6.2等差數(shù)列

，考試要求

1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義，掌握等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)

列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

3.理解等差數(shù)列的通項(xiàng)及前〃項(xiàng)和分別與一元一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.

陞備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基”:回扣

教材回扣

1.等差數(shù)列的概念

(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的也都等

于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用

字母4表示，即如一a”-i=d(〃￡N”,且〃22)或1-a”=d(n￡N").

(2)等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)小4人成等差數(shù)列，則人叫做〃與力的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)

列的定義可以知道，2A=a±b.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

(1)通項(xiàng)公式：1)d.該式又可以寫成a?=dn^-(a\—d),這表明dWO時(shí)，a?

是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且上0時(shí)是增函數(shù)，d<0時(shí)是減函數(shù).

該式又可以寫成S,尸金I(q一§〃，

(2)前〃項(xiàng)和公式：S"='?/=/必I-----5-----乩

這表明dWO時(shí)，S”是關(guān)于〃的二次函數(shù)，且上0時(shí)圖象開口向上，衣0時(shí)圖象開口向下.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)

①在等差數(shù)列｛文｝中,若公差為等則斯=4”+(〃一"?)％當(dāng)C"時(shí)，d=:二::.

②在等差數(shù)列｛如｝中，若機(jī)+〃=〃+4(機(jī)，〃，〃，q￡N"),則而+知=%+的.特別地,若

機(jī)+〃=2p,則4”+斯=2%.

③若數(shù)列｛斯｝是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)歹U｛腦〃+切(九〃為常數(shù))是公差為2d的等

差數(shù)列.

④若數(shù)列｛斯｝,｛兒｝是公差分別為力，凌的等差數(shù)列，則數(shù)列｛九%+々兒｝(小，不為常

數(shù))也是等差數(shù)列，且公差為&力+不山.

⑤若數(shù)列｛〃〃｝是公差為4的等差數(shù)列，則從數(shù)列中抽出項(xiàng)-公+””W2,“，…,組成的

數(shù)列仍是等差數(shù)列，公差為創(chuàng).

(2)與和有關(guān)的性質(zhì)

①等差數(shù)列中依次2項(xiàng)之和S?LSk，S3LS?公…組成公差為Fd的等差數(shù)列.

②記S現(xiàn)為所有偶數(shù)項(xiàng)的和，S奇為所有奇數(shù)項(xiàng)的和.

若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為則SL〃(%+硒)，S也一S產(chǎn)M，1^="(S#0)；

D曲Chi

若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃一l(〃WN)則S2〃T=(2〃-1)%(如是數(shù)列的中間項(xiàng))，SLS偶

，聯(lián)=7(Sb。).

〉俞〃

③｛%｝為等差數(shù)列=榭為等差數(shù)列.

④兩個(gè)等差數(shù)列｛斯｝,｛兒｝的前〃項(xiàng)和S”，7；之間的關(guān)系為伍=黑二伽W0,72“-產(chǎn)0).

力/力1一1

1ET教材拓展

1.若.=p〃+q(p,g為常數(shù)),則｛〃”)一定是公差為〃的等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值與｛〃”｝的單調(diào)性有關(guān).

(1)若ai>0,d<0,則S”存在最大值.

(2)若0V0,</>0,則S”存在最小值.

(3)若0>0,c/>0,則｛S“｝是遞增數(shù)列，S是｛Sn｝的最小值;若田<0,10,則｛SJ是遞減

數(shù)列，&是｛SJ的最大值.

3.｛%｝是等差數(shù)列=￡=八/+8〃(人，B是常數(shù)).若S“=A/+B?+C且CK0,則｛〃”｝

從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列.

基礎(chǔ)檢測

I.判斷(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)數(shù)列｛所｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意〃UN,都有2a“+i=a〃+a”+2.(

(2)等差數(shù)列｛小｝的單調(diào)性是由公差d決定的.()

(3)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為"的一次函數(shù).(X)

(4)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0且關(guān)于〃的二次函數(shù).(X)

2.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)Pl5T4改編)等差數(shù)列｛%｝中，勿=3,G=24,則數(shù)列

｛斯｝的通項(xiàng)公式為。”=7〃-4.

