專題12全等模型.角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,OC為NAO3的角平分線、C4_LQ4于點4時，過點C作C4_LO8.

結(jié)論：CA=CB.\OAC^\OBC.

圖1圖2

常見模型1（直角三角形型）

條件：如圖2,在A4BC中，ZC=90°,AO為NC48的角平分線，過點。作。七_(dá)LA8.

結(jié)論：DC=DE、ADACg（當(dāng)AABC是等腰直角三角形時，還有A8=AC+CQ.）

圖3

常見模型2（鄰等對補型）

條件：如圖3,0。是NCOB的角平分線，AC=BC,過點。作CO_LOA、CELOB.

結(jié)論：①ZB3+Z46=180°；②AD=BE；@OA=OB+2AD.

例1.（2025?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AO平分/SAC,DE148若AC=2,。石=1,則5*°=

例2.（2025?山東泰安?中考真題）如圖，8c的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NA8C的平分線8P交于點

P,若/8PC=40。，貝IJNC4P=()

C.50°D.60°

例3.（2025?廣東中山?八年級校聯(lián)考期中）如圖，“18。中，NA8C、/E4C的角平分線42、”交于點

R延長PMJ.BE,/W_L8P',則①C9平分/Ab；②/A3C+2NAPC=180°；③NAa=2/AP3；

5曠,記=S/WAP+SANCP.上述結(jié)論中正確的是（）

A.①②B,①③C.②③④D.①②③④

例4.（2025秋?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形4BOC中，ND=ZABD=90。，點O為BD的中點,

旦。4平分/B4C.（1）求證：OC平分/ACO；（2）求證：⑶求證：AB+CD=AC.

例5.（2025?河北?九年級專題練之）已知OP平分財03,團。CE的頂點C在射線OP上，射線。。交射線

OA于點F,射線CE交射線OB于點G.（1）如圖1,若CD0O4,CE2OB,請直接寫出線段CF與CG的數(shù)

量美系；（2）如圖2,若（MO3=120。，0DCE=a4OC,試判斷線段。尸與CC的數(shù)量美系，并說明理由.

AA

C

D\/FV/\

°5。/oGTB

E'E

圖1圖2

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,。。為NAO8的角平分線，AB1.OC,

結(jié)論：AAOC^/\BOC,AQAB是等腰三角形、0C是三線合一等。

條件：如圖2,班:為NA8C的角平分線，BE1EC,延長BA,CE交于點E

結(jié)論：ABEC咨ABEF,ABAC是等腰三角形、BE是三線合一等。

例1.（2025?山東淄博?校考二模）如圖，點。在A/WC內(nèi)部，BD平分/A8C,且人力連接CO.若

△BCD的面積為2,則SBC的面積為

例2.（2025秋?湖北黃岡?八年級校考期中）如圖，△48C中，4。是/84C的角平分線,

CDLAD,AC-AB=5；若S△叱的最大值為30,則8c長為—.

nB

條件：如圖，OC為NAO8的角平分線，A為任怠一點，在05上截取08=04,連結(jié)CB.

結(jié)論：△OACgAOBC,CB=CA.

條件：如圖，6E,C￡分別為N/WC和N5CE的角平分線，A3,/8,在3cl.截取8/=/W,連結(jié)EE

結(jié)論：ABAE^BFE,kCDEm&CFE,AB+CD=BC.

例1.（2025秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）在財8C中，A。為胡8c的角平分線，點E是直線8C上的動點.

（1）如圖1,當(dāng)點E在C8的延長線上時，連接AE,若13E=48。，AE=AD=DC,則財8C的度數(shù)為.

（2）如圖2,AOA8,點P在線段A。延長線上，比較AC+8P與A8+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

（3）連接AE,若回D4E=90。，（3BAC=24。，且滿足4B+4C=EC,請求出0AC8的度數(shù)（要求：畫圖，寫思

路，求出度數(shù)）.

圖1

例2.（2025?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，在“BC中，AB=AC,乙4=100。，80是NA8C的平分線,

延長8。至點E,DE=AD，試求/反力的度數(shù).

