專題01一次函數(shù)綜合題

壓軸題密押

通用的解題思路：

（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到工的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前

提下求出最值.

（3）用函數(shù)圖象解決實際問題

從己知函數(shù)圖象中獲取信息，求四函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題.

壓軸電預(yù)窩

1.（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線y=-6x+6與0O相切，切點為P,與x軸y軸分別交于A、8兩點.0O

與天軸負(fù)半軸交于點C.

（1）求的半徑；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）由OP=QVsin60。，即可求解；

（2）由圖中陰影部分的面積=S坦形ep-Suoc，即可求解.

【解答】解：（1）對于直線y=-島+6,令.y=-y/3x+6=0,

則工=26，即。4=2&,

由一次函數(shù)的表達(dá)式知，05=6,

貝ij/RAC=60。

連接OP,則OPJ_AA,

（2）過點P作P"_LAC于點”，

???NPOH=30°，則NPOC=150°,

13

PH=-OP=-,

22

則圖中陰影部分的面積=53形08-5m8=坨X江乂32-」、3、3=臣心.

雄彤c。尸"(K360°224

【點評】本題考查了一次函數(shù)和圓的綜合運用，涉及到圓切線的和一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，面積

的計算等，綜合性強，難度適中.

2.(2023?宿豫區(qū)三模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：y=x+l與直線4"=-2相交于點。，點A

是直線4上的動點，過點A作八8_L/1于點6,點C的坐標(biāo)為(0,3),連接AC,BC.設(shè)點A的縱坐標(biāo)為f,

A48C的面枳為s.

(1)當(dāng)1=2時，求點4的坐標(biāo)：

(2)$關(guān)于.的函數(shù)解析式為s=、K廠+的一^(?-或“5),其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息,

?(r+l)(f-5)(-1<r<5)

求出“與b的值；

(3)在直線4上是否存在點A,使得NAC8=90。，若存在，請求出此時點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

【分析】(1)解法一：先根據(jù)，=2可得點A(—2,2),因為“在直線右上，所以設(shè)8(x,x+l),利用)，=0代入

y=x+l可得G點的坐標(biāo)，在RtAABG中，利用勾股定理列方程可得點4的坐標(biāo)：

解法二：根據(jù)可以使用)，=x+1與大軸正半軸夾角為45度來解答；

(2)先把(7,4)代入5+bt--中計算得的值，計算在-l<fv5范圍內(nèi)圖象上一個點的坐標(biāo)值：當(dāng)f=2

44

時，根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)可計算此時s=2,可得坐標(biāo)(2,?),代入s=4(/+1)(/-5)中可得。的值；

44

(3)存在，設(shè)8*,x+l),如圖5和圖6,分別根據(jù)兩點的距離公式和勾股定理列方程可解答.

【解答】解：(1)解法一：如圖1，連接AG,

當(dāng)/=2時，4—2,2),

設(shè)B(x,x+1),

在y=x+l中，當(dāng)x=0時，y=1.

.-.6(0,1),

丁AB_L4,

/.Z4Z?G=90°,

AH2+BG2=AG2，

即(x+2)~+(x+1—2)~+x~+(x+1—1)~=(—2)"+(2—1)~,

解得：X)=0(舍)，

「?吟f；

解法二：如圖1一1,過點“作軸于E,過點A作A，_LBE于"，

圖1-1

當(dāng)工=0時，y=\,

當(dāng)y=0時，x+1=0?

則上=-1,

：.OF=OG=\,

NG。/=90。，

:.NOGF=/OFG=45。,

:.BE=EF,

?.?Z4BD=90°,

ZABH=NBAH=45°,

.?.AAB”是等腰直角三角形,

:.AH=BH,

當(dāng)/=2時，A(—2,2),

設(shè)B(x,x+1),

/.A+2=2-(X+1)?

1

/.X=—，

2

n,11、

，B(-Q，-)：

(2)如圖2可知：當(dāng)［=7時，5=4,

圖2

把(7.4)代入s=1/+加一3中得：—+7/？--=4,

4444

解得：b=—\?

如圖3,過3作軸，交AC于〃，

12以

1

才

圖3

8(一；)’

由(1)知：當(dāng)1=2時，A(-2,2)

?/C(0,3).