解析：設(shè)等差數(shù)列｛“J的公差為4,由題意得3d=。4-41=21=4=7,則a”=〃i+(〃-l)d

=7n—4.

3.(人數(shù)A版選擇性必修第二冊(cè)P17例5改編)在等差數(shù)列｛⑶｝中，+3a8十05=60,

則s+a】4的值為24.

解析：依題意，等差數(shù)列｛?“｝中，。|+3呢+。15=60,5麴=60,解得痣=12,所以改+

?14=2C/S=24.

4.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P21例6改編)若等差數(shù)列｛斯｝的前5項(xiàng)和&=25,且

42=3,則4/7=13.

色Ss=5的―+104解=25,引

解析：設(shè)等差數(shù)列(斯I的公差為"，由題意得因此,

4=2,

47=0+6d=1+6X2=13.

陜鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1等差數(shù)列基本量的計(jì)算

[例I]⑴（2024?廣東汕頭三模）已知等差數(shù)列①｝的前〃項(xiàng)和為S”，他=3,am=

2詼+1,若S“+a〃+i=IOO,則〃=（B）

A.8B.9

C.10D.11

【解析】由。2=3,%=2%+1,得畋=20+1=3,解得0=1,則等差數(shù)列｛m｝的公

1+2〃—1

差”=2,于是an=2〃-1,S,t=---2---?〃=/,由￡+為+]=100,得/+2〃+1=100,所

以〃=9.故選B.

（2）（2024?河北保定三模）已知在等差數(shù)列｛〃“｝中，d,=L公差上0.若數(shù)歹行，也是

等差數(shù)列，則d=（C）

A.1R.2

C.3D.4

【解析】依題意得知=d〃+1—d(d>0),則=d%+2d(1—d)+°~?—?jiǎng)t“;；1,

24

晶一4_,(I-〃)2_4_(1_4)2_4_2_(I~^)~"24

n=d~+〃+1—-n=力—〃(〃+1)又是等差數(shù)列，所以一

(l-6Z)2-4

=0,解得4=3或＜/=一1（舍去）.故選C.

（3）（2024?新課標(biāo)II卷）記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若。3+?4=7,3a2+/=5,

則Sio=箜.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,則由題意得

41+2d+?+3d=7,解叱=3,

3(〃]+c/)+ai+4d=5,

,10X9

則5io=10?14—^-^=10X(-4)4-45X3=95.

」規(guī)律總結(jié)

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量s,即，d,S”，知其中三個(gè)量

就能求另外兩個(gè)量，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而⑶和4是等差數(shù)列

的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（1）（2024?黑龍江大慶三模）已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”若G

=-2,S5=-5,則Si2=（A）

A.30B.32

0,即d=2〃i,所以42=0+d=34i.

②③=①.

證明：已知數(shù)列(返J是等差數(shù)列，。2=3。|,所以$=〃1,S2=0+〃2=4ai.

設(shè)數(shù)列｛低｝的公差為乩J>0,則小L小尸西I一麗=d,

得a]=d2,所以，1W=〃d,所以Sn=n2d2,

22222

所以〃22時(shí)，an=Sn—Sn-1=nd—(/?—1)^=2J/?—d,對(duì)〃=1也適合，

22222

所以斯=2"2〃一d2,所以6/n+i—??=2d(n+1)—f/—[2dn—J)=2d(常數(shù)),

所以數(shù)列｛“〃｝是等差數(shù)列.

」規(guī)律總結(jié)

1.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法

(1)定義法：對(duì)任意〃GN：〃〃+I-4”是同一常數(shù)=｛斯｝為等差數(shù)列.

(2)等差中項(xiàng)法：2%+1=卬+如+2=伍“｝為等差數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式法：an=an+b(〃，b是常數(shù))=｛斯｝為等差數(shù)列.

(4)前〃項(xiàng)和公式法：S〃=a〃2十(.，。為常數(shù))u｛a〃｝為等差數(shù)列.

2.若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)小，斯+1,即+2,使得這三項(xiàng)不滿

足2斯+[=〃〃+如+2即可.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】已知在數(shù)列｛〃〃｝中，6/1=1,斯+?！?1=/，設(shè)，=m+3s+3%3+…+

3"%”

求證：數(shù)列｛4S“一3"〃,,｝是等差數(shù)列.