例3.（2025?北京九年級專題練習(xí)）在四邊形A/比陀中，。是/切邊的中點.

（1）如圖（1）,若AC平分的￡,ZACE=90°,則線段4E、AB、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；

（直接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分EC平分NAED,若NACE=120。，則線段48、BD、

DE.AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

例4.（2025?湖北十堰?九年級期末）在（2ABC中，0ACB=20B,如圖①，當(dāng)團C=90。，AD為配AC的角平分線

時，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=AC+CD.

（1）如圖②，當(dāng)團O90。，AD為團BAC的角平分線時，線段AB,AC,CD乂有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，

請直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為團ABC的外角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.

①②

課后專項訓(xùn)練

1.（2025秋?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖D，NAO8=a（。是常量）.點P在NAO8的平分線上，且OP=2,

以點P為頂點的NM/W繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與。B,04相交于M,

N兩點，若NM/W始終與NAO3互補，則以下四個結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；③四邊

形PMON的面積不變；④點M與點N的距離保持不變.其中正確的為（）

MB

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

2.（2025?江蘇常州?一模）如圖，已知四邊形的對角互補，且=48=15,AD=\2.過

頂點C作CE_LA8于E,則二的值為（）

A.773B.9C.6D.7.2

3.（2025?成都?中考模擬）已知，如圖，BC=DC,EB+0D=18O°.連接AC,在AB,AC,AD上分別取點E,P,

F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,（3APE的面積為4,則回APF的面積是（）

A.2B.4C.6D.8

4.（2025?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖D，ZAOB=a（a是常量）.點Q在/的平分線上，且OP=2,

以點P為頂點的繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，NMPN的兩邊分別與08,04相交于M,

N兩點，若始終與NAO8互補，則以下四個結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；③四邊

形PMON的面積不變；④點M與點N的距離保持不變.其中正確的為（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

5.（2025?安徽合肥?一模）如圖，△ABC中，AO平分N朋C,E是BC中點,AD1BD,AC=7,A3=4,

則DE的值為（）

6.（2025?福建?福州一模）如圖，中，1MBe=45。，CZM4B于點。，BE平分財8C,且于點

交C。于點巴，是BC邊的中點，連接?！苯籅E于點G,現(xiàn)給出以下結(jié)論：①財CO3MB。；②AE=CE；

③/為等腰三角形；④S四邊形ADGE=S沖始形GHCE.其中正確的有（寫出所有正確結(jié)論序號）.

7.（2025?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形/WCQ中NO=2NB=I20。，A8=AD,E為BC上一

點，連接AE,BE=2,。。=7,若4NB4E+N4C7）=120。，則線段CE的長為

8.（2025?達(dá)州?校考一模）如圖，己知四邊形A8CO中，C4平分/BCD,BC>CD,AB=4D求證:

ZB+ZD=180°.

9.12025?安徽蕪湖?九年級期中）如圖，已知，/&9=90。,人3二八仁8。是49。的平分線，且CEJ.BD交BD

的延長線于點￡求證：BD=2CE.

10.（2025?江蘇揚州?中考真題）如圖，在o48C。中，BE、DG分別平分NABC、ZADC,交AC于點區(qū)G.

（1）求證：BE〃DG、BE=DG：

（2）過點E作垂足為小.若oAACO的周長為56,EF=6,求A44C的面積.

11.（2025秋?湖北武漢?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABE中，。、C分別在AE、BE上且CD=CB,

4c平分/E4〃，CW_LAB于點H.（1）求證：ZAOC+N8=180。：（2）若AO=3,AB=8,求AH的長.

