專題07三角形中的重要模型.等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三

角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)

試題分析，方便掌握。

模型L等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖I,當(dāng)ABHCD,則△…；反之，如果S△八CLS,。，則可知直線A8//CQ。

2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點。是BC邊上的動點時，則SA4B.：SA皿=8￡）：乂。

如圖3,當(dāng)點。是8c邊上的動點，BEYAD,時，則鹿.）：§△：C凡

例匚（山東省臨沂市2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，8。是“6。邊AC的中線，點E在BC上，BE=；EC,

△A8O的面積是3,則匹的面積是（）

A.4D.3C.2D.1

例2.（河北省石家莊市2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，8。是“WC的邊AC上的中線，4E是△AB。

的邊上的中線，M是△八4E的邊AE上的中線，若△ABC的面積是32,則陰影部分的面積是（）

A.9B.12C.18D.20

例3.（湖北十堰五校聯(lián)考2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，點G為的重心,D,E,尸分別為BC,

C4,48的中點，具有性質(zhì)：AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:l.已知的面積為2,則A48C的面積為.

例4.（浙江省杭州市2025-2024學(xué)年八年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，是△A8C的一條中線,

E為BC邊上一點且BE=2CE,AE.CO相交于F,四邊形8ZX石的面積為6,則aABC的面積是.

例5.（2025春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,4。是邊8C上的中線，則S△八加MSTLISAW

理由：因為AO是“8C邊BC上的中線，所以80=8.

又因為2八必.BDxA”,SJCD=；CDXAH，所以S△械=Sfe=gSw-

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，448c的面積為

(ffl2)(圖3)

￡

⑴如圖2,延長A48C的邊BC到點，使CO=8C,連接OA.若△AC。的面積為卻，則$二（用

含”的代數(shù)式表示）；

（2）如圖3,延長“18。的邊8c到點。，延長邊C4到點E,使CD=3C,AE=CAf連接OE.若△。石。的

面積為名，則S?=（用含。的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長A8到點尸，使=連接尸。，“，得至（如圖4）.若陰影部分的面

積為S-則&=（用含。的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

⑷如圖5,點。是“8C的邊上任意一點，點E,口分別是線段AO,CE的中點，且△入8c的面積為8。，

則Z\5所的面積為_（用含〃的代數(shù)式表示），并寫出理由.

例6.（2025春?上海?九年級期中）解答下列各題

⑴如圖1,已知直線〃?〃〃，點A、3在直線〃上，點C、“在直線，"上，當(dāng)點尸在直線胴上移動時，總有

______與AABC的面積相等.

⑵解答下題.①如圖2,在△ABC中，已知8c=6,且3c邊上的高為5,若過。作CE〃4連接AE、

BE,則ABAE的面積為.

②如圖3,A、3、￡三點在同一直線上，即7J_AC,垂足為〃.若AC=4,BH=際，NABC=乙4cB=60。，

ZG=ZG^F=60°,求△4b的面積.

（3）如圖4,在四邊形A4CO中，工3與CD不平行，AB/C。，且S^8c<S》e，過點A畫一條直線平分四

邊形48co的面積（簡單說明理曰）.

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則

四邊形的面枳關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

蝴蝶定理：任意四邊形中的比例關(guān)系

如圖1，結(jié)論：①S1：Sz=S4：S3或S|XS3=S2XS4；②AO:OC=（S]+S2）]S4+S3）。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例關(guān)系

如圖2,結(jié)論：①耳氏:片：從；②5：與：52：54=。2：從：出,:岫；③梯形S的對應(yīng)份數(shù)為（67+〃）二

例1.在四邊形4BC。中，AC和8?；ハ啻怪辈⑾嘟挥凇｜c，四個小三角形的面積如圖所示.則陰影部分

三角形BC0的面積為.

例2、如圖，SAACB=24平方厘米，&ACD=16平方厘米，54加=25平方厘米，則SAG加為平方厘米。

例3、如下圖，梯形A8CD的A5平行于8,對角線AC,BD交于O,已知△AO3與△8OC的面積分別

為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形A4C。的面積是平方厘米.

