǎn)A與。重合于點(diǎn)G,重疊部分G”〃為正方形，頂點(diǎn)/在上，若FN=4限m,EM=\（kvnf

則5c長(zhǎng)為cm.

28.（2025?簡(jiǎn)陽(yáng)市模擬）如圖，在矩形A3C￡＞中，BC=-AB.將矩形A8CD沿G/折疊，使點(diǎn)A落在8C

3

邊上的E處，得到四邊形正PG,連接AE,PC,若tan/CG尸=3,GF=4回,則S*

4

29.（2025?深圳模擬）如圖，正方形A8C。中，4）=9,點(diǎn)七是對(duì)角線B0上一點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)石作

EhAE,交8C于點(diǎn)尸，連接交8。于點(diǎn)G,將AEFG沿瓦'翻折，得到連接AM,交EF

于點(diǎn)N,若BF=-BC,則線段AM的長(zhǎng)是

3

30.（2025春?廬江縣期中）如圖，已知正方形人比7）的邊長(zhǎng)為6c6，E為邊AB上一點(diǎn)、,且隹長(zhǎng)為la〃,

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)以每秒la〃的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng).把AEBP沿EP折疊，點(diǎn)4落在點(diǎn)"處，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為/秒.

（1）當(dāng)/=時(shí)，N8/C為直角；

（2）若點(diǎn)￡到直線AD的距離為30〃，則8尸長(zhǎng)為

1.（2025?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形AAS中，點(diǎn)E是邊回上一動(dòng)點(diǎn)，將ACBE沿直線C石折

疊，點(diǎn)6落在點(diǎn)”處，連接必交C上的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，連接4”.下列四個(gè)結(jié)論：①BH=;②

ZCWD=45°;③DF:AH=也;④ZAHD=NBHC;其中正確的是()

A.①②④B.①③@C.②③④D.①②③④

【解答】解：如圖，連接所交火于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)4作AV_LD〃交。，于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)。作CN_L￡>〃，交

DH于點(diǎn)M,

?.?將aCBE沿直線CE折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，

.?.C￡是跖的垂直平分線，

???連接DF交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

:.HF=HB,故①正確；

?.?四邊形ABCD是正方形，

BC=CD，

由翻擰可知：CF=CB,4CE=ZFCE,

:.CD=CF,

.?.△CD*為等腰三角形，

?：CMLDH,

ZFC.W=/MCD=-/DCF,

2

?/NBCE=4FCE=-NBCF,

2

/.ZMCH=4FCM+ZFCE=-(ZDCF+ZBCF)=-x90°=45°,

22

/CMH=好，

ZCHD=45°,故②正確;

VZADV4-ZA/DC=90°,NDCM+/A/DC=90°,

7.乙%V=4XJM，

在AAAD和ADMC中，

4ADN=NDCM

,々AND=NCMD=90°,

AD=DC

AAND二ADMC(A4S),

:.DN=MC,

?.?為等腰直角三角形，

:.HM=MC,

:.HM=ND,

:.HN=MD,

?/AN=MD，

:.HN=AN,

???4AH=90，

ZAHN=45°=ZFHC=/BHC,

:.ZAHD=/BHC,故④正確；

?.-sinZAHN=—=sin45°=—,DF=2DM=2AN

AH2f

.-2乂旦-叵,故③正確，

AH2

綜上所述：正確的有①②③④，

故選：D.