E

12.（2025?寧夏銀川??？级＃﹩栴}提出

（1）如圖①，已知N4O8,以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫瓠，交Q4于點M,交OB于點N,分別以點

為圓心，大于:;MN的長為半徑畫弧，兩弧在NA08的內(nèi)部交于點C,畫射線0C,連接CM,CMMN,

2

則圖①中與△owe全等的是:

問題探究（2）如圖②，在aABC中，A。平分NBAC,過點。作。M_ZA3F?點M,連接CO,BD,若

AB+AC=2AM,求證：ZACD+ZABD=180°：

問題解決（3）如圖③，工人劉師傅有塊三角形鐵板ABC,ZB=60°,他需要利用鐵板的邊角裁出一個四邊

形BEFD,并要求NEFD=120。，EF=DF.劉師傅先在紙稿上畫出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出

的平分線AD交"C于點。，作N&X的平分線CZ?交A6于點K,AD,CE交于點八得到四邊形

跳ED.請問，若按上述作法，裁得的四邊形4￡7力是否符合要求？請證明你的結(jié)論.

13.（2025?江蘇?一模）如圖，已知NCWH,AE,8。是A/WC的角平分線，且交于點P.

（1）求NAP3的度數(shù).（2）求證：點P在NC的平分線上.（3）求證：①PD=PE；②=

14.（2025?北京西城?二模）在MBC中，AB=AC,過點C作射線C9,使勖。￡=財。8（點方與點8在直線

AC的異側(cè)）點。是射線3上一動點（不與點C重合），點E在線段8C上，且團D4E+aACQ=90。.

⑴如圖1,當(dāng)點￡與點。重合時，4。與C*的位置關(guān)系是，若4C=〃，則CO的長為；（用

含。的式子表示）⑵如圖2,當(dāng)點E與點C不重合時，連接。及①用等式表示N8AC與/以上之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE,CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BrB'

AA

/\JD/\\/D

BC（E）BEC

圖1圖2

15.（2025?重慶?二模）已知：如圖1,四邊形ABC。中，ZABC=135°,連接AC、BD,交于點￡,

BDIBC,AO=AC.⑴求證：ND4C=90。：（2汝U圖2,過點8作B/JLAS,交。。于點凡交AC于點G,

若％"=2SQ-求證：AG=CG；⑶如圖3,在（2）的條件下，若A8=3,求線段GF的長.

16.（2025?陜西西安?一模）如圖，/VW。和ZiBCE都是等邊三角形，0ABe<105。，AE與。C交于點E

(1)求證：AE=DC；(2)求團4/石的度數(shù)；(3)若4F=9.17cm,8產(chǎn)=1.53cm,CF=7.53cm,求CD

D

17.（2025?自貢市九年級月考）根據(jù)圖片回答下列問題.

⑴如圖①，AD平分NBAC,ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DBDC.

（2）如圖②，AD平分NBAC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,求證：DB=DC.

c

DD

D

ABABAB

圖①圖②圖③

18.（2025?山東?九年級專題練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材96頁的部分內(nèi)容.

已知：如圖13.5.4,。。是NAOA的平分線，。是。C上任意一點，PD1OA,PEA.OB,垂足分別為點。

和點￡

913.5.4

求證：PD=PE.

分析：圖中有兩個直角三角形P/X）和PE。，只要證明這兩個三角形全等便可證得尸。=尸￡

【問題解決】請根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明包二房的過程.

【類比探究】（1）如圖②，OC是NA04的平分線，P是OC上任意一點，點M,N分別在。8和04上，連

接PM和PN,若NPMO+NPAS180。，求證：PM=PN:（2）如圖③，的周長是12,BO、CO分

別平分/A8C和ZAC8。。_18。于點。，若?！?gt;=3,則△45C的面積為.

19.（2025?安徽?九年級期末）如圖，在△A3C中，AC=BC,4。平分NCA3.

（1）如圖1,若AC8=90。，求證：AB=AC+CD；（2）如圖2,若AB=AC+BD,求4C3的度數(shù)；

（3）如圖3,若NAC8=100。，求證：AB=AD+CD.

20.（2025?湖北孝感?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫408=90。，并畫/AO8的平分線OC.

（I）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點Q上，使三角尺論兩條直角邊分別與N408的兩邊OA,OB

垂直，垂足為￡，F(xiàn)（如圖1）.則若把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則巫PF.（選

填："<〃、">〃或"="）

（理解應(yīng)用）（2）在（1）的條件下，過點尸作直線G〃_LOC,分別交。4,。8于點G,H,如圖3.

