四邊形中的對(duì)角互補(bǔ)模型

1.（2025?寧陽縣二模）在四邊杉/WCD中，ZB+NQ=18O°,對(duì)角線AC平分44）.

（1）如圖1,若NDW=120°,且NB=9O。，試探究邊AD、/W與對(duì)角線4c的數(shù)量關(guān)系

（2）如圖2,若將（1）中的條件“4=90?！比サ?，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由;

（3）如圖3,若ZZMB=90°,若AT>=3,AB=7,求線段AC的長和四邊形A8CD的面積.

2.（2025春?分宜縣期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”.

（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是,（請(qǐng)

填序號(hào)）；

(2)在“完美"四邊形A8C￡>中，AB=ADtZB+ZD=180°,連接AC.

①如圖1,求證：AC平分ZBCQ：

小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分N4CQ:

想法一：通過NA+NO=I80°,可延長CB到E,使BE=CD,通過證明,從而可證AC平

分/BCD；

想法二：通過可將AACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使4）與重合，得到AAE5,可證C,B,

石三點(diǎn)在一條直線上，從而可證AC平分N8CD.

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明在明AC平分ZBCZ）：

②如圖2,當(dāng)N840=90。，用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

DD

A

卸

3.(2025秋?丹陽市期末)四邊形人4C7)若滿足ZA+NC=18O°,則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊

形”.

(1)四邊形A8CD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且ZB:NC:ZD=2:3:4,則的度數(shù)為;

(2)如圖1,四邊形A3CD為對(duì)甫互補(bǔ)四邊形，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD.

求證：AC平分ZBC￡).

小云同學(xué)是這么做的：延長CD至使得=連AM,可證明AABC=AAZW,得到AACM是

等腰直角三角形，由此證明出AC平分々8,還可以知道C/八CD、C4三者關(guān)系

為：；

(3)如圖2,四邊形48CD為對(duì)南互補(bǔ)四邊形，且滿足/胡￡>=60。，AB=ADy試證明：

①AC平分ZBCD；

@CA=CB+CD;

(4)如圖3,四邊形A3CD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足ZABC=60。，AD=CDf則8A、BC、BD三者

關(guān)系為：.

4.(2025秋?碑林區(qū)校級(jí)期末)同學(xué)們?cè)诘谝淮挝⒄n中聽取了劉老師與楊老師關(guān)于面積等分線練習(xí)

的講評(píng)，小潔同學(xué)對(duì)此產(chǎn)生興趣，上網(wǎng)又查到了長方形的一些性質(zhì)：長方形的對(duì)角線相等且互相平

分，對(duì)角線所在的直線是其一條面積等分線.請(qǐng)你利用以上性質(zhì)，幫小浩解決下面問題：

問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖①，已知長方形A3CD,請(qǐng)畫出它的一條面積等分線/(不經(jīng)過對(duì)角線)；

問題探究：

(2)四邊形。位于如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)。位于原點(diǎn)，其余頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4,6),

8(8,7),C(IO.O),CE是四邊形Q14C的一條面積等分線，點(diǎn)E在y軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)石的坐標(biāo).

問題解決：

(3)全民抗疫，西安加油！如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中(長度單位為米)，長方形048C是西安

某小區(qū)在疫情期間為居民核酸檢測(cè)圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

記頂點(diǎn)僅20,12),原有的一個(gè)出入口。在邊OC上，且C￡>=4米.為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊4?,

OAyBC上依次再設(shè)出入口E,G,H,沿DE,GH拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部

分.請(qǐng)問，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)E,”，G,如存在，請(qǐng)求出點(diǎn)石的坐標(biāo)及GH的函數(shù)表達(dá)

式，如不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

5.（2025?宜春一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

理解：（1）如圖1,點(diǎn)A,B,C,在。。上，Z/WC的平分線交QO于點(diǎn)。，連接4J,3.

求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形.

探究：（2）如圖2,在等補(bǔ)四邊形438中，BA=BC,連接8D,8。是否平分ZADC?請(qǐng)說明理由.

運(yùn)用：（3）如圖3,在等補(bǔ)四邊形A8CZ）中，C3=8,其外龜NAC8的平分線交的延長線于點(diǎn)石,

A3=20,CE=1O,求3E的長.

圖1@2圖3

6.（2025?新賓縣模擬）在四邊杉A8C。中，AB=ADfZBAD+ZBCD=180°,連接AC,8D.

