專題17全等與相似模型.對角互補模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補模型

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進行旋

轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-(180°-2a)對角互補模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

條件：如圖，已知NAO8=NOCE=90°,平分NAOB.

2

結(jié)論：?CD=CE,②OD+OE=?OC,?S.=Scol+S.,=-OC.

(OJLKK.EL匕CO2

2

結(jié)論：?CD=CE,(S)OE-OD=yf2OC,?Srt)h-S((tn=-OC.

3)“等邊三角形對120模型”(1)

條件：如圖，已知/AO8=2NOCE=120°,0c平分NAOB.

2

結(jié)論：①CD=CE,②OQ+OE=OC，@SCOI)+Scol..=—0C>

4)“等邊三角形對120。模型”(2)

條件：如圖，已知NAO8=2NOCE=120°,OC平分NAO3,NQCE的一邊與的延長線交于點。,

結(jié)論：①CD=CE,②OD—OE=OC,③SS（加=B（）C?,

△U"AvCzC4

5）“120。等腰二角形對60。模型”

條件：44灰;是等腰三角形，且N84G120。，N8PC=60。。結(jié)論：①P8+PC二班以；

6）“2a對180。?2〃模型”

條件：四邊形A8c。中，AP=BP,^A+ZB=\S0°結(jié)論：OP三分NAO8

注意：?AP=BP,②N4+N8=180。，③OP平分/AOB,以上三個條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對角互補模型”

例I.（2025?黑龍江黑河.八年級期中）放ZkABC中，AB=AC,點。為8c中點.NMDN=90。,NMDN繞點

D旋轉(zhuǎn)，DM、ON分別與邊AB、AC交于七、F兩點.下列結(jié)論：①（BE+CF尸今BC,②S^EF&；SMBC，

③S四邊形AEDF=AO-E凡④ADNEF其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

例2.（2025遼寧九年級期末模擬）已知0AOB=9O。，在E1A0B的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直

角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,OB（或它們的反向延長線）相交于點D.E.

當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖①），易證：0D+0E=V50C：

當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

例3.（2025秋?四川綿陽?九年級校聯(lián)考階段練習）已知NAC￡M）0。，AC=DC,MN是過點A的直線，過

點、D作DB上MN于點B,連接C8.⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖⑴，過點。作CE_LC8,與MN交于點、E，BD、AB.

CB之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明.（2）拓展探究：當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖⑵位置時，BD、AB.CB

之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明.

例4.（2025四川宜賓八年級期末）如圖1,ZAOB=90OC平分NAO8,以C為頂點作/。。石=90,

交。4于點。，08于點E.（1）求證：CD=CE；（2）圖1中，若OC=3,求OD+OE的長;

(3)如圖2,NAOB=120\OC平分ZAOB,以C為頂點作ZDCE=60°,交04于點O,。8于點E.若OC=3,

求四邊形OECO的面積.

例5.（2025湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知0AO3=12O。，在財03的平分線0M上有一點C,將一個

60。角的頂點與點。重合，它的兩條邊分別與直線。A、。8相交于點。、E.

（1）當團OCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CO與0A垂直時（如圖1）,請猜想OE+O。與0c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當（2OCE繞點C旋轉(zhuǎn)到C。與。4不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）當團。。石繞點C旋轉(zhuǎn)到C。與04的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明：

若不成立，線段0。、0E與0。之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

例6.（2025?山東?九年級專題練習）如圖，MBC是邊長為4的等邊三角形,點D是線段BC的中點，回EDF=120。,

把恥DF繞點D旋轉(zhuǎn)，使團EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F.（1）當DF0AC時，求證：BE=CF；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由

例7.（2025山東省棗莊市一模）如圖，已知40/3=60。，在的角平分線。例上有一點C,將一個120。

角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與射線QAOK相交于點RE.

（1）如圖1,當/拉CE繞點C旋轉(zhuǎn)到。。與OA垂直時，請猜想OD+OE與OC的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；

（2）當NOCE繞點C旋轉(zhuǎn)到8與。4不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3,當NZX石繞點。旋轉(zhuǎn)到點。位于04的反向延長線上時，求線段與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

例8.（2025?浙江金華??？既＃┤鐖D，點P為定角M08的平分線上的一個定點，且團MPN與朋。8互補，

若RMPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與0408相交于M、N兩點，則以卜.結(jié)論：（1）PM=PN恒

成立；（2）0M-0N的值不變；（3）因0MN的周長不變；（4）四邊形PM0/V的面積不變，其中正確的序號

為?

