山西2025自考[計算機科學與技術(shù)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計（二）主觀題專練一、計算題（共3題，每題10分）1.題目：某軟件公司開發(fā)一款新系統(tǒng)，已知該系統(tǒng)在測試階段出現(xiàn)故障的概率為0.1?，F(xiàn)對該系統(tǒng)進行3次獨立測試，求至少有1次測試中出現(xiàn)故障的概率。答案：設(shè)事件A表示“一次測試中出現(xiàn)故障”，則P(A)=0.1。設(shè)事件B表示“3次測試中至少有1次出現(xiàn)故障”，則P(B)=1-P(3次均未出現(xiàn)故障)。由于每次測試獨立，P(3次均未出現(xiàn)故障)=(1-0.1)^3=0.9^3=0.729。因此，P(B)=1-0.729=0.271。2.題目：某網(wǎng)絡公司服務器每天被訪問的次數(shù)服從泊松分布，平均每天被訪問50次。求某天服務器被訪問次數(shù)超過60次的概率。答案：設(shè)X表示“每天服務器被訪問次數(shù)”，X~Po(50)。要求P(X>60)=1-P(X≤60)。由于泊松分布參數(shù)較大，可用正態(tài)近似：X~N(50,50)。標準化：Z=(X-50)/√50≈(X-50)/7.071。P(X≤60)≈P(Z≤(60-50)/7.071)=P(Z≤1.414)。查標準正態(tài)分布表，P(Z≤1.414)≈0.9217。因此，P(X>60)=1-0.9217=0.0783。3.題目：某科技公司研發(fā)的芯片壽命（單位：年）服從指數(shù)分布，平均壽命為5年。求該芯片使用2年后仍未損壞的概率。答案：設(shè)X表示“芯片壽命”，X~Exp(1/5)。要求P(X>2|X>1)=P(X>2+1)=P(X>3)。指數(shù)分布無記憶性，P(X>3)=1-F(3)=e^(-3/5)≈0.5488。二、證明題（共2題，每題10分）1.題目：證明：若隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，則X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。答案：證明：由獨立性和正態(tài)分布性質(zhì)，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：f(x,y)=(1/(2πσ1σ2))e^(-(x-μ1)^2/(2σ1^2)-(y-μ2)^2/(2σ2^2))。令Z=X+Y，求Z的密度函數(shù)fZ(z)：fZ(z)=∫_(-∞)^∞f(x,z-x)dx=∫_(-∞)^∞(1/(2πσ1σ2))e^(-(x-μ1)^2/(2σ1^2)-(z-x-μ2)^2/(2σ2^2))dx。通過變量替換和積分計算（略），可得：fZ(z)=(1/√(2π(σ1^2+σ2^2)))e^(-(z-(μ1+μ2))^2/(2(σ1^2+σ2^2)))。因此，Z~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。2.題目：證明：樣本方差S^2是總體方差σ^2的無偏估計量。答案：證明：總體方差σ^2=E[(X-μ)^2]，樣本方差S^2=(1/(n-1))Σ(xi-x?)^2。根據(jù)樣本均值的性質(zhì)，E(x?)=μ，且E[(x?-μ)^2]=σ^2/n。因此，E[Σ(xi-x?)^2]=E[Σ(xi-μ)^2]-nE[(x?-μ)^2]=nσ^2-n(σ^2/n)=(n-1)σ^2。所以，E(S^2)=E[(1/(n-1))Σ(xi-x?)^2]=σ^2。證畢。三、綜合應用題（共2題，每題15分）1.題目：某山西煤炭企業(yè)監(jiān)測礦井瓦斯?jié)舛?，隨機抽取5個樣本，瓦斯?jié)舛龋▎挝唬?）分別為：3.2,3.5,3.1,3.4,3.3。假設(shè)瓦斯?jié)舛确恼龖B(tài)分布，試求總體均值μ的95%置信區(qū)間。答案：計算樣本均值和方差：x?=(3.2+3.5+3.1+3.4+3.3)/5=3.3。S^2=[(3.2-3.3)^2+(3.5-3.3)^2+(3.1-3.3)^2+(3.4-3.3)^2+(3.3-3.3)^2]/4=0.0225。95%置信區(qū)間：t_(0.025,4)≈2.776（查t分布表）。區(qū)間=[x?-t_(0.025,4)(S/√n),x?+t_(0.025,4)(S/√n)]=[3.3-2.776(0.15),3.3+2.776(0.15)]≈[2.95,3.65]。2.題目：某山西軟件公司測試兩款操作系統(tǒng)A和B的響應時間（單位：ms），隨機抽取10次測試數(shù)據(jù)如下：A：120,125,130,128,122,131,127,129,124,126；B：118,120,122,119,121,117,123,126,125,120。假設(shè)響應時間服從正態(tài)分布，且方差相等，試檢驗兩款系統(tǒng)響應時間是否有顯著差異（α=0.05）。答案：計算樣本均值和方差：x?_A=126,S_A^2=20.7；x?_B=121.3,S_B^2=16.3。檢驗步驟：1.求合并方差：S_p^2=[(920.7+916.3)/(18-2)]=18.5。2.求統(tǒng)計量：t=(126-121.3)/√(18.5(1/10+1/10))=