（1）如圖1,當(dāng)440=60。時(shí)，猜想線段AC,BC,DC之間的數(shù)量關(guān)系：

（2）如圖2,當(dāng)N4AO=90°時(shí)，猜想線段AC,BC,DC之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想：

（3）如圖3,當(dāng)N84。=2（0。<2<180。）時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AC,BC,0c之間的數(shù)量關(guān)系.（用含a

的代數(shù)式表示）

7.（2025秋?洪山區(qū)期中）四邊形人4co若滿足NA+NC=18O°,則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊

形”.

（1）如圖1,四邊形ABCZ）為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足N84D=90°,AB=AD,求NACB的度數(shù).小云

同學(xué)是這么做的：延長C3至M,使得BM=CD,連AM,可證明△C4Z）=,通過判斷AM4C的

形狀，可以得出結(jié)論.

①在圖1中按要求完成作圖；

②AMAC的形狀為：

?ZACB=；

（2）如圖2,四邊形48C￡>為對(duì)南互補(bǔ)四邊形，且滿足/胡￡>=60。，AB=ADy試證明：

CA=CB+CD；

（3）如圖3,等腰A4B。、等腰AC0E的頂角分別為NBA。、NC,點(diǎn)8在線段CE上，且NE4D與NC

互補(bǔ).請(qǐng)你判斷小場(chǎng)與ZZWC的數(shù)量關(guān)系并證明.

8.（2024秋?漢陽區(qū)期末）（1）探究：如圖1,在AA8C和都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊〃。上.

①求NDC月的度數(shù)；

②直接寫出線段CD,CE,AC之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）應(yīng)用：如圖2,在四邊形A8CZ）中，AB=BC,ZABC=60°,尸是四邊形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，且

ZAPC=120°,求證：PA+PC+PD..BD;

（3）拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)8是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊

在4?的下方作等邊AABC,求OC的最小值.

9.（2025?雨花區(qū)校級(jí)二模）在o。中，弦C7）平分圓周角ZACA,連接地，過點(diǎn)。作。石//人4交的

延長線于點(diǎn)八

（1）求證：DE是OO的切線;

（2）若tan/C48=g,且8是CE的中點(diǎn)，的直徑是加，求DE的長.

（3）尸是弦AB下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP和8P,過點(diǎn)、D作DHLBP于點(diǎn)、H,請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)

的過程中,

BH的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值.

AP+BP

10.（2024?寧波模擬）有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形.

（1）如圖1,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形A8CO中，AD=CDf且AD//8C,BC=2AD,求ZB的度數(shù)；

（2）如圖2,四邊形A3C。內(nèi)接于0O,連接交AC于點(diǎn)E（不與點(diǎn)O重合），若E是AC的中點(diǎn),

求證：四邊形44co是等鄰邊互補(bǔ)四邊形；

（3）在（2）的條件下，延長DO交8Ci"點(diǎn)尸，交于點(diǎn)G,若6G=A3,tanZA?C=—,AC=\2,

求AG的長：

（4）如圖3,四邊形八灰7）內(nèi)接于G）O,AB=BC,⑺為QO的直徑，連接人O并延長交4c于點(diǎn)E,

交0。于點(diǎn)尸，連接FC,設(shè)ianN&4F=x,空=y，求y與大之間的函數(shù)關(guān)系式.

AE

11.（2024?道里區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：在四邊形"8中，ZA+NC=180°,￡）4平分ZADC.

（1）求證：=；

（2）如圖2,若ZAD8=60。，試判斷AABC的形狀，并說明理由;

（3）妒圖3,在（2）得條件下，在上取一點(diǎn)石，BC上阪一點(diǎn)、F,連接CE、AF交于點(diǎn)M,連接

EF,若/。用/=60。，AD=EF=1,CD=8(CF>BF),求AE的長.

12.（2024?信豐縣模擬）定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”

如圖1,四邊形ABC。中，AB=BCfZfi+ZD=18O。（或ZA+NC=18O。），則四邊形ABCD叫做“鄰等對(duì)

補(bǔ)四邊形”.

概念理解

（1）在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”

的是；（填寫序號(hào)）

（2）如圖2,點(diǎn)A、B、C是網(wǎng)絡(luò)中格點(diǎn)，請(qǐng)找出兩個(gè)格點(diǎn)6，P],連接片人、巾，鳥4、鳥。畫出

四邊形[ABC,P2ABC,使四邊形片6ABe均為“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”.

性質(zhì)證明

（3）如圖1,四邊形43c。中，AB=8C,ZA+ZC=18O°,連接瓦），求證：血）平分ZADC.

知識(shí)運(yùn)用

（4）如圖3,在“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形"A3CD中，滿足=AB+BC=6tZADC=60°時(shí)，若

2,BC々3,求四邊形AbC￡）的而和的最大值

圖1圖2圖3

13.(2024?天臺(tái)縣模擬)定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形.

