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湘豫名校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.本試卷共6頁(yè).時(shí)間120分鐘,滿分150分.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷指定位置,并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上,然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并收回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù),則()A.13 B. C.5 D.2已知集合,,則()A. B. C. D.3.已知樣本數(shù)據(jù)7,8,6,10,6,5,9,12,則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.94.與圓外切,同時(shí)與圓內(nèi)切的圓的圓心在()A.橢圓上 B.雙曲線的一支上C.拋物線上 D.圓上5.在等差數(shù)列中,公差,若,則()A.8 B.12C.16 D.186.已知在上可導(dǎo),則()A. B.C. D.7.如圖,為等邊三角形的中線上任一點(diǎn),,,則()A. B.C. D.8.定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且有,當(dāng)時(shí),恒有,則()A. B.C D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.如圖,在正方體中,對(duì)角線與平面交于點(diǎn),則()A.直線與所成的角為B.平面C.D.為的垂心10.已知均為銳角,且,則()A. B.C.若,則 D.的最大值為11.已知數(shù)列滿足,則()A.BC.D.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是___________.13.有一摸球游戲,規(guī)則如下:在盒子里放大小、質(zhì)地完全相同的5個(gè)紅球和10個(gè)白球,不放回地依次隨機(jī)取出,每次取出1個(gè)球,直到剩下只有一種顏色的球時(shí)結(jié)束.則最后只剩紅球的概率為___________.14.已知是拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)).若直線恒過(guò)點(diǎn),則___________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知.(1)求證:;(2)求的值.16.某大學(xué)一興趣小組為探究“是否定期鍛煉”與“睡眠質(zhì)量”之間的關(guān)系,隨機(jī)選取了50名同學(xué)做調(diào)查問(wèn)卷,得到如下數(shù)據(jù)(其中睡眠質(zhì)量得分滿分為100分):高于85分不高于85分合計(jì)定期鍛煉15520不定期鍛煉52530合計(jì)203050(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為“定期鍛煉”和“睡眠質(zhì)量得分高于85分”有關(guān)聯(lián)?(2)從睡眠質(zhì)量得分高于85分的20人中隨機(jī)抽取2人,求這2人中“定期鍛煉”的人數(shù)的分布列.附:,其中.獨(dú)立性檢驗(yàn)中5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值表:0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.82817已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程.(2)記,若有兩個(gè)零點(diǎn).(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(ii)求證:.18.如圖,正四棱錐中,是棱的中點(diǎn),是底面的中心.過(guò)作平面與棱分別交于不同的點(diǎn)(可以是端點(diǎn)).(1)求證:三線交于一點(diǎn);(2)若.(i)求直線與平面所成角的正弦值;(ii)求多面體的體積的取值范圍.19.已知雙曲線的漸近線的斜率為,且實(shí)軸長(zhǎng)為2.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若與直線有唯一的公共點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為曲線.(
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