例4、如圖，梯形八比7）中，AAOB、ACa）的面積分別為1.2加2.7,則梯形AHCQ的面積為

例5、梯形ABC。中，對角線AC,BD交于點O,AB垂直AC,并且已知40=6厘米，BO=10厘米，則三

角形。。。的面積是.,平方厘米。

例6、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積己經(jīng)標(biāo)出，則中間的四邊形GQ”S的面積為.

模型3.燕尾（定理）模型

條件：如圖，在AAAC中，E分別是8c上的點，G在AE上一點，結(jié)論：Si：S2=S3：S4=Si+&：S2+S4=BE

:EC。

例I、如圖，ZkABC中，M、N分別是8C、AC邊上的三等分點，AM.8N相交于點0,已知△B0M的面

枳為2,則四邊形MCNO的面積為o

例2.（2025?山東?八年級專題練習(xí)）如圖，在0ABe中，已知點P、Q分別在邊AC、BC上，BP與AQ相交

于點O,若（3B0Q、團(tuán)ABO、0APO的面積分別為1、2、3,則同PQC的面積為（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

例3.如下圖，三角形A8C中，"/B=8Z）:DC=CE:AE=3:2,且三角形G”/的面積是1,則三角形ABC

的面積為.

C

例4.（2025江蘇淮安九年級月考）已知dAC的面積是60,請完成下列問題：

⑴如圖1,若人。是AABC的BC邊上的中線，則△M￡>的面積/CD的面積.（填。"“<〃”=〃）

⑵如圖2,若CD、跳:分別是“BC的A3、AC邊上的中線，求四邊形AOOE的面積可以用如下方法，連

==

接4。，由AD=Z）B得：S&4no=5皿J,同理：SaCEQ=SJEO,設(shè)Sgs,=X,y>則^t.AEOy

I1f2x+y=30

由題意得：54Sf=-S^c=30,5ADC=-5^C=30,可列方程組為：解得，則可得

四邊形AOOE的面積為.⑶如圖3,A￡）:￡>3=1:3,CE:4E=1:2,則四邊形AZX正的面積為.（4）

如圖4,D,尸是A8的三等分點，E,G是C4的三等分點，CD與跖交于O,且S△布=60,則四邊形ADOX

的面積為

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

共角三角形：兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。

如圖，在AAHC中，RE分別是A氏AC上的點（如圖1）或。在胡的延長線上，E在4c上[如圖2）,則

SaABC：S△八DE=（A8xAC）:（AOx人石）

例I、如圖，在三角形/1AC中，I）、石是人8,4。上得點，且人。：A8=2:5,AE：AC=4：7,三角形人。石的

面積是16平方厘米，則人的面積為o

例2.（2025?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解

如果兩個三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等

于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比，

SArtFAD-AE

例：在圖1中，點。，E分別在八5和AC上，ZkAOE和△/WC是共角三角形，則4口”

'jBC,月C

證明：分別過點E,C作EGM8于點G,C限48于點F,得到圖2,

FGAF

0（?L4GE=[MFC,又國4=M,00GAE00MC,0—=—

CFAC

s—AD?EG

又..VAQE_2S；、DE二AD.EG二/空=AO/E

SfBcLABCFS?BCAB?CFABACS?BCABAC

2

S&ADE_AZ?'AE

任務(wù)：⑴如圖3,已知貼AC+BD4E=180。，請你參照材料的證明方法，求證:

S4ABeABAC

S^&DE;1A.

（2）在（1）的條件下，若W，AB=9,則A氏

S&i8c6AC

例3.（2025?重慶?九年級專題練習(xí)）問題提出：如圖1,。、E分別在0A8C的邊A8、AC上，連接OE,已

知線段AD=mDB=b,AE=c,EC=d,則SMOE,SM8C和a,b,c,d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

圖6圖7

問胭解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律.如圖2,若DE^BC,

則且姐=酎，所以如IDELABC,可得比例式：一7二—;而根據(jù)相似三角形面枳之比等于相

CI+Dc+a

似比的平方.可得沁=1%.根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：

SJQE_a2_aa_ac_ac

Sa，：(ci+b'fa+ha+ba-bc+d(a+b)(c+d)'

(2)如圖3,若明?！?囹。，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由.