(1)概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有

(2)性質(zhì)探究：

①如圖1,四邊形A8CD是奇異四邊形，AB=AD,求證：CA平分/8CD；

②如圖2,四邊形A3CD是奇異四邊形，AB=ADf4BCD=la,試說明：―生士坦；

2AC

(3)性質(zhì)應(yīng)用：

如圖3,四邊形A8CZ)是奇異四邊形，四條邊中僅有8C=CZ),且四邊形A8CZ)的周長為6+2師，

Za4c=45。，AC=30,求奇異四邊形ABCZ)的面積.

14.(2024秋?南崗區(qū)校級(jí)月考)如圖，在四邊形ABCO中，連接對(duì)角線AC、BD,D8平分44。。,

ZADC=2ZABCtZABC=ZDCA+ZDAC.

(1)如圖1,求：NA〃。的度數(shù)；

(2)如圖1,求證：BC=AB\

(3)如圖2,在45邊上取一點(diǎn)E,邊上取一點(diǎn)尸，連接CE、4尸交于點(diǎn)M,連接EF,若

ZCMF=60°,AD=EF=7,CD=8(CF>BF),求tan4莊的值.

15.(2025秋?莆田期末)如圖，點(diǎn)尸(3〃2-1,-26+4)在第一象限的角平分線0(7上，APlBPt點(diǎn)4在大

軸正半軸上，點(diǎn)4在y軸正半軸二.

(1)求點(diǎn)0的坐標(biāo).

(2)當(dāng)ZAP4繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，

①Q(mào)4+O4的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值.

②請(qǐng)求出OA-+OB?的最小值.

16.(2025秋?武岡市期末)定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形.

(1)概念理解：

①在互補(bǔ)四邊形AHC7)中，Z4與NC是一組對(duì)角，若NB:NC:NO=2:3:4,則NA=0；

②如圖1,在AABC中，點(diǎn)。，石分別在邊/W,BC上，且BEBC=ABBD,求證：四邊形是

互補(bǔ)四邊形.

(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2,在等腰MB石中，AE=BE,點(diǎn)C,。分別在邊8E,AE上，AO=8C,四邊

形?！辍隁w是互補(bǔ)四邊形，求證：ZABD=ZBAC=-ZE.

2

17.（2024?南崗區(qū)校級(jí)一模）已知：在正方形/WC7）中，點(diǎn)f是邊回上點(diǎn)，點(diǎn)G在邊4）上，連接

EG,EG=DG,作EF_LEG,交邊8C于點(diǎn)尸（圖1）.

(1)求證：AE+CF=EF;

（2）連接正方形A8CD的對(duì)角線AC,連接。尸，線段AC與線段。尸相交于點(diǎn)K（圖2）,探究線段AE、

4）、水之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論;

（3）在（2）的條件下，連接線段QE與線段AC相交于點(diǎn)尸，（圖3）若4K=8夜.的周長為24,

求PK妁長.

圖1圖2

18.（2025?襄城區(qū)模擬）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

【問題理解】

如圖1,點(diǎn)A、B、。在0。上，ZABC的平分線交0。于點(diǎn)。，連接4）、CD.

求證：四邊形A8C。是等補(bǔ)四邊形；

【拓展探究】

如圖2,在等補(bǔ)四邊形A3c。中，AB=AD,連接AC,AC是否平分〃C￡）?請(qǐng)說明理由；

【升華運(yùn)用】

如圖3,在等補(bǔ)四邊形八成力中，AB=AD,其外角NMD的平分線交6的延長線于點(diǎn)尸.若CO=6,

DF=2,求AF的長.

19.(2025春?通山縣期末)定義：有一組鄰邊相等且對(duì)南互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

理解:

(1)在你所學(xué)過四邊形中，滿足等補(bǔ)四邊形定義的四邊形是.

畫圖：

(2)如圖1,在正方形網(wǎng)格中，線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上(小正方形的頂點(diǎn))，請(qǐng)你畫出1個(gè)以格點(diǎn)

為頂點(diǎn)，A3為邊的等補(bǔ)四邊形ABCD;

探究:

(3)如圖2,在等補(bǔ)四邊形A4CD中，AB=AL)t連接AC,AC是否平分NBCZ)?請(qǐng)說明理由.

圖2

20.(2024秋?通州區(qū)期中)如圖，在等邊AABC中，作NAC￡>=ZAB￡>=45。，邊CD、BD交于點(diǎn)、D,

連接4).