設(shè)AC的解析式為：y=kx+n,

叱\-2二k3+n=2，

L=1

解得2，

〃=3

」.AC的解析式為：y=-x+3,

2

?H(11

..”(一相-)>

II19

BnrHr=-----=一,

424

1I99

.?.5=-m.|xc-xJ=-x-x2=-

o9

把⑵工)代入s=〃"D"5)得：?(2+l)(2-5)=-,

4

解得：a=--；

4

(3)存在，設(shè)B(x,x+1),

是等腰宜角三角形，

:.AB=BD,

?.?A(-2j),。(-2,T),

(X+2)2+(x+1—=(x+2)2+(X+1+I)2,

3+]7)2=5+2)2,

x+l-f=x+2或x+l-1=-x-2.

解得：r=-l(舍)或/=2K+3,

RtAACB中，AC2+BC2=AB2,

BP(-2)'+(/-3)"+x"+(x+1—3)~=(x+2)"+(x+1—/)2,

把/=2x+3代入得：f-3x=0,

解得：x=0或3,

當(dāng)工=3時，如圖5,則/=2x3+3=9,

/.A(-2,9)；

當(dāng)工=0時，如圖6,

綜上，點A的坐標(biāo)為：(-2,9)或(-2,3).

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直為二角形的判定和性質(zhì)、二角形的面積、兩

點間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

3.(2023?裸陽市一模)如圖1,將矩形AO4c放在平面直角坐標(biāo)系中，點O是原點，點A坐標(biāo)為(0,4),

點B坐標(biāo)為(5,0),點P是x軸正半軸上的動點，連接AP,AAQP是由AAOP沿AP翻折所得到的圖形.

(1)當(dāng)點Q落在對角線OC上時，QP=_?_;

(2)當(dāng)直線PQ經(jīng)過點。時，求PQ所在的直線函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖2,點M是8C的中點，連接MP、MQ.

①WQ的最小值為;

②當(dāng)APMQ是以PM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點尸的義標(biāo).

【分析】(1)通過。點在0c上，可以通過々0C的三角函數(shù)和的三角函數(shù)來導(dǎo)出對應(yīng)的邊的關(guān)系,

求得結(jié)果；

(2)通過直角AAQC中，得到QC的長度，然后通過OP=PQ=x,可以在RtABCP中，得到對應(yīng)的x值然

后求出結(jié)果：

(3)通過QA=OA=4,可得出0點的運動軌跡，是以A點為圓心，4為半徑長度的圓弧，從而可知，MA

的連線上的。點為最短的MQ長度，

通過分類討論，PM=PQ,PM=QM,PQ=QM來求得對應(yīng)的P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖I,

y八

?.?NO4P+NAQE=90°,

4OC+NAQ石=90°,

NOAP=/BOC,

又?,?ZAOP=4OBC=90°,

-O-P=OA,即日0OP=一4

BCOB45

故答案為:

(2)如圖,

?/AQLPQ,

:.ZAQC=90°,

:.QC=JAC2_JQ2=,52-42=3,

?.?/IQ=AO=4,

設(shè)OP=PQ=x,則C尸=3+x,PB=5-x,

:.CP2=BP?+BC：

(3+X)2=(5-X)2+42,

x=2,

.?.P點的坐標(biāo)為(2,0),

將P(2,0)和C(5,4)代入)，=丘+匕中，

0=2&+〃

4=5&+力’

1-4

解得：3

一工

3

.?/Q所在直線的表達(dá)式為：y=-x--；

33

(3)如圖,

①?」AQ=AO=4,

.??。點的運動軌跡，是以A為圓心，4為半徑的圓弧，

二.MQ的最小值在AM的連線上，如圖，即為所求,

是8c中點，CM==BC=2,

2

AM=y]52+22=x/29,

A/0=M4-4Q，=回-4,

故答案為：\/29-4：

設(shè)OP=PQ=x,BP=5—x,

PM2=(57)2+22=x2-IOJ+29,

當(dāng)PM=PQ時，

PM2=PQ2,

.?.W-10x+29=f,

29

x=一，

10

29

...P(—,0),

10

當(dāng)團(tuán)戶="Q時，如圖，若點Q在AC上,

則AQ=Q4=4,

?:MP=MQ,MB=MC,/PBM=/QCM,

:ZMBdQMC(HL),

:PB=QC,

QC=AC-AQ=5-4=\,

:.PB=\,

.,.OP=BO-PB=5-l=4,

/.P(4,0)；

若點。在AC上方時，

由對稱性可知QW=MQ,

MQ=MQ,

:.MO=MP,

/.P(10,0)；

當(dāng)WQ=PQ時，不符合題意，不成立，

29

故/點坐標(biāo)為?(丁，0)或P(4,0)或(10,0).