模型2.對角互補模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向

兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.

【常見模型及結(jié)論】

1）對角互補相似1

條件：如圖，在心△43C中，NC=NEO〃=90。，點。是AB的中點,

輔助線：過點。作OO_LAC,垂足為。，過點。作。H_LBC,垂足為”,

心、、小八八l公OEBC/m一OEODBHBC

結(jié)激：QJAODE-^LOHF\4!=（思路提小：-==x）.

OFACOFOHOHAC

2）對角互補相似2

條件：如圖，已知N4OB=NQCE=90。，ZBOC=a.

CG、

結(jié)論：①4ECG*DCF；②CE=CD-iana.（思路提示：—,CF=OG,在RsCOG中,tana=---）

CDCFOG

輔助線：作法2：如圖2,過點C作。ELOC,交0B于B

CFCF

結(jié)論：?△COD；②CE=CDs〃a.（思路提示：——=——=tana,在心aOC尸中,皿a=紅）

CDCOOC

3）對角互補相似3

條件：已知如圖，四邊形A6CO中，ZB+ZD-180%

輔助線：過點Q作垂足為E,過點Q作/垂足為凡

結(jié)論：①4DAE?ADCF；②ABC。四點共圓。

例1.（2025?成都市?九年級期中）如圖所示，在Rtd8C中，ZABC=90。,A3=3,4C=4,在R^MPN中,

NMFN=90。，點尸在4c上，PM交八B于點E,PN交BC于點、F.當PE=2什時，AP的值為（）.

A.1B.2C.3D.4

例2.（2025?河南南陽?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在等腰直角“8。中，ZACB=90°,AC=BC,過點C

作射線CF〃/V7,。為射線b上一點，E在邊〃。上（不與aC重合）且ND4ZT_45。，AC與DE交于點

O.（1）求證：AADC?AAEB；（2）求證：AADE—ACB；：3）如果CD=CE,求證：CD2=CO.CA.

例3.（2025?廣西河池?校聯(lián)考一模）綜合與實踐【問題情境】在RtZSABC中，ZZ?AC=90°,AB=3,AC=4,

在直角三角板或）F中，/EDF=90。,將三角板的宜角頂點。放在RtZSABC斜邊8C的中點處，并將三角

板繞點O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊?！?。尸分別與邊A4,AC交于點M,N.

【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當M為邊A3的中點時，試判斷四邊形/U/QN的形狀，并說

明理由.【問題解決】如圖2,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當N8=NMD3時，求線段CN的長.

例4.（2025年江西省南昌市月考）如圖，兩個全等的四邊形ABCO和0rgC,其中四邊形CW夕C的頂點

。位于四邊形ABCQ的對角線交點0.

⑴如圖1，若四邊形48co和OA6C都是正方形，則下列說法正確的有.（填序號）

①?！辎谥丿B部分的面積始終等于四邊形A3co的!；③BE+BF=^DB.

42

（2）應(yīng)用提升:如圖2,若四邊形A8CO和Q4EC都是矩形，4）=凡。。=〃，寫出。七與o尸之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

⑶類比拓展:如圖3,若四邊形A8CD和。TQC都是菱形，NDAB=a,判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立；

如不成立，請寫出你認為正確的結(jié)論（可用a表示），并選取你所寫結(jié)論中的一個說明理由.

例5.（2025.遼寧中考模擬）如圖，在?△A8C中，AC=BC,0ACB=9O。，點0在線段AB上：點O不與點

A,3重合），且08=左。4,點M是AC延長線上的一點，作射線0M,將射線QW繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。,

交射線C8于點N.（1）如圖1,當左=1時，判斷線段0M與0N的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2.當2>1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含〃的式子表示），并證明：C）點尸在射

線BC上，若團8ON=15。，PN=kAM（^1）,且要（立二1,請直接寫出發(fā)的值（用含人的式子表示）.

