幾何模型之瓜豆原理（點(diǎn)在圓上）

1.（2025?平邑縣校級模擬）如圖，在RtAABC中，446=90°,AC=5,4c=12,。是以點(diǎn)八為圓心，3為半

徑的圓上一點(diǎn)，連接3D,M是3￡＞的中點(diǎn)，則線段CM長度的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2025?蒼溪縣一模）如圖，線段A5為0O的直徑，點(diǎn)C在/W的延長線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)、P是。。上

一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以。為斜邊在PC的上方作RlAPCD,且使//我=60°,連接OD,則OD長的最大值

為

3.（2025春?興化市月考）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)尸是以O(shè)為圓心、1個(gè)單位長為半徑的圓

D

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以"為邊在AP右側(cè)作等邊三角形4尸從當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路

徑長是.

4.（2025秋?沐陽縣校級期末）如圖，線段=點(diǎn)C為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且/AC〃=90。，將線黃4c的中點(diǎn)"繞

點(diǎn)A順時(shí)切旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,連接向2，則線段BQ的最大值為

A

（2025秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，44cB=90",AC=16,BC=I2,點(diǎn)P在以AB為直徑的

半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CQ,點(diǎn)例是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為.

6.（2025?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在AABC中，NACB=90。，AC=2,BC=4,AE=3t連接BE,以%:為斜邊

在BE的右側(cè)作等腰直角ABOE,尸是AE邊上的一點(diǎn)，連接PC和8,當(dāng)NPCD=45。，則尸石長

為.

D

7.（2025秋?嘉興期末）如圖，0。的直徑AB=2,C為OO上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB,將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

CD,連結(jié)QD,則。。的最大值為.

8.(2024秋?鼓樓區(qū)期中)如圖，的半徑為2,O到定點(diǎn)A的距離為5,點(diǎn)8在上，點(diǎn)P是線段AB的中

點(diǎn)，若3在OO上運(yùn)動(dòng)一周.

(1)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；

(2)AABC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

9.已知：如圖，是0。的直徑，C是0。上一點(diǎn)，OD_LAC于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作。O的切線，交OD的延長線

于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：AE與OO相切；

(2)連接30,若ED:DO=3:1,0A=9,求AE的長；

(3)若A8=10,AC=8,點(diǎn)尸是GO任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦A尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)

的路徑長為.

12.(2025?崖州區(qū)一模)若47=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)尸為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

(1)如圖1,取點(diǎn)8,使AA3C為等腰直角三角形，ZZMC=90°,將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP1.

①點(diǎn)P的枕跡是(填“線段”或者“圓”);

②C尸的最小值是:

(2)如圖2,以AP為邊作等邊AAP。(點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針方向排列)，在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大

值.

(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)V,連接則CM的最小僚為.

13.(2025?沙坪壩區(qū)校級模擬)在A4BC中，AC=BC,AC=6,NAC8=a，點(diǎn)。是8C邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)石是

直線4)上一劫點(diǎn).連接將用？繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段A產(chǎn)，連接印.

(1)如圖1,a=90°,4AD=15。，點(diǎn)尸在射線A。上，求8/6勺長；

(2)如圖2,BF//AD,CG_LA￡于點(diǎn)G,2ZABF-3ZEBF=4ZBAE,猜想線段GE,BE,AC之間存在的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,口=6()。，點(diǎn)尸在射線4)上，點(diǎn)P是跖上一點(diǎn)且滿足A尸=34。，連接AP,直接寫出當(dāng)AP最小

時(shí)，點(diǎn)P到43的距離.