【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象及應(yīng)用，通過一次函數(shù)坐標(biāo)圖象的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)和勾股定理，來求得對應(yīng)的解.

4.（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數(shù)），=〃氏+〃與y=T，i￥+〃（〃7W0）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以我們

定義：函數(shù)y=〃氏+〃與y=-〃氏-〃?！ü?）互為"M"函數(shù).

（1）請宜接寫出函數(shù)），=2x+5的函數(shù)；

（2）如果一對“M"函數(shù)y=/m+〃與），=-〃氏+〃（〃?/0）的圖象交于點A,且與x軸交于8,C兩點，如

圖所示，若N1MC=9O。，且A4BC的面積是8,求這對“M”函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點。是），軸上的一個動點，當(dāng)AMO為等腰三角形時，請求出點乃的坐標(biāo).

【分析】（1）根據(jù)互為“例”函數(shù)的定義，直接寫出函數(shù)），=2x+5的“M”函數(shù)；

（2）現(xiàn)根據(jù)已知條件判斷AA4C為等腰直角三角形，再根據(jù)互為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，得出

Q4=O5=OC,再根據(jù)函數(shù)解析式求出點A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)A48C的面積是8求出〃?、〃的值,

從而求出函數(shù)解析式；

（3）為等腰三角形，分以A為頂點，以8為頂點，以。為頂點三種情況討論即可.

【解答】（1）解：根據(jù)互為函數(shù)的定義，

.?.函數(shù)），=2x+5的“M”函數(shù)為y=-2x+5；

（2）解：根據(jù)題意，），=〃a+〃和y=-〃比+〃為一對"M函數(shù)

/.AB=AC,

又???/R4C=9O。，

.?.A48C為等腰直角三角形，

:,ZABC=ZACB=45°.

?：OB=OC,

/.ZBAO=ZC4O=45°,

：.OA=OB=OC,

又S.=1XBCXA°=8且8C=2AO，

k-VlOV2

?.AO=2&,

,/A>B、。是一次函數(shù)y=〃吠+〃與)，=-〃ir+〃(〃7H0)的圖象于坐標(biāo)軸的交點，

.?.4(0,〃)，,0),C(—,0),

mm

OA=OB=n，

：.-=2x/2,

m

：.m=1,

/.y=x+2夜和y=-x+242；

(3)解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況，

AO=BO=2五,

:.AB=4,

由(2)知，A(O,2>/2),B(-2垃,0),C(2yf2,0),

??.。以A為頂點，貝

當(dāng)點。在點A上方時，AD=2五+4,

當(dāng)點。在點A下方時，40=2a-4,

/.D,(0,2V2+4),D2(0,2>/2-4),

②以幺為頂點，則A4=E),

此時點。在y軸負(fù)半軸，

/.2(0,-2回，

③以。為頂點，則=

此時。為坐標(biāo)原點，

Z)4(0,0).

.??。點坐標(biāo)為。(0,20+4),D2(0,2V2-4),D,(0,-2>/2),/.D4(0,0).

【點評】本題考杳一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及新定義、等腰三角形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是理解新定義，用

新定義解題.

5.(2024?新北區(qū)校級模擬)如圖①，動點?從矩形48CZ)的頂點A出發(fā)，以匕的速度沿折線A-8-C向

終點C運動；同時，一動點。從點。出發(fā)，以匕的速度沿/X?向終點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一

個點也停止運動.點E為C￡＞的中點，連接正，PQ,記AEPQ的面積為S,點P運動的時間為f,其函數(shù)

圖象為折線和曲線尸G(圖②)，已知，ON=4,M/=l,點G的坐標(biāo)為(8,0).

(1)點尸與點Q的速度之比上的值為-;空的值為；

--

v25AD------

(2)如果OM=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式;

②求AG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式;

③是否存在某個時刻，，使得S..B?若存在，求出，的取值范圍：若不存在，請說明理由.

4

圖①B2

【分析】(1)由函數(shù)圖象可知7=3時，Q與E重合，/=4時，戶與“重合，/=6時，尸與C重合，則。的

速度p=華，2的速度匕=與，從而得出答案;

(2)①當(dāng)，=0時，尸與A重合，Q與。重合，此時之歷=2,可得AD=8C=。石=15,AB=CD=^AD=\0,

從而得出點尸與Q的速度，即可得出點尸的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得答案;

②設(shè)死所在的曲線的數(shù)解析式為S=〃(-6)2+4(。工0),把尸(5,三)，G(8,0)代入解析式求得。，女值即

4

可求解答；

③利用待定系數(shù)法求出直線MN的函數(shù)解析式，當(dāng)5="時，可得/的值，根據(jù)圖象可得答案.