①圖中全等三角形有對.（不添加輔助線）；②猜想GE,FH,EF之間的關(guān)系為.

（拓展延伸）（3）如圖4,畫ZAOB=60°,并畫NAOB的平分線0。，在OC上任取一點P,作/EPF=120°,

/EP尸的兩邊分別與。4,相交于E,f兩點，山與P尸相等嗎？請說明理由.

專題12全等模型.角平分線模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全

等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,OC為NAO3的角平分線、C4_LQ4于點4時，過點C作C4_LO8.

結(jié)論：CA=CB.\OAC^\OBC.

圖1圖2

常見模型1（直角三角形型）

條件：如圖2,在A4BC中，ZC=90°,AO為NC48的角平分線，過點。作。七_(dá)LA8.

結(jié)論：DC=DE、ADACg（當(dāng)AABC是等腰直角三角形時，還有A8=AC+CQ.）

圖3

常見模型2（鄰等對補型）

條件：如圖3,0。是NCOB的角平分線，AC=BC,過點。作CO_LOA、CELOB.

結(jié)論：①ZB3+Z46=180°；②AD=BE；@OA=OB+2AD.

例1.（2025?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AO平分/SAC,DE148若AC=2,。石=1,則5*°=

￡

BD

【答案】1

【分析】作于點八由角平分線的性質(zhì)推出以'=DE=1,再利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：如圖，作?！╛LAC于點八

團AD平分㈤C,DE1.AB,DFLAC,由DF=DE=1,

MSMCD=^ACDF=^X2XI=1.故答案為：1.

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形HCO中AC邊的高是解題的關(guān)鍵.

例2.(2025?山東泰安?中考真題)如圖，M8c的外角N4c。的平分線CP與內(nèi)角乙48c的平分線8P交于點

P,若N8PC=40。，則NCAP=()

【答案】C

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出/MC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出

ZCAP=ZFAP,即可得出答案.

【詳解】解：延長84作PN_LBD,PFA.BA,PM上AC,設(shè)NPCD=x°,

?"P平分NACO,AZACP=ZPCD=x°tPM=PN,

?.?￡P(guān)平^}NA8C,ZABP=ZPBC,PF=PN,:.PF=PM,

VZfiPC=40°,AZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

^BAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80\?.ZCAF=100°,

PA=PA

在Rt△呻和R3M4中，

/.RtAPEA^RtAPM/A(HL),ZFAP=ZPAC=500.故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線

的性質(zhì)得出PM=P/V=PF是解題的關(guān)健.

例3.（2025?廣東中山?八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，ZABC.NE4C的角平分線BP、AP交于點

P,延長84、,PM_LBE,/W_LBb，則①CQ平分NAb；②ZABC+2ZAPC=180°；③NAC8=2AAPB；

（2）S^PAC~SAAfAP+Szcp?上述結(jié)論中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】過點尸作尸。_LAC于。，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷①結(jié)論；證明

Rt/4M9RI△尸4O（HL）,Rt/3Rt/CN（HL）,得出=/CPD=NCPN,進而得到

4MPN=2ZAPC,再利用四邊形內(nèi)角和，即可判斷②結(jié)論；根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，即

可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可判斷④結(jié)論.