證明：由S?=67|+3￡72+32?3H---F3"%”，

得Sn-\+3色+3%3+…+3"-%”-1,

兩式相減得S”一*7=3"斯，所以4s〃一3"斯一(4冬-1-3"一匕1)=4(5一工-1)一3〃小+

3〃/斯_尸4-3"%〃―3%+3.%〃7=3"/(即+如7)=3"1*=1,

又4SL3LI=1,

所以數(shù)列｛4S”一3%〃｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

命題角度1項(xiàng)的性質(zhì)

【例3】(2024.全國甲卷理)記$,為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.已知S5=Su)，上=1.

則m=(B)

7八7

A.2B.g

C」D—二

【解析】由Sio—S5=46+e+ax+a9+mo=5a8=Q,得念=0,則等差數(shù)列｛?〃｝的公差

d="'J=一；，故ai=g-4d=1—4x(-3=,.故選B.

命題角度2和的性質(zhì)

【例4】⑴（2024?陜西咸陽二模）已知等差數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和為S”,若S4=2,S*

=12,則S2o=（D）

A.30B.58

C.60D.90

【解析】數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，故S4,S8-S4,512-S8,516-512,S20-S16為等差數(shù)列,

由§4=2,§8=12,得S8—S4=10,故S]2—S8=18,$6一$2=26,S2O-S|6=34,即有$2=

18+58=30,SS=26+SI2=56,S2O=34+$6=9O.故選D.

（2）（2024?河北衡水三模）已知數(shù)列｛〃“｝,｛九｝均為等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和分別為￡,T”,

滿足（2〃+3）S”=（3I）T，”則^^^i

A)

A.2B.3

C.5D.6

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛斯｝，｛瓦｝均為等差數(shù)列，可得仍+恁+小^恁竦義⑸產(chǎn)）,

且氏+加0=〃1+015,又由715=15".；""”,可得氏+"0=尋15.因此，+_35i5

LI，十力10一5五

34

=3義,=2.故選A.

命題角度3和的最值

【例5】（多選）（2024?山西呂梁三模）已知等差數(shù)列（如｝的首項(xiàng)為⑶，公差為心前

〃項(xiàng)和為若5|（）<58<59,則下列說法正確的是（BD）

A.當(dāng)〃=8,S”最大

B.使得S”<0成立的最小自然數(shù)〃=18

C.|俱+匈>|mo+au|

D-榭中最小項(xiàng)碌

SgvS%SLSN=。9>0,一。9=一0-8d<0,

【解析】因?yàn)?，所以J印.

[5lO〈S9,5io_59=t/io<0,?io=4i+9d<(),

〃|>0,

兩式相加，解得彳。9>0,3o<O,當(dāng)〃=9時(shí)，S”最大，故A錯(cuò)誤；由$o<S8,可

d<0,

得到49+410<0<49,所以48+〃ll<0,4io+〃ll—(?84~?9)=4J<0,〃io+〃lI+〃s+〃9V0,所以|。8

+a9l〈|aio+aiil,故C錯(cuò)誤；由以上可得a?>a2>ay><,?><z9>0>^io>a11>,??,$7=I7(sj/i7)=

17。9乂)，而塔)=9(。9+0。)<0,當(dāng)〃W17時(shí)，S〃>0,當(dāng)〃218時(shí)，S〃〈0,所以使

得5〃<0成立的最小自然數(shù)〃=18,故B正確；當(dāng)〃W9,或〃218時(shí)，^>0,當(dāng)9v〃vl8時(shí)，

^<0,由0>00>01>…>417,得S[0>Sll>S12>…〉S17〉O,所以行｝中最小項(xiàng)為黑故D正確.故

選BD.

規(guī)律總結(jié)k

1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛m｝中，若機(jī)+〃=p+g("i,”，p,g￡N"),則am+an=ap+

aq.

2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛?。校琒”為其前〃項(xiàng)和.則

(1)52"=〃(。1+〃2/1)=…=H(an+4”+1).

⑵S2“T=(2〃-1)%.