4

【解答】解：(1)?.?ON=4,NH=1,6(8,0),

.?.M4,O),"(5,0),

由圖象可知：7=4時，Q與￡重合，1=5時，P與〃重合，1=8時，P與C重合,

二。的速度嶺二匹，P的速度/=空，

45

?.?四邊形AAC。是矩形,

AB=CD,AD=BC,

???E為CD的中點,

:.DE=-CD=-AB,

22

AB

?上工純」*

'v2DE5DE5

4

?.?P從A到8用了5秒，從B到。用了3秒,

AB-54,BC-3v（，

AB=-BC,

3

的值為

3

故答案為：I；

（2）①?.?OM=15,

由題知，1=0時，〃與A重合，。與。重合,

S=-A。?DE=15,

VAB:AD=~,DE=-AB,

32

:.DE=-AD,

6

-AD-AD=\5,

26

:.AD=BC=6（舍去負(fù)值）,

:.AB=CD=-AD=\0,

3

DE5

v,=——=-

44

525

當(dāng)z=5時，DQ=vt=-^.5=—

244

755

:.QE=DQ-DE=——5=-,此時尸與8重合,

44

，喈,

設(shè)直線NF的解析式為S=ki+b(k+0),

Uk+b=O

將N(4,0)與尸(5,”)代入得：15，

45k+b=——

4

15

k=—

4，

b=-\5

線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為S=-/-15(4<5)；

4

②設(shè)AG所在的曲線的數(shù)解析式為5=3(京-5)(16-2/)=-京2+15—40,

一.PG所在的曲線的函數(shù)解析式為S=-』/+15/-40(5效:8)；

4

③存在，分情況討論如下：

當(dāng)。在DE上,。在上時，

?.?直線MN經(jīng)過點M(0J5),N(4,。)，

可求得直線MN的解析式為5=-21+15(便1)4),

4

當(dāng)$="時，一"/+|5="，

444

A=3，

???S隨工的增大而減小，

.??當(dāng)度k3時.，S...—,

4

當(dāng)。在CE上，。在BC上時，

直線NF的解析式為5=—/-15(4</?5)；

4

由尸(5,")知：當(dāng)f=5時,5=—,

44

當(dāng)$="時，一3產(chǎn)+|5/-4()="，

444

「.，=7或5,

由圖象知:當(dāng)5效k7,

.r的取值范圍為濾13或5瀏7.

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知

識，理解函數(shù)圖象中每一個拐點的意義是解題的關(guān)

點”，，請直接寫出6的取值范圍是_______.

28.如圖①，動點尸從矩形ABCD的頂點/出發(fā)，以周的速度沿折坡Z—B—C向終點C運動；同時，一

動點。從點。出發(fā)以匕的速度沿QC向終點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動.點E為

的申點，連接PE,P。，記^EP。的面積為s,其函數(shù)圖象為折線MV—NF和曲線尸G（圖②），已知

ON=4,NH=\,點G的坐標(biāo)為（8.0）.

圖②

V,AB,?、］

（1）點P與點Q的速度之比，的值為J的值為

鍵.（2）如果OM=15.

6.（2024?梁溪區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，二次函數(shù)），=-奴2+30￥+4〃的圖象與x軸交于A、

3兩點（點4在點3的左側(cè)），與），軸正半軸交于點C,直線）：=；x交于第一象限內(nèi)的。點，且A43。的

面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點E為1軸上一點，過點E作），軸的平行線交線段OD于點尸，交拋物線于點G,當(dāng)G/=&O/時,

求點G的坐標(biāo)；

（3）已知點P（〃,0）是x軸上的點，若點。關(guān)于直線OD的對稱點Q恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求〃的值.

(備用圖)

【分析】⑴在y=*+3ar+4a中,令)，=0得A(T,O),8(4,0),根據(jù)A4BC的面積為10,即得OC=4,

C(0.4),用待定系數(shù)法即得二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-d+3x+4；

(2)設(shè)E(HK0),則Fim.—m)?G(m,-in2+3〃?+4),由GF=\j5OF,可得-in2+—in+4=\f5xm,即

222

可解得G(2,6)；

(3)連接PQ交直線(%)于K,過Q作Q7_Lx軸于7,設(shè)Q(r,s),可得K(廿二-),BPff-=lx—,

22222

〃+r=①，又/+$2=〃2,(〃+r)(〃一r)=s2②，可解得r=,〃，s=—n,故，—n)?代入

5555

y=-x2+3x+4得￡?=-(-z/)2+3x-；?+4,解得〃=5或〃=.