(1)請(qǐng)直接寫出NC/M的度數(shù)：

(2)求ZADC的度數(shù)；

(3)用等式表示線段4)、BD、C。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

D

B

1.（2。25?寧陽縣二模）在四邊形八8CZ）中，N4+NO=180。，對(duì)角線4c平分NMD.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若ND44=120°,且々=90°,試探究邊40、4A與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系為

/AD+ZB=4C_;

（2）如圖2,若將（1）中的條件"/8=90?！比サ?，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3,若NZMB=90。，若M=3,AB=7,求線段AC的長和四邊形A3CZ）的面積.

【分析】（I）先證RtADAC二RtABAC得出,再求NDC4的度數(shù)，得出AO」AC,進(jìn)而求出

2

AD+AB=AC；

（2）先畫輔助線：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作NACE=60。，NACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E,作出輔助線后

證明A4CE為等邊三角形，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。和，ZB+NO=180°求出NDC8=60。，進(jìn)而證明

△C4D二△C￡B,得出人。=的，最后得出AD+A6=AC；

（3）先證A4CE為等腰直角三角形，再證明AA￡>C±AEBC得出4）=理，進(jìn)而求出47=5夜，求四邊形ABC。

的面積可以轉(zhuǎn)化為求A4CE的面積.

【解答】解：（1）?.?Z^+ZD=180°,4=90°,

.-.ZD=ZB=90°,

?.?對(duì)角線4c平分NfiAD,

:.ZDAC=ZBAC,

?.?AC=AC,

/.RtADAC=RtABAC（AAS）,

AD=AB，

?.?ND48=120°,

/.ZDAC=-ZDAB=60°,

2

.\ZDC4=30°，

/.AD=-AC^

2

AD=AB=-AC，

2

：.AD+AI3=AC.

故答案為：AD+AB=AC.

(2)(1)中結(jié)論成立，理由如下:

D

以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作NACf=60°,ZACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)石,

由(1)可得：NC4B=60。，

-.?Za4C=60°,

.\ZA￡C=60o,

ZCAB=ABAC=ZAEC，

.,.AAC/為等邊三角形，

AC=AE=CE,

?.?ND+ZABC=180°,ZCBE+ZABC=180°,

:2D=/CBE,

?.-ZABC+ZD+^DAC+ZDCB=360°,ZZ)+ZABC=180°,ZZM5=120°,

.?.ZDC8=60°，

:.ZDCB=ZACE,

/DCB-ZACB=ZACE-ZACH，

：.^DCA=/BCB，

.?.AC4D^ACEB(A4S),

,,.AD=BE?

AC=AE=AB+BE,

AC=AD+AB.

(3)過點(diǎn)C作C￡_LAC交4?延長線于點(diǎn)E,

D

B

?.?對(duì)角線AC平分NBA。，ZaAD=90°,

ZC4E=Z/14C=45°,

\CE1AC,

.\Z4CE=90°,

...ZE=180°-ZACE-ZCAE=45°，

：.ZE=ZCAE,NE=NDAC,

:.AC=CE,

?.?ZA8C+NO=180°,ZABC+ZCfi￡=180o,

:./D=4CBE,

:.^ADC=^EBC(AAS),

：.AD=BE，

：.AE=AB+BE=AB+AD，

?.AD=3,AB=7,

.\AE=10,

在RtAACE中:

AC2+CE2=AE2,

..AC=CE=5y/2,

二S&ACE=g*5x/2x5\/5=25?

MDCw讓BC,

…SM)C=S&EBC'

一S四邊物BCC=Sgoc+S&\CB~SAOC+SgcB=ACE~25.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形的知識(shí)、全等三角形的知識(shí)、勾股定理的知識(shí)、等腰直角三角形的知識(shí)，有一定的

難度.

2.（2025春?分宜縣期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”.

D

D

C

:7

圖1圖2

（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是④（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）；

（2）在“完美"四邊形人4c力中，AB=AD,NA+NO=180°,連接AC.

①如圖1,求證：AC平分N8CD：

小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分/8C。：

想法一：通過N8+N0=18O°,可廷長C8到石，使BE=CD,通過證明A4EB統(tǒng)A4CD,從而可證AC平分

ZBCD；

想法二：通過=可將A48繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使4）與A8重合，得到AA￡3,可證C,B,E三點(diǎn)在

一條直線上，從而可證AC平分4CQ.

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分/BCD；

②如圖2,當(dāng)/班。=90。，用等式表示線段AC,BC,C￡＞之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）由“完美四邊形”定義可求解；

（2）①想法一：由“SAS”可證AM）C二AA8E,可得ZACD=ZAEB,AC=AE,由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)

論：

想法二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NAL＞C=NA4E,ZACD=ZAEB,AC=AE,可證點(diǎn)C,B,E在一條直線上，由

等腰三侑形的性質(zhì)可得結(jié)論；

②延長6使班=6,連接AE,由①可得A4CE為等腰三角形，由/皿＞=90。，可證AACE為等腰直角三角形,

即可得解.