【詳解】解：①如圖，過點產(chǎn)作戶。J_AC于O,

?.W)平分/A3C,PMA.BE,PN工BF,PM=PN,

?.?AP平分NEAC，PMLBE,PDVAC,:.PM=PD,:.PN=PD,

,.PN工BF,PD_LAC,「.CP平分NAb,①結(jié)論正確；

②YPM人BE,PD1AC,PNLBF,:."MA=〃>DA=4NB=W,

PM=PD,、

在RtaAAM和RiAPA。中，，RUP^W^R(AP^D(HL|,

PA=PA

：.ZAPM=ZAPD,同理可得，RtAPCD^Rl/av(HL),：.4PD=KPN,

NMPN=Z.APM+/APD+NCPD+乙CPN=2(^APD+NCPO)=l^APC,

?.?ZABC+NPNB+NMPN+NPMA=360°,/.ZABC+NMPN=360°-ZPNB-NPMA=180°,

.?.Z4BC+2ZAPC=180°,②結(jié)論正確；③AP平分/E4C,ZCAE=2ZMAP,

?/Z.CAE=ZABC+ZACB,Z/W4P=ZABP+ZAJ>B,,NABC+Z.ACB=2(ZABP+NAPB),

?.?8P平分/ABC,/.ZABC=2ZABP,2ZABP+ZACB=2ZABP42Z4PB,：.ZACB=2ZAPB,③結(jié)論正確；

④由②可知，.-.RtA/VbV/^RtA/WD,Rt^rCD^Rt^rCN,=5”必，S^.D=S^.N,

'：S.PAC=Sqo+SJ1cD'=S、PAM+S.N,S^pM+S△?*=S2fle,Q)結(jié)論JI1確,

??.E確的結(jié)論是①②③④，故選：D

【點睛】本題考查了角平分線的平分線的判定定理和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和,

三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵.

例4.（2025秋?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形A8OC中，ZD=ZABD=90°,點。為8。的中點,

且OA平分284。.⑴求證：OC平分/4CO；（2）求證：OUOC；⑶求證：AB+CD=AC.

【答案】（1）見解析（2）見解析⑶見解析

【分析】（1）過點。作OE1ACFE,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得OB=OE,從而

求出OE=8,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；

⑵利用證明根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得408=ZAOE,同理可得

ZCOD=ZCOE,然后求出NA8=90°,再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，

可得/W=AE,CD=CE,然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：過點。作OE/AC于E,

團？A3。90?,OA平分N84C,?OB=OE,

團點。為8。的中點，6OB=OD,^OE=OD,又團？O90?,團OC平分/ACO；

(2)證明：在Rt^ABO和RtZvlFO中，

'AO=AO

<八CCL，&RtAA80^RtAAE0(HL),^ZAOH=ZAOE,

OB=OE

(CO=CO/、

在RtZ\CEO和RtATOO中，,團RtaC反涇RtzXW(HL),

UE=UD

?NCOD=NCOE,BZAOC=ZA0E+ZCOE=ix180°=90°,0Q4±OC；

2

(3)證明：團RaA^gRsAEO,^AI3=AE.

BRuCEO^RtACDO.⑦CD=CE,(3AE+C￡=AC,^A8+CD=AC.

【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助

線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例5.(202S?河北?九年級專題練工)己知O戶平分0AO從酸CE的頂點C在射線Oa上，射線CQ交射線

OA于點F,射線CE交射線OB于點G.

(1)如圖1,若CQ3OA,CE^OB,請直接寫出線段C/與CG的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若0408=120。，0DCE=(MOC,試判斷線段與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)結(jié)論CF=CG,由角平分線性質(zhì)定理即可判斷.(2：結(jié)論：b=CG,作CM3OA于M,CM3OB

于N,證明（3CM陽3CNG,利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；

證明：回0P平分m08,CI^OA,CG^OB,BCF=CG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）;

（2）CF=CG.理由如下：如圖，過點C作。M0OA,CN3O8,

回0P平分財。8,CM^OA,CM3OB,財04=120。，

團CW=CN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），阻400勖白＞60。（角平分線的性質(zhì)）,

^DCE=^A0C,^AOC=^BOC=WCE=60°,00A/CO=9O°-6O°=30°,0^CO=9O°-6O°=30°,

回13MCN=3O°+3O°=6O°,^MCN=WCE,

釀MC產(chǎn)WMCN4WCM^NCG^DCE-^DCN,03A/CF=0/VCG,

NCMF=ZCNG

在&MC尸和團NCG中，CM=CN團團MCF03NCGCASA）,

4MCF=￡NCG

^CF=CG（全等三角形對應(yīng)邊相等）.

【點睹】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分

線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等.

