專題12.15角的角平分線的性質(zhì)（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，有三塊菜地△AC。、△ABD.△BOE分別種植三種蔬菜，點(diǎn)。為AE與BC

的交點(diǎn)，A。平分NR4C,AD=DE,AB=3AC,菜地△80E的面積為96,則菜地AACQ的面

積是（）

A.24B.27C.32D.36

2.如圖，肋AACB中，ZACB=90°,ZkACB的角平分線A。，8E相交于點(diǎn)P,過P作

P”J_4O交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)立交AC于點(diǎn)H,則下列結(jié)論：①NAP8=135。；@AD=PF-PH；

7

③OH平分NCOE；④S展的ABDE=-S*BP；⑤SaAPHt的AOE,其中正確的結(jié)論有（）

4

個(gè)

A.2B,3C.4D.5

3.如圖，在△O4B和AOCO中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,

連接AC、BD交于點(diǎn)M,連接OM,下列結(jié)論：?AC=BD；②/AM3=40°；③OM平

分N8OC；④MO平分NBMC,其中正確的為（）

A.①②③B.①②④C.②D.③④

4.如圖，在肋△/$（:中，/。=90。,/胡。的平分線交BC于點(diǎn)。，DEHAB,交AC于

點(diǎn)￡,DFJ.AB于點(diǎn)、F,DE=5,DF=3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.BF=\B.DC=3C.AE=5D.AC=9

5.如圖，8。平分NA8C,F,G分別是8A,8c上的點(diǎn)（8b/8G）,EF=EG,則

N8FE與N8GE的數(shù)量關(guān)系?定滿足的是（）

A.N3尸E+N3GE=9。B./BFE+NBGE=18()

C./BFE=2NBGED./BFE—/BGE=90

6.如圖，在△ABC中，ZA=90°,4￡是4/WC的角平分線，EDLBC于點(diǎn)、D,CD=4,

△CDE周長(zhǎng)為12,則AC的長(zhǎng)是（）

B

7.如圖，點(diǎn)A、C在/五8。的兩條邊8F、8。上，BE平分N尸8。，CE平分NAC。,

連接4E,若N8EC=35。，則/用E的度數(shù)為（)

E

B

A.35°B.45°C.55°D.65°

8.如圖,△ABC的荻個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.研平分NAPCB.8。平分NAACC.BA=BCD.PA=

PC

9.如圖，在心△ABC中，N4CB=90。，ZBAC=3OC,ZACB的平分線與NABC的外角

的平分線交于E點(diǎn)，連接AE，則NAEC的度數(shù)是（）

C.35°D.30°

10.如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在△ABC中內(nèi)部修建一個(gè)探照燈，要求探照燈

的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△八8C（）的交點(diǎn).

A.三條角平分線B.三條中線

C,三條高的交點(diǎn)D.三條垂直平分線

11.如圖，直線4，L&表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公珞的

A.邊角邊，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

B.角邊角，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

C.邊邊邊，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

D.斜邊直角邊，全等三角形對(duì)?應(yīng)角相等

15.如圖①，已知NA8C,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖②，步驟如下：

第一步：以6為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線區(qū)4,BC于點(diǎn)D,Ex

第二步:分別以。，E為圓心，以〃為半徑畫弧,兩弧在N4AC內(nèi)部交于點(diǎn)P；

第三步：畫射線射線AP即為所求.

F列敘述不正確的是（）

A.?>0B.作圖的原理是構(gòu)造SSS三角形全等

C.由第二步可知，DP=EPD.的長(zhǎng)

2

二、填空題

16.如圖，在AA4c中，444C和Z4cA的平分線相交于點(diǎn)0,過。點(diǎn)作M//BC交A3

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)”，過點(diǎn)。作0。，人。于。，下列四個(gè)結(jié)論：①EF=BE+CF；②

/80。=90。一：乙4；③點(diǎn)。到AA8C各邊的距離相等；④設(shè)8=/〃，AE+AF=n,則

SMEF=!〃"?.其中正確的結(jié)論有（填寫序號(hào)）.

