專題17比例線段重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(6大題型)

言【題型目錄】

題型一比例的性質(zhì)

題型二線段的比

題型三成比例線段

題型四由平行判斷成比例的線段

題型五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值

題型六分割

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、線段的比與成比例線段

線段的比兩條線段推度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)二里位).

成比例線段

知識(shí)點(diǎn)二、比例的性質(zhì)

基本性質(zhì)

合比的性質(zhì)

等比性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)三、分割

分割

知識(shí)點(diǎn)四、相似圖形

在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).

要點(diǎn)詮釋：

相似圖形(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)

圖形是全等；

如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形.

要點(diǎn)詮釋：

相似多邊形

(1)相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).

(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.

知識(shí)點(diǎn)五、平行線分線段成比例定理

三條平前截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

幾何語(yǔ)言：

圖形：

平行于三角形一邊截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論

圖形：幾何語(yǔ)言：

41經(jīng)典例題一比例的性質(zhì)】

【答案】D

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，等比性質(zhì)，合比性質(zhì)依次判斷即可.

故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，等比性質(zhì)，合比性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

A.B.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【分析】先用從"、f分別表示出。、c、e,再代入要求的式子即可.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義.

【答案】1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性

質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【答案】20

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（2）d可取的整數(shù)有個(gè).

【答案】（D?

⑵15

故答案為：系；

Vd,b,c為非負(fù)數(shù),

???d可取的整數(shù)有15個(gè)，

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考杳了比例的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題二線段的比】

1.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，線段是相和A8的比例中項(xiàng),

下列結(jié)論中，正確的是（）

【答案】C

【分析】設(shè)A8=l,AP=x,則PB=l-x,由比例中項(xiàng)得出人產(chǎn)=尸代入解一元二次方程即可解答.

【詳解】解：設(shè)AB=1,AP=x,則PB=l—x,

?:線段Q是總和AB的比例中項(xiàng)，

：.AP2=PBAB,即/二1一x,

1=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵.

【答案】A

2|

則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為寬為jy,

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?黑龍江大慶?九年級(jí)校考開學(xué)考試)卜面四組線段中，不能成比例的是()

【答案】C

【分析】根據(jù)成比例線段的定義，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷即可.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與正確運(yùn)算.

3.(2023春?廣東河源?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試)如圖，線段04與函數(shù))，=&(A>0)的圖象交于點(diǎn)8,且48

X

=2。8,點(diǎn)。也在函數(shù)尸V(x>0)圖象上，連結(jié)AC并延長(zhǎng)AC交x軸正半軸于點(diǎn)。，且AC=3CQ,連

x

結(jié)8C,若△灰?。的面積為3,則k的值為一.

【分析】分別過(guò)點(diǎn)A,B,C作x軸的垂線，垂足分別為M,E,F.設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(a,b),由平行線分

線段成比例分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，。。的長(zhǎng)；由△BCD的面枳為3,根據(jù)等高三角形的面枳比等于對(duì)應(yīng)底的

比可得出△8。。的面積，利用的面積得出等式求解即可.

【詳解】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,B,C作x軸的垂線，垂足分別為M,E,F.

：.BE//CF//AM,

：?0B：OA=BE：AM=OE：OM=\：3,

CD：AD=DF：DM=CF：4M=1：4,

設(shè)點(diǎn)3的坐標(biāo)為（a,b）,

：.OE=a,BE=b,

:.AM=3BE=3b,OM=3OE=3a,

.\CF=^-AM=-b,

44

.八，43,、

??C（-Ch-b）?

34

/.OF--a,

3

：.EM=OM-OE=-a

3f

/.DF=^-FM=-a,

39

：.OD=OM-DF-FM=-a.

9

,??△3C。的面積為3,

:.△"C的面積=3xMCQ的面積=9,

:.國(guó)ABD的面積=12.

故答案為：竿.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線分線段成比例等知識(shí)，由△BC。的面積推導(dǎo)出

△BOD的面積，設(shè)出點(diǎn)8的坐標(biāo)，表達(dá)出△B。。的面積是解題關(guān)鍵.

4.（2023?山東濟(jì)南??？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為2的正方形48CD中，以8c為邊作等邊△BCM,連接4M

并延長(zhǎng)交CO于M則0V的長(zhǎng)為.

:△BCM是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形,

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、熟記正方形的各種性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(2)28

(2)設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h,點(diǎn)、B到CD的距離為小,

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查成比例線段、高相等的兩個(gè)三角形的面積的比等于底的比等知識(shí)，根據(jù)線段成比例

求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

4【經(jīng)典例題四由平行判斷成比例的線段】

【答案】C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能

靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

A.16,6B.18,18C.16.12D.12,16

【答案】C

工點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

???。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AB中點(diǎn),

故選:C.

B

【答案】6

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線分線段成比例定理等知識(shí),

理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.

