2026屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)

專題：10空間向量與立體幾何（全國甲卷專用）

一、選擇題

1.（2024高三上?靜安模擬）在四棱錐P-力8C7）中，

筋=（4,-2,3）,而=（-410）,?=（-6,2,-8）,則該四棱錐的高為（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2024高三上.長寧模擬）已知非零空間向量力,后和亍，則下列說法正確的是（）

A.若diB.d工不，則很IHB.若。1無則萬

c.若。_LRdim，則片底D.若/則萬1乙

3.（2024高三上.奉賢模擬）在四棱錐S-18CD中，若次而+y文+Z而，則實(shí)數(shù)組（xj,z）

可能是（）

A.（1,-IJ）B.（10,-1）C.(1,0,0)D.(h-L-1)

;而，麗=1旅，則異面直線"0與

4.（2024高三上.長春模擬）正四面體力中，AP=

所成角的正弦值為（）

A.—B.四CGn2石

3355

5.（2024高三上?雷州模擬）如圖,三棱錐0-48C中,OA=u^OB=b,灰=2,點(diǎn)V為BC

中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足麗=2兩，則麗=（）

;O

B

1一1r2一

A.B.-ci-n+-c

233233

1.2r1.

c.D.—u—b+-c

322232

6.（2024高三上?浙江模擬）邊長為1的正方體力“C。--44GA中，￡,尸分別是44中

點(diǎn)，是08靠近8的四等分點(diǎn)，〃在正方體內(nèi)部或衣面，河?（而+訴）=0,貝”而|的最

大值是（）

A.1B.—C.D.73

2

7.（2024高三下?潮陽模擬）已知平行六面體彳"67）?4"￡僅中，/1/I,-2,BD=3,

麗灰一麗；?正=4，貝iJcos麴.而:（）

22「3八3

AA.-B.---C.-D.---

3344

8.（2024?南充模擬）如圖，在直三棱柱力8C-44G中，1C，8C,/fC=BC=/14,E、F、

G、〃分別為力以叫、CCpAC的中點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.E、F、G、”四點(diǎn)共面

B.EF、G〃、力4三線共點(diǎn)

C.設(shè)BC=2,則平面截該三棱柱所得截面口周長為1+行+2、公

D.力（,與平面/尸（；〃所成角為45。

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2025?濟(jì)寧模擬）已知正方體力僅7）-48￡%的棱長為1，點(diǎn)尸在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)

動(dòng)，且滿足〃平面/CR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.RPl^DB.點(diǎn)〃的軌跡長度為真

C.線段8P長度的最小值為"D.而?南的最小值為IO'

6'3

10.（2025?寧波模擬）如圖，在平行六面體力中，/IB=2,4A=6，BC=CCI=1,

cc,1CD,ZJ/）C=120°,￡?為CO中點(diǎn)，尸在線段8C上（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的

是（)

AG

A.存在點(diǎn)尸，使得力尸〃平面/IQ?

B.存在點(diǎn)尸，使得平面力。￡1平面。i。/7

C.不存在點(diǎn)尸，使得|/邛1+|“1=而

D.不存在點(diǎn)F，使得四棱錐”-有內(nèi)切球

11.（2025?常德模擬）如圖，在棱長為2的正方體力44G2中，空間中的點(diǎn)/＞滿足

萬=而+/1而+〃麗，且4w[0,l],〃W0,l],則下列說法正確的是（）

B.若”=有,則％+2〃的最大值為亞

一

C.若2=1,則平面僅截該正方體的截面面積的最小值為石

D.若4+〃=1,則平面/ICR與平面夾角的正切值的最小值為2a

三、填空題

12.（2025?湖南模擬）如圖，在直三棱柱中，么ABC是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E在棱cq上，且CE=2EC1,若/B=2,力4=3,則點(diǎn)送到平面BDE的距離為

（i）求證：側(cè)面為矩形；

（2）求直線力或與平面Bceq所成角的正弦值.

17.（2025?江蘇模擬）如圖，三棱臺(tái)//0-48￡./1818（7］。1/?4,平面平面

ABC.AB=6,80=4,84=2"。與4c相交于點(diǎn)。，荏=2而，旦DE"平面BCQB一

（1）求三棱錐。-44卻的體積；

（2）平面力為。與平面力/?（’所成角為Q.cq與平面44。所成角為〃，求〃的值.

