2025年廣東高考數(shù)學試題及答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合\(A=\{x\mid\log_2(x-1)<1\}\)，集合\(B=\{x\midx^2-5x+6\leq0\}\)，則\(A\capB=\)A.\((1,2]\)B.\((2,3]\)C.\([2,3)\)D.\((1,3)\)2.復數(shù)\(z\)滿足\((1+2i)z=3-i\)，則\(|z|=\)A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(2\)D.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)3.函數(shù)\(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的對稱軸方程為A.\(x=\frac{5\pi}{12}\)B.\(x=\frac{7\pi}{12}\)C.\(x=\frac{\pi}{3}\)D.\(x=\frac{2\pi}{3}\)4.某城市2020年至2024年的人口數(shù)量（單位：萬人）分別為\(100,105,110,117,125\)，若用二次函數(shù)模型\(y=ax^2+bx+c\)擬合，其中\(zhòng)(x\)表示年份（2020年對應(yīng)\(x=0\)），則2025年的預測人口最接近A.134B.136C.138D.1405.已知正四棱錐\(P-ABCD\)的底面邊長為2，側(cè)棱長為\(\sqrt{5}\)，則該四棱錐的外接球表面積為A.\(9\pi\)B.\(12\pi\)C.\(16\pi\)D.\(20\pi\)6.若\(a>0\)，且\(\left(ax-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6\)的展開式中\(zhòng)(x^3\)項的系數(shù)為15，則\(a=\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)7.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，過\(F_1\)的直線與雙曲線左支交于\(A,B\)兩點，若\(|AB|=|AF_2|=4\)，且\(\angleF_1AF_2=60^\circ\)，則雙曲線的離心率為A.\(\sqrt{3}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{13}}{3}\)D.\(2\)8.定義在\(\mathbb{R}\)上的函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=f(x)+2\)，且當\(x\in[0,2)\)時，\(f(x)=\begin{cases}x^2-x,&x\in[0,1)\\\lnx,&x\in[1,2)\end{cases}\)，則關(guān)于\(x\)的方程\(f(x)=kx\)在\([0,6)\)內(nèi)恰有5個實數(shù)解時，實數(shù)\(k\)的取值范圍是A.\(\left(\frac{\ln2}{2},\frac{1}{2}\right)\)B.\(\left(\frac{\ln2}{2},\frac{3}{4}\right)\)C.\(\left(\frac{1}{2},1\right)\)D.\(\left(\frac{3}{4},1\right)\)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知\(a,b\)為正實數(shù)，且\(a+b=4\)，則下列結(jié)論正確的是A.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq1\)B.\(ab\leq4\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq2\sqrt{2}\)D.\(a^2+b^2\geq8\)10.已知拋物線\(C:y^2=4x\)，過點\(M(2,0)\)的直線\(l\)與\(C\)交于\(A,B\)兩點，\(N\)為線段\(AB\)的中點，則A.直線\(l\)的斜率不可能為0B.\(|AN|=|BN|\)C.點\(N\)的軌跡是拋物線D.\(|AB|\geq4\)11.已知函數(shù)\(f(x)=\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-2\sinx\cosx\)，則A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的最大值為\(2\)C.\(f(x)\)在\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)的圖像關(guān)于點\(\left(\frac{\pi}{12},0\right)\)對稱12.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+(-1)^n\)，則A.\(a_3=3\)B.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+\frac{(-1)^n}{3}\}\)是等比數(shù)列C.\(a_n=\frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3}\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{2^{n+2}+(-1)^n-4}{3}\)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol=(m,1)\)，若\((\boldsymbol{a}+2\boldsymbol)\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)\)，則\(m=\)。14.已知\(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)，且\(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}\)，則\(\sin2\alpha=\)。15.已知三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)的底面\(ABC\)是邊長為2的正三角形，側(cè)棱\(AA_1\perp\)底面\(ABC\)，且\(AA_1=3\)，則該三棱柱內(nèi)切球的半徑為。16.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)，若存在\(x_1<x_2<x_3\)使得\(f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=k\)，則\(k\)的取值范圍是；此時\(x_1+x_2+x_3=\)（第一空2分，第二空3分）。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對邊分別為\(a,b,c\)，已知\(2b\cosA=c+a\cosC\)。（1）求角\(A\)；（2）若\(b=3\)，\(\triangleABC\)的面積為\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，求\(a\)。18.（12分）某企業(yè)為評估新研發(fā)的智能設(shè)備性能，收集了100臺設(shè)備連續(xù)30天的無故障運行時間（單位：小時），整理得到如下頻率分布表：|無故障時間\(t\)|\([50,70)\)|\([70,90)\)|\([90,110)\)|\([110,130)\)|\([130,150]\)||--|--|--||-|-||頻率|0.1|0.2|0.4|0.2|0.1|（1）用分層抽樣的方法從無故障時間在\([50,90)\)和\([110,150]\)的設(shè)備中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺，求至少有1臺無故障時間在\([50,90)\)的概率；（2）假設(shè)無故障時間\(t\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\mu\)近似為樣本均值，\(\sigma^2\)近似為樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）。若該設(shè)備無故障時間超過140小時為“性能優(yōu)秀”，試估計1000臺設(shè)備中“性能優(yōu)秀”的臺數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）。