2.（2025春?宜興市期末）如圖，矩形A8CZ）中，AD=3AB.將矩形A88對(duì)折，得到折痕MN;沿著

CM折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)為F;再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為

MP,此時(shí)點(diǎn)△的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論：①△CWP是直角三角形；②點(diǎn)C、E、G在同一條直線上；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：由折疊可知：ZAMP=/EMP,/DMC=/EMC,

ZAMP+NEMP+NDMC+/EMC=180°,

+4EMC=4CMP=9(r,

.??△a仍是直角三角形，故①正確；

由折疊可知：ZMEG=ZA=90°,4WEC=ZD=NG=90°,

ZMFG+ZMEC=180°,

.?.點(diǎn)C,E,G在同一條直線上，故②正確；

設(shè)A4=CD=2a,則AO=344=&z,

:.AM=EM=DM=3a,

在矩形ABCD中，BC=AD=6以,

由折疊可知：BN=CN=3a,MN=AB=2a,

?/PM'=MN?+PN2=CP2-CM2,CM2=CD2+MD2,

/.(2a)24-PN2=(3a+PN)2-[(2a)2+(3a)2J,

解得/W

3

：.BP=BN-PN=-a,

3

;.PN=《BP,故③錯(cuò)誤；

?.?ZA/EC=ZC=90°,

;.EFNPG,

由折疊可知：GE=AB,CE=CD,

???AB=8,

；.GE=CE,

:.CF=PF,

二點(diǎn)”是CP的中點(diǎn)，故④正確.

故選：C.

3.(2025?碑林區(qū)校級(jí)一模)如圖，在A4BC中，。是RC邊上的中點(diǎn)，連接AD,把AACD沿AD翻折，

得到AAPC,DC與AB交于點(diǎn)、E，連接,若BD=BC=2^，AD=3&，則AADE的面積為()

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作人G_LAC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作切_LAC于點(diǎn)〃,

?.?。是8C邊上的中點(diǎn),

/.BD=CD，

BD=BC=2V2,

:.BD=CD=BC=2y/2,

由翻擰可知：CD=CD,

；.BD=CD=BC=CD,

：.△BCD是等邊三角形，

/."孫="08=60°,

/.ZCDC=120°,

由翻疔可知：ZCZM=ZCDA,

ZC7M=ZC￡V\=6O0,

?.,A3=3&，4G_LDC,

.“6AC3"

..AG=——AD=,

22

/.DG=-AD=-

22f

BG=5D+ZX7=2x/2+—=—,

22

EH工BC,403=60。，設(shè)O〃=x,

:.EH=6DH=6x,

:.BH=BD-DH=2叵-x,

?.-EHIBC,AG±BC,

:.EG11AG,

..MEHSMAG,

EHBH

/?-----=------，

AGBG

\[3x_2V2-X

376=^7F，

F~T~

解得戶/,

:.EH=&=當(dāng),

RS“BD=；XBD.AG=3又2五x當(dāng)=36，

S\w=~xBD?EH=—x2V5x,

即2255

_c_c述一小

-—J&ABD-JgDE~5~

:.^ADE的面積為—.

5

故選：B.

4.（2025秋?梁溪區(qū)校級(jí)月考）如圖在四邊形A8EC中，N8EC和/8AC都是直角，且AB=AC.現(xiàn)將ABEC

沿8c翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,8E與AC邊相交于。點(diǎn)，恰好是ZA8C的角平分線，若CE=1,

則3。的長(zhǎng)為（）

A.1.5B.V2C.2D.G

【解答】解:如圖，延長(zhǎng)CE和朋相交于點(diǎn)尸,

由翻疔可知:

4EC=N￡=90°,CE=CE=\,

?.?HE是Z/WC的角平分線,

NCBE=NFBE,

；BE=BE,

△BFC=ABE'F{ASA),

;.EF=CE=\,

/.CF=2,

ZFC4+ZF=90°?

N/加A+4=9U°,

；"FCA=/DBA,

-.?ZFAC=ZDAB=90°f

AB=AC,

:.^FCA^M)BA(ASA),

:.BD=CF=2.

故選：C.