(3)依次&項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Szk-Sk,S3人一S2?,…成等差數(shù)列.

3.求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值的常用方法

(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求出其正負(fù)

轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值.

(2)函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S產(chǎn)4〃2+B〃(4W0)為二次函數(shù)，通

過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(I)等差數(shù)列1?。那啊?xiàng)和為S”，若5=70,S33+〃5)=80,則公差

d=(C)

A.12B.2

C.3D.4

解析:等差數(shù)列｛“〃｝中,$7=7改=70,得04=10,又。2(。3+。5)=2.2。4=80,得。2=4,

所以d=3.故選C.

(2)設(shè)S”是等差數(shù)列｛處｝的前〃項(xiàng)和，若普=/則需=(B)

33

A-7B-10

33

J11u-14

解析：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,則Ss,5IO-55,515-SID,S20—SS,…為等差數(shù)列.由普=

I，可設(shè)S5=?ZN0),則SIO=3/,于是S5,510—55,Si5—Sio,S20—S15,…依次為/,It,3/,

"…，所以S2o=f+2f+3f+4f=lOf,所以得=看故選B.

(3)(多選)已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛內(nèi)｝的前〃項(xiàng)和為S”,若⑸5-Sll)(S|5-S12)<0,

則(ABD)

A.。13+。14>0

B.S)i<Si5<Si2

C.當(dāng)〃=14時(shí)，S”取最大值

D.當(dāng)S〃〈0時(shí)，〃的最小值為27

解析:首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為Sn,所以⑸5一Su)(Si5一$2)=(015+04

+ai3+ai2>3ai4=6ai4(ai3+ai4)<0,若?14>0,則03+04一定大于零,不符合題意,所以山4V0,

?i3+?i4>0,故A正確；由A可知Sis—5u=ai5+ai4+ai3+4i2=2(ai3+ai4)>0,所以Sis>5u,

5|5—S|2=3?14<O,所以515Vsi2,故B正確；由A可知，。14<0,03+。14>0,可知。13>0,故〃

%*=27?！?lt;。，§26=次*=以03

=13,S”取最大值，故C錯(cuò)誤；由A可知，S21=

+?14）>0,故D正確.故選ABD.

Q高考創(chuàng)新方向多想少算

【例】（2024.安徽合肥一六八中學(xué)期末）己知等差數(shù)列｛d｝（公差不為0）和等差數(shù)

列｛仇｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃，T,?如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程1003f-SOO獷+TIWBMO有實(shí)數(shù)

解，那么以下1003個(gè)方程/一。d+瓦=0（1=1,2,…，1003）中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有（D）

A.499個(gè)B.500個(gè)

C.501個(gè)D.502個(gè)

1003(〃|+。|003)

【解析】由題意得Sf003—4X10037100320(*),其中Sioo3

2

1003的02,r003=16雙絲+一伍川:]0（）3慶02,代入（*）得屆2一4為。220,顯然第502個(gè)

方程有解.設(shè)方程『一mx+5=o與方程『一000sx+加期=0的判別式分別為4,4003,則

3+々QQ3)2

4+4003=(??4b1)+(??oo34〃ioo3)=a，+afoo34(Z>)+Z?i003):--4X2Z/502

J"；')_8b502=2(673O2-4/?502)2。，因?yàn)?032。，所以/|<0,/1003<0至多有一個(gè)

成立，同理可證/2<0,C02<0至多有一個(gè)成立，…，^501<0,4503<0至多有一個(gè)成立.綜上,

在所給的1003個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有502個(gè).故選D.

創(chuàng)新解讀

本題利用一元二次方程有實(shí)數(shù)解建立不等式，利用等差數(shù)列角標(biāo)和的性質(zhì)將問題簡化，

看似計(jì)算量非常大的一道題目，其本質(zhì)考查利用不等式及等差數(shù)列的性質(zhì)分析問題、解決問

題的能力，新高考強(qiáng)調(diào)的多想少算，在本題中體現(xiàn)明顯.