模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

條件：如圖1,OC為NAOB的角平分線，ABLOC,

結(jié)論：△AOCZZ\8。。，ACMB是等腰三角形、OC是三線合一等。

B

B

條件：如圖2,BE為NA8。的角平分線，BEYEC,延長BA,CE交于點、F.

結(jié)論：ABEC咨ABEF,MFC-是等腰三角形、BE是三線合一等。

例1.(2025?山東淄博??？级?如圖，點。在內(nèi)部，BD平分/ABC,且連接CO.若

ABCD的面積為2,則?BC的面積為.

【分析】延長A。交8C「E,由ASA證明Z\A雙星△￡?%＞，得出AO=ED,根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】解：延長A。交8c于E,如圖所示：

QB。平分/ABC,AD垂直于BD,..ZABD=NEBD,ZADB=ZEDI3=90°,

NABD:NEBD

在△ABO和△E8O中，,:^ABD^EBD(ASA),..AD=ED,

NADB=NEDB

++=

,,SdADB=S二BDE、'尸隧=J)EC，5AADC=^BDEJ)EC^BDC=??

團△8CO的面積為2,回入48C的面積為4,故答案為：4.

【點睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，中線的性質(zhì),

證明三角形全等得出AD=ED是解題關(guān)鍵.

例2.（2025秋?湖北黃岡?八年級?？计谥校┤鐖D，SBC中，AO是N84C的角平分線,

CDLAD,AC-AB=5；若5/^^的最大值為30,則8c長為一.

【答案】24

【分析】延長C。和48相交于點E,構(gòu)造出△AOCGAAOESSA）,從而求出座的值：根據(jù)當(dāng)跖_L8C時,

S"有最大值求解即可；

【詳解】解：延長8和A4相交于點E,如圖：

團八D是N84C的角平分線團NC4￡>=NE4O1CD1AD^ZCDA=ZEDA=90°

\-AD=AD：.^ADC^ADE(ASM,\AC=AE,DC=DE

:.BE=AE-AB=AC-AB=5,SsBCE=2SABDC

當(dāng)BE_L8C時，S.BCE有最大值：此時2g=25。乂=2、30=60,

60x2120…

即：^BC.BE=6QBC=-------=——=24

BE5

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義；通過角平分線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

例3.（2025?綿陽市?九年級期中）在財3。中，AB=AC,團84c=90,3。平分的WC交AC于點D.

(1)如圖1,點尸為8C上一點，連接AF交8。于點E.若AB=BF,求證：B。垂直平分4F.

(2)如圖2,CE^BD,垂足E在B。的延長線上.試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點尸為8C上一點，C斑EF,垂足為E,EF與AC交于點M.直接寫出線段

CE與線段/M的數(shù)顯關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)BD=2CE,理由見解析：(3)FM=2CE.

【分析】⑴由8。平分EL4BC,可得團ABEWFBE,可證△ABE00FBE(SAS),可得AE=FE,0AEB=[?lFEB=yxl80°=90°

即可；(2)延長CE,交BA的延長線于G,由C￡0fiD,0ABE=0FBE,可得GE=2CE=2GE,可證ABADEBCAG(ASA),

可得BD=CG=2CE：(3)作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得加IMH=I3NBH,

rhEEFC=y0ABC=22.5%nJ^R0ABC=3ACB=0MNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

團EMCWMFC+團MCF=22.5°+45°=67.5°,可求回ECM=90°^EMC=22.5°,可證AFNH能CME(AAS),且得FH=CE即

可.

【詳解】證明(1)回平分團43C,回回ABE=0FBE,mBA=BF,BE=BE,回ZkABE胴FBE(SAS),

回AE=FE,0AEB=aFEB=^xl8Oo=9Oo,用8。垂直平分AP.