【解答】解：（1）由“完美四邊形”的定義可得正方形是“完美四邊形”.

故答案為：④

（2）

①想法一：延長使座=C/3,連接AE

D

?.?NAQC+ZABC=180°,ZABE+ZABC=180°,

:.ZADC=ZABE

:.SADC=AABE(SAS)

；.ZACD=ZAEB,AC=AE

：.ZACB=ZAEB.

：.ZACD=ZACB.

即AC平分N4CD；

想法二：將AAS繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使4)邊與AA邊重合，得到A4跖,

ZADC=ZABE；

ZACD=ZAEB；

AC=AE.

?.?Z4DC+ZABC=180°,

.\ZABE+ZABC=180°.

.??點(diǎn)C,B,E在一條直線上.

\AC=AE,

ZACB=ZAEB

/.Z4CD=Z4CB

即AC平分"8

②BC+CD=&C

理由如F：

延長C8使8E=CD,連接AE,

由①得AACE為等腰三角形.

/.ZE4C=90°

:.CE2=2AC2,

CE=y/2AC.

/.BC+CD=42AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

3.（2025秋?丹陽市期末）四邊形458若滿足NA+NC=180°,則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”.

圖1圖2圖3

（1）四邊形/WCO為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且NA:NC:NO=2:3:4,則NA的度數(shù)為_90。_：

（2）如圖1,四邊形ABCZ）為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，4AD=NBCD=90。，AB=AD.

求證：AC平分NBCD.

小云同學(xué)是這么做的：延長CD至“，使得OM=8。，連AM,可證明AABC=A4DM,得到AACM是等腰直角

三角形，由此證明出AC平分N8C。，還可以知道。3、CD、C4三者關(guān)系為：；

(3)如圖2,四邊形八ACO為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足N4AO=60>,AB=AL),試證明：

①AC?平分ZBC。：

?CA=CB+CDx

(4)如圖3,四邊形48CD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足NABC=60。，AD=CD,則84、BC、8D三者關(guān)系

為：.

【分析】(1)根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)，求解即可；

(2)由題意可得AC=AW,BC=DM,CM=&AC,即可得CM=CQ+4C=&AC；

(3)①延長C￡>至M,使DW=8C，連接AM,證明=AADM(SAS),可確定A4CW是等邊三角形，在求

出NAC8=NACM,即可證明；

②由①直接可證明；

(4)延長8c至M,使CM=A5,連接。M,證明AAO8空ACOM(SAS),結(jié)合已知可求N/W=NQ8W=30。，過

點(diǎn)、D作DN人BM交于點(diǎn)、N,則有BM=2MN,BM=gBD,再由=8C+CM=AC+AB=目肘)即可求解.

【解答】解；(1)?.?四邊形ABCZ)為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，

.-.ZB+ZD=180°,

vZB:ZC:ZZ)=2:3:4,

二.ZB=180°x-=60°,

3

/.ZC=90°,

/.ZA=90°,

故答案為：90°：

(2),

：.AC=AM,BC=DM,

MCM是等腰直角三角形，

:.CM=42AC,

?.?CM=CD+DM,

:.CM=CD+BC=y/2AC,

故答案為：CD+BC=y/iAC；

(3)①延長CD至M，使OM=AC.連接AM,

?.?四邊形ABCD為對(duì)■角互補(bǔ)四邊形，

.?.ZB+ZWC=180°,

/.Z4DW=Z5,

?：AB=AD

:.^ABC=MDM(SAS),

：.AC=AM,^BAC=Z1CAM,

???ZfiAD=60°，

/.ZCAW=60°,

.?.A4CM是等邊三角形，

ZACM=ZA/=60°,

ZACB=ZM,

??.NACB=60°,

/.ZACB=ZACM,

二.AC平分NBC。；

②?.?AC=CM,BC=DM,

:.CM=CD+DM=CD+BC,

AC=CD+BCi

(4)延長3c至M,使CA/=A4,連接。M,

?.?四邊形人46為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，

;4+/BCD=/BCD+/DCM=1酹，

/.Z4=Z￡>CM,

?,?AD=CD,

:.AADB=ACDM(SAS),

；.BD=MD,ZADB=NCDM,

ZAZ?C=60°,

.-.ZA￡)C=l20o,

.\ZBZW=120°,

;.NM=/DBM=30。,

過點(diǎn)。作DN±BM交于點(diǎn)N,

:.N為BM的中點(diǎn),

BM=2MN，

在RtADNM中，MN=回DM』D,

22

;.BM=^BD,

BM=BC+CM=BC+AB=>/3BD,

故答案為：BC+AB=y/3BD.