課時(shí)作業(yè)39

一基礎(chǔ)鞏固「

1.（5分）（2024.北京豐臺(tái)區(qū)一模）已知公差為d的等差數(shù)列｛為｝滿足的一2〃3=1，且。2

=0,則d=（C）

A.-1B.0

C.1D.2

解析：丁的―2a3=m+4d—2（m+2"）=—。|=1,，ai=—1,?i=0—（―1）=1.

故選C.

2.（5分）（2024.浙江紹興二模）已知等差數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為S”且與一片=6,則

〃7-〃4=(D)

A.9B.10

C.11D.12

解析：由題意設(shè)等差數(shù)列｛，“｝的首項(xiàng)、公差分別為0，d,因?yàn)樾粻?350+亨/一

3（2ai+60=|d=6,所以d=4,從而由一田=34=12.故選D.

3.（5分）（2024?全國甲卷文）記工為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.已知59=1,則內(nèi)+的

=（B）

A-1B2

人?9D,9

C.1D.|

9X8

解析：方法一設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為/根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9=9?,+—6/

22

=lo9m+36d=l,所以方+。7=0+2"+。1+6"=2。1+8-=§(9。1+36")=§.故選B.

方法二根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，0+內(nèi)=6+。7,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9=9（"；"9）

9(。+s)1M,_24

—o—1,故的+〃7—9.故選B.

I?

方法三不妨取等差數(shù)列｛斯｝的公差d=0,則S9=1=9。1=。|=§,則。3+。7=2。|=$.

故選B.

4.（5分）據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載，我國古代一座九層塔共掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下

一層燈的盞數(shù)比上一層燈的盞數(shù)都多〃（〃為常數(shù)），底層燈的盞數(shù)是頂層的13倍，則該塔的

底層共有燈（C）

A.39盞B.42盞

C.26盞D.13盞

解析：依題意，九層若從頂層到底層燈的盞數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛縱｝,kWN”,kW9,且如

=13即記數(shù)列儂｝的前攵項(xiàng)和為于是得59=以志"X9=e苧"X9=63m=126,解得

?i=2,所以窈=26,所以該塔的底層共有26盞燈.故逡C.

5.（5分）（2024.廣東汕頭一模）在3與15之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

則插入的3個(gè)數(shù)之和為（C）

A.21B.24

C.27D.30

解析：令插入的3個(gè)數(shù)依次為外，a2t。3,即3,勿，G,的，15成等差數(shù)列，因比2s

=3+15,解得s=9,所以插入的3個(gè)數(shù)之和為0+s+，3=3s=27.故選C.

6.（5分）己知等差數(shù)列｛為｝,｛6｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，T”,若（2〃+3）S”=〃7；,則胃=

A)

1

A?B.

A.253

11

c2

L.2iD.25

解析：(2〃+3說=〃7；,吟=丁七,又等差數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和S“滿足*=〃/+%〃，

Inr3

由題意知〃#0,故4_a=s4>2\，則Sn=a〃\7)?=a(2〃+3)〃，故,彳=

InZn-r367(2/7-rJ)/2。6l(y~15

_________4X(52_42)_________=_9?_=_9_技冼

aX[6X(2X6+3)—5XQX5+3)]—25。―25?故選A.

7.(6分)(多選)已知等差數(shù)列優(yōu)”｝的前〃項(xiàng)和為S〃，-6=31,$3=21,則(BD)

A.｛%｝為遞減數(shù)列

B.6=7

C.若V〃￡N",則”的取值范圍為(3,+8)

D.%

解析：由題意知｛a?｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,由676=31,S3=21,得

0+5d=31,_.

1>n(n—1)

3X(3—Ik/解得J,/則。"=6〃-5,S“=〃+—5—X6=3〃2—2〃，則G

3m+F~=21.6=6,2

=7,故B正確；由的=1奉=(,得｛$］不為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)=3一京由于〃三N*,

()<^W2,故1W/<3,由于故a的取值范圍為［3,+8),故C錯(cuò)誤；由于〃WN’，

0<景5,故與=6一36,故D正確.故選BD.

