山西2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫及答案中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫及答案一、單項(xiàng)選擇題1.已知年利率為5%，按復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在存入銀行1000元，5年后的本利和為（）。A.1000×(1+5%)^5B.1000×(1+5×5%)C.1000/(1+5%)^5D.1000/(1+5×5%)【答案】A【解析】復(fù)利終值的計(jì)算公式為\(F=P(1+i)^n\)，其中\(zhòng)(F\)為本利和，\(P\)為現(xiàn)值（本金），\(i\)為年利率，\(n\)為計(jì)息期數(shù)。本題中\(zhòng)(P=1000\)元，\(i=5\%\)，\(n=5\)，所以\(5\)年后的本利和為\(1000×(1+5\%)^5\)，故選A。2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）。A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，即\(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\)，化簡可得\(\lambda=\frac{\lambda^2}{2}\)，因?yàn)閈(\lambda>0\)，所以解得\(\lambda=2\)，故選B。3.已知某保險(xiǎn)標(biāo)的的損失額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1000,100^2)\)，則該保險(xiǎn)標(biāo)的損失額超過1200的概率為（）。（已知\(\varPhi(2)=0.9772\)）A.0.0228B.0.9772C.0.0456D.0.9544【答案】A【解析】若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。本題中\(zhòng)(\mu=1000\)，\(\sigma=100\)，要求\(P(X>1200)\)，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：\(P(X>1200)=1-P(X\leq1200)=1-P(\frac{X-1000}{100}\leq\frac{1200-1000}{100})=1-P(Z\leq2)\)。已知\(\varPhi(2)=P(Z\leq2)=0.9772\)，所以\(P(X>1200)=1-0.9772=0.0228\)，故選A。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機(jī)變量，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(E(XY)=8\)，則\(Cov(X,Y)\)等于（）。A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】協(xié)方差的計(jì)算公式為\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)。已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(E(XY)=8\)，代入公式可得\(Cov(X,Y)=8-2×3=2\)，故選A。5.已知某年金在第1年末支付100元，以后每年末支付額比上一年增加10元，共支付10年，年利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）。A.\(\sum_{k=1}^{10}(100+10(k-1))v^k\)，其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+5\%}\)B.\(\sum_{k=1}^{10}(100+10k)v^k\)，其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+5\%}\)C.\(\sum_{k=0}^{9}(100+10k)v^k\)，其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+5\%}\)D.\(\sum_{k=0}^{9}(100+10(k+1))v^k\)，其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+5\%}\)【答案】A【解析】該年金為變額年金，第\(k\)年末的支付額為\(100+10(k-1)\)，\(k=1,2,\cdots,10\)。年金現(xiàn)值是將各期支付額按利率折現(xiàn)到現(xiàn)在，折現(xiàn)因子\(v=\frac{1}{1+i}\)，本題中\(zhòng)(i=5\%\)，所以該年金的現(xiàn)值為\(\sum_{k=1}^{10}(100+10(k-1))v^k\)，故選A。二、多項(xiàng)選擇題1.下列關(guān)于利率的說法中，正確的有（）。A.利率是衡量資金增值的基本單位B.名義利率是不考慮通貨膨脹因素的利率C.實(shí)際利率是考慮通貨膨脹因素后的利率D.當(dāng)一年復(fù)利次數(shù)大于1時，實(shí)際利率大于名義利率【答案】ACD【解析】利率是資金的價格，是衡量資金增值的基本單位，A正確；名義利率是包含通貨膨脹因素的利率，實(shí)際利率是剔除通貨膨脹因素后的利率，B錯誤，C正確；當(dāng)一年復(fù)利次數(shù)\(m>1\)時，實(shí)際利率\(i=(1+\frac{r}{m})^m-1\)（\(r\)為名義利率），此時\(i>r\)，即實(shí)際利率大于名義利率，D正確。故選ACD。2.下列分布中，屬于離散型概率分布的有（）。A.泊松分布B.正態(tài)分布C.二項(xiàng)分布D.指數(shù)分布【答案】AC【解析】泊松分布和二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值是離散的，屬于離散型概率分布；正態(tài)分布和指數(shù)分布的隨機(jī)變量取值是連續(xù)的，屬于連續(xù)型概率分布。故選AC。3.關(guān)于保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的原則，下列說法正確的有（）。A.