一.選擇題（共1小題）

1.（2025?平邑縣校級模擬）如圖，在RtAABC中，NACS=90",AC=5,國7=12,。是以點(diǎn)A為圓心，3為半

徑的圓上一點(diǎn)，連接AD,M是4。的中點(diǎn)，則線段CM長度的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：取的中點(diǎn)O,連接。M,AD,

是班）的中點(diǎn),

：.OM//AD,OM=-AD,

2

AD=3，

3

2

.?.M點(diǎn)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，

2

?.?NACB=90。，AC=5,BC=12,

.?.A8=13,

.??CM的最小值為U-m=5,

22

二.填空題（共6小題）

2.（2。25?蒼溪縣一模）如圖，線段為OO的直徑，點(diǎn)C在心的延長線上，/傷=4,BC=2,點(diǎn)P是。O上

一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以。尸為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使/ZXy=60°,連接OD,則OD長的最大值為

26+1

【解答】解：如圖，作△COE,使得NCEO=90°,ZECO=60°,則CO=2CE,OE=25/5,/OCP=/ECD,

vZCDP=90°,ZDCP=60P,

:.CP=2CD,

COCP與

?.-----=------=2，

CECD

/.ACOP^ACED,

OPCP今

..-----=------=2，

EDCD

即皮＞=2OP=1（定長），

2

?.?點(diǎn)E是定點(diǎn)，QE是定長，

.?.點(diǎn)。在半徑為1的上，

???OD,,OE+DE=26+1,

.?.O。的最大值為26+1,

故答案為26+1.

3.（2025春?興化市月考）如圖.已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)〃是以。為圓心、1個(gè)單位長為半徑的圓

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接”，以"為邊在”右側(cè)作等邊三角形4尸8.當(dāng)點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路

【解答】解：如圖，連接47、OP,將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得線段47,連接OB、O0),

???AO=47,NO4O'=60。，

.?.△04。為等邊三角形，

?.?的化為等邊三角形，

:.ZPAB=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=Z.O\(J-ZOAB,

:.ZPAO=ZBACr,

在A4P。與中，

AO=AO'

-NPA。=NBA。，

PA=BA

.?.AAP0=AA8(7(SAS),

：.OP=OB=\,

ocr即為動(dòng)點(diǎn)小運(yùn)動(dòng)的路徑，

/.當(dāng)點(diǎn)?在0O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)笈運(yùn)動(dòng)的路徑長是2乃.

故答案為：2房.

4.(2025秋?沐陽縣校級期末)如圖，線段A￡?=2,點(diǎn)。為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且/4C3=90。，將線身AC的中點(diǎn)F繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接伙2,則線段4Q的最大值為_匕晅_.

A

【解答】解：如圖，取/W的中點(diǎn)。，連接CZ),過點(diǎn)A作A￡J_"，使==連接QE、BE.

VZACS=90°,。為AB的中點(diǎn)，

CD=-AB=\,

2

ZQAC=90°,NZ￡4B=90°,

/.ZQAE=ZCAD,

AQ1AE1

-----=—,------=—

AC2AD2

AADC^MEQ，

QE=AQ=\_

~CD~^\C~2

QE=；CO=g

?.?448=900,

3荷擊陰

當(dāng)點(diǎn)2、E、B三點(diǎn)共線時(shí),BQ最大為白母=哼.

1+717

故答案為:

F

5.（2025秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，Z4CB=90c,AC=16,8c=12,點(diǎn)尸在以AB為直徑的

半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CP,點(diǎn)M是。的中點(diǎn)，則點(diǎn)“經(jīng)過的路徑長為_5乃_.

【解答】解：???/4cB=90。，AC=16,BC=12,

AB=ylAC2+BC2=V162+122=20,

連接4P,BP,

?.?A3是直徑，

.?.ZAP8=90。，

即

取3C,AC的中點(diǎn)石和廣，連接A/E,MF,EF,

在中,

?.,M,E為PC、4c的中點(diǎn),

ME=、BP,

2

在AAPC中,

?.?點(diǎn)M、F為PC、HC的中點(diǎn),

:.MFHAP,MF=-AP,

2

ME1MF，

即/EMF=90。，

.?.點(diǎn)M在以叮為直徑的半圓上,

:.EF=-AB=\Q,

2

.?.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為1x2乃x5=5萬，

2

故答案為：5不.