8.(6分)(多選)(2024?福建泉州模擬)等差數(shù)列｛斯｝中，俏=-7,侑=一1，若Sn=

“i+sHha〃，力1=41他“，4〃，則(AD)

A.工有最小值，。無最小值

B.S“有最小值，7；,無最大值

C.S”無最小值,一有最小值

D.S“無最大值，7；有最大值

〃i+d=-7,解得a\=~9,

解析：設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,依題意，得iT,J

d=2,

—Q-1-2/7—11)

=-9+2(〃-1)=2〃-11,，S”=2---------=/-10〃=(〃-5戶一25,；?當(dāng)〃=5時(shí)，S”

有最小值一25,S〃無最大值,而7；=-9X(-7)X(-5)X(-3)X(-l)XlX3X-X(2n-ll),

易得/<(),73<0,75<0,72>0,7>0,且7>乃，當(dāng)〃26時(shí)，7；<0,???當(dāng)〃=4時(shí)，兀有最

大值，7；無最小值.故選AD.

9.(5分)(2024?山東濟(jì)南三模)數(shù)列｛%｝滿足%+2—斯=2,若3=1,對(duì)=4,則數(shù)列｛小｝

的前20項(xiàng)的和為210.

解析：數(shù)列｛如｝滿足%+2—?！?2,若0=1,04=4,則。2=為-2=4—2=2,所以數(shù)列

｛〃”｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1,2為首項(xiàng)，公差均為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列｛斯｝的前

20項(xiàng)的和為4-6Z2^-------。20=(〃1+〃3H-------1~09)+(〃2+〃4H------1~?20)=10X1+--—X2+

.10X9

10X24—2—X2=210.

10.(5分)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，若&=1,SU=3(A￡N),則S依=也.

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知S?k—Sk,S3&—S”，SM'—S3a成等差數(shù)列，則其公差為S2a

—Sk~Sk=1,???S32—S2人=(§2人-SQ+1=3,則S3k=6,；?5心一S3&=(S3&-S〃)+1=4,則S必

=10.

11.(16分)(2024?圖川自貢三模)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”且SL〃斯=)(〃一

1).

(1)求證：數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列；

(2)若的,砂，一成等比數(shù)列,求S”的最大值.

解：(1)證明：數(shù)列(為|滿足S”一〃?！?%(〃一1)①，

當(dāng)〃22時(shí)，有Sn-j—(M—l)an-\=2(n—l)(n—2)②,

①一②可得S“一S〃-1—+(〃-1)%-1=%(〃-I)一；(〃一1)(〃一2),

即(1-〃)&+(〃-1)加1=[(〃-1)[〃一(〃-2)],

整理可得知一如-|=-1(〃22),

故數(shù)列｛斯｝是以一1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，公差d=-\t

若恁，49,成等比數(shù)列，則有加=。5乂4[1,

即(ai-8)2=(a-4)(ai-1())f

解得41=12,

所以斯=〃1+(〃一\)d=13—〃,

所以｛?,｝單調(diào)遞減，又當(dāng)1W〃<13時(shí)，斯>0,當(dāng)〃=13時(shí)，為=0,當(dāng)〃>13時(shí)，?！?lt;0,

*X]1

故當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)，S”取得最大值，且(S)nax=S12=S|3=12X12+=5—乂(-1)=

78.

12.(16分)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”.已知m=一7,$3=—15.求：

(1)S〃及5“的最小值；

(2)數(shù)歹?川斯|｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d.

由題意，得S3=3m+3d=-15.由0=—7,得4=2.

所以｛斯｝的通項(xiàng)公式為a,,=2/1—9,

所以SH=〃2-8〃=(〃-4戶一16.

所以當(dāng)〃=4時(shí)，S”取得最小值，最小值為一16.

當(dāng)時(shí)，a?<0,當(dāng)〃時(shí)，a?>0,所以當(dāng)〃時(shí)，T=

(2)251WW4n2

，尸+8〃；

(〃一4)(1+2〃-9)

當(dāng)時(shí),7；,=164="2—8〃+32.

2

一/+8〃.1W〃W4,

綜上，T=

n8〃+32,“25.

■素養(yǎng)提升

13.（5分）（2024?山東濟(jì)南二模）已知｛〃〃｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，｛?。那啊?/p>

項(xiàng)和為S”，若S〃=2025,當(dāng)〃取最大值時(shí)，如的最大值為（D）

A.63