§2.11函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

【課標(biāo)要求】1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系2理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用3了解用二分法

求方程的近似解.

??落實(shí)主干知識??

1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對于一般函數(shù)y=/(1)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)歹二4丫)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程爾尸0有實(shí)數(shù)解o函數(shù)歹=")有o函數(shù)歹=/W的圖象與有公共點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)〉=/(、)在區(qū)間口切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有,那么，函數(shù)y=/W

在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c《(a,b),使得,這個(gè)。也就是方程/(x)=0的

解.

2.二分法

對于在區(qū)間［明句上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù))，=火")，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)

間，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二

分法.

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉?”或“X”)

⑴函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()

⑵連續(xù)函數(shù)戶外)在區(qū)間(處與內(nèi)有零點(diǎn)，則/⑷/(〃)<().()

(3)連續(xù)函數(shù))，=/(x)滿足/S)/S)>0,則/(x)在區(qū)間(a,8)上沒有零點(diǎn).()

(4)求函數(shù)零點(diǎn)的近似值都可以用二分法.()

2.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，則不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是()

AB

3.函數(shù)外)=Inx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.&1)B.(l,2)

C.(2,e)D.(2,3)

4設(shè)危)=H-2x|,則函數(shù)嚴(yán)及r)-2024的所有零點(diǎn)之和為.

口微點(diǎn)提醒

1.謹(jǐn)記三個(gè)相關(guān)性質(zhì)

⑴若連續(xù)不斷的函數(shù)4丫)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則｛x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而

是方程火外;0的實(shí)數(shù)解.

(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號.

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

2.謹(jǐn)防兩個(gè)易錯(cuò)易混

⑴若連續(xù)函數(shù)小)在區(qū)間⑷切上滿足則/(x)在區(qū)間(。，8)上至少有一^零點(diǎn)，反之不一定.

(2)已知二次函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)時(shí)，不要忽略對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.

?■探究核心題型?一

題型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

例1⑴(2025?南昌統(tǒng)考)已知函數(shù)/(x)=lnx+x?j則/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

AQ1B.(l,2)

C.(2,e)D.(e,3)

⑵在用二分法求方程/=3的正實(shí)數(shù)根的近似值（精確度為0.001）時(shí)，若我們選取的初始區(qū)間是［1.7,

1.8］,為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是.

思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

⑴利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=/（x）在區(qū)間口，上的圖象是否連續(xù)；再看是否有

若有，則函數(shù)y=./（丫）在區(qū)間（〃，3）內(nèi)必有零點(diǎn)

⑵數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間二是否有交點(diǎn)來判斷.

跟蹤訓(xùn)練1⑴函數(shù)危）二￡-2?1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.(0,I)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

⑵用二分法求函數(shù)於）=u'-x-2的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù):

4戶-0.28,H1.5戶0.98,川.25）=0.24,川.125戶?0.04,關(guān)于下一步的說法正確的是（）

A.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值

B.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值

C.沒有達(dá)到精確度的要求,應(yīng)該接著計(jì)算/（1.1875）

D.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算/（1.0625）

題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

x2-l,x<0,

例2⑴函數(shù)段）二°?八的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

x—2+Inx,x>0

A.5B.4

C.3D.2

⑵（2025?綿陽模擬涪定義在R上的函數(shù)4v）滿足外+2）=外）,且當(dāng)1］時(shí)，加）:1?爐，已知

函數(shù)g（x）=鷹？::°,則函數(shù)力⑶=4丫）-g（x）在區(qū)間［-6,6］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.14B.13

C.12D.11

思維升華求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

D.(-8,-6]U[3,+8)

%2+2x—3x<0

一'"h(x)=Av)-k,則下列說法正確的是()

(-2+lnx,x>0,

A.函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)

B.當(dāng)力(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，左仁(?4,-3]

C.當(dāng)口?2時(shí),的所有零點(diǎn)之和為-1

D.當(dāng)小(?8,?4)時(shí)，〃(x)有1個(gè)零點(diǎn)

■微拓展■---------------------------------------------------------------------------------------------

嵌套函數(shù)的零點(diǎn)

對于嵌套函數(shù)產(chǎn)/出⑶)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,求解思路如下：

(1M角定內(nèi)層函數(shù)〃=g3和外層函數(shù)產(chǎn)A〃)；

(2州角定外層函數(shù)月?的零點(diǎn)片為(i=l,2,3,…，〃)；

⑶確定直線"2,3,7)與內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為41,4/2,。3,…，an,則函數(shù)

>=/(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為四+6+6+…+斯.