AC21C

圖1圖2備用圖

例6.（2025浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1,已知在mA4BC中，05AC=9O°,AB=AC,取8C邊

上中點。，連接AD，點E為A8邊上一點，連接。E,作。地QE交AC于點品求證：BE=AF；

（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2,已知在RhABC中，13BAC=9O。，AB=AC=3,取BC邊上中點D,連接AD,點

E為84延長線上一點，AE=1,連接DE,作。交AC延長線于點尸，求4E的長；

（3）類比遷移：如圖3,已知在△八8C中，^BAC=120°,人B=AC=4,取"C邊上中點，連接八。，點E

為射線BA上一點（不與點A、點8重合），連接。E,將射線DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。交射線CA于點F,

當AE=4A/時，求4尸的長.

課后專項訓練

1.（2025?江蘇?八年級校聯(lián)考期末i如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上,

且OA=OB,點C在第一象限，0C=3,連接BC,AC,若回BCA=90。，貝UBC+AC的值為.

2.（2025.廣東九年級期中）如圖，△A8C為等邊三角形，以A8為邊向外作△A8。，使404=120。，再以

點C為旋轉(zhuǎn)中心把久加）旋轉(zhuǎn)到VC4E,則給出下列結(jié)論：①。，A,七三點共線；②0c平分N8D4；③

ZE=ZBAC；?DC=DB+DA.其中正確的有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2025?山西臨汾?統(tǒng)考二模）在菱形ABC/）中，ABC=6（）,AC=6,對角線AC,BD交于點0,E,“分

別是A8A。邊上的點，且NECF=60,BE=2,CF與B/）交于點G,則段的值為.

H

4.12025青島版九年級月考)如圖，在心“8C中，ZACB=90.乙48c=30,直角NMON的頂點。在A8

nAi()p

上，OM、ON分別交。、CB于點P、Q,NMCW繞點。任意旋轉(zhuǎn).當?shù)?；時，中的值為.

OB2

IOP

當而二時’詼為.(用含〃的式子表示)

5.(2025?西城區(qū)校級期中)己知，如圖，在四邊形/WCO中，BC>BA,NA+NC=18()°,DE±BC,BD

平分NABC,試說明AQ=QC.

6.(2025?阜新中考模擬)如圖，在△ABC中，NB4C=90°,AB=AC,AD1BC于點D.

(1)如圖1,點瓦尸在4B,AC上，且NEZW=90°.求證：BE=AF；

(2)點M,N分別在直線人D,4c上，且NBMN=90°.

①如圖2,當點M在4。的延長線上時，求證：AB+AN=&AM；

②當點M在點4,。之間，且4MN=30°時，已知AB=2,直接寫出線段AM的長.

7、(2025.重慶九年級期中)已知：如圖，在等邊西4。中，點。是4C的中點，^DOE=120°t(3QOK繞著

點。旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點。，與AC相交于點￡.

⑴若OD,?！甓荚?c的上方，如圖1,求證：OD=OE.(2)在圖1中，BQ,CE與8C的數(shù)量關(guān)系是.

⑶若點。在A8的延長線上，點E在線段AC上，如圖2,直接寫出8Q,CE與8C的數(shù)量關(guān)系是.

OC平分NAOB.

（II如圖1,與“AQ4的兩邊分別相交于點E,44。"—ROCK—90。，試判斷線段CD與CE的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.以下是小宇同學給出如下正確的解法：解：CD=CE.

理由如下：如圖1,過點C作BJ_OC,交0B于點F,則NOC『=90。，...

請根據(jù)小宇同學的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

⑵你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程.（3）若44。/?=120",ZDC￡=60°.

①如圖3,NOCE與N4O8的兩邊分別相交于點。、E時，⑴中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段O。、OE、

OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由.②如圖4,NDCE的一邊與AO的延長線相交時，請回答⑴中的結(jié)論是

否成立，并請直接寫出線段O。、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5,NDCE的?邊與BO的延長線相交

時，請回答⑴中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE.OC有什么數(shù)量關(guān)系.

9.（2025?湖北武漢?八年級?？计谀┮阎谒倪呅蜛8C。中，N4BC+/4DC=180°,AB=BC.

⑴如圖1.連接8。，若N8AO=900,求證：AD=CD.

（21如圖2,點P,Q分別在線段ADQC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：NPBQ=ZABP+NQBC；

⑶若點。在。。的延長線上，點P在D4的延長線上，如圖3所示，仍然滿足R2=AP+CQ,請寫出NPB。

與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程.

10.（2025?山東青島?八年級統(tǒng)考期中）［問題］如圖①，點。是NA3C的角平分線8P上一點，連接40,CD,

若與/C互補，則線段AO與CO有什么數(shù)量關(guān)系？

［探究］探究一：如圖②，若NA=90。，則NC=180°—NA=90",即CD1BC,又因為8。平分

ZABC,所以A0=CD,理由是：.