5.（2025?綏化）如圖所示，在矩形紙片A4a）中，A3=3,BC=6,點(diǎn)E、r分別是矩形的邊A。、BC

上的動(dòng)點(diǎn)，將該紙片沿直線EF折疊.使點(diǎn)A落在矩形邊/V）上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)G,點(diǎn)八落在M處，

連接歷、BG、BE,EF與BG交于點(diǎn)、N.則下列結(jié)論成立的是（）

①BN=AB;

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，EF=凈

③AGN廠的面積S的取值范圍是2娜-:

42

④當(dāng)CF="I時(shí)，S.EG=*富?

C.②③D.②④

【解答】解：?.?山是定值，BN=*G,8G的長(zhǎng)是變化的,

?&V的值也是變化的，

」.BN與不一定相等，故①錯(cuò)誤.

?.?四邊形A8CD是矩形,

:.AD//BC,

：.ZDEF=ZEFBf

由翻價(jià)的性質(zhì)可知FB=FG,NEFB=NEFG,

;.NGEF=NEFG,

；.GE=GF=BF,

?.GENBF,

二.四邊形BEG卜是平行四邊形,

?:FB=FG,

四邊形8國(guó)乃是菱形，

:.BE=EG,

當(dāng)Q，G重合時(shí)，設(shè)BE=DE=x，則有丁=32+(6-幻2,

:.x=—15，

4

?/ZA=90°,A3=3,AO=6,

BD=〃"+AD?=J32+6?=36,

?'S登呢BEDF=DE*AB=—,BD'EF,

2x3x—2/r

/.EF=——^-=—,故②正確，

3x/52

當(dāng)D,G重合時(shí)，AGNr的面積最大，最大值=LX"X3=",

4416

獸,故③錯(cuò)誤，

16

如圖2中，當(dāng)CF=W時(shí)，BF=BE=EG=FG=BC-CF=6-H=L,

222

AE=EM=y/BE2-AB2=^)2-32=,

.'.S^FG=-MEGM=-x—x3=^^f故④正確,

2224

B

圖2

圖1

6.（2025?綿陽(yáng)模擬）如圖，在AABC中，。是AC邊上的中點(diǎn)，連接4力，把MIX：沿雙）翻折，得到MUX7,

0c與AB交于點(diǎn)E,連接AC,若AT>=47=2,BD=3,則點(diǎn)。到HC的距離為（）

【解答】解：如圖，連接CC,交BD于點(diǎn)、M,過(guò)點(diǎn)。作OHJL8C于點(diǎn)”,

VAD=AC=2,。是AC邊JL的中點(diǎn),

：.DC=AD=2.

由翻擰知，NBDC三堂DC,8。垂直平分CC,

；.DC=DC=2,BC=BC,CM=CM,

:.AD=AC=DC=2f

.??—DC為等邊三角形,

/.ZADC=ZACD=ZCAC=60°,

\-DC=DC\

ZDCC=ZDCC=lx60°=30°,

2

在心△CDM中,

Z￡X7C=30°,DC=2,

：.DM=1,CM=氏DM=75,

:.BM=BD-DM=3-\=2,

在RtABMC1中,

BC'=dBM?+CM，=百+（G）2=用，

???SMY/CDHIBDCM,

出DH=3x0

「"通，

7

?;ZDCB=/DBC',

.??點(diǎn)。至l」3C的距離為率，

故選：C.

7.（2025?牡丹江）如圖，正方形A4CZ）的邊長(zhǎng)為3,E為BC邊上一點(diǎn),BE=\.將正方形沿G/7折疊,

使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形4GEr的面積為（）

A.2MB.2石C.6D.5

【解答】解：設(shè)?！?〃?，AG=”，

?.?正方形的邊長(zhǎng)為3,

:.CF=3-myBG=3—n,

由折疊可得，AF=EF,AG=GEf

在Rt&XDF中，AF2=r>F2+ZM2,

即4產(chǎn)=加+9,

在RtAEFC中，F(xiàn)F2=EC2+CF2,

?：BE=\,

:.EC=2,

/.EF2=4+(3-m)2,

/.//+9=4+(3-〃?)2,

2

/.m=—.9

在RtABEG中，GE2=BG2+8E2,

/.ir=(3-〃)~+1,

...〃=一5，

3

152

S61Gli1t=—xlx(3--)=—

C12o,

Sww=5X4x3=1，

c1cc2、7

SACEF=-x2x(3--)=-,

4JO

27

S四邊粉G￡F一S正方形八加刀一5“；田-S$DF-S*CEF一9一§一1一§一5?