1+In%,x>0z

9則函數(shù)蛉)=/如))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

(x2+4x+3,x<0,

A.4B.5C.6D.7

———4%—2%<0

⑵(多選)(2025?亳州模擬)已知函數(shù)佃='~'若函數(shù)十)=3[/(x)F-(〃?+3)/(x)+加有5個(gè)不同的

|hix|,x>0,

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，〃的值可能是()

A.-5B.-6C.-7D.-8

答案精折

落實(shí)主干知識

L(lMx)=O(2)零點(diǎn)x軸

(3次〃晰0(%b),/(c)=0

2J(初⑹<0一分為二零點(diǎn)

自主診斷

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.C［根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/(幻的圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，若在區(qū)間［明切上滿足

.仙)廈)<0,則函數(shù)人)在區(qū)間Q加上存在零點(diǎn)；根據(jù)二分法概念可知，C選項(xiàng)中的圖象在零點(diǎn)附近不滿足

他)能)<0,所以C選項(xiàng)不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值.］

3.B4。=皿工1的定義域?yàn)?0,+8),

又y=lnx與y=-紙(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以.)=lnx-紙(0,+8)上單調(diào)遞增，

又川)=-1<0,./(2)=ln2-'0,

所以風(fēng)次2)<0,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)火K)=lnx--的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(1,2).］

4.2

解析由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)、/U)二片-2x|的圖象如圖所示，

根據(jù)圖象可知y=/(x)?2024共有2個(gè)零點(diǎn)，且2個(gè)零點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱,

所以零點(diǎn)之和為2.

探究核心題型

例1(DB［顯然函數(shù)小)=lnx+x-|ffi(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(l)=ln1+1-2=-1<OZ

/(2)=ln2+2-1=ln2+l>0,

所以如M2)〈0,

所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).］

(2)7

解析設(shè)至少需要計(jì)算〃次，則〃滿足號<0.001,即2〃>100,由于26:64,27=128,故要達(dá)到精確度

要求至少需要計(jì)算7次.

1

跟蹤訓(xùn)練1(l)B［函數(shù)危)二位-2-x-1的定義域?yàn)椋?,+8),

函數(shù)”/在［0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=2-x在［0,+8)上單調(diào)遞減，

所以心)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

由川)=1_g_］=?1<0,火2)=a-i-1=V2-1.25>0,

所以函數(shù)A)二襲?2r?1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).］

(2)C［由二分法的定義,可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，(I,1.5)-(lf1.25)-(1.125,1.25),因?yàn)閨1.125

-1.25|=0,125>0,1,故沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算/，二+L2)=875)的值.］

例2(1)D［當(dāng)x<0時(shí)，x2-1=0,解得-1；

當(dāng)x>0時(shí)，./W=x-2+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增,并且用)=1-2+lnl=-1<0,

,/(2)=2-2+ln2=ln2>0,

即大1)/(2)<0,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)/U)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2J

⑵B［因?yàn)槲?2)=網(wǎng),

所以貢x)是周期為2的周期函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)、口-1,1］時(shí)，

y(x)=i-x2,則片/(x),

個(gè)幽=｛腎喜的圖象如圖，

IO9AA\J

當(dāng)xWO時(shí),g(x)￡(O,1］且單調(diào)遞增，當(dāng)04<1時(shí)，

鼠x)￡(0,+8)且單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)W(O,+8)且單調(diào)遞增，

又/(-6)=/(0)=l>g(?6),

/(l)=g⑴=0,

7(6)=A0)=l>g(6),

HO)=m0)=1,

函數(shù)％(x)=/W-g)在區(qū)間［-6,6］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)尸危)與)，二g)的圖象在［-6,6］內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，

y

4-ST~-IqI"~3~-56i

由圖知，函數(shù)力。)在區(qū)間［-6,6］內(nèi)的零點(diǎn)共有13個(gè)J

r

跟蹤訓(xùn)練2(1)C［函數(shù)加)=3|log2x|-1的零點(diǎn)，

即3*ogix|-1=0的解,

即|10g2X|=G)的解，

即尸|log2x|與y=Q)圖象的交點(diǎn)，如圖所示，

從函數(shù)圖象可知，尸Ilog刈與尸有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)仆)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.］

(2)6

解析令36-/20,

解得?6&W6,

所以共丫)的定義域?yàn)椋?6,6］.

令/(x)=0得36-f二o或cosx=0r

由36-r=0得工=±6,

由cosx=0彳導(dǎo)工=三+而，kGZ,

又［］所以的取值為或

x￡-6,6,x乙4乙乙T乙-

故/⑴共有6個(gè)零點(diǎn).

例3D[^h(x)=j(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x^(-1,1),

原題意等價(jià)于〃(l)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)榱?-X)=4(-%)2+a-1-cos(-x)

=ax2+a-\-cosx=h(x),

則Kx)為偶函數(shù),

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知/心)的零點(diǎn)只能為0,

即〃(0)="2=0,解得。=2.]

例4(1,8)

解析令7U)=3、-三竺=o,

可得。=3、-j

令g(x)=3*-；其中XW(1,2),

由于存在3任(1,2),使得人祀)=0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍即為函數(shù)虱x)在(1,2)上的值域.

由于函數(shù)？二33y二-紙區(qū)間(1,2)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)烈x)在(1,2)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)榕?)=1,虱2)=8,

所以函數(shù)鼠x)在(1,2)上的值域?yàn)?1,8).

因此實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,8).

跟蹤訓(xùn)練3(1)A[)，=10或丫+3)在(?1,1)上單調(diào)遞增，尸以+〃是增函數(shù)，所以/)在(?1,1)上單調(diào)

遞增.

因?yàn)樾?在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn),

/(-1)=1-4+a<0,

所以

/(l)=2+4+a>0,

解得-6<a<3.]

(2)BD[函數(shù)/U)

X2+2X-3,X<0,

=<

—2+lnx,x>0,

結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作函數(shù)/