5559

在y=-ax2+3ar+4。中，令)，=0得-at2+3ax+4a=0,

解得x=4或x=-l,

.?.4(7,0),8(4,0),

:.AB=5，

?.?AA3C的面積為10,

"AOC=IO,即,x5.OC=10,

2

:.OC=4,

C(0,4),

把C(0,4)代入y=-ax2+3ax+4。得：

4<Y=4,

.'.?=1>

二.二次函數(shù)的表達(dá)式為)，=-W+3x+4；

/.OF=.L2+(1W)2=—m,GF--nr+3/z2+4--77?=-nr+』〃?+4,

V2222

GF=y[5OF,

：.-nf++4=&x—m,

22

解得〃z=2或m=一2(舍去)，

??.G(2,6)；

(3)連接PQ交直線OQ于K,過。作QT_Lx軸于丁，如圖：

???P(〃,0)關(guān)于直線對稱點為Q,

：.OQ=OP^n\tK是尸Q中點,

設(shè)。（二s），

K在直線y=~x上，

s1n+r

...-=—X-------,

222

整理得：〃+r=2s①，

OT2+QT2=OQ2,

：./+S2=/J,

變形得：（〃+「）（〃-r）=/②，

杷①代入②得：2s（〃一力=s2,

s工0,

由①③可得/*=—/?,s=—n>

55

34

Q（-〃’W〃）’

?。在拋物線y=—寸+3x+4上,

解得〃=5或〃=---?

9

答：〃的值為5或-型.

9

【點評】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，對稱變換等知識，解題

的關(guān)鍵是用含〃的代數(shù)式表示Q的坐標(biāo).

7.（2023?祁江區(qū)校級一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:_＞，=-等X+46分別與x軸、y軸交于

點4點和8點，過O點作于。點，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊ATOF（尸點在x軸的正半軸上）.

（1）求4、〃點的坐標(biāo)，以及0。的長;

（2）將等邊AEZW,從圖1的位置沿x軸的正方向以每秒1個單位的長度平移，移動的時間為/"）,同時

點、P從E出發(fā),以每秒2個單位的速度沿著折線瓦”運動（如圖2所示），當(dāng)2點到廠點停止，ADEF

也隨之停止.

①/=3或6（.v）時，直線/恰好經(jīng)過等邊AEDF其中一條邊的中點；

②當(dāng)點尸在線段。E上運動，若DM=2PM,求，的值；

③當(dāng)點尸在線段。尸上運動時，若APMV的面枳為0,求出r的值.

【分析】（1）把x=0,），=0分別代入），=一日X+46，即可求出點A、8的坐標(biāo)，求出440=30°,根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可得出。。=,。4=6；

2

（2）①當(dāng)直線/分別過小、DF、四的中點，分三種情況進(jìn)行討論，得出f的值，并注意點?運動的最

長時間；

②分點2在直線/的卜方和直線/上方兩種情況進(jìn)行討論，求出；的值即可；

③分點P在DN之間和點P在M?'之間兩種情況進(jìn)行討論，求出/的值即可.