另解：過(guò)點(diǎn)尸作交于〃點(diǎn)，交AE于點(diǎn)Q,

?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,BE=1,

AE=M,

?/ZHAQ+ZAQH=NFQP+ZQFP=90°,

;./HAQ=NQFP,

?.?HF二AB,

.\AHFG^ABAE(ASA),

：.FG=AE=4^，

S四邊創(chuàng)GEF=5XAExGF=5,

方法三：在RtABEG中，GE2=RG2+BE2,

7.n2=(3-n)2+1,

5

/?fl=-，

3

：,AG=-

3f

=2S=2XXCX//F=2XX

A4FGT乙^乙T

故選：D.

8.（2025?惠山區(qū)模擬）如圖，矩形48CZ）中，E是BC上一點(diǎn),連接AE,將矩形沿AE翻折，使點(diǎn)3落

在CD邊F處，連接AF,在AF上取點(diǎn)O,以O(shè)為圓心，。戶長(zhǎng)為半徑作0。與4）相切于點(diǎn)P.若人4=6,

BC=30,則下列結(jié)論：①尸是CD的中點(diǎn)；②的半徑是2；③AE=3CE;④4閽=岑.其中正確

的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：①是翻折而來(lái),

,-.AF=AB=6,

AD=BC=36，

/.DF=y/AF2-AD2=3,

尸是CD中點(diǎn)；故①正確;

②如圖，連接OP,

?.?。0與4）相切于點(diǎn)?，

:.OPlADf

'：ADLDC,

:.OP/!CDf

AOOP

?\--=--9

AFDE

ViOP=OF=xf

則以殳2,

36

解得：x=2,故②正確；

③..RtAADF中，A”=6,DF=3,

.?.“4尸=30°,ZAro=60°,

.-.Z￡4F=ZE4B=30°,

：.AE=2EE;

?.?ZAfE=90°，

/./EFC=90°-ZAFD=30°,

:.EF=2EC,

:.AE=4CE,故③錯(cuò)誤；

④如圖，連接OG,作O〃J_AG,

?.?ZATO=60°,OF=OG,

.?.△OHG為等邊三角形；

同理為等邊三角形;

???4Poe=4FOG=&f,

:.OH=-OG=43

2f

,S扇形00G=S凰形0GF,

-

S陰影=(S矩形〃楨”S觸形0po-S40cH)+[S扇形0c尸一S^OFG)

=S抑形3DH-2S&OFG

=2xV3--(-x2xx/3)

22

=—.故④正確；

2

二正確的結(jié)論有①②④，共3個(gè).

故選：C.

9.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)如圖，在RtAABC中，BC=5,tanZA8C=2,點(diǎn)七是邊AC上一點(diǎn).將

A4BC沿斜邊翻折得到A48D,點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸.點(diǎn)G是8。上一點(diǎn)，若C￡=DG,

且NFEG=45。，則￡G的長(zhǎng)度為()

c還D.25/i0

【解答】解：作GM//A/3交4)于M,交所于N,設(shè)所交A4于O,設(shè)EC=/?=DG=x.