6.（2025?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在。6c中，ZAC5=90°.AC=2,BC=4,AE=3,連接6E,以此為斜邊

在座的右側(cè)作等腰直角此。E,『是AE1邊上的一點(diǎn)，連接PC和CD,當(dāng)NPC￡>=45。,則莊?長為2.?

【解答】解：以AB為斜邊在的右側(cè)作等腰直角/，連接R7,FD.

vZABF=ZEBD=45°,

:.ZABE=ZFBD,

:./\ABESNBD,

.?.空=&,

FD

「八3夜

二.FD=-----

2

在四邊形AC8/中，NACB=NA陽=90。，

「.A、（7、B、尸四點(diǎn)共圓，

ZACF=ZABF=45°,4cAB=4CFB,

?.?ZPCD=45°

ZACP=N*CD,

又?/MBESMBD,

:.ZBAE=ZBFD,

:"CAP=NCFD,

.?.△C4f△CFO,

ACAP

-----=-----t

FCFD

在四邊形AC8/中，由對角互補(bǔ)模型得人C+CB=&。/，

:.CF=3y/2

2AP

一電二訪

F

：.AP=\,

:.PE=2,

故答案為：2

7.（2025秋?嘉興期末）如圖，0。的直徑A4=2,C為0。上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)C/L將CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得

到6,連結(jié)OD,則。D的最大值為_夜+1

【解答】解：如圖，以04為邊在44的下方作等腰直角三角形O3E,連接CE,BD,

將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,

：.BC=CD,NDCB=90°,

乙DBC=45°,BD=42BC,

???△O8E是等腰直角三角形，

:.OE=BE,/OBE=45。,OB=6BE=\,

:.BE=OE=—,

2

?.?ZDBC=NOBE,

"OBD=NCBE,

又，.旦嘰后

CBBE

CECB

:.OD=>/2CE,

.?.當(dāng)CE有最大值時(shí)，OD有最大值，

當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)O,點(diǎn)￡三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最大值為1+立，

2

二.OD的最大值為&+1,

故答案為：

三.解答題（共6小題）

8.（2D24秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，59的半徑為2,O到定點(diǎn)A的距離為5,點(diǎn)A在0。匕點(diǎn)P是線段4?的中

點(diǎn)，若8在0O上運(yùn)動(dòng)一周.

（1）點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；

（2）A44C始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

B

（1）思路引導(dǎo)

要證點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)P到

定點(diǎn)M的距離等于定長，?，由圖中的定點(diǎn)、定

氏

可以發(fā)現(xiàn)M，r.

【解答】（1）解：連接04、OB，取OA的中點(diǎn)H,連接彼，如圖1所示：

則“「是AABO的中位線，

2

點(diǎn)到”點(diǎn)的距離固定為1,

「.8在0O上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)〃為圓心，半徑為I的一個(gè)圓;

（2）解：連接AO并延長AO交于點(diǎn)M、N,如圖2所示：

?.?A43C是等邊三角形，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，

；.PC工AB,PA=PB=-AB=-BC,

22

PC=y/3PA=—AB,

2

當(dāng)點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M位置時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'位置，尸C最短，

AM=OA-OM=5-2=3,

13

AP,=-AM=-,

22

:.PC咨

2

當(dāng)點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P"位置，尸。最長，

?;AN=OA+ON=5+2=1,

17

...AH=—AN=—，

22

??.PC衛(wèi)

2

「.PC長的取值范圍是辿效戶C拽.

22

B

圖1

9.己知；如圖，AB是的直徑，。是上一點(diǎn)，8_LAC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作0。的切線，交8的延長線

于點(diǎn)石，連接AE.

(1)求證：AE與OO相切；

(2)連接3D,若&9:/X)=3:l,0A=9,求AE的長；

(3)若入4=10,AC=8,點(diǎn)尸是0。任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦A尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)

的路徑長為_5乃_.