探究二：若NAW90。，請借助圖①，探究A。與C。的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

［結(jié)論］點。是NA8C的角平分線上一點，連接40,CD,若—A與NC互補，則線段A。與CD的數(shù)量

關(guān)系是?

［拓展］已知：如圖③，在“BC中，AB=AC,ZA=100°,BO平分/ABC.求證：BC=AD+BD.

陽①rec圖③

11.（2025?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）問題提出

（1）如圖1,四邊形A8C。中，A13=AD,與/。互補，8c=26=20,點八至lj8c邊口勺距離為17,

求四邊形48C0的面積.

問題解決（2）某公園計劃修建主題活動區(qū)域，如圖2所示，BA=BC=60m,N8=60°,CD//A13,在8C

上找一點E,修建兩個不同的三角形活動區(qū)域，M8E區(qū)域為體育健身活動區(qū)域，配CD為文藝活動表演區(qū)域，

根據(jù)規(guī)劃要求，ED=EA,ZAED=art設(shè)式的長為x（m）,回ECD的面積為）'⑺），求丁與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，井求出即CD面積的最大值.

AA

12.（2025山東中考模擬）如圖，矩形/WCQ中，（MCB=30o,將一塊直角三角板的直角頂點尸放在兩對角

線AC,8。的交點處，以點尸為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AH,3c所在的

直線相交，交點分別為巴F.（1）當2由叢出詞8。時，如圖L則器的值為；

（2）現(xiàn)將三角板繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)a（00<?<60°）角，如圖3求器的值；（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)

PE

旋轉(zhuǎn)，當6（TVaV90。，口使4P：PC=lz2忖，如圖3,"的俏是否變化？訐明你的結(jié)論.

PF

13.（2025秋?河南鶴壁?九年級統(tǒng)考期末）已知在中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4,。為BC邊

上的一點.過點。作射線OE_LOF，分別交邊4B、AC于點E、F.

DF

（1）當。為8c的中點，且DEJ.AB、。尸/AC時，如圖1,—=_______：

DF

（2）若。為8c的中點，將/瓦加繞點。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，生=_______；

Dr

14.（2025?浙江臺州?九年級?？茧A段練習）【問題情境】如圖①，在RCA8C中，NAC8=90。，AC=BC,

點。為AA中點，連結(jié)CD,點E為CA的延長線上一點，過點E且垂直于。石的宣線交AC的延長線于點尸.

易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系.

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在RlzMBC中，NACB=90。，AC=BC,點。為AB中點，連結(jié)C。，點七為C8的

延長線上一點，過點E且垂直于。石的直線交AC的延長線于點F.【問題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請說明

理由.【類比遷移】如圖③，在等邊AAHC中，A4=4,點Q是A8中點，點E是射線AC上一點（不與點A、

C重合），將射線OE繞點D逆時升旋轉(zhuǎn)60。交BC于點尸.當Cr=2C￡時，CE=.

15.（2025廣東中考模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形〃

（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探究；如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，團DABWABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P,

連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）應(yīng)用拓展;如圖2,在Rt回A3c與RtHABD中，0C=0D=9O%BC=BD=3,AB=5,將Rt回ABD繞著點A順時

針旋轉(zhuǎn)角a（0°〈團aV?BAC）得到Rt^ABD（如圖3）,當凸四邊形ADBC為等鄰角四邊形時，求出它的面

積.

16.（2025年成都市中考模擬）（1）如圖，心aABC中，財=90。，AB=AC,D為BC中點,E、Z7分別為

AB、AC上的動點，且回ED廣=90°.求證：DE=DF；（2）如圖2,心AABC中，回BAC=90°,4c=4,AB=

3,AD^BC,^EDF=90°.①求證：DF?DA=DB?DE；②求E尸的最小值.

A

17.（2025浙江省紹興市九年級期中）如圖，在RSABC中，配AC=90。，AB=6,AC=8,點D為邊BC的中點,

點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且回PDQ=90。.

（1）當DPMB時，求CQ的長；（2）當BP=2,求CQ的長.