Sac

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：產(chǎn)=方法回顧：

兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個三角形的底成高具有一定的關(guān)系時，也可以

?-BDAH血

解決.如圖4,。在幽BC的邊上，做AWBC于H,可得：沁=?--------=/.借用這個結(jié)論，請你

3以上DCAHDC

2

解決最初的問題.

延伸探究：(1)如圖5,D、E分別在財8c的邊48、AC反向延長線上，連接。E,已知線段AO=mAB

s

=b,AE=c,AC=d,則.(2)如圖6,E1在的邊AC上，。在AB反向延長線上，連

s

接。E,已知線段AO=〃，AB=b,AE=c,AC=d,薩些=_____.

XABC

結(jié)論應(yīng)用：如圖7,在平行四邊形A8CD中，G是8c邊上的中點，延長GA到E,連接。E交BA的延長線

于凡若A8=5,AG=4,AE=2,的面積為30,則34石尸的面積是

模型5.金字塔與沙漏模型

條件：①絲=絲=匹=絲：②53注：5小.=4尸：462。

ABACBCAG"

例1.(2025秋?遼寧沈陽?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，已知點。、E分別是48、4c邊上的點，且

△NDESZ^BC,面積比為1:9,AG上BC交DE于點、F.則AF:AG=()

A

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

例2.（2025?福建龍巖?九年級校考階段練習(xí)）如圖，“8C中，DE//BC,跖與相交于點尸.如果

DF;FC=\:3,那么，做0.等于（）

例3.（2025?江蘇?模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C。是網(wǎng)格線交點，4C與相交

于點O,則的面積與△80的面積的比為（）

A.1；2B.y/2;2C.1：4D.夜：4

例4.（2025春?北京海淀?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，48被截成

三等分，EH//BC,若圖中陰影部分的面積是6,則四邊形8CG尸的面積為（）

A

H

A.8B.9C.10D.11

例5.（2025?遼寧?九年級校考期中）如圖，旗為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點夕處與地面跖的距離為1.6

米，車頭FACD可近似看成一個矩形，且滿3FD=2B4,盲區(qū)￡8的長度是6米,車寬FA的長度為米.

例6.（2025?四川成都?九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，中，點尸Q分別在ABAC上，且〃Q〃8C,

PMJ.BC于點、M,QN_LBC于點MAD/BC于點、D,交PQ于點、E,且A。:HC=2:3,連接M2,若A/WC

的面積等于75,則MQ的最小值為.

例7.（2025秋?河南鄭州?九年級?？计谥校┤鐖D，矩形EFGH內(nèi)接于^BC（矩形各頂點在三角形邊上），

E,r在8c上，H,G分別在A8,AC上，且于點。，交"7于點N.

⑴求證：若AD=3,BC=9,設(shè)七"=x,則當(dāng)x取何值時，矩形EFG”的面積最大？

最大面積是多少？

課后專項訓(xùn)練

2

1.（2025山西八年級期末）如圖在“48C中，。、E分別是邊8。、AO的中點.CF=；EF,S^BC=l2cm,

則圖中陰影部分的面積為（）

BD

A.2cnrB.4cmC.6cm2D.8cm

2.（2025?江蘇揚(yáng)州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形

面積的15%,黃色三角形面積是21平方厘米，則矩形面積為平方厘米.

3.12025安徽蕪湖八年級期中）如圖，在“8。中，D,E,少分別是8GAD,CE的中點，且S.c=8cn?,

貝US陽影".

4.〔浙江省杭州202S-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，是的一條中線，E為BC

邊上一點且8￡=2CE,AE.CO相交于尸，四邊形8DFE的面積為6,則“8c的面積是.

5.（廣東省寶安區(qū)文匯學(xué)校2025-2025學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，的面積為40cm?,

DE=2AE,CD=3BD,則四邊形血圮尸的面積等于cm2.