【解答】解：（1）令x=0,則y=4G，

.?.點8的坐標(biāo)為（0,4行）,

令F=0,WJ-—x+4x/3=0,

-3

解得x=12>

.,.點4的坐標(biāo)為（12,0）,

v3,0=2=遞=2

OA123

Z^4O=30°,

?.?0￡)_LA4,

...ZOZM=90°,

.??AOD4為直角三角形,

OD=-OA=6t

2

為等邊三角形，

/.ZDFE=60°,

?.?Zfi4O=30°，

ZFG4=60°-30°=30°,

:.AFGA=ZBAO,

：.F'A=FG=-DF=3,

2

：.OF=OA-FA=9,

:.OE=OF-EF=9-6=3,

/./=3；

?;DEU,DG=EG,

.?.直線/為。石的垂直平分線,

?.?ADE尸為等邊三角形，

此時點F與點A重合,

t=-----=6；

1

當(dāng)直線/過EF的中點時，運動時間為，=必口=9；

1

?.?點?從運動到停止用的時間為：—=6,

2

??.此時不符合題意；

綜上所述，當(dāng)，=3s或6s時，直線/恰好經(jīng)過等邊AEZW其中一條邊的中點,

故答案為：3或6；

?\'OE=t,AE=\2-t,Na4O=30°,

：.ME=6--,

2

:.DM=DE-EM=',

2

?;EP=2t,

:.PD=6-2t,

當(dāng)P在直線/的下方時，

DM=-DP,

3

?2

.*.l=-(6-2r),

23

解得：/=竺；

II

當(dāng)P在直線/的上方時，

?;DM=2DP,

：.-=2(6-27),

解得/=號；

3

綜上所述：，的值為少或§：

113

③當(dāng)3＜晨6時,

VZD=60°,/DMN=90。，DM=-,

2

.?./￡>^=90°-60°=30°,

M/V=DMxtan6()o=—/,DN=2DM=?J=t,

22

???/)P=2f-6,

：.PN=DN-DP=t-(2t-6)=6-t,

4DNM=30c,

.,.邊MN的高〃=,AW=3-」1,

22

?.?APMN的面枳為JJ,

gx堂"3一=,

222

整理得：/2—6/+8=0?

解得，=2(舍)或7=4

vZL>=60°,/DMN=90。，DM」,

2

ZDW=90°-60°=30°,

MTV=DMxtan60°=—r,DN=2DM=2x-=t,

22

?.?OP=2f—6,

：.PN=DP-DN=Z-6T=i-6,

NDNM=30。,

:"FNA=/DNM=3",

二.邊MN的高〃=,QN=?!■/-3,

22

?.?APMV的面枳為G，

-xf（-/-3）=\/3,

222

解得Z=3+M（舍）或"3-而（舍），

綜上所述，/的值為4s.

VA

9（k

【點評】本題主要考杳了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、利用三角函數(shù)解直角

三角形，熟練掌握含30。的直角三角形的性質(zhì)并注意進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系人Oy中，對「任意兩點弓（內(nèi)，y）與心。?，％）的“非常距

離”，給出如下定義：

若K—看|…|y—%1，則點4與點￡的“非常距離”為|西f|;

若K一天IVX-先I，則點B與點2的“非常距離”為Iy-必I?

例如：點6（1,2）,點2（3,5）,因為I1-3K2-5|,所以點與點八的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖

1中線段［Q與線段鳥Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線6Q與垂直于x軸的直線鳥。交點）.

（1）已知點A（-g,0）,8為），軸上的一個動點，

①若點A與點4的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點8的坐標(biāo)；

②直接寫出點4與點4的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線y=3x+3上的一個動點，

①如圖2,點。的坐標(biāo)是（0,1）,求點。與點。的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點。的坐標(biāo)：

②如圖3,E1是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的?個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相

應(yīng)的點E與點C的坐標(biāo).

【分析】（1）①根據(jù)點8位于），軸上，可以設(shè)點8的坐標(biāo)為（0.），）.由“非常距離”的定義可以確定|0-），|=2,

據(jù)此可以求得），的值；

②設(shè)點8的坐標(biāo)為（（）,），）.因為I-—），|,所以點A與點、B的“非常距離”最小值為|一（一0|=3；

（2）①設(shè)點。的坐標(biāo)為（即，（蒞+3）.根據(jù)材料“若|%-七|…|,一為1，則點［與點R的“非常距離”

為|』-馬|”知，C、。兩點的“非常距離”的最小值為與+2,據(jù)此可以求得點C的坐標(biāo)；

②根據(jù)“非常距離”的定義，點E在過原點且與直線y=?x+3垂直的直線上，且C與石的橫縱坐標(biāo)差相

等時，點C與點石的“非常距離”取最小值，據(jù)此求出C與石的坐標(biāo)及“非常距離”的最小值.

【解答】解：（1）①?.?8為），軸上的一個動點，

設(shè)點8的坐標(biāo)為（0,y）.

?」-2一°|=:02，

22

.JO-止2，

解得，y=2或丁=-2；

.?.點B的坐標(biāo)是（0,2）或（0,-2）；

②點A與點8的“非常距離”的最小值為

2

（2）①如圖2,當(dāng)點C與點。的“非常距離”取最小值時，需要根據(jù)運算定義“若|西-馬1…1）1-必1，則

點4與點鳥的“非常距離”為|為-占1”解答，此時1%-與1=01-必1?即AC=AD,

點。的坐標(biāo)是（0,1）,

3

???設(shè)點C的坐標(biāo)為（小，-x+3）,

40

.?.一天=(玉+2,

8

此時，天

7

點。與點。的“非常距離”的最小值為：|/吟

此時嗚苧

4

②如圖3,當(dāng)點E在過原點且與直線），=±x+3垂直的直線上，且。『二萬時，點。與點E的非常距離”

4

最小,

上」

x3

父+y2=\

3

x=——

5

解得

4

P，=?