18.（2025?湖南模擬）在如圖所示的多面體）8。一￡血中,已知四邊形/CDE為菱形,其對角

線/。和CE相交于H點(diǎn)，G是棱6。的中點(diǎn)，EFIIAB,且=j仍.

（1）求證：R7〃平面力CZ）月；

（2）若抽，平面〃7）￡,48:44。=2,求平面18c與平面8戶。所成角的余弦值.

19.（2025?浙江模擬）如圖，在三棱錐P-dBC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，?在底面的

投影。落在線段AD上.

(1)證明：AP1BC；

(2)若BC=8,P0=4,力0=3,0。=2,V在線段上，且滿足平面4WC1平面

BMC,求直線從“與直線CP夾角的余弦值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A,C,D

10.【答案】A,B,D

11.【答案】A,B.D

12.【答案】石

13.【答案】巨

8

14.【答案】

15.【答案】（1）證明：連接4G,并延長/G與AC交于點(diǎn)上,

則點(diǎn)￡為8c的中點(diǎn),連接EP，

D

:G為△彳6。的重心,

AG2AD

??,

AE3AP

因此,

則N4GD=N/IEP,而GDI/EP,

又因?yàn)镚/5（Z平面PBC，EPu平面PBC，

:.GD//平面PBC.

（2）解：方法一：延長AG交力（'與點(diǎn)尸，連接/7）,

則點(diǎn)尸為/（'的中點(diǎn)，

是正三角形，

?,.BF工AC,

在平面7MC中，過點(diǎn)C作C7/1/D，

:平面BG01平面P/。，平面平面24。=如，

C〃u平面P力C,CH1FD,

.??（7/1平面BGD,

又因?yàn)锽Fu平面8G0，

所以（'〃LBF,

又因?yàn)榱Α?〃=。，AC,C〃u平面P/C；

???1平面PAC，

又因?yàn)锽Fu平面/HC.

.,,平面46cl平面尸4C,

如圖，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48二1，

由平面力8。1平面PJC可知，AC=PC,ZJCP=120°,

所以〃o1,g,

<一)

—fV31)—(343

貝ij,48=,0,AP-0,—-

//J//

設(shè)平面P/18的法向量為"二（HJN），

旦，尸。

22'

令y=-G，貝ij萬=（"6,3）,

乂因?yàn)槠矫鍭BD的一個(gè)法向量為歷=（0,0,1）,

所以cos欣而,

設(shè)二面角P-力8。為

則cosa=而

“一?2,sintr2

所以sina=-T=,tana=-------="

S3cosa3

所以二面角的平面角的正切值為

方法二：如圖，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4B=I，

，°卜，;，0），Ro。。）,

則"0=4+彳￡>=4+：行=(0,,1(石3石

—cosa,-,—smrz

241222

■惇X；凈標(biāo)，而

設(shè)平面"G。的法向量為方=（怎人己），

x(=0

則

cosg+U+與皿寸。

uFD=

3—3

取“=（0,Gsina,一；

旦na

則元=(0,1,0),而

22

設(shè)平面P/IC的法向量為7=(",瓦。)，

/,AC=〃=0

則7~En1Gc,

/?FP=---cosa+/>+---sina=0

22

取/=(sina,0.-cosa),

1平面BGD1平面PAC,

則。"=—cosa=0,

2

則a==,

2

:.p。工用，

則有

設(shè)平面的法向量為萬=(?QN),

由X+1y=0y

2…飛,

則

3鳥.。

-yz=~\3y

令y=_J5,則萬=。,-6.3),

又因?yàn)槠矫鍭BD的一個(gè)法向量為而=(0,0,1),

3

所以cos方.而-

設(shè)二面角P-/8-D為a，

則cosa=,

所以sin〃--^,tana=,

S3cosa3

所以二面角尸-4A-c的平面角的正切值為;.

16.【答案】(1)證明：連接力G，

因?yàn)樗倪呅?cq4為菱形，且乙4/c=i20。，

所以&4CG為正三角形，則,46=4,

又因?yàn)榱ο?力。=8(7；,

所以”L/iq,

設(shè)4cl中點(diǎn)為D,連接力。，

則AD14G,

又因?yàn)椋?C|M￡,

所以力QL4C,

又因?yàn)榈酌媲癈1側(cè)面力CC/,底面力BCc側(cè)面C04=AC,

4Qu側(cè)面，

所以4O_L底面IBC,

又因?yàn)?8u平面力8c.