A

圖3

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助線是解

題的關(guān)鍵.

4.（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們?cè)诘谝淮挝⒄n中聽取了劉老師與楊老師關(guān)于面積等分線練習(xí)的講評(píng)，小浩同

學(xué)對(duì)此產(chǎn)生興趣，上網(wǎng)又查到了長方形的一些性質(zhì)：長方形的對(duì)角線相等且互相平分，對(duì)角線所在的直線是其一

條面積等分線.請(qǐng)你利用以上性質(zhì)，幫小浩解決下面問題：

問題發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖①，已知長方形A38,請(qǐng)畫出它的一條面積等分線/（不經(jīng)過對(duì)角線）；

問題探究：

（2）四邊形。記C位「如圖②所示的'I'面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)。位「原點(diǎn)，其余頂點(diǎn)坐標(biāo)為A：4,6）,6（8,7）,

C（10,0）,CE是四邊形。A3C的一條面積等分線，點(diǎn)E在），軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

問題解決：

（3）全民抗疫，西安加油！如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中（長度單位為米），長方形Q48C是西安某小區(qū)在疫情

期間為居民核酸檢測(cè)圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記頂點(diǎn)伙20,12）,原有的一

個(gè)出入口。在邊OC上，且CL>=4米.為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊A2,OA,4C上依次再設(shè)出入口E,G,

H,沿DE,。，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面枳相等的四部分.請(qǐng)問，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)E,H、

【分析】（1）找出圖形的中點(diǎn)，即可畫出一條面積等分線;

（2）幾何知取的綜合應(yīng)用，分清矩形的性質(zhì)，面積的等分線，梯形的性質(zhì)等知識(shí)，逐一分析坐標(biāo)后，找到一條面

積等分線，列式計(jì)算，即可解決問題；

（3）利用圖形的設(shè)計(jì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，即可解決問題.

【解答】解（1）如圖①：過點(diǎn)O作分別交4）、8c于M、N,

Dp----------------

M…沁…N

?■、、

X一、、

AB

圖①

?.?點(diǎn)O為正方形A3CD的對(duì)角線交點(diǎn).

點(diǎn)為AC、皮＞的中點(diǎn)，

:?點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是AD、8c的中點(diǎn)，

長方形ABNM的面積=長方形MNCD的面積，

.?.MV為長方形A4C。的一條面積等分線.

（2）如圖②：過點(diǎn)A作AP_LOC交0C于尸，過點(diǎn)8作4Q_L0C交OC于Q,

=

S四動(dòng)元OA8cSAOAP+S四邊形八+S.3QC

4x6(6+7)x47x2

=---H----------1----

222

=45,

.?.5“=^^=30,且30>?，

.?.CE與OA有交點(diǎn)，并假設(shè)該交點(diǎn)為產(chǎn)，

?「CE是四邊形OABC的一條面積等分線，

SWC=~,S四邊形0ABe?即/X10x%=

9

???丹=晨

,點(diǎn)/在。4上，

3

y=—x,

_9

又???),=/,

Xp=3,

??產(chǎn)(3彳9)，

9

vC(10,0),F(3,-),

2

直線C/7的方程為：y=—―A+—)

147

45

令x—0，得y——>

'7

點(diǎn)七的坐標(biāo)為(0號(hào)).

(3)如圖3：在上取AE=CO=4,連接。石，則E(4,12),

圖③

取DE的中點(diǎn)M,AO的中點(diǎn)N,連接MN,

則是梯形AODE的中位線,

.?.MN='=IO（米），

2

AN=0N=6（米），

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為（10,6）,

由于長方形被分成四塊面積相等的部分，

每塊面積為：-x20xl2=60（平方米），

4

又=gx（4+10）x6=42（平方米），

在點(diǎn)的下方取一點(diǎn)G，使Sy/=60-42=18（平方米），

由S=」NGMN得：/VG=-^-=—=3.6（米），

2MN10

,-.OG=6-3.6=2.4（米），

.?.點(diǎn)G坐標(biāo)為（0,2.4）,

連接G0并延長交4c于，，

則。、E、G、〃為所求作的點(diǎn)，

設(shè)GH的解析式為：y=履+Z?,

則。=2.4,10&+。=6,

解得：攵=0.36,b=2A,

/.y=0.36x4-2.4.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了圖形的設(shè)計(jì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，面積的等分線，梯形的性質(zhì)等知

識(shí)，解題關(guān)鍵是利用面積確定點(diǎn)G的位置.