34

故E(-±,-).

55

4

設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0,1%+3),

Arrlv玉)=~~，

?G

則點。的坐標(biāo)為(-],：),點C與點￡t的“非常距離”的最小值為1.

【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題.對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的‘'非

常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵.

9.(2023?海安市一模)對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的圖形W和點戶，給出如下定義：尸為圖形W上任意

一點，將尸，尸兩點間距離的最小值記為機，最大值記為M,稱“與〃?的差為點尸到圖形W的“差距離”，

記作d(P,W),即或P,W)=M-〃，已知點42,1),5(-2,1)

(1)求d(Q.AB)；

(2)點C為直線y=-l上的一個動點，當(dāng)d(CA8)=l時，點C的橫坐標(biāo)是_(2-石)或(石-2—)_；

(3)點。為函數(shù)y=x+〃(-2領(lǐng)k2)圖象上的任意一點，當(dāng)d(D/W),,2時，直接寫出力的取值范圍.

【分析】(1)畫出圖形，根據(jù)點尸到圖形W的“差距離”的定義即可解決問題.

(2)如圖2中，設(shè)。(九-1).由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)如圖3中，取特殊位置當(dāng)。=6時，當(dāng)0=7時，分別求解即可解決問題.

【解答】解：⑴如圖1中，

V

vA(2,D，8(-2,1),

:.ABHx軸，

點O到線段的最小距離為1,最大距離為遙，

:.ci(O,AB)=y/5-\.

（2）如圖2中，設(shè)C（肛T）.

當(dāng)點。在y軸的左側(cè)時，由題意AC-2=1,

/.AC=3，

:.（2-m）2+22=9,

:.m=2-舊或2+加（舍棄），

/.C（2->/5,-1）,

當(dāng)點C在y軸的右側(cè)時，同法可得。（石-2,-1）,

綜上所述，滿足條件的點。的坐標(biāo)為（2-石，—1）或（逐一2,-1）.

故答案為：（2-x/5,—1）或（石-2,-1）.

（3）如圖3中,

當(dāng)。=6時，線段）:），=4+6（-2冽1-2）上任意一點。，滿足4（。八砌,,2,

當(dāng)b=-4時,線段￡/：），=工-4（-2黜2）上任意一點。，滿足d（D,曲,2,

觀察圖象可知：當(dāng)。.6或瓦，-4時，函數(shù)），=1+仇—2領(lǐng)k2）圖象上的任意一點，滿足d（O,A3）,2.

【點評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，點P到圖形VV的“差距離”的定義等知識，

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型.

10.（2022?姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標(biāo)系工。），中，對于任意的三個點A、B、C,給出如下定義：若

矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A.8.C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A,

B，C的“三點矩形”.在點A,B,C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為

點A,B,C的“最佳三點矩形”.

如圖1,矩形。加G,矩形〃CH都是點A,13,。的“三點矩形"，矩形〃CH是點A,B,C的“最佳

三點矩形”.

如圖2,已知例（4,1）,N（—2,3）,點尸

（1）①若帆=2,〃=4,則點M,N,2的“最佳三點矩形”的周長為」面積為

②若切=2,點/，N,2的“最佳三點矩形”的面積為24,求〃的值；

（2）若點夕在直線y=-2x+5上.

①求點M，N,Q的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時機的取值范圍；

②當(dāng)點例，N,。的“最佳三點矩形”為正方形時，求點尸的坐標(biāo)；

（3）若點P（〃7,〃）在拋物線y=?2+bx+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點M,N,尸的“最佳三點矩形”面積為12時,

-2冽〃-1或掇加3,直接寫出拋物線的解析式.

*M

2345

圖1圖2備用圖

【分析】（1）①利用“最佳二點矩形”的定義求解即可，

②利用“最佳三點矩形”的定義求解即可；

（2）①利用“最佳三點矩形”的定義求得面積的最小值為12,

②由“最佳三點矩形”的定義求得正方形的邊長為6,分別將），=7,），=-3代入y=-2x+5,可得x分別

為-1,5,點P的坐標(biāo)為（7,7）或（4,-3）；

（3）利用“最佳三點矩形”的定義畫出圖形，可分別求得解析式.

【解答】解：（1）①如圖，畫出點M,N,P的“最佳三點矩形”，可知矩形的周長為6+6+3+3=18,

面枳為3x6=18；

故答案為：18,18.