所以4。1/8.

又因?yàn)锳,

/Ou平面』CG4，ic；u平面4CG4，

所以力81平面，4CG4，

又因?yàn)?4u平面力eq4,

所以力8±力4

又因?yàn)閭?cè)面為平行四邊形，

所以側(cè)面力片44為矩形.

(2)解；由(1)可知平面/CC/,

所以力"1力。，

所以力民力C,力。兩兩垂直,

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系/?冷=,

則4（-2,2&,0）,/川）"；）,（（4.0,。）＜（二26（））.

所以踵二（2.-26,3）.忑二（2;、］。）,而=（-4,0,3）

設(shè)平面BCC風(fēng)的法向量為I=（x,y,z）,

w-cq=0,

則1

n-CB=0.

-2.v+2x/3y=0,

所以

-4.v+3z=0.

令x=3,則I=4,y=\/5,

所以萬=(3.4),

設(shè)直線48與平面BCCE所成角為（）,

所以"n"=H麗訃解=品=嚕

因此，直線同。與平面所成角的正弦值為.

17.【答案】（1）解：■.?平面，4/?441平面/8C,

且平面/仍44c^ABC=AB.ABLBC.BCd平面/4(’,

歷。_1平面力/?44，

???44u平面4BBi4,BC1叫,

又因?yàn)榱1BBi，BCNC=C,BCMCu平面ABC,

二."41平面片灰‘，

連接c/,丁DE〃平面BCC\4,。￡u平面44C1,

平面力"GC平面BCC￡=CB,

DEIIC、R,

?/AE=2EB，，/D=2DC|?

4G=g/C,

三棱錐C-4A￡底面三角形Ag的面積為：

v=lx2x3=3,

2

高力=/?/?!=2,

二三棱錐的體積為：r=1s,/?=lx3x2=2.

(2)解：由題意和(1)得，

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以成，就，兩為工】??二軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(6、0、0),C(0.4,0)”(0,0,2),4(3,0,2)6(022)

則屯=(3.0,0),前二(0.4「2),忑=(0,-2,2).

設(shè)平面44c的法向量為萬=(工、］),

n-B.A.=3x=0

由《.,

R?B\C=4y-2z=0

取y=l,則萬=(0J2),

又因?yàn)槠矫?1"C的一個(gè)法向量為麗?=(0,0,2),

又因?yàn)??/幾0.：,

所以sina=S,cos/y=?

510

cos(a+ft)=cosacos/?sinrzsin/7

3廂2。廂。五

=----X---------X---=---，

1051052

又因?yàn)閍+/w(0,Jt),

所以a+“二'.

18.【答案】(1)證明：因?yàn)樗倪呅?4(7)￡為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相平分，

所以〃為力。的中點(diǎn)，

又因?yàn)镚為線段8。的中點(diǎn)，所以HG//4B,且〃G=」/8,

2

又因?yàn)镋"〃/m且所以EF//I/G且EF1/6,

2

則四邊形G〃E”為平行四邊形，F(xiàn)GEH,

乂因?yàn)樗?平面力('。￡,￡〃u平面力(0￡"，所以"G〃平面力(刀￡；

(2)解：在菱形4COE中，因?yàn)?4C=/I。，且菱形的鄰邊相等，所以△4CO和△//)￡都是正

三角形，

取2.。的中點(diǎn)為A.，連接/爪，根據(jù)正三角形三線合一的性質(zhì)，可得「伏」￡。，又因?yàn)?C〃￡0,

所以彳Kl/fC,

又因?yàn)?81平面力CDE,乂。,48匚平面力。?！?所以4814C,ABLAK>

即/8MCMK兩兩垂直,以/為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以48M&/K為Q7軸建立空間直角坐標(biāo)

系,如圖用小:

AB=JC=/1P=2,則6(2。。)，0(0,1,G),

因?yàn)獒?714C,ABLAK>ACLAK,所以平面IBC的法向量可取為汾=（（）,（）/）,

又麗=(l-2,-l-0,G-0)=(-1「l,#)，而二(0-1,l-(-1),8-G)=(-1,2,0)

_ri?B#=-x-y+百工=。

設(shè)平面8/辦的法向量為〃=(.”,z),則由一，

n?FD=-x+2Jy=0

取y=i,則x=2,”6即萬=(2J,G)，