6.如圖，在AABCU」，已知M、％分別在邊AC、8C上，與4V相交于O,若A4OM、/SABO和MON

的面積分別是3、2>1,則可WZVC的面積是

8.四邊形ABCZ）的對角線AC與6。交于點0（如圖所示）。如果三角形的面積等于三角形BCD的面積

的1,且AO=2,DO=3,那么CO的長度是。。的長度的倍。

3

9.如圖，ZVIBC三邊的中線A。，BE,的公共點為G,且AG：GD=2：I,若S06C=12,則圖中陰影

部分的面積是

10.如圖，三角形A8C的面積是1,E是AC的中點，點。在8C上，且4。與交于點尸.則

四邊形DFEC的面積等于

11、如圖所示，在△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么△ABC的面積是△GHI面積的幾倍？

D

B

12、如圖，S△八cs=48平方厘米，S△八e=32平方厘米，S△八加=45平方厘米，則cos為多少平方厘米？

13、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么中間的四邊形GQ”S的面積是多

少？

14如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCQ,被對角線4C、8。分成四個部分，△4。8面積為I平方千米,

△8OC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成,

求人工湖的面積是多少平方千米？

15.（2025春?北京西城?七年級?？计谥校╅喿x與理解：

三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1,AO是AA8C中8c邊上的中線，則

S,VW）=^MCD=QS.M8c.

理由：，；BD=CD，=-BDxAH=-CDxAH=SMC/,=-,

即：等底同高的三角形面積相等.

操作與探索：在如圖2至圖4中，AA8C的面積為

⑴如圖2,延長AA5c的邊8c到點。，使CQ=2C,連接D4.若A4CO的面積為，，則$=

（用含。的代數(shù)式表示）：

（2）如圖3,延長AA8C的邊8C到點。，延長邊C4到點E,使CO=8C,AE=CA,連接OE.若ADEC的

面積為邑，則§2=（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由;

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長A3到點F,使連接FO,FE,得到AD律（如圖4）.若陰影部分的面

積為邑，則邑=：（用含。的代數(shù)式表示）

拓展與應(yīng)用：⑷如圖5,已知四邊形A8CO的面積是“，E、F、G、”分別是AB、BC、CD、D4的中

點，連接FH,EG交于點。，求圖中陰影部分的面積？

圖5

16.（2025秋?陜西西安?七年級西安益新中學(xué)校考期中）探索：在圖1至圖3中，已知的面積為

⑴如圖1,延長"BC的邊5C到點。，使CO=8C,連接D4.若△AC。的面積為S，則S產(chǎn).（用含。

的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,延長“8C的邊8c到點Q,延長邊C4到點E,使CO=8C,AE=CA,連接DE,若△DEC的

面積為S?,則S?=.（用含”的代數(shù)式表示）

⑶在圖2的基礎(chǔ)上延長到點尸，使BF=AB,連接產(chǎn)。，F(xiàn)E,得到△￡）/方（如圖）若陰影部分的面積為

$3,則邑=.（用含〃的代數(shù)式表示）

⑷發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△。律（如圖3）,比時，我們稱

△ABC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的江）所的面積是原來面積的倍.

⑸應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地二栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計：首先在aABC的空地上種

紅花，然后將8c向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）.在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次

擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花.如果種紅花的區(qū)域（即“WC的面積是10平方米，請你運用

上述結(jié)論求出：①種紫花的區(qū)域的面積；②種藍(lán)花的區(qū)域的面積.

17.（2025?河南鄭州?校考二模）小明發(fā)現(xiàn)，若一個三角形中，中線的存在會和三角形的面積有一定的關(guān)系.

如圖1,AABC中，C。為A8邊的中線，可得4）=3。，過點C作OV_L4?于M,則S》0c=

-2ADCM=-2BDCM=S△^/JAI）KC.

AMDNB

圖1圖2

在撲續(xù)研究中，小明發(fā)現(xiàn)，這個研究可以運用到很多問題解決中，請你常助小明完成下列任務(wù):

⑴如圖2,矩形A8CO中，點N分別為。力，上的動點，且0M=AN,4W與。N交于點E.連

接CE.①判斷與的面積關(guān)系；②若4￡>=3,A8=4,當(dāng)點”為C。的中點時，求四邊形8CEN

的面積；（2）“\8C中，ZA=30°,48=6,點。為A8的中點，連接C。，將△ACO沿C。折直，點A的對

應(yīng)點為點八若△瓦力與“8。重合部分的面積為“BC面積的!，直接寫出△A8C的面積.