???點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，

，點(diǎn)K是ET的中點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等

三角形的判斷和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用,平行線分線段成比例定理、三角形的面積、

勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)構(gòu)建參數(shù)解決問(wèn)題.

41經(jīng)典例題五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】

【答案】A

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【答案】B

A

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)線段比的關(guān)系求出三角形的面枳，題

中由中點(diǎn)引出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【分析】設(shè)正方形的中心為0,可證所經(jīng)過(guò)。點(diǎn).連接08,取08中點(diǎn)M,連接MA,MG,則用4,MG

為定長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：連接4c與樣相于交P,

???點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，即為正方形的中心,

???點(diǎn)。是正方形的中心,

???點(diǎn)。和點(diǎn)。重合，

???則E尸過(guò)定點(diǎn)。；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是求出AM,MG的值.

5.（2023春?江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期中）本學(xué)期我們研究了三角形的中位線的性質(zhì)，回顧研究的過(guò)程，請(qǐng)回

答以下問(wèn)題：

⑴三角形中位線定理是：_；

（3）已知梯形的中位線長(zhǎng)為7cm,高為6cm,則梯形面積是_cnf;

圖③

【答案】（1）三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半

(3)42

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理解答即可；

（3）根據(jù)梯形的中位線長(zhǎng)為7cm,得出梯形兩底和的一半等于于7cm,再根據(jù)梯形面積公式計(jì)算即可;

【詳解】（1）解：三角形中位線定理是：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

證明：連接AF并延長(zhǎng)，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.如圖，

（3）解：???梯形的中位線長(zhǎng)為7cm,

???梯形兩底和的一半等于「7cm,

圖③

【點(diǎn)睛】本題考查三角形與梯形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理.熟練掌握

三角形中位線性質(zhì)和應(yīng)用是解題的關(guān)犍.

Zj【經(jīng)典例題六分割】

【答案】A

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題查處分割點(diǎn)定義，涉及分割比求解及利用分割比求線段長(zhǎng)，讀懂題意，理解分割點(diǎn)定義得到

比例是解決問(wèn)題的關(guān)犍.

【答案】C

【詳解】解：???點(diǎn)C，。分別為線段4B的右側(cè)和左側(cè)的分割點(diǎn)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長(zhǎng)線段和較短線段，若較長(zhǎng)線段是較短線段和

整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的分割點(diǎn).

3.（2023春?山東威海?八年級(jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段A3的分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)8作A3的垂線4C,取

A4的中點(diǎn)用，以點(diǎn)。為圓心，8M為半徑畫弧交射線AC于點(diǎn)D,連接A。，再以點(diǎn)。為圓心，DB為半

徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AO交于E,F兩點(diǎn),最后，以A為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交A8于

點(diǎn)“，點(diǎn)”即為AA的其中一個(gè)分割點(diǎn)，這里的、■”指的是線段.

【答案】AF

???以A為圓心，“心”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交A8于點(diǎn)“，點(diǎn)”即為48的其中一個(gè)分割點(diǎn).

故答案為：AF.

【點(diǎn)睛】本題考查了分割，理解分割的概念找出分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課.匕老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)【操作判斷】

操作二：如圖2,將矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，得到折痕為G”，把紙片展平;

根據(jù)以上操作，直接寫出圖3中穿的值：______；

Go

(2)【問(wèn)題解決】

(3)【拓展應(yīng)用】

【答案】(1)手

故答案為：《；

???點(diǎn)M是線段瓦)的分割點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，分割等知識(shí)，靈活運(yùn)用各

性質(zhì)定理進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

B.6

C.9D.10

【答案】C

【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得.

故選;C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.

A

A

BL-----\C

A.1.8B.2.7C.3.6D.4.5

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?福建莆叫九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)校考開學(xué)考試）下列四條線段中，不能成比洌的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答

案.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大

的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷.

上

BEC

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

是AC邊上的中點(diǎn),

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

A.1.8B.2C.2.4D.2.5

【答案】B

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是掌握平

行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊

與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

【答案】7

4

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用"表示，?，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

故答案為：—.

4

【答案】2

【詳解】解；如圖所示，以Z7。為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)NL連NP,

當(dāng)P,M,V三點(diǎn)共線時(shí)，

??.E方形邊長(zhǎng)為8,

???。為AC中點(diǎn),

QN為OA中點(diǎn),

.,.0N'=CN'=2友，

AN'=6夜，

N'CM為等腰直角三角形,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的

性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)「某宜線的對(duì)稱點(diǎn).

故答案為：-y-.

【分析】利用比例列出方程解答艮］可.

【詳解】解：???點(diǎn)C為線段A8的分割點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題考查了分割點(diǎn)的應(yīng)用，正確應(yīng)用比是解答本題的關(guān)鍵.

BC

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