在RtAABC中，?.?/。=90。，8c=5,

tanZA?C=—=2,

BC

一.AC=1(),

根據(jù)勾股定理得，AB=JBC2+AC。=&2+1()2=5石,

根據(jù)對(duì)稱性可知：EFJLAI3,

，：GM3AB,

：.GMLEF,

ZMGD=ZABD=ZABC,

/.tanZMGD=—=2,

MG

:.DM=2x,GM=&,

:FM=DM-jDF=x,

?.?ZA//W+Z7MV=9O°,ZMGD+mW=90°,

：.ZMFN=ZMGD,

:.tan/MFN二型=2,可得FN=S,

FN5

2\/53\/5

MN=-----x,GN=EN=------x,

55

AF=10-x>

EF=2OF=2x^-(\0-x)f

EN+FN=EF、

...班人邁叱正

55

解得戶竺，

3

.-.EG=>/2^G=>/2x—x—=2x/l0,

53

故選：D.

10.（2024?河南模擬）如圖所示，/WCO為邊長(zhǎng)為1的正方形，E為4c邊的中點(diǎn)，沿4戶折疊使。點(diǎn)

落在AE上的〃處，連接并延長(zhǎng)交8C于尸點(diǎn)，則所的長(zhǎng)為（）

}_

C.375-3D.

4

?.?四邊形ABCD是正方形,

:.AD=BC=\,々=90。，

BE=EC=-,

2

/.AE=>]AB2+BE2=—,

2

由翻療不變性可知：AD=AH=AB=\f

:.EH=--\,

2

??-ZB=ZAHF=90°,AF=AF,AHAB,

：.RtAAFB=RtAAFH,

:.BF=FH,設(shè)所=x,則8尸=切=一一x,

2

在RtzXFEH中，?;七卜”=EH?+卜H2,

/.x2=g-x）2+（［■-I）2,

5-275

/.x=----------，

2

故選：A.

11.（2024秋?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形40?中，A4=6,點(diǎn)E在邊CZ?上，且8=3?！?將A4QE

沿對(duì)折至AA正，延長(zhǎng)環(huán)交邊4C于點(diǎn)G,連接AG,CF,則卜.列結(jié)論：

①AA5G二AA尸G;

?BG=CG:

③AG；/b;

@5^=3.2;

@ZAGB+ZAED=145°.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：①?.?四邊形A38是正方形，

.\AB=AD=BC=CD=6,NBAD=ZB=NBCD="=90。,

由翻疔可知:

AF=AD>ZAF石=/。=900,

.\AF=AB,ZAR7=N8=900,

在RtAABG和RtAAFG中，

AG=AG

AB=AF

RtAABG二RtAAFG(HL)?

所以①正確；

②RtAABG=RtAAFG,

:,ZAGB=ZAGF,BG=FG,

?.?CD=3DE=6，

；.DE=EF=2,

:,CE=CD-DE=4,

在RSEGC中，Ch=4,

EG=EF+FG=2+BG,

CG=BC-BG=6-BG,

根據(jù)勾股定理，得

222

EG=CE+CGf

BP(2+W=42+(6-BG)2,

解得改7=3,

.?.CG=3,

;.BG=CG,

所以②正確：

③作FMJL8C于M,

FG_FM_GM

GE~~EC~~GC，

ioa6

/.FM=—,GC=-,CM=2,

555

6FM

tanZ4G^=-=2,tanZFCM=——=2,

3CM

ZAGB="CM,

:,AG〃CF,故③正確，

SFGC=—x3J-?=—=3.6,故④錯(cuò)誤；

A-255

⑤必G=NE4G,ZDAE=ZFAE.

又?.?NR47)=90o,

.\ZG4E=45°,

ZAGB+ZAED=180°-ZG4E=135°.

所以⑤錯(cuò)誤.

所以其中正確的是①②③，一共3個(gè).

故選：C.