18.（2025?湖北?九年級專題練習）如圖，四邊形A8CO是矩形，點。是對角線AC上一動點（不與A、C重

合），連接依，過點。作「E_LP8,交DC于點E,已知AO=3,AC=5.設(shè)AP的長為工

PFPF

(1).4/?=:當x=l時，求,的值；（2）試探究：,是否是定值?若是，請求出這個值；若不是,

請說明理由；（3）當△PCE是等腰三角形時，請求出”的值.

19.（2025秋?山西忻州?九年級?？计谀┚C合與實踐

問題情境：在學習了三角形的相似后，同學們開始了對不同三角形中的相似模型的探究.

猜想推理：（1）如圖1,在等邊△A8C中，。為8c邊上一點,E為AC邊上一點，ZADE=60°MB=6,8/）=2,

則CE=.問題解決：（2）如圖2,d8C是等邊三角形，。是8c的中點，射線OE,。尸分別交

AC于點E,F,且NEC中=120。，求證：DE=DF.（3）如圖3,ABAC=90°,AB=6,AC=8,。是BC

DF

的中點，射線DE,DF分別交AB,AC于點E,F,且NEDF=900,求工;的值.

AA

20.（2025廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,正方形A8CO的對角線相交于點O,在正方形A'UC'O

繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，邊40與邊8C交于點M,邊CO與邊CO交于點N.證明：QMCqAOND：

（2）【類比遷移】如圖2,矩形ABCO的對角線相交于點。，且A46,AD=\2.在矩形A&CO繞點。旋

轉(zhuǎn)的過程中，邊NO與邊BC交于點M,邊CO與邊CD交于點N.若DN=1,求CM的長；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,四邊形A8C。和四邊形A'8'C'O都是平行四邊形，且NA'OC=NA￡）C,AB=3,

BC=3舊,△8CO是直角三角形.在oA'8'CO繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，邊AO與邊8C交于點M,邊CO與

邊C。交于點N.當YABCO與oA&C'O重疊部分的面積是YA3CO的面積的!時，請直接寫出。N的長.

專題17全等與相似模型.對角互補模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就對角互補模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補模型

對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進行旋

轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見的對角互補模型含90。-90。對角互補模型、120。-60。對角互補模型、2a-(180°-2a)對角互補模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

條件：如圖，已知NAO8=NOCE=90°,平分NAOB.

2

結(jié)論：?CD=CE,②OD+OE=?OC,?S.=Scol+S.,=-OC.

(OJLKK.EL匕CO2

2

結(jié)論：?CD=CE,(S)OE-OD=yf2OC,?Srt)h-S((tn=-OC.

3)“等邊三角形對120模型”(1)

條件：如圖，已知/AO8=2NOCE=120。，0c平分NAOB.

③―.邛°C?.

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,

4）“等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知NAO8=2NOCE=120°,OC平分NAO3,NQCE的一邊與的延長線交于點。,

結(jié)論：①CD=CE,②OD—OE=OC,③SS（加=B（）C?,

△U"AvCzC4

5）“120。等腰二角形對60。模型”

條件：44灰;是等腰三角形，且N84G120。，NBPC=60°.結(jié)論：①P8+PC二班以；

6）“2a對180。?2〃模型”

條件：四邊形A8c。中，AP=BP,ZA+ZB=180°結(jié)論：OP三分NAO8

注意：?AP=BP,②N4+N8=180。，③00平分/AOB,以上三個條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對角互補模型”

條件：AP=BP,^AOB=ZAPB結(jié)論：0尸平分N40B的外角。

例I.（2025?黑龍江黑河.八年級期中）放ZkABC中，AB=AC,點。為8c中點.ZMDN=90°,NMDN繞點

D旋轉(zhuǎn)，DM、ON分別與邊AB、AC交于七、F兩點.下列結(jié)論：①（BE+CF尸今BC,②S^EF&；SMBC，

③S四邊形AEDF=ADE凡④ADZE尸其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】解:13Rt[3ABe中，AB=AC.點D為BC中點.HMDN=90%

0AD=DC,0EAD=0C=45°,0EDA=0MDN-0ADN=9O0-0ADN=0FDC.

00EDA00FDC(ASA).0AE=CF.0BE+CF=BE+AE=AB.

在Rt0ABe中，根據(jù)勾股定理，得AB=9^BC.0{BE+CF)=—BC.團結(jié)論①正確.

22

設(shè)AB=AC=a,AE=b,則AF=BE=a-b.

22

0SiAEF-|sAABC=|AEAF-l.lABAC=1b(a-b)-la=-1(a-2b)<O.