【解答】(1)證明：如圖1中，連接8.

AV-------\-------

\-ODlAC,

/.AD=fXJ,

:.EA=EC,

在^OEC和AOEA中，

OE=OE

OC=QA,

EA=EC

：.^OEC=\OEA,

；"OAE=/OCE,

?「EC是G>O切線，

.\EC1OC,

ZOCE=90°,

:.ZOAE=ZOCE=90°,

：.OA1AE,

」.AE是0。的切線.

(2)如圖1中，設(shè)00=4,則?！?J,

\-ZAOD=ZAOE,ZODA=ZOAE,

..AOAI^AOEA,

OAOD

OEOA

4?2=81,

?a>0，

2

:.OE=\S,

在RtAAOE中，AE=\/OE2-OA2=^182-92=973.

(3)如圖2中，連接OM,取Q4的中點(diǎn)O,連接OM.

圖2

?：AM=MF,

：.OMLAF,

?.?47=S7,OA=OB=5,

。加=」OA=定長=3,

22

.??當(dāng)點(diǎn)/在OO上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑是以O(shè),為圓心[為半徑的圓，

.?.點(diǎn)/W運(yùn)動(dòng)的路彳至長為2k*-5方.

2

故答案為5不.

10.(2025?海淀區(qū)校級三模)在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形W和點(diǎn)Q,若圖形卬上存在兩個(gè)點(diǎn)例，N滿

足PM=y/3PN且/MPN=90。,則稱點(diǎn)P是圖形W的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

已知點(diǎn)4一26，0),4(0,2).

(1)在點(diǎn)由-6，-1),*6,3),右(-2舊，-2)中，—《一巴―是線段/W的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

(2)07是以點(diǎn)7(八0)為圓心，r為半徑的圓.

①當(dāng)7=0時(shí)，若線段上任一點(diǎn)均為O。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求「的取值范圍；

②記線段AB與線段AO組成折線G,若存在人.4,使折線G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是07的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出，?的最小值.

【解答】解：(1)ZMPN=90。,

/.AMP.V為直角三角形，

???滿足+

根據(jù)勾股定理可得：AB-=(2百)2+2?=12+4=16,

[4=J(G)2+『=2,9==26,

22222

[A2+P}B=l(x/3)+1]+1(>/3)+3]=4+12=16；

54=、/(⑺)2+32=26，58=J(6)2+]2=2,

P^+P.B2=[(>/3)2+32l+f(\^)2+l2]=12+4=16；

"=2,/>B=7(2^)2+42=277,

巴A?+*=2?+[(2x/3)2+4)=4+12+16=32,

222

?.?[A=6《A,P]A+P1B=AB,

(-73,-1)是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

?;P?A二+P】B,且5萬+332=432,

二P",3）是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

?:Pg/iP'B,且^4+西工/W。

：.ZBAO=30P,CAJ.OA,

.?.""=90。+30。=120。，

,對于煽段AB上的任意兩點(diǎn)M、N,

當(dāng)P、M=4iP、N時(shí)，NP、NM>90。，如圖，則NM尸N必是銳角，不可能是直角,

/.^(-273,-2)不是俄段"的關(guān)聯(lián)點(diǎn);

故答案為：［,P2.

(2)①由(1)可得：?.，NM7W=90c,

.?.&W/W為直角三角形，

/.MN2=PM24-PN1=4PN?,

即MN=2PN,

即三角形用VW為含30度角的直角三角形，如圖:

P2

則點(diǎn)P是以MN為斜邊且含30度角的直角三角形的直角頂點(diǎn).