17.如圖，AABC的面積為8cm2,AP垂直NB的平分線BP于P,則4PBC的面積為

18.如圖將一副三角板按如圖所示放置，ZC4B=ZmE=90°,ZC=45°,NE=30。,

則下列結(jié)論中:

@Z1=Z3=45°；②若4。平分NC4A,貝U有BC//4E；③若A8平分ND4E,則有

BC//AE；④若N3=2N2,則N4=NC；其中結(jié)論正確的選項(xiàng)有.（填序號(hào)〕

19.如圖所示，在RhABC中，NB=90。，AQ平分/8AC,交8c于點(diǎn)。，DE1AC,

垂足為點(diǎn)E，若BD=3,則DE的長(zhǎng)為.

20.如圖，ZAOP=/BOP,PDLOA,若汽）=4,則P到。8的距離為

21.如圖，在△ABC中，NB=47。,三角形的外角N/54。和乙4C/的平分線交于點(diǎn)E,

則NABE=

22.如圖，在AAOB和△CO￡>中，OA=Oli,OC=00(OA<OC),ZAOB=ZCOD=a,

直線AC,5。交于點(diǎn)M,連接OW.以下結(jié)論:①AC=8￡>：②NQ4C=NO8。；③NCMO=a：

④。W平分NBOC.其中正確的是(填序號(hào)).

且NOPF=70°,則ZAOB的度數(shù)為'

24.在△4BC中，NAAC=62。，ZACB=50°,NAC。是AAEC的外角N4CO和/ABC

的平分線交于點(diǎn)E，則NAEB=°

E

25.如圖，己知“6C的周長(zhǎng)是22,PB、PC分別平分乙鉆C和ZAC6,PD工BC于D,

且P￡>=3,△ABC的面積是.

26.在△ABC中，ZC=90°,A。是△A8C的角平分線，806、AC=8、AB=\0,見點(diǎn)。

到AB的距離為.

27.如圖，△A4C的三邊A3、BC、。長(zhǎng)分別是10、15、20,三條角平分線交于。點(diǎn)，

28.如圖，在心△ABC中，NB=90。，以頂點(diǎn)C為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交

AC.RC于點(diǎn).E、F,再分別以點(diǎn)從「為圓心，以大于;F廳的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)

P，作射線CP交48于點(diǎn)。.若BD=4,AO16,則△ACD的面積是.

29.如圖，在小y軸上分別截取CM、OB,使。4=。從再分別以點(diǎn)A、8為圓心，以

大于:AB的長(zhǎng)度為半徑面弧，兩弧交于點(diǎn)C.若C的坐標(biāo)為(3〃，?.+8),則.=

30.如圖，一塊余料48CQ,ADHBC,現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半

徑作圓弧，分別交8c于點(diǎn)G,H；再分別以點(diǎn)G,〃為圓心，大于!G”的長(zhǎng)為半

徑作圓弧，兩弧在NA4c內(nèi)部相交于點(diǎn)。，畫射線B。，交4。于點(diǎn)E.連結(jié)OG、OH.若

NA=124。，則NAE4的度數(shù)為____度.

三、解答題

31.如圖，在四邊形48C。中，AB=AD,AC平分/BCD,AE1BC于E,AFLCD交

的延長(zhǎng)線于?

(1)求證：△ABE也△4。尸；

(2)若8C=8cm,DF=3cm,求C。的長(zhǎng).

32.已知：如圖，在AA8C中，AB=AC,在△ADE中，AD=AE,且NB4C=ND4E,

連接BD,CE交于點(diǎn)凡連接AF.

(I)求證：△人8。0/XACE；

(2)求證：FA平分NBFE.

33.如圖，A3是△A3C的角平分線，DEJ.AB,垂足為E,DF1AC,垂足為立M、

N分別為AB、AC邊上的點(diǎn).

(1)求證：DE=DF；

(2)若DM=DN,△ADM和△ACW的面積分別為36和50,求△OME■的面積.

34.小明的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問題做如下探究：

(1)【習(xí)題回顧】已知：如圖1,在A44C中，Z4CB=90°,A￡是角平分線，是高,

AE.C。相交于點(diǎn)尸.求證：NCFE=NCEF；

(2)【變式思考】如圖2,在AABC中，NAC8=90。，C。是A8邊上的高，若AA8C的

外角N8AG的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，其反向延長(zhǎng)線與8c邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)石，若

NB=40。,求NC律和NCFE的度數(shù)；

(3)【探究延伸】如圖3,在AA8C中，在上存在一點(diǎn)。，使得NAC￡>=N8,角平分

線AE交C。丁點(diǎn)F.A48c的外角N84G的平分線所在直線MN與8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

M.若NM=35。，求/C莊的度數(shù).