4

18.（2025秋?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖1,點C將線段A4分成兩部分，如果空=g，那么稱點C為

ABAC

線段A8的黃金分割點.

某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線〃的定義：直線

邑，如果今=%那么稱直線/為該圖形

/將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為5,

的黃金分割線.

圖3圖4

（1）研究小組猜想：在△43。中，若點。為A4邊上的黃金分割點（如圖2）,則直線CZ）是“8C的黃金

分割線.你認(rèn)為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點。任作一條直線交AB于點E,再過點。作直線。8/CE,交AC

于點F，連接E/（如圖3）,則直線E/也是“IBC的黃金分割線.請你說明理由.

（4）如圖4,點E是YA88的邊A8的黃金分割點，過點E作樣〃A。，交DC干點、F,顯然直線E廠是

Y/1BCD的黃金分割線.請你畫一條YAAC。的黃金分割線，使它不經(jīng)過YAAC。各邊黃金分割點.

19.（2025春?江蘇南京?七年級?？茧A段練習(xí)）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗】三侑形的中線，角平分線，高是三角形的重要

線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點.

⑴①如圖1，"8C中，ZA=90",則“8C的三條高所在直線交于點:

②如圖2,△A8C中，4AC>90。,已知兩條高跳:、AD,請彌僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩

點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出“8C的第三條高.（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【綜合應(yīng)用】⑵如圖3,在“8C中，ZABONC,AO平分/R4C,過點8作8E_LAQ于點E.

①若乙$C=80。，NC=30。，則/￡?￡>=；②請寫出NEBD與/ABC,NC之間的數(shù)量關(guān)系,并

說明理由.

【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積

比等于對應(yīng)底邊的比.如圖4,中，例是8C上一點，則有；：黑葬;；二等.如圖5,小4%;中，

M是BC上一點,且N是AC的中點，若的面積是加，請直接寫出四邊形CMDN的面

積—.（用含加的代數(shù)式表示）

20.（2025春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】

蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1,A。是的中線，與△A8O的面積有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？

小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高根據(jù)中線的定義可知80=8.又因為高人￡相同，所以5,八皿二5...。,

于是比=2S&g.據(jù)此可得結(jié)論；二角形的一條中線平分該二角形的面積.

【深入探究】（1）如圖2,點。在“5。的邊8c上，點P在人。上.

①）AD是￡>ABC的中線，求證：S&APB-5&4收；（2）若BD=3DC，則S^APB:S&i尸《=

【拓展延伸】（2）如圖3,分別延長四邊形A8CO的各邊，使得點A、B、C、。分別為DH、AE.BF、

CG的中點，依次連結(jié)石、F、G、”得四邊形EFG”.

①求證：S4HliG+S&FBE~2s四邊形ARCD；②若Spq成形人雨/）=?則S網(wǎng)邊形.〃=

21.（2025秋?廣西柳州?八年級校考開學(xué)考試）閱讀下面資料?：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,對面積為a的團(tuán)ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長AB、BC、CA至Ai、Bl、

Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,順次連接4、Bi、Ci,得到ElAjBiCi,記其面積為S1,求Si的值.

據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以Ss8c=SMG=SAMc=SACj=2SaABC=2a,由此繼續(xù)推理，從而

解決了這個問題.（1）直接寫出S『（用含字母a的式子表示）.

請參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決卜.列問題:

（2）如圖3,P為團(tuán)ABC內(nèi)一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F,則把（3ABC

分戌六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求gBC的面積.

（3）如圖4,若點P為團(tuán)ABC的邊AB上的中線CF的中點，求SMPE與SABPF的比值.