5.（2025?宜春一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

理解：（1）如圖1,點(diǎn)A,B,C在0。上，NA4C的平分線交0O于點(diǎn)。，連接AO,CD.

求證：四邊形人4a＞是等補(bǔ)四邊形.

探究：（2）如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，BA=BC,連接3/）,也）是否平分NWC?請(qǐng)說明理由.

運(yùn)用：13）如圖3,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，CB=CD,其外角NFC8的平分線交AB的延長線于點(diǎn)石，AB=20,

圖1圖2圖3

【分析】⑴由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知N4+NC=180°,ZABC+ZA7X?=180°,再證A/）=CD，即可根據(jù)等

補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)8分別作。于點(diǎn)石，所垂直D4的延長線于點(diǎn)尸，證AA8尸三ACBE,得到斯根據(jù)角平

分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC,先證N6AO=N8CF,推出NBCZT=NB4C,再證利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等

可求出班:的長.

【解答】解：（1）證明：?.?四邊形ABC。為圓內(nèi)接四邊形，

.-.ZA+ZC=180°.ZABC+Z47X?=180°,

?.?郎）平分/ABC,

:.ZABD=/CBD,

.?.弧4）二弧CO,

:.AD=CD,

.??四邊形448是等補(bǔ)四邊形；

（2）9平分NAZX?,理由如下：

過點(diǎn)4分別作"E_L/X7于點(diǎn)E,4F垂直的延長線于點(diǎn)尸，如圖：

B?D

則〃印="￡3=90°,

???四邊形AACO是等補(bǔ)四邊形，

.?ZC+ZR4D=180°.

又N84E+N84D=180。，

.?.NC=N84尸，

?.?AB=BC,

..MBF^ACBE（AAS）,

:.BF=BE,

/.BD是ZADC的平分線，即BD平分ZADC；

（3）連接AC,如圖：

四邊形A/C7）是等補(bǔ)四邊形,

:.ZBCD+ZBAD=\8QP,

又N8a）+ZBb=180。，

.\ZBAD=ZBCF,

?：CE平分ZBCF,

:"BCE=L/BCF,

2

由（2）知，AC平分440,

/.ZBAC=-ZBAD,

2

；.ABCE=ZBAC,

又NE=NE,

沖CEs^CAE,

CEBE

/.----=——,

AECE

?MA=20,CE=\O,

一--=—,解得4E=10&一10(-1()75—10舍去)，

20+BE10

BE=IOV5-IO.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形

的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等.

6.（2025?新賓縣模擬）在四邊形"CD中，AB=AD,/以。+NAC7）=180。，連接AC,BD.

（1）如圖1,當(dāng)?shù)摹?60。時(shí)，猜想線段AC,BC,0c之間的數(shù)量關(guān)系_AC=8C+ZX?_；

（2）如圖2,當(dāng)/成/）=90。時(shí)，猜想線段八C,RC,X之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想：

（3）如圖3,當(dāng)/射。=必0。＜。＜180。）時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AC,BC,0c之間的數(shù)量關(guān)系.（用含。的代數(shù)

【分析】（1）延長CD到點(diǎn)E,使。石=5C,連接AE,利用SAS證明AABCwAADf,得4C=AE,BC=DE,

ZBAC=NDAE,再證明AACE是等邊三角形，可得結(jié)論；

（2）延長CD到E,使DE=BC,連接AE,與（1）同理得AABCNAAOE,AACE是等腰直隹三角形，再利用

等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）延長C￡＞到E,使DE=BC,連接AE,與（1）同理得AA△。二A4QE,過點(diǎn)A作AF_LCE于七，得

CF=FE=-CE=-（CD+CB）fZCAF=ZEAF=-ZC4E=-a,從而解決問題.