35.已知，點(diǎn)。在NM4N的平分線A尸上，點(diǎn)仄。分別在AM、AN上，連接C3、CD.

(I)如圖I,若加C=ZADC=90",請(qǐng)直接寫出線段與0c的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,NA6C+NAZ)C=180C,鄭么(1)中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證

明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

參考答案

1.C

【分析】

利用三角形的中線平分三角形的面積求得SAABD=S.BDE=96,利用角平分線的性質(zhì)得

到△AC。與△人8。的高相等，進(jìn)一步求解即可.

解：\-AD=DE,S)DE=96,

：.SAABD=SABDE=^,

過點(diǎn)。作。G_LAC于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。F_LA8于點(diǎn)片

??Y。平分N8AC,

:.DG=DF,

???△4CO與公ABD的高相等，

又???4B=3AC,

???SAACD二-S^ABD=-x96=32.

33

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了用平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問題.

2.B

【分析】

①正確.利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問題.

②正確.證明△A8P絲△尸8P,推出%=PP,再證明△AP”0△/?//),推出P”二P。即

可解決問題.

③錯(cuò)誤.利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可.

④錯(cuò)誤，可以證明S2形ABOE=2SM8P.

⑤正確.由DH〃PE.利用等高模型解決問題即可.

解：在△44C中，AD、4￡分別平分N84C、ZABC

???NACB=90°

???ZA+ZB=90°

又?.?AD、8七分別平分N/MC、NAAC

：.ZBAD+ZABE=^(ZA+ZB)=45°

AZAPB=\350,故①正確

???NBPD=45。

XVPFLAD

???ZFPB=90o+45°=135°

???ZAPB=ZFPB

又,:/ABP=/FBP

BP=BP

:.4ABP@/\FBP(ASA)

:?NBAP二/BFP,AB=FB,PA=PF

在4人2”和4廠PO中

ZPH=/FPD

PA=PF

NPAH=ZPFD

:.△APH9XFPD(ASA)

:.PH二PD

：,AD=AP+PD=PF+PH,故②正ii角

,:△ABP94FBP,△APH^AFPD

：?SAAPB:SAFPB,S從PH=SAFPD,PH=PD

NHPD=90°

???ZHDP=ZDHP=450=ZBPD

：.HD//EP

：.SAEPH=SAEPD

???SAAPH-SAAED,故⑤正確

???S逑^ABDE=SAABP+SAAEP+SAEPD+S/BD

=SAABP+(SMEP+SAEPH)$PBD

=S^ABP+S^APH-SAPBD

=S^ABP+SAFPD-SAPBD

=S^ABP+SAFBP

NSAAW故④不正確

若DH平分NCDE,則NCDH=NEDH

?：DH//BE

???ZCDH=ZCBE=AABE

：.NCDE=NA8C

：.DE//AB,這個(gè)顯然與條件矛盾，故③錯(cuò)誤

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了半平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定

理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.B

【分析】

由SAS證明，。。二十。。得出NOC4=NOD8,AC=BD,①正確；由全等三角形的

性質(zhì)得出NQ4C=NO8O,由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,得

出NAO8=NCOD=4G。，②正確；作OG_LMCrG,OHLMB\-H,如圖所示：則

ZOGC=ZOHD=90,由AAS證明AOCG二△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分線

的判定方法得出MO平分N4OC,④正確；由NA08=NC0Q,得出當(dāng)NOOM=NAO何時(shí),

OM平分NBOC,假設(shè)NDOM=ZAOM,由△4OC二△B。/)得出？COM2BQM,由MO平

分/BMC得出NCMO=/BMO,推出△COM三△8QM,得出OB=OC，OA=OB,所以

OA=OC.而。4>OC,故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論.