22.（2025?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）⑴如圖1,助8c中，。是BC邊上一點，則MB。與財。C有一個相同的

SRD

高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比，記為1"==;（姐以）、MOC的面積分別用SA人B。、SMDC表

\ADC

示）.現(xiàn)有BD=gBC,則SMBQ：5AADC=_；

（2）如圖2,0A5C4SE、尸分別是5C、AC邊上一點，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE與6尸相交

于點G、現(xiàn)作尸交AC于點，、依次求FH：HC、AG：GE、BG：G廠的值；

⑶如圖3,0ABC中，點P在邊4B上，點M、N在邊AC上，且有4P=PB,AM=MN=NC,BM、BNgCP

分別相交于點R、Q,現(xiàn)已知0ABe的面積為1,求團(tuán)BRQ的面積.

23.（2025?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖,一知正方形。EFG的邊斯在財8c的邊BC上，頂點QG分別

在邊A8/C上力砸8c于”.8C=：15dH=10.求正方形OEFG的邊長和面積.

24.（2025?廣東九年級?？颊n時練習(xí)）已知：如圖，E、M是48邊的三等分點，口詞MM3BC求：＞AEF

的面積:四邊形EMNF的面積:四邊形MBCN的面積.

25.（2025,河南信陽?九年級統(tǒng)考期末）將一副直角三角板按右弱疊放.

（1）證明：財。803。0。；（2）求團(tuán)404與團(tuán)。0c的面積之比.

B

專題07三角形中的重要模型.等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三

角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)

試題分析，方便掌握。

模型L等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖I,當(dāng)ABHCD,則△…；反之，如果S△八CLS,。，則可知直線A8//CQ。

2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點。是BC邊上的動點時，則SA4B.：SA皿=8￡）：乂。

如圖3,當(dāng)點。是8c邊上的動點，BEYAD,時，則鹿.）：§△：C凡

例匚（山東省臨沂市2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，8。是“6。邊AC的中線，點E在BC上，BE=；EC,

△A8O的面積是3,則匹的面積是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，由此利用己知條件可以分別求出

S*DDC、SABED?

【詳解】解：團(tuán)3。是△ABC邊AC的中線，△A5。的面積是3,05wx.==3,

回BE=—EC,0SjfFj）~TSMe=1，故選：D.

【點睛】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半；三角形的中線將三角形分

成面積相等的兩部分.

例2.（河北省石家莊市2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，80是&48C的邊AC上的中線，A石是△ABO

的邊8。上的中線，所是“BE的邊AE上的中線，若△A8C的面積是32,則陰影部分的面積是（）

【答案】B

【分析】利用中線等分三角形的面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團(tuán)3。是△ABC的邊AC上的中線，05=5ASCD=15i4fiC=1x32=16,

國AE是4ABD的邊30上的中線，團(tuán)S"八昭=S.ADE=1邑八即=；x16=8,

又包打.是ziABE的邊AE上的中線，則C77是AACE的邊4石上的中線，

SSS58

團(tuán)S,BEF=S冰BF=TS.ABE=1X8=4,S《EF=&ACF=&ADE=SCED=-^C￡=,

+

則$陰影=\BEFSKEF=4+8=12,故選：B.

【點睛】本題考杳了中線的性質(zhì)，清晰明確三角形之間的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.

例3.（湖北十堰五校聯(lián)考2025-2024學(xué)年八年級月考）如圖，點G為“8。的重心，。，E,尸分別為8C,

。，A8的中點，具有性質(zhì)：AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:T.已知“FG的面積為2,則A48C的面積為.

【答案】12

【分析】根據(jù)高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比可得答案.

【詳解】解：???CG:G"=2:1,4ARG的面積為2,

.-.△ACG的面積為4,AACF的面積為2+4=6,

??,點”為A4的中點，AACE的面積=ABCF的面積，

「.△ABC的面積為6+6=12,故答案為：12.

【點睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積等知識，熟練掌握高相等的兩個三角形的面積之比

等于底之比是解題的關(guān)鍵.

例4.（浙江省杭州市2025-2024學(xué)年八年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，C。是△A/JC的一條中線,

E為BC邊上一點且BE=2CE,AE、CD相交于凡四邊形8。石的面積為6,則△口（?的面積是.