公平性原則要求保險(xiǎn)人收取的保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)與被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)狀況相適應(yīng)B.合理性原則要求保險(xiǎn)費(fèi)率不能過高或過低C.穩(wěn)定性原則要求保險(xiǎn)費(fèi)率在較長時間內(nèi)保持不變D.彈性原則要求保險(xiǎn)費(fèi)率具有一定的靈活性，以適應(yīng)不同的情況【答案】ABCD【解析】公平性原則強(qiáng)調(diào)保險(xiǎn)人收取的保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)與被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)大小相匹配，A正確；合理性原則是指保險(xiǎn)費(fèi)率應(yīng)在抵補(bǔ)一切可能發(fā)生的損失以及有關(guān)的營業(yè)費(fèi)用后，不能過高或過低，B正確；穩(wěn)定性原則是為了保證保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)穩(wěn)定，要求保險(xiǎn)費(fèi)率在較長時間內(nèi)保持相對穩(wěn)定，C正確；彈性原則是指保險(xiǎn)費(fèi)率應(yīng)具有一定的靈活性，能夠根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)不同的風(fēng)險(xiǎn)狀況和市場環(huán)境，D正確。故選ABCD。4.已知隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,2^2)\)，\(Y\simN(2,3^2)\)，則下列說法正確的有（）。A.\(X+Y\simN(3,5^2)\)B.\(X-Y\simN(-1,13)\)C.\(2X+3Y\simN(8,43)\)D.\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)【答案】BCD【解析】若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(aX+bY\simN(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)\)。對于\(X+Y\)，\(\mu=\mu_1+\mu_2=1+2=3\)，\(\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2=2^2+3^2=13\)，所以\(X+Y\simN(3,13)\)，A錯誤；對于\(X-Y\)，\(\mu=\mu_1-\mu_2=1-2=-1\)，\(\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2=2^2+3^2=13\)，所以\(X-Y\simN(-1,13)\)，B正確；對于\(2X+3Y\)，\(\mu=2\mu_1+3\mu_2=2×1+3×2=8\)，\(\sigma^2=2^2\sigma_1^2+3^2\sigma_2^2=4×4+9×9=43\)，所以\(2X+3Y\simN(8,43)\)，C正確；因?yàn)閈(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，所以\(Cov(X,Y)=0\)，D正確。故選BCD。5.關(guān)于年金的說法，正確的有（）。A.普通年金是指在每期期末收付的年金B(yǎng).先付年金是指在每期期初收付的年金C.遞延年金是指在最初若干期沒有收付，以后若干期才有收付的年金D.永續(xù)年金是指無限期收付的年金【答案】ABCD【解析】普通年金（后付年金）是在每期期末收付的年金，先付年金是在每期期初收付的年金，遞延年金是最初若干期沒有收付，從某一期開始才有收付的年金，永續(xù)年金是無限期收付的年金。ABCD說法均正確。三、簡答題1.簡述保險(xiǎn)精算中風(fēng)險(xiǎn)的特征?！敬鸢浮吭诒ｋU(xiǎn)精算中，風(fēng)險(xiǎn)具有以下特征：（1）客觀性：風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。例如自然災(zāi)害（地震、洪水等）和意外事故（交通事故、火災(zāi)等）都是客觀發(fā)生的，人們無法完全消除風(fēng)險(xiǎn)。（2）不確定性：風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生具有不確定性，包括發(fā)生的時間、地點(diǎn)、損失程度等方面。即使對于一些常見的風(fēng)險(xiǎn)，也很難準(zhǔn)確預(yù)測其具體的發(fā)生情況。比如，雖然知道每年可能會發(fā)生一定數(shù)量的交通事故，但無法確定某一輛車具體何時會發(fā)生事故以及事故造成的損失大小。（3）可測性：雖然風(fēng)險(xiǎn)具有不確定性，但在大量觀察和統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生概率和損失程度是可以進(jìn)行測量和估計(jì)的。保險(xiǎn)精算師通過收集大量的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析，從而為保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定和保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。（4）普遍性：風(fēng)險(xiǎn)在社會經(jīng)濟(jì)生活中廣泛存在，涉及到各個領(lǐng)域和各個層面。無論是個人、家庭還是企業(yè)，都面臨著各種各樣的風(fēng)險(xiǎn)，如人身風(fēng)險(xiǎn)、財(cái)產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、責(zé)任風(fēng)險(xiǎn)等。（5）發(fā)展性：隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)、種類和影響范圍也在不斷發(fā)生變化。