解：VZAOB=ZCOD=40°f

???ZAOB+ZAOD=4coD+ZAOD

即ZAOC=NBOD

在△AOC和△比〃)中

OA=OB

,ZAOC=ZBOD

OC=OD

：.^AOC=^OD(SAS)

：?NOCA=NODB,AC=BD,①正確；

，ZOAC=/OBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZA08+ZOBD,

AZAOB=ZCOD=40°,②正確:

作OG_LMC于G,O，_LM4于H,如圖所示:

則NOGC=NOHD=90，

在aOCG和△O?！敝?/p>

ZOCA=ZODB

<ZOGC=NOHD

OC=OD

???△OCG三AODH(AAS),

；?OG=OH

???MO平分NBOC,④正確；

JZAOB=ZCOD

???當(dāng)NOOM=ZAOA/時(shí)，OW平分N3OC,

假設(shè)ZDOM=ZAOM

'：^AOC^BOD

：.?COM?BOM,

YMO平分/BMC

???4cMO=4BMO,

在VCOM和△8QW中

NOCM=NBOM

OM=OM

ZCMO=ZBMO

:,&COM-BOM(ASA)

AOB=OC,

:OA=OB,

???OA=OC,

與O4>OC矛盾，

???③錯(cuò)誤；

正確的有①

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等

知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到

AE=DE=5,故C正確；由此判斷D正確；再證明△8。/且△OEC,求出BGCD=3,故A

錯(cuò)誤.

解：在中，/。=90。,/胡。的平分線交8。于點(diǎn)。，DFJ.AB,

：.CD=DF=3,盤B正確：

,:DE=5,

/.CE=4,

,：DEHAB,

：,NADE=NDAF,

?：4CAD=4BM),

：,ZCAD=ZADEf

，AE=Z)E=5,故C正確：

：.AC=AE+CE=9,故D正確；

VZB=ZCDE,ZBFD=ZC=90°,CD=DF,

：?4BDFQ叢DEC,

???BF=CD=3,故A錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查了用平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角證明角相等，全

等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】

分別作￡^_14比硒_18。廣點(diǎn)加、N,BD為44坎;的角平分線有EM=EN,易證

△EMF三正NG,進(jìn)而有Z/W5石=進(jìn)而可得到答案.

解：分別作￡^1人8可1.87于點(diǎn)加、N

??,BD為4BC的角平分線

???EM=EN

;EF=EG

：.AEMF'ENG

：,ZMFE=^BGE

：,4莊+N/汨=180°

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，作垂線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到A￡=OE,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.

解：???8E是△A8C的角平分線，EDVBC,NA=90。，

:?AE=DE,

「△CQE的周長(zhǎng)為12,CD=4,

???DE+EC=8,

：.AC-AE+EC-S,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】

過點(diǎn)上作上H_L8C',EG±AC,垂足分別為"、G、M,由二角形的角平分線

的判定定理可得八七平分/以C，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求得NB/lC=2NBEC=70。，由

補(bǔ)角的定義可求解N的C的度數(shù)，再利用角平分線的定義可求解.

解：過點(diǎn)E作EHLBC,EG±AC,EMLAB,垂足分別為“、G、M,如圖所示：

?,?BE平分CE平分NACO,

；?NABC=2/EBD,ZACD=2ZECD,EH=EM,EH=EG,

:.EG=EM,

???AE平分N胡C,

VZACD=ZABC+ZBAC,NECD=NEBC+NBEC,

：.2ZECD=2ZEBD+NBAC,2ZECD=2ZEBD+2ZBEC,

：.ZBAC=2ZBEC,

?；NBEC=35。,

，NR4C=2x35°=70°,

VZBAC+ZMC=180°,

AZMC=180°-70°=110°,

〈AE平分N超C,

AZM￡=yZMC=55°.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的判定定理、性質(zhì)定理及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

角平分線的判定定理及性質(zhì)定理、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

過點(diǎn)P分別作PO_L3A交8A延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，PEJ_BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,PF_LAC于

點(diǎn)八再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，即可求解.

解：如圖，過點(diǎn)P分別作交/M延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

PF上AC于點(diǎn)、F,

???△"(?的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)P,

:?PD=PF,PE=PF,

PD=PE,

???點(diǎn)尸在/4BC的角平分線上，即BP平分N4BC.

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考杳了用平分線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的

兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

作￡7口_4。交C4的延長(zhǎng)線于凡EG_LA8于G,EaJ_BC交的延長(zhǎng)線于凡根據(jù)角

平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分NMG,求出NE48的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出

NA8E的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到乙的度數(shù)，再計(jì)算出NCE8的度數(shù)即可.

解：作E/ULAC交C八的延長(zhǎng)線于F,EG_LA8于G,E”_LBC交C8的延長(zhǎng)線于從

???CE平分NAC8,BE平分NABO,

：,EF=EH,EG=EH,

EF=EG.