②?,?M(4,1),N(—2,3),

又?.?6=2,點M,N,P的“最佳三點矩形”的面積為24.

二.此矩形的鄰邊長分別為6,4.

.”=-l或5.

(2)如圖，

①由圖象可得，點M,N,2的“最佳三點矩形”面積的最小值為12；

分別將)，=3,)，=1代入)，=-21+5,可得x分別為1,2；

結(jié)合圖象可知：啜加2；

②當(dāng)點例，N,P的“最佳三點矩形”為正方形時，邊長為6,

分別將y=7,y=-3代入y=-21+5,可得上分別為T,4：

.?.點P的坐標(biāo)為(-1,7)或(4,-3)；

(3)設(shè)拋物線的解析式為)，=,4+云+*經(jīng)過點(-1,1),(1,1),(3,3),

a-b+c=\

<a+b+c=\

9a+3b+c=3

1

a=—

4

Z>=0,

3

c=-

4

同理拋物線經(jīng)過點(-1,3),(1,3),(3,1),可求得拋物線的解析式為)，=-4/+g，

44

拋物線的解析式y(tǒng)=或三，/+值.

4444

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及點的坐標(biāo)，正方形及矩形的面積及待定系數(shù)法求函數(shù)解

析式等知識，解題的關(guān)鍵是理解運用好“最佳三點矩形”的定義.

11.(2022?太倉市模擬)如圖①，動點P從矩形A8CD的頂點4出發(fā)，以用的速度沿折線A-3-C向終點

C運動；同時，一動點Q從點。出發(fā)，以匕的速度沿DC向終點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點

也停止運動.點E為CD的中點，連接正，PQ,記AEPQ的面積為S,點P運動的時間為入其函數(shù)圖象

為折線'和曲線FG(圖②)，已知，ON=3,NH=1,點G的坐標(biāo)為(6,0).

(1)點尸與點Q的速度之比五的值為-;的值為；

v22

(2)如果QW=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②是否存在某個時刻/,使得￡=？若存在，求出/的取值范圍；若不存在，請說明理由.

3

1二6時，?與C重合，則Q的

速度彩=華，尸的速度匕=與，從而得出答案;

(2)①當(dāng)/=0時，尸與A重合，Q與。重合，此時之歷二？，可得AD=8C=。石=2,AB=CD=2AD=4,

從而得出點尸與Q的速度，即可得出點尸的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得答案；

②利用待定系數(shù)法求出直線MN的函數(shù)解析式，當(dāng)5=士時，可得/的值，根據(jù)圖象可得答案.

3

【解答】解：(1),,?ON=3,NH=LG(6,0),

.?.N(3,0),"(4,0),

由圖象可知：f=3時，Q與石重合，，=4時，。與8重合，1=6時，P與C重合,

??.0的速度為=華，/的速度”=與，

?.?四邊形A3C。是矩形，

AB=CD，AD=BC，

???￡為CD的中點,

.\DE=-CD=-AB,

22

AB

4_4_A83_AB3_3

4US2

"T2

?.?p從A到“用了4秒，從4到。用了2秒,

/.AB=4v1,BC=2q,

：.AB=2BC,

「.48:AO的值為2,

故答案為：-,2；

2

(2)①?.?QM=2,

「.MQ2),

由題知，f=0時，。與A重合，Q與。重合，

??SAEPQ=；ADDE=2,

?/AB:AD=2,

/.AD=DE=-AB,

2

-AD2=2,

2

：.AD=BC=DE=2,AB=CD=2AD=4,

DE2

v,==—，

233

28

當(dāng)/=4時，。。=畤f=5乂4=1，

Q2

:,QE=DQ-DE=^-2=^f此時尸與3重合,

1123

SAEPQ=-^G^=-X-X2=-,

」.F(4,|),

設(shè)直線NF的解析式為S=kx+梃*0),

將N(3,0)與尸(4,一)代入得：

3

32+h=0

?2，

4k+b=-

3

k=-

.一3，

b=-2

9

，線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為5=-x-2(3<4)；

3

②存在，分情況討論如下：

當(dāng)。在DE上,尸在上時，

?.?直線MN經(jīng)過點"(0,2),N(3,0),

同理求得直線MN的解析式為S=—±2x+2(怎收3),

3

當(dāng)$=之2時，一2士1+2=2,

33

「./=2,

???s隨工的增大而減小，

當(dāng)礴2時，S.，，

3

當(dāng)Q在