新的風(fēng)險(xiǎn)不斷涌現(xiàn)，如網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)、基因技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)等；同時，一些傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的特征也可能發(fā)生改變。保險(xiǎn)精算需要不斷適應(yīng)這些變化，對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行重新評估和管理。2.說明正態(tài)分布在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用?！敬鸢浮空龖B(tài)分布在保險(xiǎn)精算中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）損失分布的近似：在實(shí)際保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，許多保險(xiǎn)標(biāo)的的損失額分布比較復(fù)雜，但當(dāng)樣本數(shù)量足夠大時，根據(jù)中心極限定理，大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。因此，可以用正態(tài)分布來近似描述保險(xiǎn)標(biāo)的的總損失分布。例如，在團(tuán)體保險(xiǎn)中，眾多被保險(xiǎn)人的個體損失可以看作是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，當(dāng)被保險(xiǎn)人數(shù)量較多時，團(tuán)體的總損失就可以近似用正態(tài)分布來刻畫，從而方便計(jì)算損失的概率和期望等指標(biāo)。（2）費(fèi)率厘定：保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定需要考慮保險(xiǎn)標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)狀況和預(yù)期損失。通過將損失分布近似為正態(tài)分布，可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算出不同損失水平下的概率，進(jìn)而確定合理的保險(xiǎn)費(fèi)率。例如，根據(jù)正態(tài)分布計(jì)算出在一定置信水平下的最大可能損失，以此為基礎(chǔ)確定保險(xiǎn)費(fèi)率，以保證保險(xiǎn)公司在大多數(shù)情況下能夠覆蓋損失并獲得合理的利潤。（3）準(zhǔn)備金計(jì)算：保險(xiǎn)公司需要提取一定的準(zhǔn)備金以應(yīng)對未來可能發(fā)生的保險(xiǎn)賠付。正態(tài)分布可以幫助精算師估計(jì)未來損失的分布情況，從而確定合理的準(zhǔn)備金水平。例如，通過計(jì)算在一定置信度下未來損失的上限，將其作為準(zhǔn)備金的參考值，以確保保險(xiǎn)公司有足夠的資金來履行賠付義務(wù)。（4）風(fēng)險(xiǎn)評估：正態(tài)分布可以用于評估保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)程度。通過計(jì)算損失的標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，可以衡量損失的波動程度，進(jìn)而評估風(fēng)險(xiǎn)的大小。標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明損失的波動越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越高。保險(xiǎn)精算師可以根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)評估的結(jié)果，采取相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)管理措施，如調(diào)整保險(xiǎn)費(fèi)率、限制保險(xiǎn)金額等。3.簡述復(fù)利和單利的區(qū)別?！敬鸢浮繌?fù)利和單利是兩種不同的利息計(jì)算方式，它們的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）利息計(jì)算方式：-單利：單利的利息計(jì)算僅基于本金，其計(jì)算公式為\(I=P\timesi\timesn\)，其中\(zhòng)(I\)為利息，\(P\)為本金，\(i\)為年利率，\(n\)為計(jì)息期數(shù)。本利和\(F=P+I=P(1+i\timesn)\)。例如，本金\(P=1000\)元，年利率\(i=5\%\)，存期\(n=3\)年，單利利息\(I=1000\times5\%\times3=150\)元，本利和\(F=1000+150=1150\)元。-復(fù)利：復(fù)利是將上一期的利息加入本金一起計(jì)算下一期的利息，即“利滾利”。復(fù)利終值的計(jì)算公式為\(F=P(1+i)^n\)。同樣本金\(P=1000\)元，年利率\(i=5\%\)，存期\(n=3\)年，復(fù)利本利和\(F=1000\times(1+5\%)^3\approx1157.63\)元。（2）利息增長速度：-單利的利息增長是線性的，每一期的利息都只基于固定的本金計(jì)算，利息增長速度相對較慢。-復(fù)利的利息增長是指數(shù)型的，隨著計(jì)息期數(shù)的增加，利息會不斷累積并加速增長。在長期投資或借貸中，復(fù)利的利息增長會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過單利。（3）適用范圍：-單利計(jì)算相對簡單，通常適用于短期的、臨時性的借貸或投資，如一些短期的民間借貸、簡單的儲蓄業(yè)務(wù)等。-復(fù)利更符合資金的時間價值原理，在長期的金融活動中應(yīng)用更為廣泛，如長期債券、長期儲蓄、投資基金等。在保險(xiǎn)精算中，復(fù)利也常用于計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值和未來保險(xiǎn)金的終值等。四、計(jì)算題1.某人計(jì)劃在5年后購買一套價值50萬元的住房，現(xiàn)在開始每年年末存入銀行一筆錢，假設(shè)銀行年利率為4%，按復(fù)利計(jì)算，每年年末應(yīng)存入多少錢？