三SMBC.團結(jié)論②正確?

如圖，過點E作日0AD于點I,過點F作FG0AD于點G,過點F作FHOBC于點H,ADEF相交于點0.

回四邊形GDHF是矩形，團A日和0AGF是等腰直角三角形，

13EO2EI(EF團AD時取等于)=FH=GD,OF>GH(EF團AD時取等于)=AG.

0EF=EO+OF>GD+AG=AD.團結(jié)論④錯誤.

3/A

BDRC

00EDA00FDC,E1S四邊形底口尸=5仙0c=\ADDC=；AD2WAD，WAD?EF.回結(jié)論③錯誤.

綜上所述，結(jié)論①②正確.故選C.

例2.（2025遼寧九年級期末模擬）已知回AOB=90。，在回AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直

角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,OB（或它們的反向延長線）相交于點D,E.

當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖①），易證：OD+3E=&OC：

當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】圖②中OD+OE=0OC成立一證明見解析：圖③不成有數(shù)晟關(guān)系：OE-OD=V2OC

【分析】當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，易得團CKDE0CHE,進而可得出證明；判斷出結(jié)果，解

此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價關(guān)系，進而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論.

【詳解】解：圖②中OD+OE=6OC成立.

證明：過點C分別作OA,OB的垂線，垂足分別為P,Q

----------葉圖3

WECPD00CQE,團DP=EQ,mOP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

X（?OP+OQ=V2OC,BPOD+DP+OE-EQ=V2OC,0OD+OE=72OC.

圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE-OD=&OC過點C分別作CKQ1OA,CH0OB,

（3OC為（3AOB的角平分線，且CKI3OA,CH0OB,0CK=CH,0CKD=[?CHE=9OO,

又Q3KCD與同HCE都為旋轉(zhuǎn)角，I30KCD=0HCE,

00CKD00CHE,0DK=EH,0OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=V2OC,0OD,OE,0C滿足OE-OD=VJOC.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，

兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心.

例3.（2025秋?四川綿陽?九年級校聯(lián)考階段練習）已知乙4390。，AC=DC.MN是過點A的直線，過

點D作DBLMN于點3,連接C6.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1），過點。作CE_LC8,與MN交于點、E,BD、A3、C8之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并

給予證明.（2）拓展探究：當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、C8之間滿足怎樣的數(shù)最關(guān)系？

請寫出你的猜想，并給予證明.

【答案】（1）BD+AB=&CB；證明見解析（2）BO—A8=&CB；證明見解析

【分析】（1）過點C作C￡：J_CB,得到/8CZ）=/ACE,判斷HkACE且確定為等腰直角三角

形即可得出結(jié)論；（2）過點。作CEJ_C4于點C,判斷出△ACEg.OCB,確定△￡：（?為等腰直角三角形，即

可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,過點C作CE工CB交MN于點E,

VZACE=90°N88=900-NAC8,:./ACE=NBCD,

?;DB1MN,..在四邊形AC￡>8中，ZBAC+ZACD+ZABD^ZD=360°,.?.N8AC+/O=180°,

?.?/C4￡+/84C=180。，團/C4E=/O,vAC=DC,:^ACE'DCB,.\AE=DB,CE=CB,

?.?/EC6=90。，.?.△ECB是等腰直角三角形，.?./￡=&C8,

BE=AE+AB=DB+AB,EBD+AB=V2CB：

(2)BD-AB=OCB；理由：如圖2,過點C作CE上CB交MN于點、E,

/ACE=90°+NACB,NBCD=90。+NACB,:.NACE=NBCD,

?;DBLMN,:.ZCAE=900-ZAFB,NO=90。一NCTT),

?：NAFB=NCFD,：.ZCAE=xD,vAC=DC,:AACE^DCB,:.AE=DB,CE=CB,

?.?/EC8=90。，.hECB是等腰直角三角形，."七二加C8,

:.BE=AE-AB=DB-AB,^BD-AB=41CB：

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角

形是解題的美鍵.

例4.(2025四川宜賓八年級期末)如圖1,ZA()B=90，OC平分N408,以C為頂點作/DC石=90，

交OA于點。，05于點E.(1)求證：CD=CE；(2)圖1中，若OC=3,求OO+OE的長；

(3)如圖2,N498=120'，OC平分NAO8,以C為頂點作/OCE=60°，交04于點。，OB于點E.若。。=3,

求四邊形OECO的面積.