2222

【解答】解：（1）如圖，延長CD到點(diǎn)E,使DE=BC,連接AE,

?.-ZfiL4L>+ZBCD=180°,

...ZABC+ZAZX?=180°,

\-Z4/5C+ZA￡>E=l80o,

:.ZABC=ZADE,

在AA6C與AAZ?E中，

AB=AD

ZABC=NADE,

BC=DE

：.^ABC=SADE(SAS),

:.AC=AE,BC=DE,ABAC=ZDAE,

/CAE=7CAD+7DAE=7CAD+/RAC=60°,

.?.AACE是等邊三角形，

.\AC=CE=CD+DE=CD+BC,

故答案為：AC=3C+ZX?；

(2)BC+DC=y/2AC,理由如下：

如圖，延長C。到E,使DE=BC,連接AE,

?.?Z2MD+ZBCD=18O°,

.\ZABC+ZADC=\S(T1

\'ZADC+ZADE=\^f,

:.ZABC=ZADE,

-.-AB=AD,BC=DE,

:.SABC^MDE(SAS),

:.AC=AE,ZBAC=ZDAE,

：.Z.CAE=ACAD+NDAE=ACAD+ABAC=/BAD=90°,

.?.AACE是等腰直角三角形，

ZACE=ZAEC=45°,

在RtACAE中，cosZACE=cos450=—,

2

.\CE=42AC,

???BC=DE,

BC+DC=DE+DC=CE=>f2AC；

(y

(3)BC+DC=2AC-sin-,理由如下：

2

如圖，延長8到E,使DE=BC,連接AE,

?.?NE4D+NAC力=180°,

:.ZABC\ZADC=180°,

?.?ZXDC+ZA￡>E=18O。,

：.ZABC=ZADE,

在A43c與AADE中，

AB=AD

/ABC=ZADE,

BC=DE

.?.AA8C3AAOE(SAS),

/.AC=AE,BC=DE,ZBAC=ZDAE,

ZC4E=ZC4D+ZDAE=ZC4D+ABAC=a,

過點(diǎn)A作

.\CF=FE=-CE=-(CD+CB),NCAF=ZEAF=-ZCAE=-a,

2222

”-(CD+CB)

.aEF2

：.sin—==-----------------

2AEAC

BC+DC=2AC^in-.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形

的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握對(duì)角互補(bǔ)模型是解題的關(guān)鍵.

7.(2025秋?洪山區(qū)期中)四邊形AB8若滿足NA+NC=180°,則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”.

(1)如圖1,四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足440=90°,AB=AD,求NAC8的度數(shù).小云同學(xué)是這

么做的：延長8至“，使得8W=CO,連AM,可證明△C4OMAM44,通過判斷AM4C的形狀，可以得出結(jié)

論.

①在圖1中按要求完成作圖；

②的形狀為等腰直角三角形：

③ZAC8=；

(2)如圖2,四邊形A88為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足NBAQ=60。，AB=AD,試證明：CA=CB+CD；

(3)如圖3,等腰A48。、等腰△a)￡的頂角分別為NAM)、NC,點(diǎn)8在線段CE上，且4Ao與NC互補(bǔ).請(qǐng)

你判斷ZDAE與N/MC的數(shù)量關(guān)系并證明.

【分析】(I)①按題意畫出圖形即可；

②延長CB至M,使得8W=C。，連/W,證明△C4O=AM43(S4S),由全等三角形的性質(zhì)得由NCV)=,

AC=AM,可得出NCAA/=90°,則可得出答案；

③由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；

(2)延長C8至M,使得*=C￡),連AM,證明△。。=AMAB(S4S),得出NCAZ)=NM4B,AC=AM,證

明A4CW為等邊三角形，則可得出答案；

(3)延長8至M,使得DM=CB,連AM,AC,證明A43C=A40M(SAS),得出AC=AM,則

ZM=ZACB=ZACD,證明A4CDNAACE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AD=AR=AE,得出

ZDAE=2ZDBE,則可得出答案.

【解答】(1)解：①如圖1,

②如圖1,延長C3至M,使得8V/=8,連AM,

?.?ZADC+ZABC=180°,ZAW+Z4BC=180°,

:.ZADC-ZABM,

\-AD=AB,

..ACAD=AM4B(SAS),

/.ZG4D=ZAMB,AC=AM,

???ZC4D+ZC4B=90°,

/.ZA14fi+ZG4B=90°.

即ZC4M=90°,

??.AM4C為等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形；

③???AM4C為等腰直角三角形，

,-.ZACB=45°.

故答案為：45°；

(2)記明：如圖2,延長C8至M,使得8M=8,連AM,

ZAB"+N4BC=180°,

:.ZADC=ZABMf

?,'AD=AB.

:.ACAD^AMAB(SAS),

：.ZCAD=ZMAB,AC=AM,

ZC4.W=ZMAI3+ZCI3A=ZCAD+4CBA=ZZMD=60°,

/.MCM為等邊三角形，

?.CA=CM=CB+BM=CB+CD.

(3)1ZDAEIZDZ^C=180°.理山如下;

2

證明：如圖3,延長CZ)至M,使得OM=CB,連4W,AC,

則ZADM=ZABC,

XAB=AD,

A48C三A4DW(S4S),

：.AC=AM，

：.ZM=ZACB=ZACDf

乂CD=CE,CA=CAf

..AACD^AACE(SAS)，

AD=AI3=AE，

：.4DAE=2〃)BE,

???/DBE+/DBC=180。，

-/DAE+4DBC=180°.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)