XEFA.AC,EG工AB,

???AE平分/"G,

,/ZBAC=30°,

/.ZBAF=150°,

???ZEAB=75°,

VZACB=90°,ZBAC=30°,

/.ZABC=60°,

AZA?H=120°,又BE平分N/IBO,

ZABE=60°,

???ZAEB=180°-ZEAB-ZABE=45°,

VZACB=90°,ZBAC=30°,

???120°.

,：CE是NAC3的平分線，BE是ZA13C的外角平分線，

；?NEBD=60。,ZBCE=45°,

.?.ZCEB=6O°-45°=I5°.

???ZAEC=ZA￡^-ZCE^=45o-15°=30°

故選：D.

【點(diǎn)撥】題考杳的是用平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是

解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義的正確運(yùn)用.

10.A

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到探照燈的位置在角平分線的交點(diǎn)處，即可得到結(jié)論.

解：???探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，

???探照燈位置是△A6c的三條角平分線上，

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的性質(zhì)，數(shù)據(jù)角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.D

【分析】

到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn).把三條公路的中心部

位看成二角形，那么這個(gè)二角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及二個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿

足要求.

解：滿足條件的有：

(1)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處;

(2)三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了用平分線的性質(zhì)；這是一道生活聯(lián)系實(shí)際的問題，解答此類題目時(shí)

最直接的判斷就是三角形的角平分線，很容易漏掉外角平分線，解答時(shí)一定要注意，不要漏

解.

12.A

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得點(diǎn)。到三邊的距離相等，點(diǎn)0是三角形三條角平分線的交點(diǎn)即

可.

解：???直線MN//AC,

根據(jù)平行線性質(zhì)如點(diǎn)。到8C距離，點(diǎn)。到AC距離，點(diǎn)。到84距離相等，

，點(diǎn)。到三邊的距離相等

???點(diǎn)。是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

故選擇A.

【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.C

【分析】

由題意得C/是N8CD的角平分線，結(jié)合平行線、三角形外角可得NA與的關(guān)系，

即可得到答案.

解：由題意得C尸是NACO的角平分線,

:.NBCF=/DCF,

又,：CF〃AB,

:?NB=/BCF=/DCF,

又???N4+NB=N8C。

即NA+N8=2N8

:.NA=N3

???NB=40。.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查三用形外角，角平分線、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

14.C

【分析】

結(jié)合題意，根據(jù)角平分線尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案.

解：根據(jù)題意，得：OD=OC,DP=CP

在△QDP和尸中

OD=OC

DP=CP

OP=OP

/.△ODP^AOCP

：?4D0P=/C0P,apZBOP=ZAOP

???畫出OP的依據(jù)是：邊邊邊，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線、全等三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線尺

規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

15.D

【分析】

根據(jù)用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線的基本步驟判斷即可

解：A、?以“為半徑畫弧，故正確

B、根據(jù)作圖步驟可知PD=PE,BP=BP,.?.△BDP*ABEP(SSS),故

正確

C、???分別以Q,E為圓心，以方為半徑畫弧，兩弧在4BC內(nèi)部交于點(diǎn)P,???

DP=EP,故正確

。、分別以。，E為圓心，以〃為半徑畫弧，其中否則兩個(gè)圓弧沒有交

點(diǎn)，故錯(cuò)誤

故選：D

【點(diǎn)撥】本題考查用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線及理論依據(jù)，熟練尺規(guī)作圖的基本

步驟是關(guān)鍵

16.①③④

【分析】

由角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)等對(duì)結(jié)論進(jìn)行判定即可.

解：在A48C中，ZABC和ZAC3的平分線相交十點(diǎn)0,

/.ZOBC=-ZABC,NOCB」NACB,ZA+ZABC+ZACH=180°,

22

/.Z.OBC+ZOCB=90°--Z4,

2

/BOC=180°-(ZOBC+NOCB)=90。+g4；故②錯(cuò)誤；

在AAAC中，4BC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)。，

:./OBC=/OBE,NOCB=NOCF,

?;EF//BC,

:./OBC=/EOB,/OCB=/FOC,

:./EOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

：.BE=OE,CF=OF,

:.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確；

過點(diǎn)。作OM_LA8于M,作。N_L6C于N,連接。4,

在A48C中，乙48c和ZAC8的平分線相交于點(diǎn)。,

：.ON=OD=OM=ni,

二?Sy=品蟲+鼠女=^AE^)M+^AF^D=^OD^AE+AF)=^mfl；故④正確；

在MBC中，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)0,

二.點(diǎn)。到A4BC各邊的距而相等，故③正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)的有關(guān)角平分線的綜合問題，一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出

發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩

邊的距離相等.也就是說，一個(gè)點(diǎn)只要在角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到該角的兩邊的距離相

等.