參考數(shù)據(jù)：\(\sqrt{2}\approx1.414\)，\(\sqrt{3}\approx1.732\)，若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545\)。19.（12分）如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為菱形，\(\angleABC=60^\circ\)，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(PA=AB=2\)，\(E\)為\(PD\)的中點。（1）證明：\(CE\parallel\)平面\(PAB\)；（2）求二面角\(A-PC-B\)的余弦值。20.（12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右頂點分別為\(A_1,A_2\)，上頂點為\(B\)，且\(\triangleA_1A_2B\)的面積為\(2\sqrt{3}\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)。（1）求橢圓\(C\)的標準方程；（2）過點\(A_1\)的直線\(l\)與橢圓\(C\)交于另一點\(M\)（異于\(A_2\)），過點\(A_2\)作\(A_2N\perpl\)于點\(N\)，證明：直線\(BN\)過定點。21.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax^2-x\)。（1）當\(a=0\)時，討論\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\geq1\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。22.（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2a_n+1}\)（\(n\in\mathbb{N}^\)）。（1）證明：數(shù)列\(zhòng)(\left\{\frac{1-a_n}{1+a_n}\right\}\)是等比數(shù)列；（2）設(shè)\(b_n=\frac{n}{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)；（3）證明：\(\sum_{k=1}^na_k<\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\ln(n+1)\)（\(n\geq1\)）。答案一、單項選擇題1.C2.A3.B4.B5.A6.A7.C8.A二、多項選擇題9.ABCD10.ABD11.AB12.BCD三、填空題13.\(-1\)或\(2\)14.\(-\frac{7}{25}\)15.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)16.\((-1,3)\)；\(0\)四、解答題17.（1）由正弦定理得\(2\sinB\cosA=\sinC+\sinA\cosC\)，又\(\sinC=\sin(A+B)\)，展開化簡得\(\cosA=\frac{1}{2}\)，故\(A=\frac{\pi}{3}\)。（2）面積\(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，代入\(b=3\)得\(c=2\)。由余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=7\)，故\(a=\sqrt{7}\)。18.（1）分層抽樣抽取\([50,90)\)中2臺（記為\(A,B\)），\([110,150]\)中3臺（記為\(C,D,E\)）。總共有\(zhòng)(C_5^2=10\)種取法，至少1臺在\([50,90)\)的對立事件是全在\([110,150]\)（有\(zhòng)(C_3^2=3\)種），故概率為\(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\)。（2）樣本均值\(\mu=60\times0.1+80\times0.2+100\times0.4+120\times0.2+140\times0.1=100\)。樣本方差\(\sigma^2=(60-100)^2\times0.1+\cdots+(140-100)^2\times0.1=480\)，故\(\sigma=4\sqrt{30}\approx21.9\)。\(P(t>140)=P(t>\mu+2\sigma)\approx\frac{1-0.9545}{2}=0.02275\)，1000臺約有\(zhòng)(1000\times0.02275\approx23\)臺。19.（1）取\(PA\)中點\(F\)，連接\(BF,EF\)，可證\(EF\parallelAD\)且\(EF=\frac{1}{2}AD\)，又\(BC\parallelAD\)且\(BC=AD\)，故\(EF\parallelBC\)且\(EF=\frac{1}{2}BC\)，即\(BFCE\)為平行四邊形，\(CE\parallelBF\)，故\(CE\parallel\)平面\(PAB\)。（2）以\(A\)為原點建系，\(P(0,0,2)\)，\(C(2,\sqrt{3},0)\)，\(B(1,\sqrt{3},0)\)。平面\(APC\)法向量\(\boldsymbol{n_1}=(\sqrt{3},-1,0)\)，平面\(BPC\)法向量\(\boldsymbol{n_2}=(\sqrt{3},1,2)\)，則余弦值為\(\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\frac{\sqrt{15}}{15}\)。20.（1）由題意\(\frac{1}{2}\times2a\timesb=2\sqrt{3}\)，\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，\(a^2=b^2+c^2\)，解得\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。（2）設(shè)\(l:x=ty-2\)，與橢圓聯(lián)立得\((3t^2+4)y^2-12ty=0\)，\(M\left(\frac{6t^2-8}{3t^2+4},\frac{12t}{3t^2+4}\right)\)。\(A_2N\perpl\)，\(N\)坐標為\(\left(\frac{2(3t^2-2)}{3t^2+4},\frac{12t}{3t^2+4}\right)\)。直線\(BN\)方程化簡得\(y=\frac{\sqrt{3}t}{t^2-2}(x-1)\)，過定點\((1,0)\)。21.（1）\(a=0\)時\(f(x)=e^x-x\)，\(f'(x)=e^x-1\)，當\(x<0\)時\(f'(x)<0\)，遞減；\(x>0\)時遞增。（2）\(f(0)=1\)，需\(f'(x)=e^x-2ax-1\geq0\)在\([0,+\infty)\)恒成立。令\(g(x)=e^x-2ax-1\)，\(g'(x)=e^x-2a\)。若\(a\leq\frac{1}{2}\)，\(g'(x)\geq0\)，\(g(x)\geqg(0)=0\)；若\(a>\frac{1}{2}\)，存在\(x_0=\ln(2a)\)使\(g(x)\)在\([0,x_0)\)遞減，\(g(x_0)<g(0)=0\)，矛盾。故\(a\leq\frac{1}{2}\)。22.（1）\(\frac{1-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=\frac{1-\frac{a_n+1}{2a_n+1}}{1+\frac{a_n+1}{2a_n+1}}=\frac{1-3a_n}{3+a_n}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-a_n}{1+a_n}\)，首項\(\frac{1-a_1}{1+a_1}=0\)？（修正：實際首項\(\frac{1-a_1}{1+a_1}=0\)錯誤，應(yīng)為\(a_1=1\)，則\(\frac{1-1}{1+1}=0\)，但等比數(shù)列公比\(\frac{1}{3}\)，故數(shù)列為\(0,0,\cdots\)，可能題目條件有誤，正確應(yīng)為\(a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2a_n-1}\)或其他形式，此處假設(shè)原題正確，可能首項計算錯誤，正確步驟應(yīng)為\(a_1=1\)，\(a_2=\frac{2