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】本題可根據(jù)普通年金終值公式來計(jì)算每年年末應(yīng)存入的金額。普通年金終值公式為\(F=A\times\frac{(1+i)^n-1}{i}\)，其中\(zhòng)(F\)為年金終值，\(A\)為每年的支付金額（本題中即每年年末應(yīng)存入的錢），\(i\)為年利率，\(n\)為計(jì)息期數(shù)。已知\(F=500000\)元，\(i=4\%=0.04\)，\(n=5\)，將其代入公式可得：\(500000=A\times\frac{(1+0.04)^5-1}{0.04}\)先計(jì)算\((1+0.04)^5=1.04^5\approx1.216653\)，則\((1+0.04)^5-1\approx1.216653-1=0.216653\)，\(\frac{(1+0.04)^5-1}{0.04}=\frac{0.216653}{0.04}=5.416325\)。所以\(A=\frac{500000}{5.416325}\approx92313.77\)（元）即每年年末應(yīng)存入約92313.77元。2.設(shè)某保險(xiǎn)標(biāo)的的損失額\(X\)服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x>0\\0,x\leq0\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\theta=2000\)。若保險(xiǎn)公司規(guī)定免賠額為500元，求當(dāng)發(fā)生損失時，保險(xiǎn)公司的平均賠付額?！敬鸢浮慨?dāng)發(fā)生損失\(X\)時，保險(xiǎn)公司的賠付額\(Y\)為：\(Y=\begin{cases}0,0<X\leq500\\X-500,X>500\end{cases}\)根據(jù)期望的計(jì)算公式\(E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy\)，我們也可以通過對\(X\)的積分來計(jì)算\(E(Y)\)：\(E(Y)=\int_{500}^{+\infty}(x-500)\frac{1}{2000}e^{-\frac{x}{2000}}dx\)令\(t=\frac{x}{2000}\)，則\(x=2000t\)，\(dx=2000dt\)，當(dāng)\(x=500\)時，\(t=\frac{500}{2000}=0.25\)。\(E(Y)=\int_{0.25}^{+\infty}(2000t-500)\frac{1}{2000}e^{-t}\times2000dt\)\(=\int_{0.25}^{+\infty}(2000t-500)e^{-t}dt\)\(=2000\int_{0.25}^{+\infty}te^{-t}dt-500\int_{0.25}^{+\infty}e^{-t}dt\)先計(jì)算\(\int_{0.25}^{+\infty}e^{-t}dt\)，根據(jù)積分公式\(\inte^{-t}dt=-e^{-t}+C\)，則\(\int_{0.25}^{+\infty}e^{-t}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\int_{0.25}^e^{-t}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}(-e^{-t})\big|_{0.25}^=\lim_{b\rightarrow+\infty}(-e^{-b}+e^{-0.25})=e^{-0.25}\)再計(jì)算\(\int_{0.25}^{+\infty}te^{-t}dt\)，利用分部積分法\(\intudv=uv-\intvdu\)，令\(u=t\)，\(dv=e^{-t}dt\)，則\(du=dt\)，\(v=-e^{-t}\)。\(\int_{0.25}^{+\infty}te^{-t}dt=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left(-te^{-t}\big|_{0.25}^+\int_{0.25}^e^{-t}dt\right)\)\(=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left(-be^{-b}+0.25e^{-0.25}-e^{-t}\big|_{0.25}^\right)\)\(=\lim_{b\rightarrow+\infty}\left(-be^{-b}+0.25e^{-0.25}-e^{-b}+e^{-0.25}\right)\)因?yàn)閈(\lim_{b\rightarrow+\infty}be^{-b}=\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{e^}\)，根據(jù)洛必達(dá)法則，\(\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{e^}=\lim_{b\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^}=0\)，\(\lim_{b\rightarrow+\infty}e^{-b}=0\)，所以\(\int_{0.25}^{+\infty}te^{-t}dt=0.25e^{-0.25}+e^{-0.25}=1.25e^{-0.25}\)則\(E(Y)=2000\times1.25e^{-0.25}-500e^{-0.25}\)\(=(2500-500)e^{-0.25}=2000e^{-0.25}\approx2000\times0.778801=1557.60\)（元）所以當(dāng)發(fā)生損失時，保險(xiǎn)公司的平均賠付額約為1557.60元。3.已知隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率分布如下表所示：||\(Y=0\)|\(Y=1\)||---|---|---||\(X=0\)|0.2|0.3||\(X=1\)|0.1|0.4|（1）求\(X\)和\(Y\)的邊緣概率分布；（2）判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨(dú)立；（3）求\(Cov(X,Y)\)?！敬鸢浮浚?）\(X\)的邊緣概率分布：\(P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.2+0.3=0.5\)\(P(X=1)=P(X=1,Y