【分析】(1)過點C作CGI30A于G,CH團OB于H,然后根據(jù)題意利用AA5定理進行證明E1CDG團I3CEH,從而

求解；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OQ+OE=2O”，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；

(3)過點C作CG0OA^GXH0OB于H,然后根據(jù)題意利用AAS定理進行證明(3CDG團團CEH,從而求得S四邊形優(yōu)⑺

=^^^=25^,然后利用含30。的直角三角形性質(zhì)求得OH=,，CH=迪從而求得三角形面積，使問題得

22

到解決.

【詳解】解：(1)如圖，過點C作CG130A于G,CH團OB于H,

0ZAOB=90\Z.DCE=9000CDO+0CEO=18O0

團團CDG+0CDO=180amicDG=0CEO

ZCDG=/CEO

在KDG與團CEH中ZCGD=ZC/7E33CDG00CEH(/1AS)KCZ)=CE

CG=CH

⑵巾(1)得由CDG(313CEH[3DG=HE

由題易得團OCG與團。C〃是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

^OD+OE=OD+C)H+HE=OG+OH=2OHOH=CH=x,在R/SOCH中，由勾股定理，得:

OH2+CH2=OC2^X2+X2=320X=—(^ft)0OH=—0OD+OE=2OH=3拒

22

(3)如圖，過點C作CGI3OA于G,CHmOB于H,

團OC平分NAOB3CG=CH回ZAOB=120°,4DCE=60"00CDO+0CEO=18013

回國CDG+團CDO=180誕CDG=ECEO

ZCDG-/CEO

在KDG與(3CEH中Z.CGD=ZCHE00CDG0(2CEH(A4S)團DG=HE

CG=CH

由題易得團OCG與團OCH是全等的直角三角形，且OG=OH

四邊形

團。D+。E=。D+0H+HE=。G+。H=20H曰S四邊形oEa）=SOHCG=2SA0CG

在Rt0OCH4,,W0COH=6O°,OC=3,130H=：,CH=地團=%回5四邊形。后皿=2SA℃G=^

2224

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30。直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問題，

學握相關(guān)知識點靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.

例5.（2025湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知0AOB=12O。，在蜘。8的平分線OM上有一點C,將一個

60。角的頂點與點。重合，它的兩條邊分別與直線0A、。8相交于點。、E.

（1）當（3OCE繞點C旋轉(zhuǎn)到C。與OA垂直時（如圖1）,請猜想OE+O。與0c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當團。CE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與Q4不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由;

(3)當團OCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與0A的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明;

若不成立，線段。。、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

【答案】(1)詳見解析；(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為。七-

OD=OC,證明詳見解析.

【分析】⑴根據(jù)OM是a4O8的憑平分線，可得財08=60。，則團。C￡=30。，再根據(jù)30。所對直角邊是斜邊的

一半，得出同理：OE=g()C,即可得出結(jié)論；(2)同⑴的方法得到0aoG=OC,再根據(jù)A4S證

明WdlDF=EG,則0/=0。+。/=OO+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出結(jié)論.(3)

同(2)的方法得到。尺:EG,根據(jù)等量代換可得OE-OD=OC.

【詳解】⑴團0M是0AO8的角平分線，的40008OC=；MOB=60。，

團CD0OA,團團。。。=90°,亞OC￡>=30°,盟0C氏團。CE-團。。。=30°,

在RtaOCO中，0D=0C,同理：OE=^-OC,^OD+OE=OC,

22

⑵⑴中結(jié)論仍然成立，理由：過點。作C碓。4于凡CG0OB于G,如圖，

物。r。=回OGC=90°,團財03=120°,00FCG=6O°,

同(1)的方法得，0F=；0C,0G=^0C,MF+0G=0C,

回C電。A,CG^OB,且點。是團408的平分線OM上一點，0CF=CG,

^DCE=60°,0FCG=6O°,團團。CFM3ECG,00CFD00CGE,國DF=EG,

⑦OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,?OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE,(30Q+0E=0C；

⑶⑴中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE-OO=OC,

理由：過點C作CK3O4于尸，CG0OB于G,如圖，

回回。/C=l3OGC=90°,團財08=120°,團團bCG=60°,

同（1）的方法得，OI'=-OC,OG=-OC,^OF+OG=OC,

22

0CH3OA,CG^OB,