17.4cm2

【分析】

延長(zhǎng)AP交BC十E,根據(jù)AP垂直/B的平分線BP十P,即nJ求鋁△ABPgABEP,

又知△APC和^CPE等底同高，可以證明兩三角形面枳相等，即可證明三角形PBC的面積.

解：延長(zhǎng)AP交BC于E,如圖所示：

???AP垂直NB的平分線BP于P,

AZABP=ZEBP,ZAPB=ZBPE=90°,

在△APB和^EPB中

NAPB=NEPB

BP=BP,

NABP=NEBP

/.△APB^AEPB(ASA),

SAAPB=SAEPB，AP=PE,

JAAPC和△CPE等底同高，

??S^APC—SAPCE>

2

?,?SAPBC=SAPBE+SAPCE=gSA?\BC=4CIT1,

故答案為4cm2.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形面積和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出

SAPBC=SAPBE+SAPCE=^-SAA3C.

18.②③④

【分析】

①根據(jù)同角的余角相等得N1=N3,但不一定得45。；②和③都是根據(jù)角平分線的定義、

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行，可得結(jié)論；④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及回角的余角相等，可得

結(jié)論.

解：①如圖，?.?ZG4fi=ZZME=9(r,B|JZ1+Z2=Z3+Z2+90P；

.-.Z1=Z3*45O,

故①不正確；

②平分NOW

/.Z1=Z2=45°,

Z1=Z3

.\Z3=45°,

又?.?NC=N3=45。，

：q=/B

:.BC//AE；

故②正確；

③Q/:平分ND4E,

二/2=/3=45。

/.Z3=ZB,

:.BCHAE；

故③正確；

@-,-Z3=2Z2,N1=N3,

.'.Z1=2Z2,4+N2=90°,

.?.3/2=90°,

.-.Z2=30°,

.-.Z3=60°,

又NE=30。,

設(shè)OE與A4交于點(diǎn)/，則NAF￡=90。,

?/ZB=45°,

.-.Z4=45°,

...NC=N4.

故④正確.

故答案為②③④.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了同角的余角相等、角平分線定義、平行線的判定的運(yùn)用，解題

關(guān)鍵是熟練掌握同角的余用相等及平行線的判定.

19.3

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等計(jì)算即可；

解：???在^4A8c中，N8=90。，AO平分NHAC,DE±AC,

???BD=DE,

???40=3,

DE=3；

故答案是3.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

20.4

【分析】

過。點(diǎn)作于石，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得夕即可求解.

解：如圖，過P點(diǎn)作于E

,?ZAOP=/BOP,PDVOA,PELOB,

:.PE;PD=4,

即P至ljOB的距離是4,

故答案為:4.

B

E

【點(diǎn)撥】本題考查了用平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

47

21.23.5##—

2

【分析】

首先作ENLBF、EO_LAC垂足分別為朋、N、0,再利用角平分線的性質(zhì)得

出BE為NABC的角平分線，即可求解.

解：作EM_LB。、ENLBF.EO_LAC垂足分別為欣N、0,如圖所示，

*：AE.CE是/ZMC和/AC尸的平分線，

:.EM=EO,EO=EN,

工EM=EN,

???BE是N/WC的角平分線，

JZABE=|ZABC=23.50.

故答案為:23.5.

【點(diǎn)撥】此題考查角平分線的性質(zhì)：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分

線上，反之也是成立的.解題關(guān)鍵是利用角平分線的判定定理.

22.①②③

【分析】

由SAS證明△AOC且△B。。得出NOAONOB。，AC=BD,①②正確；由全等三角形

的性質(zhì)得出NQAGNOBD,由三角形的外角性質(zhì)得：ZOBD=ZOAC+ZAOB,得

出N4MB=NA0B=a,可得③正確；作OG_LAM于G,OH上DM于H,利用全等三角形的

對(duì)應(yīng)高相等得出OG=(JH,由角平分線的判定方法得NAM(7=N/)MS假設(shè)OM平分/8OC,

則可求出由全等三角形的判定定理可得△AMOgZXOMO,得人。=。。，而

OC=OD,所以。4=OC,而OAVOC,故④錯(cuò)誤：即可得出結(jié)論.