【分析】連接設(shè)S.皿.=/則切.=6-〃,根據(jù)8為AB邊上中線,可得3w=S皿

1112

S&HDC=2SJBC;根據(jù)BE=2CE,“［得S=CEF=/S.戶=5（6-。），S^ABE=—8c?進(jìn)而,^C,ABC的1加積"I表

示為2sA皿,和|s.A8E，由此建立方程18-〃=：4+9,解出Q的值即可得到AABC的面積.

【詳解】解：連接8/，如圖所示：設(shè)%??=〃,則%“=6-〃，

團(tuán)CD為AB）.：i卜中線,?二SJDF=S^BDF=a,S^HI）C

回BE=2CE,S&CEF=5S述￡尸二5（6—a）,S&ABt:--3S

「電機(jī)=25皿=2伍+（6-。）。+；（6一。）］=18一。,

333

2.=5$#8￡=5（2〃+6-。）=-?+9,

3

即|8-a=24+9.解得：a=3.6./.=18-a=18-3.6=14.4故答案為:14.4.

【點睛】本題考查了三角形面積的計算，關(guān)鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面

積比為底之比來表示出三角形面積，進(jìn)而使用方程思想解決問題.

例5.（2025春,江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,AZ）是“8C邊上的中線，則以人即=5".。=會.改一

理由：因為人。是“8C邊8C上的中線，所以80=8.

又因為￡八Q=：5。><4，,S^ACI）=^-CDXAH,所以S△八初=$58=Js.w

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：

在如圖2至圖4中，的面積為a.

（ffll）（圖2）（圖3）

（圖4）（圖5）

⑴如圖2,延長△"（?的邊改?到點。，使CD=BC,連接D4.若“18的面積為，，貝嶼=（用

含。的代數(shù)式表示）：

（2）如圖3,延長△ABC的邊3c到點。，延長邊C4到點E,使CD=8C,AE=CA,連接OE.若△力EC的

面積為Sz,則邑=（用含〃的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長AA到點憶使3/=A3,連接產(chǎn)O,FE,得到必￡尸（如圖4）.若陰影部分的面

積為S3,則其=（用含。的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

⑷如圖5,點。是的邊8c上任意一點，點￡,〃分別是線段A。，CE的中點，且“18C的面積為8a,

則ABM的面積為_（用含〃的代數(shù)式表示），并寫出理由.

【答案】（1）。（2）2〃（3）6。（4）2處見解析

【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等“即可.得出答案;

（2）連接40.運用“等底同高的三角形面積相等"得出SAE°=2SM8C，即可得解;

+

（3）由（2）結(jié)論即可得出邑=S^ECD+^H￡FASABFD,從而得■解；

可得

（4）點E是線段A。的中點，S&ABE=S.E，^ACE=S^E.S,BCE=gg點/是線段CE的中點,

可得2詆=，8e=；S.E?從而可得答案?

【詳解】（1）解：如圖2,?.?延長AABC的邊到點。，使CD=8C,

4c為AABD的中線，.，.SSCD=S小BC即「二〃；

（2）如圖3,連接AO,

(3)[I](2)得SAECD=2s必BC=為，

$.入=、即卜笫=科

同理：2sA48c=2aS.CD=S2a,5,=S^ECD+Sm+S^FD=6a

（4）S△詆=2a,理由如下：理由：回點E是線段A。的中點，

=

回S^ABES/DE，S&RCE=SdDCE??$,必芯=~SjBC.

團(tuán)點尸是線段CE的中點，團(tuán)%/=2呼=3%歸田S&8?=；S/"c=2a.

【點睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)，等底同肩的三角形面積相等，靈活運用這個結(jié)論并

適當(dāng)添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

例6.（2025春?上海?九年級期中）解答下列各題

⑴如圖1,已知直線〃，〃"，點A、3在直線〃上，點C、尸在直線加上，當(dāng)點尸在直線機(jī)上移動時，總有

與小48C的面積相等.

⑵解答下題.①如圖2,在中，已知8c=6,且BC邊上的高為5,若過C作CE〃A8,連接AE、

8E,貝L3AE的面積為.