12.如圖，在oAHC/)中，BC=3,0)=4,點(diǎn)E是S邊上的中點(diǎn)，將ABCE沿破翻折得MGE,連接

AE,A、G、E在同一直線上，則點(diǎn)G到A8的距離為（)

A3拒口3屈「3屈

zv?D?V-x?D,巫

48162

【解答】解：如圖，GF工AB于點(diǎn)F,

?.?點(diǎn)E是C7）邊上的中點(diǎn),

:.CE=DE=2,

由折疊可知:

/BGE=/C,BC=BG=3,CE=GE=2,

?.?在oABCD中，BC=AD=3,BC//AD,

.-.ZD+ZC=180°,

???ZBGE+ZAG8=180。，

...ZAG?=ZD,

:.BG=AD,

,;AB/!CD,

：.ZBAG=ZAED,

：.AABG=AE4ZXA4S),

.\AG=DE=2,

AB=AE=AG+GE=4,

???G/_LA3于點(diǎn)尸，

.-.ZAFG=ZBFG=90°,

在RtAAFG和MAG中，根據(jù)勾股定理，得

AG2-4F2=BG2-BF2,即2?-AF2=32-(4-A尸尸,

解得T,

"A尸=4埸喈

故選：B.

二.填空題（共48小題）

13.（2025?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形40?中，M、N分別是"＞、3C邊上的點(diǎn)，將四邊形A4N用

沿直線翻折，使得點(diǎn)A、4分別落在點(diǎn)4、斤處，且點(diǎn)方恰好為線段8的中點(diǎn)，A長(zhǎng)交AD十點(diǎn)

G,作DP工MN于點(diǎn)P,交A9于點(diǎn)Q.若AG=4,則。。=_竺_.

5

【解答】解：?.?四邊形ABCD是正方形，設(shè)AB=8C=CZ）=AD=勿,

/.ZABC=ZC=ZADC=ZA=90°,

由翻疔可知，BN=NB,設(shè)BN=NB=x,

?.?CB=DB=a,

在RtACNB'中，???CN2+ffC2=BN?,

：.(2a-x)+a2=x2,

5

:.x=-a，

4

???ANliG=NGDB=ZC=90°,

NCNB+/CRN=90。，/CBN+NDBG=90°,

7.NCNB=/DBG，

:./\NC8S4RDG,

CNCBN8

D8~DGGB「

4

DG;=-arGB'=-

33

AGiDG=AD，

4「

1A.4+—a=2a，

3

/.4=6,

/.Ay=AK=12,DC=8,G"=10,A'G=2,

設(shè)人M=MV=y,

在Rr/XAMG中，則有9+22=(4-)，)2,

解得產(chǎn)I，

321

.\DM=AD-AM=\2--=—,

22

連接&T,延長(zhǎng)0P交相于7,則四邊形而力7是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)H作SHLDQ于H,

:.ZTBB=/TDB,DT//B&,

/DQ8=NQHB,

?.?/TBS=NQBB,

：.NB'DQ=/BQD,

.?.&D=BQ=6,

?.?MHLDQ,

:.QH=HD,

NCBB+NTBB=9()。,ZMDP+NTDR=9()。，N力“〃+N77泗=90°,

...NCBB=ZJVIDP=Z1DRH,

/.sin/CBB'=sin'MDP=sin/DB'H=—=—,

BB'5

:.PM=DMx—=—^5tDP=2PM=^^~,D//=—x6=^,

510555

5

...PQ=PD.DQ=W—[L*

故答案為竽.

BN

14.（2025?游仙區(qū)模擬）如圖，在正方形人4a＞中，入。=6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接過(guò)

點(diǎn)、上作EFLED,連接〃〃交AC于點(diǎn)G,將AfcAG沿“翻折，得到.連接DM.交次于點(diǎn)N.若

AF=2,則AEMV的面積是'

【解答】解：如圖，取Q尸的中點(diǎn)K,連接EK.連接GM交所于

,四邊形AC￡＞是正方形,

..AD=AB=6fZZMB=90°,ABI/CD,ZZMC=ZC4B=45°,

?.?DE上EF,

:.ZDEF=ZDAF=9O0,

.??四邊形A?刀對(duì)角互補(bǔ)，

.?.4,F,E,。四點(diǎn)共圓,

??,DK=KF,

：.KA=KD=KF=KE，

:.ZDFE=ZDAE=45°.