解：VZAOB=ZCOD=a,

???/AOB+/BOC=/COD+/BOC,即ZAOC=ZBOD,

[OA=OB

在AAOC和△80。中，I?AOCBOD,

\OC=OD

：.AAOC^/^BOD(SAS),

；,/OAC=/OBD,AC=BD,故??正確；

由三角形的內(nèi)角和定理得：ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

?：NOAC=NOBD,

：.ZAMB=ZAOB=a,\?CMDa,故③正確；

作OG_L4M于G,OHLDM于H,如圖所示，

?/^AOC^ABOD,

???結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)高可得：OG=OH,

???加0平分/人朋/九

Z.ZAMO=ZDMO,假設(shè)0M平分N8OC,則/B0M=NC0M,

???NAOB=NCOD,

???/AOB+/BOM=/COD+/COM,即/A0M=/D0M,

i?A0M?DOM

在AAMO與△DW。中，iOM=OM,

\'lAMO?DM0

JXAMO在叢DM0(ASA),

：?OA=OD,VOC=OD,

：.OA=OC,而。4VoC,故④錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)撥】本題屬于三帝形的綜合題，是中考填空題的壓軸題，本題考查了全等三角形的

判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

23.40

【分析】

根據(jù)角平分線的判定定理，可得=，再由NOP/=70。，可得

zLBOP=900-ZOPF=20°,即可求解.

解：VPE1OA,PF工OB,PE=PF,

:?NAOP=ZBOP=LZAOB,

2

VZOPF=70°,PFVOB,

/.ZBOP=90°-ZOPF=20°,

AZAOB=2ZBOP=40°.

故答案為：40

【點(diǎn)撥】本題主要考者了角平分線的判定定理，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握再角

的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)再角平分線上是解題的關(guān)鍵.

24.25

【分析】

過點(diǎn)E,分別作交3。于點(diǎn)E,EG_LAC交AC于點(diǎn)G,EH工AB,交48延

長(zhǎng)線于點(diǎn)”，根據(jù)跖平分NA3C,CK平分NACO,可得￡"=￡/"￡G=W,則有

EH=EG,即AE平分NH4C,根據(jù)48C=62。，ZACH=50°,利用外角的性質(zhì)和角平分

線的性質(zhì)可得㈤0=56。，根據(jù)BE平分Z4BC,WC=62。，可得/￡BC=31。，根據(jù)在AAOE

和△BOC中，ZOBC+ZOCB=ZOAE+ZAEB,可得ZAEB=NOBC+NOCB-NOAE,據(jù)此求解即

可.

HI)

過點(diǎn)￡,分別作防_L8￡＞交5。于點(diǎn)E,EG_LAC交AC于點(diǎn)G,EHA.AB,^.AB

延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，

?:BE平分ZA8C,CE平分ZAC。，

:?EH=EF,EG=EF,

???EH=EG,

???AE平分NHAC,

VZ/\BC=62°,ZACB=50°,

...AHAC=ZAI3C+ZACB=620+50°=112°,

^EAO=-ZHAC=-xll2°=56°,

22

,?BE平分ZABC,ZABC=62°

ZEBC=-ZABC=-x620=3\0

22

在A4OE和"OC中，Z.OBC+Z.OCB=ZOAE+ZAEB

：,Z4EB=NOBC+NCX7?—NCi4￡=31°+5(r—560=25°,

故答案是：25.

【點(diǎn)撥】本題考杳了角平分線的判定于性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì),

熟知角平分線的性質(zhì)，三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

25.33

【分析】

連接AP，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)E,PCLAC于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理,

可得P/XPE=PF=3,再根據(jù)三角形的面積等于三個(gè)小三角形的面積之和，即可求解.

解：如圖，連接AP，過點(diǎn)尸分別作于點(diǎn)日尸憶LAC于點(diǎn)立

,:PB、PC分別平分NA8C和ZAC8,PD工BC于D,

:?PD;PE,PD=PF,

???PD=PE=PF=3,

??.△ABC的周長(zhǎng)是22,

^ABCABxPE+-BCxPD+-ACxPF=-PD(AB+BC+AC)=-x3x22=33.