②如圖3,A、4、E三點在同一直線上，8,J.人C,垂足為〃.若AC=4,BH=際，NABC=乙4a=60。，

ZG=ZG^F=60°,求△AO'的面積.

⑶如圖4,在四邊形4BCO中，工8與。。不平行，ABHCD,且S△樞〈S4e，過點A畫一條直線平分四

邊形A8CO的面積（簡單說明理由）.

【答案】⑴△八〃「⑵①15；②2后⑶圖見解析，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)w/加，可得AABC和AABP同底等高，即可求解；

（2）①先求出S&8c=15,再由CE〃A5,可得財8c和皿達(dá)￡是同底等高的兩個三角形，即可求解；

②先求出SMBC=2V2T,再由Z4BC=ZACB=60°,ZG=NGBF=60。，可得AWF,從而得到%〃=,

即可求解；（3）過點8作8國4。交。C延長線于點匕連接4E,取OE的中點F,作直線4F,則直線4尸

即為所求，可得心取.=,從而得到四邊形即，即可求解.

5M￡CSA8CO=SgcD+SNBC=SSCD+SMEC=Sg

【詳解】（1）解：回〃?//〃，團(tuán)AAEC和/MBP同底等高，則與△相△的面積相等；

（2）解：①團(tuán)8c=6,且3c邊上的高為5,0^flC=1x6x5=15,

團(tuán)CE:〃A3,鮑48。和團(tuán)8AE是同底等高的兩個三角形，05^.==15;

②目3〃_LAC,AC=4,8”=及T，叫…卜乂歷=2萬，

0Z4BC=ZACB=6O°,ZG=ZGBF=60°,

0ZABC=ZACB=ZBAC=60°,ZG=Z.GBF=ZBFG=60°,

^EBG=12Q°,^EBF=60°,E0EBF=0BAC,0AC0BF,團(tuán)S4-V/lv*F*=SIA.MU3C=2向；

（3）解：如圖，過點B作8E0AC交。C延長線于點匕連接AE,取。石的中點兒作直線A尸，則直線

A尸即為所求，理由如下：

團(tuán)8fMC,幽48c和MEC的公共邊AC上的高也相等，

用SsBC=S^EC，團(tuán)S四邊形A%/）=^AACD+^\ABC=^AACD+^SAEC=^AAED，

團(tuán)S因邊mABCF=Sgt*=-SMED=-形ABC。，團(tuán),^MCD>^^ABC，

團(tuán)所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F,則直線AF即為要求作的四邊形A8CD的面積等分線.

【點睛】本題主耍考查了平行的性質(zhì)，熟練掌握兩平行線間的距離處處相等，并利用類比思恁解答是解題

的關(guān)鍵.

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則

四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系：另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線論比例關(guān)系。

蝴蝶定理：任意四邊形中的比例關(guān)系

如圖I,結(jié)論：①S：Si=S,:$或$產(chǎn)$3=$2乂$_；?AO:OC=（S,+S,）:（S4

梯形蝴蝶定理：梯形中比例關(guān)系

如圖2,結(jié)論：①$母=。2：/九②'雙：邑㈤=力:/:曲:曲；③梯形S的對應(yīng)份數(shù)為（。+4。

例1.在四邊形A4CO中，4C和3?；ハ啻怪辈⑾嘟挥?。點，四個小三角形的面積如圖所示.則陰影部分

三角形BCO的面積為.

A

【答案】45

【詳解】設(shè)陰影部分面積為工。

根據(jù)蝴蝶（風(fēng)箏）定理：SSyS/SSD

即：2U：x=lb：36解得：X=45

估陰影部分的面積為45.

例2、如圖，&.8=24平方厘米，&ACD=16平方厘米，SA八刖=25平方厘米，則SACOB為平方厘米。

【答案】9平方厘米

【解析】在四邊形A8CO中，根據(jù)蝴蝶（風(fēng)箏）模型得：DO：BO=SAACD：S=C8=16：24=2：3,

33

則5AAOB=5SAABQ=5X25=15（平方厘米），則SACOB=SAACLS_08=24—15=9（平方厘米）

例3、如下圖，梯形ABCD的平行于CD,對角線AC,BD交于O,已知zMOB與△