:.NEDF=NEFD=45。,

:.DE=EFf

,/AF=2?AD=6t

/.DF=yl22+62=2y/Id,

.\DE=EF=2y[5,

?;AF〃CD,

/.“G=Ah=一i，

DGDC3

..FG-FM=-----,

2

:.GM=y/2FM=yf5,

，F(xiàn)H=GH=HM=&,

2

EFlGM,

：.GH=HM=—,

2

：.EH=EF-FH=245--=—,

22

-MHUDE,

6

?MHHNT_1

"~DE~~EN~T/5~4,

,z_43_6行

??E1rN=-EH=，

55

c_1A“u_I6X/5x/5_3

??S^ENM=2，EN'""=~'------=-'

故答案為3.

2

15.（2025?市南區(qū)三模）如圖，在矩形A8CD中，AB=3,4）=9,點(diǎn)E,尸分別在邊AD,3C上，

且AE=2,沿直線所翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,分別在線段

EF,48上取點(diǎn)M,N,沿直線二次翻折，使點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合，則線段MN的長(zhǎng)為—孚

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)/作”于丁，則四邊形/WFT是矩形，連接/W,EN，設(shè)4c交所于J.

?.?四邊形ABFT是矩形，

：.AB=FT=3fBF=AT,

?.?四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=3,AD=BC=9,N8=ND=9O0

AC=ylAD2+CD2=\/92+32=3>/io,

ZTFE+ZAEJ=90°,NZMC+N4K/=90°,

ZTFE=4DAC,

?.?/F7E=ND=90°,

^FTEs/SADC，

.FTTEEF

CD_7c，

3TE_EF

A9=3=3配’

:.TE=\.EF=M,

.\BF=AT=AE-ET=2-\=\,

設(shè)4N=x,

???NM垂直平分線段EF,

;.NF=NE,

2222

,-.|+（3-X）=2+X,

：.X=\r

22

FN=JB/2+BN=Vl+2=6，

22

MN=y/FN-FM=Jg2_（=叵，

V22

故答案為：叵.

2

16.（2025?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖所示，矩形紙片A3C。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為4）邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)

點(diǎn)，將紙片沿過(guò)BE的直線折疊點(diǎn)A的落點(diǎn)記為尸，連接3、DF,若△（7￡>/，是以CV為腰的等腰三角

形，則AE=型或4一2。.

一3——

BC

【解答】解：當(dāng)AC/年是以C/為腰的等腰三角形時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)尺7=尸力時(shí)，如圖，過(guò)尸作于"，交CD于點(diǎn)N,

?.?四邊形A8CZ）是正方形，

ABMCD,

：.FN1CD,

?;FC=FD,

/.MN是正方形的對(duì)稱軸,

如圖，連接AA,

:.FA=FB=2,

.?.AABF是等邊三角形，

/.Z4BF=60°,

由折疊得：ZABE=ZEBF=-AABF=30°,

2

^￡=tan30°/4?=—x2=—；

33

②當(dāng)〃C-DC時(shí)，如圖，過(guò)〃作〃GJ.4),交4)于G,交火于〃，

,;AD〃BC,

:.GH工BC,

*/AB=BF?AB=CD?

:.BF=FC,

:.BH=CH=\,

由勾股定理得：FH=^BF2-BH-=\/22-12=柩,

?.-ZA=ZABC=^BHG=90°,

.??四邊形AHG”為矩形，

；.GH=AB=2,AG=BH=1,

:.FG=GH-FH=2-+,

設(shè)AE=x,貝=EG=AG-AE=\-Xy

由勾股定理得：V=(l-4+(2-5尸，

.?.1=4一26，

AE=4-26,

綜上所述，的長(zhǎng)為拽或4-26.