(2)BD=2CE,理由如下：延長CE,交BA的延長線于G,

(SCaaBD,0ABE=0FBE,0GE=2CE=2GE,00CED=9O°=0BAD,0ADB=0EDC,00ABD=0GCA,

又AB=AC,0BAD=0CAG,,00BAD00CAG(ASA),0BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,

0FN=MN,MH=FH=^-FM,00NMH=0NBH,

團團EFC=ga44C=22.5°,00MNC=20NFH=2xi[M?C=(aA/iC,

0/lB=4C,(3BAC=90,E0ABC=0ACB=0MNC=45°,0NM=CM=FN,

00EMC=0MFC+0MCF=22.5°+45O=67.5°,00ECM=9O°-0EMC=22.5<>,30NFH=(3MCE,

又盟FHN=13E=90°,0AFNH00CME(AAS),0FH=CE,@FM=2FH=2CE.

【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三

角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂宜平分線是

解題關(guān)鍵.

例4.(2025?安徽黃山?九年級期中)如圖，在AA8C中，ZBAC=90c,A8=AC,。是4c邊上一動點，CE1BD

于E.(1)如圖(1),若BD平分448c時，①求NECO的度數(shù)；

②延長CE交物的延長線于點尸，補全圖形，探究8/)與比的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖(2),過點A作跳;于點尸，猜想線段BE,CE,反之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖(1)圖(2)

【答案】(1)?ZECD=22.5°,②BD=2EC,理由見詳解；(2)BE=CE+2AF,理由見詳解.

【分析】(1)①由題意易得(3ABC=0ACB=45°,則有團CBD=(3ABD=22.5°,進而可求團ECDWDBA,則問題得解;

②由題意易得CE=EF,則可證0ABD00ACF,進而可得BD=CF,最后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；

(2)在BE上截取BH=CE,連接AH,則易證(EBHAHKEA,則有AE=AH,0BAH=0CAE,進而可得團HAE=90°,

然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解.

【詳解】解：(1)回N84C=90°,AB=AC,taaABC=[UACB=45°,

團BD平分回ABC,回團CBD=(3ABD=22.5°,

①目SABD唱BDA=13CDE+0ECD=9O°,?CDE=^BDA,團團ABD=?ECD=22.5°：

②BD=2EC,理由如下：如圖所示：

回CELBD,00CEB=0FEB=9O°,0BE=BE,00CEBS0FEB(ASA),0CE=FE,

00DBA+0F=9O°,0FCA+0F=9O0,00DBA=0FCA,

回回BAD=囪CAF=90°,AB=AC,國ABD歪ACF(ASA),0BD=CF,回BD=2CE：

(2)BE=CE+2AF,理由如下：在BE上截取BH=CE,連接AH,如圖，由(1)易得(3HBA=(3ECA,

0AB=AC,aaBHAEBCEA(SAS),0AH=AE,0BAH=0CAE,

00BAH+0HAC=9O°,00EAC+0HAe=90°,即團HAE=90°,

0AFEBE,回AF=HF=FE,回BE=BH+HF+FE,團BE=CE+2AF.

【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜

邊中線定理及等腰直角二角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型(角平分線+截線段相等)

【模型解讀與圖示】

條件：如圖，。。為的角平分線，A為任意一點，在。8上截取QB=Q4,連結(jié)CB.

結(jié)論：△OACgAOBC,CB=CA.

條件：如圖，BECE分別為48C和NBCE1的角平分線，AB//CZ),在BC上截取3/=AB,連結(jié)EF.

結(jié)論：2AEg岫FE,ACDE\CFE,AB+CD=BC°

例1.(2025秋?江蘇?八年級專題練習(xí))在財8C中，入。為財5c的角平分線，點E是直線8C上的動點.

(1)如圖1,當(dāng)點石在C△的延長線上時，連接八E,若便￡=48。，AE=AD=DCr則HAAC的度數(shù)為

(2)如圖2,AOA8,點P在線段AD延長線上，比較AC+8P與48+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

(3)連接AE,若回D4E=90。，(3BAC=24。，且滿足AB+4C=EC,請求出財C8的度數(shù)(要求：畫圖，寫思

路，求出度數(shù)).