在圓O上取點(diǎn)M,N,則對于任意位置的U和N,符合的關(guān)聯(lián)點(diǎn)芍2個(gè)，如圖:

以點(diǎn)P為例，當(dāng)點(diǎn)用在半徑為「的上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N為圓上一定點(diǎn)，且MN=2PN,N?MW=6O。,

則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，故點(diǎn)尸的軌跡也為圓，令點(diǎn)尸的軌跡為圓R,如圖：

當(dāng)M,O，N三點(diǎn)共線，P,R,N三點(diǎn)共線時(shí)，乙PNM=9。，

OR=—r,RN=-r,

22

則點(diǎn)。到點(diǎn)尸的最大距離為立里八最小距離為立二

22

當(dāng)點(diǎn)N也在OO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OR也隨之運(yùn)動(dòng)，

則OR掃過的區(qū)域?yàn)榕c^和存/?為半徑圍成的圓，

即QO的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，告丑廠和與?為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中,

.?.當(dāng)線段河與半徑為巫里r交于點(diǎn)A時(shí)?，/最小，如圖：

2

則與

解得r=6-2百,

當(dāng)線段45與半徑為叵4r的圓相切時(shí)，r最大,過點(diǎn)O作O”_LA8,如圖:

22

解得O”=6，

則由LS

2

解得/"3+6，

.??6-2版卜3+石

②當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段即上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖為影部分：

y

當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段AO上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖陰影部分：

y

4

3

-1

當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在不同線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在點(diǎn)O和點(diǎn)3上的范圍如圖陰影部分：

綜上，所有區(qū)域疊加一起為:

由①可知，滿足丁的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍為圓環(huán)，

故若使得圓環(huán)能夠完整“包住”關(guān)聯(lián)點(diǎn)，圓環(huán)中外圓的必須經(jīng)過點(diǎn)Gi

?.-ZGfi4=30°,ZG=90°,NO的=60。，NO=90。，

二四邊形AQ/3G為矩形，

:.G（-2>/3,2）,

則7U=J（4+2x/5）2+22,

BP^^r=7（4+2x/3）2+22,

解得廠=40（負(fù)值舍去）；

綜上，/?的最小值為4忘.

11.（2025?南宇二模）如圖I,在平面直角坐標(biāo)系中，直線），=-51+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線

）,=X2+力X+C經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與X軸的另一交點(diǎn)為8.

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)用為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，AAZ泗的面積等于A49c面枳的3,求此時(shí)

5

點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2,以4為圓心，2為半徑的04與x軸交于E、尸兩點(diǎn)（尸在E右側(cè)），若P點(diǎn)是08上一動(dòng)點(diǎn)，連接

PA,以R4為腰作等腰RtAPAD,使/尸4）=90。（。、4、。三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接。.求77）長度的取值

范圍.

圖1圖2

【解答】解：（1）令x=0,則y=5,

.\C(0,5),

令y=0,則x=l,

二.A(1,O)，

將點(diǎn)4(1,0),C(0,5)代入>=/+區(qū)+c,

\+b+c=()

得

c=5

b=-6

c=5

y=*-6x+5；

(2)設(shè)—6/〃+5),

令y=0,則/一6戈+5=0,

解得x=5或x=l,

8(5.0)，

..AB=4,

Su網(wǎng)=]x4x5=10,

3

vAABM的面積等于AA8C面積的-,

5

2

/.SDAMB=6=—X4X(m-6m+5)?

解得"7=2或m=4,

.?.”(2,-3)或」3(4,一3)；

(3)將點(diǎn)8繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到3'，連接48',PB,B'D,

-ZBAD+ZBAD=9(r,ZPAB+ZBAD=90a,

；.Z3fAD=ZPAB,

\AB=AB,,PA=AD,

AAOB'蘭MPB'(SAS),

:.BP=PD,

?：PB=2,

夕。=2,

.?.。在以U為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

???8(5,0),A(l,0),

?：BF=2,

尸(7,0),

/.B'F=2713,

.?.O〃的最大值為2m+2,OF的最小值為2萬-2,

2V13-2WF2713+2.

12.（2025?崖州區(qū)一模）若AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接

（1）如圖1，取點(diǎn)8,使AA8C為等腰直角三角形，ZBAC=90°,將點(diǎn)尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到.