22222

故答案為：33

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等是解題的關(guān)鍵.

Q7

26.-##2-

33

【分析】

作QE_LA8于E,如圖，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BO8,再利用角平分線的性質(zhì)得到

DE=DC,設(shè)DE=DC=x,利用面積法得到10x=6(8-x),然后解方程即可.

解：作。￡_L45于，如圖，

???4。是ZiABC的一條角平分線，DULAC,DELAB,

:?DE=DC,

設(shè)DE=DC=xt

S△八BD=yDE?AB;^AC?BD,

Q

即10x=8(6-x),解得x=§,

即點(diǎn)。到回邊的距離為？

J

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，由已

知能夠注意到。到AB的距離即為。石長(zhǎng)是解決的關(guān)鍵.

27.2:3:4

【分析】

由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、

CA上的高相等，利用面積公式即可求解.

解：過點(diǎn)O作OD_LAC于D,OEJ_AB于E,OF_LBC于F,

VO是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

AOD=OE=OF.

VAB=10,BC=15,CA=20,

???士的：%。：5戶。=弓?48?。2弓?8C?OF)：G?CA?OQ)=A8:8C:C4=

2:3:4.

故答案為：2:3:4.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)定理和三角形面積的計(jì)

算方法是解題的關(guān)鍵.

28.32

【分析】

過點(diǎn)。作。Q_LAC,由作法可知CP是角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知。8=。。=3,

再由三角形的面積公式計(jì)算即可.

解：如圖，過點(diǎn)。作。Q_LAC于點(diǎn)Q,

由作圖知。尸是乙4C6的平分線，

???N8=90。，BD=4,

:,DB=DQ=4,

VAC=16,

???SAACD=；?4C?。占1x16x4=32,

故答案為32.

【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖-基本作圖，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺

規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì).

29.2

【分析】

根據(jù)尺規(guī)作圖可知，點(diǎn)C在NA08角平分線上，所以。點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，即

可以求出。的值.

解：根據(jù)題目尺規(guī)作圖可知，交點(diǎn)C是NA08角平分線上的一點(diǎn)，

???點(diǎn)C在第一象限，

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是正數(shù)且橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，即3a=-a+8,

得4=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】本題考杳了角平分線尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，以及平面百角坐標(biāo)系的知識(shí).

結(jié)合直角坐標(biāo)系的知識(shí)列方程求解是解答本題的關(guān)鍵.

30.28

【分析】

證明N48E=/AEB,即可解決問題.

解：由作圖可知：/ABE=/CBE,

■:BC,

???NAEB=NCBE,

NABE=NAEB,

???NA=124。，

AZAEB=^(180°-124°)=28°,

故答案為:28.

【點(diǎn)撥】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

31.(1)證明見分析(2)2cm

【分析】

(1)由角平分線的性質(zhì)可知他=心，證明RMB必心以網(wǎng)HL),進(jìn)而結(jié)論得證；

(2)山產(chǎn)，可得BE=DF,證明/?么4。￡烏陽(yáng)~4。/(”￡),則CE-CF,

根據(jù)CO=6-。產(chǎn)=BC-DF-DF,計(jì)算求解即可.

(I)證明：???八。平分N8CQ,AELBC,AFLCD,

AE=AF,

在心ZkABE和Rt^ADF中，

?*\AB=AD

AE=AF

Rt^ABE^Rt^ADF(HL),

￡^ABE=LADF.

(2)解：V^ABE^ADF,

JBE=DF,

在/?/Z\ACE和Rt^ACF中，

??[AC=AC

>\AE=AF'

Rt^ACE^Rt^ACF(HL),

：.CE=CF,

???CD=CF-DF=BC-DF-DF=2,

：.CO的長(zhǎng)為2cm.

【點(diǎn)撥】本題考杳了用平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵在

于找出三角形全等的條件.

32.(1)見分析(2)見分析

【分析】

(1)根據(jù)S4S證明結(jié)論即可；

(2)作AM_L8。于"，作AN_LCE于N.由(1)可得8Q=CE,SABAD^SACAE,然

后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題.

(1)證明：?：NBAC=NDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCADi

即/R4/)=/C4E,

在484。和^CAE中,

AB=AC

■/BAD=ZCAE,

AD=AE

:.△BADW2CAE(SAS)；

(2)證明：如圖，作AM_L8。于M,作AALLCE于N

由aBAD^^CAE