【答案】(1)108°：(2)AC+BP>AB+PC,見解析；(3)44?；?04。：詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)等邊對等角，可得NE=NADE，ADAC=AC,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出

ZADE=2ZDAC=4S°,由此即可解題：

(2)在AC邊上取一點M使八小人氏構(gòu)造夕，根據(jù)MQ+MC>PC即可得出答案；

(3)畫出圖形，根據(jù)點上的位置分四種情況，當(dāng)點E在射線CB延長線上，延長C4到G,使AGM4,可

得GC=EC,可得NG=NGEC,設(shè)NAC8=2r,WOZG=ZGEC=90°-x；根據(jù)團84c=24。，AD為△人8c的

角平分線，可得N3AD=ND4C=12。，可證AAGE二(SAS),得出N/WE=NG=90°—x,利用還有

ZABE=240+2x,列方程90。一尢=24。+2代當(dāng)點E在80上時，團EAOV90。，不成立；當(dāng)點￡在。。上時，

I3E4OV90。，不成立；當(dāng)點E在BC延長線上，延長CA到G,使AG=ABf可得GC=EC,得出/G=/GEC,

設(shè)ZAC8=2一則NG=NGEC=x：回84c=24。，根據(jù)A。為“BC的角平分線，得出N84Z>/mC=12。，

證明AAGE三“18￡：(545),得出ZABE=NG=x,利用三角形內(nèi)隹和列方程％+24。+2]=180。，解方程即可.

【詳解】解：(1)加石=人。=。。，I3NE=NADE,NDAC=/C,

團ZE=48°,ZADE=ZD4C+ZC,0Z4DE=2Z/?AC=48°,

0A,為AAbC的角平分線，即N84C=2N/)AC,(3ZBAC=48°；KZABC=180°-48°-24°=108°

(2)如圖2,在AC邊上取一點M使AM=4從連接MP,

B

圖2

AB=AM

在AABP和尸中，\^BAP=ZMAP,團4ABP二△AA/尸(SAS),^BP^MP,

AP=AP

^MP+MC>PC,MC=AC-AM,^AC-AB+BP>PC,(34C+BP>45+PC；

(3)如圖，點E在射線CB延長線上，延長C4到G,使AGM8,

^AB+AC=EC,^AG+AC=EC,即GC=EC,aNG=NGEC,設(shè)ZAC4=2r,則NG=NGEC=900-x；

乂叵84c=24°,A。為△ABC的角'工分線，團N區(qū)4O=NZMC=12。，

乂叵/3￡：=90。,0^BAE=^P-ABAD=78°,ZGAE=90°-ZDAC=78°,回N8AE=NG4E,

AE=AE

在44GE和△回￡中，，NGAE=NBAE,^^AGE^ABE(SAS),i?；ZABE=ZG=90°-x,

AG=AB

又RZABE=NBAC+Z4CB=24°+2x,09O°-x=24o+2x,解得：x=22°,0ZACB=2v=44°：

當(dāng)點E在8￡>上時，0EAD<9O°,不成立；當(dāng)點七在CD上時，0E4DV90。，不成立:

如圖，點E在BC延長線上，延長C4到G,使AGMB,

(M5+AC=EC,MG+AC=EC,即GC=EC,0ZG=ZGEC,設(shè)ZAC8=2t,則NG=NGEC=x；

又加184c=24。，八。為△人BC的角平分線，mNAAD=ND4C=12。，

又(iND4E=90。，EZBAE=90°+ABAD=102°,ZGAE=90°+ZDAC=102°,^ZBAE=ZGAE,

AE=AE

在44GE和中，"GAE=NBAE,^^AGE^ABE(SAS),

AG=AB

^\ZABE=ZG=x,團x+240+2x=180。，解得：x=52°,團乙4a=2r=104°.同朋C8的度數(shù)為44°或104°.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形

內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

例2.(2025?浙江?九年級專題練工)如圖，在“8C中，AI3=AC,乙4=100。，80是NA8C的平分線，

延長8。至點E,DE=AD，試求NEC4的度數(shù).

【答案】40。

【分析】在8c上截取3尸=AB,連接。尸，通過證明“山?jīng)堋麝朌(SAS),可得皿匕=180。-44=80。，

再通過證明△DCEWmCF(SAS