①點(diǎn)P'的軌跡是一圓（填“線段”或者“圓”）；

②。產(chǎn)的最小值是：

(2)如圖2,以”為邊作等邊A4P。(點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針方向排列)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大

值.

(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)也，連接PM,則CM的最小值為.

【解答】解：(1)①連接CP、BP，如圖1所示：

?.?AABC是等腰直角三角形，Zfi4C=90%

:.AC=AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP,NRW=90。，

/.Z/MC=Z7y

APf=AP

在AAB產(chǎn)和AACQ中，NPA8=NP4C,

AB=AC

:.^ABP'^MCP(SAS),

.?.80=CP=2,即點(diǎn)P到點(diǎn)8的距離等于定長，

.??點(diǎn)P'的軌跡是以8為圓心，2為半徑的圓；

故答案為：圓；

②?.?A43C是等腰直角三角形，AC=4,

BC=OAC=4丘,

當(dāng)點(diǎn)P'在線段3c上時(shí)，CP最小=8C-8戶=4拒一2：

故答案為：4\/2-2；

(2)以AC為邊長作等邊AAC。，連接。Q、CP,如圖2所示:

?.?AAP。和AAC。是等邊三角形，

AP=AQ,AC=AD=CD=4,NE4Q=NC4。=60。，

ZDAQ=ZCAP,

AD=AC

在A4R2和A4cp中，?4DAQ=4CAP,

AQ=AP

:.SADQ^SACP(SAS),

DQ=CP=2,

當(dāng)C、D、。三點(diǎn)共線時(shí)，CQ有最大值=8十OQ=4+2=6；

(3)如圖3所示：”點(diǎn)的軌跡是以W為直徑的一個(gè)圓O,

則尸加二弘=2,PMf=PA=4+2=6,

則CO'是梯形尸MMP的中位線，

.?.CO=g(2+6)=4,

連接MVT,

貝IJ/MMW90。，

:.PM"=PM=2,9"="=4,

.?.MMW=6-2=4=MMW,

.?.△wnr是等腰直角三角形，/

MM'4叵,

OM=2a,

:.CM=C(y-UM"=4-2y[i；

故答案為：4-2&.

13.（2025?沙坪壩區(qū)校級模擬）在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACR=a,點(diǎn)。是AC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)石是

直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接3E,將座繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段班連接斯.

（1）如圖1,a=90。，NB4O=15。，點(diǎn)r在射線AO上，求陰7的長；

（2）如圖2,BF//AD,CG_LAE于點(diǎn)G，2ZABF-3NEBF=4/BAE,猜想線段GE,BE,AC之間存在的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,a=60。，點(diǎn)尸在射線4）上，點(diǎn)P是鴕上一點(diǎn)且滿足A/=38尸，連接AP,直接寫出當(dāng)"最小

時(shí)，點(diǎn)P到的距離.

.3缶36卮

/.ZC4D=ZC4B-Za4D=45o-15o=30°,

在RtAADC中，CO=ACtan/C4O=6tan30°=2后,

AD=2CD=4y/3,BD=BC-CD=6-26，

將BE繞EB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BF,

:.BF=BE,ZEBF=90°,

...NF=/BEF=45。，

.?.ZF=ZAB。，

\'ZBAF=ZDAB,

..MBF^AADB，

BFABHI1BF6核

，一=——，即----產(chǎn)=—十,

BDAD6-2V34G

:.BF=3瓜-3叵；

(2)vAC=BC,AC=6,ZACB=a,

//mnA180°—a

Z.CAB=NCAA=-----------?

2

同理/BEF=NBFE=儂?,

2

???BFNAD,

ZABF+ZEAB=\S()0,ZAEB=/EBF=a,

/.ZABF=180°-ZE4B

?.?2ZABF-3/EBF=4ZBAE，

3

ZABF=2NBAE+ea,