14.3.3運(yùn)用完全平方公式因式分解

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題:

多項(xiàng)式｝，與丁+町+丁的公因式是(

1./-22)

A.x2-yB.x+yC.D.(x+y)(%_y)

2.下列因式分解正確的是()

A.a2h-2ab+b=b(^a2-2”)B.x'-2x+\=x(.v-2)+1

C.x2-4y2=(x+4y)(.r-4y)D.x2-4孫+4y2=(x-2y尸

3.已知下列多項(xiàng)式：①人,，+*②牙+2個(gè)-?、郯?.9小④f…?其中，能用完全平

方公式進(jìn)行因式分解的有()

A.②③④B.???C.②④D.①②③

4.計(jì)算：1252-50x125+252=()

A.100B.150C.10000D.22500

5.若a+b+\=0,則3a2+3b2+6ab的值是()

A.IB.-1C.3D.-3

6.如圖，小明準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的手工作品,己知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為。、b(a>b),周長(zhǎng)為20,面積為16,

C.320D.160

7.若Cm-1)A+1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解,則m的值為()

A.-3B.1C.-3,1D.-1,3

二、填空題:

8.多項(xiàng)式9+x2,『+2"1,X2」的公因式是

x2

9.在多項(xiàng)式：ffix2+Zn?-v20-x2-^2xy-y^③/+入聲爐④l+x+中，能用完全平方公式分解因式的是

T

（填序號(hào)即可）

10.因式分解：/?/(/?+6)+9=.

11.分解因式：-8a%+8a%2-2ab-，=.

12.分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2=.

22

13.若，=-6,則+n——的的值是___________.

2

14.計(jì)算852-130x85+65?的結(jié)果是

三、解答題：

15.因式分解：

(l)2x3-8x(2)3./-12孫+12)2(3)9.r(fl-/?)+16y2(Z?-d)(4)(/〃一〃)(x+)，)一(〃一+

I3

16.已知4+8=彳,時(shí)=一6,先因式分解，再求值：a'b+2a2b?+加.

28

（2）因式分解S?,并求出當(dāng)。=4,8=1時(shí)式子的值.

能力提升篇

一、單選題：

1.已知〃、〃滿足等式，x=/-6而+9爐.y=4a-12方-4,則入，y的大小關(guān)系是（）

A.x=yB.x>yC.x<yD.x>y

2.不論x,y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式f—4%+>2—6y+13總是（）

A.非負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

3.己知〃，b,c是AAAC的三邊長(zhǎng)，且滿足/+c2=2伏a+c-6）,則此三角形是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.無(wú)法確定

二、填空題：

4.甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式/1這仍時(shí)，甲看錯(cuò)了〃，分解結(jié)果為（川2）（川4）；乙看錯(cuò)了小分解結(jié)果為

(A+1)(x+9),則多項(xiàng)式f+”+力分解因式的正確結(jié)果為.

5.已知為等腰三角形A8C,其中兩邊。力滿足，/_4〃+4+出-3|=0,則A44C的周長(zhǎng)為

6.已知：/〃+/+/=1。而一16，則(〃+。)2的值為.

三、解答題：

7.某老師在講因式分解時(shí)，為了提高同學(xué)們的思維訓(xùn)練力度，池補(bǔ)充了一道這樣的題：對(duì)多項(xiàng)式

(Y-4x+2)(/-4x+6)+4進(jìn)行因式分解，有個(gè)學(xué)生解答過(guò)程如下，并得到了老師的夸獎(jiǎng)：

解：設(shè)/一4x=y.

原式=(>+2)(y+6)+4(第一步)

=/+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(X2-4X+4)2(第四步)

根據(jù)以上解答過(guò)程回答以下問(wèn)題：

⑴第四步的結(jié)果繼續(xù)因式分解得到結(jié)果為;

⑵請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式(丁+6同(爐+6]+10)+25進(jìn)行因式分解.

8.閱讀材料：

F+4x—5=f+4%+電-電-5=(X+2)2-9=(X+2+3)(X+2-3)=(x+5)(.r-l)

上面的方法稱為多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.根據(jù)

以上材料，解答下列問(wèn)題：

(1)因式分解：x2+2A-3;

⑵求多項(xiàng)式犬+6x-10的最小值；

(3)已知。、b、。是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足42+加+。2+50=6〃+汕+10c,求6c的周長(zhǎng).

14.3.3運(yùn)用完全平方公式因式分解

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.多項(xiàng)式與f+2孫+寸的公因式是()

@-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)=-(^-y)2?能用完全平方公式進(jìn)行因式分解;

③“2+6與，-9y2不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

22

?x-x+l=x-2?l.x+fl1=]?]，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解：

因此能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有②?.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查用完全平方公式進(jìn)行因式分解，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

4.計(jì)算：1252-50x125+252=()

A.100B.150C.10000D.22500

【答案】C

【詳解】試題分析：原式=125?-2x25x125+252=(125—25)2=10()2=1。000.

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵.

5.若〃+b+l=0,則3/+3/+6岫的值是()

A.1B.-IC.3D.-3

【答案】C

【分析】對(duì)3a2+3〃+6何利用完全平方的方法進(jìn)行因式分解,將/〃=-1代入即可求值.

【詳解】解：???3『+3/+6而=3Ca+b)2,

*.*a+b+1=0,BPa+b=-1,

工原式=3x(-1)2=3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了用完全平方的方法化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉整體代入的思想用完全平方的方法因式分

解是解題關(guān)鍵.

6.如圖，小明準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的手工作品，已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為。、h(a>b),周長(zhǎng)為20,面積為16,

請(qǐng)計(jì)算/人一。〃的值為()

A.96B.480C.320D.160

【答案】A

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積求出a+沙和他的值，根據(jù)完全平方公式的變形得到的值，對(duì)多項(xiàng)式

進(jìn)行因式分解，整體代入求值即可.

【詳解】解：???長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為4、b(">〃)，周長(zhǎng)為20,面積為16,

.*.2(a+b)=20>ah=\6,

:.a+b=\0,

(a-b)~=(a+b)2-4ab=102-4x16=100-64=36?

'：a>b,

/.3b=6,

工原式=abCa-h)=16x6=96.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-提公因式法，掌握(a-b)2=Q+6)2-4帥是解題的關(guān)鍵.

7.若/+(〃?-1)x+1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則〃?的值為()

A.-3B.1C.-3,1D.-1,3

【答案】D

【分析】利用完全平方公式的運(yùn)算判斷即可.

【詳解】???/+(〃?-1)x+1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，

/.ni-1=±2,

解得：m=-I或機(jī)=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查使用完全平方公式的條件，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：

8.多項(xiàng)式V+x2,x2+2.r+l,X2-1的公因式是.

【答案】x+1

【分析】把第一個(gè)多項(xiàng)式用提取公因式的方法因式分解，把第二個(gè)多項(xiàng)式用完全平方和公式進(jìn)行因式分解，

把第三個(gè)多項(xiàng)式用平方差的公式進(jìn)行因式分解，然后找到其中相同的因式即為公因式.

【詳解】xi-x*2=*4x2(x+\)

x2+2X+1=(X+I)2

x2-\=(x-\)(x+\)

由分解的結(jié)果可知，公因式為X+1

故答案為X+1

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的直接提公因式法和公式法，涉及到的因式分解的公式有平方差公式

a2-b~=(a—b)(a+b)和完全,卜方和公式+〃=g+”.

9.在多項(xiàng)式：①x2+2xy?)，2(2).x^lxy-y^③9+孫+黃④"x+K中，能用完全平方公式分解因式的是

4

(填序號(hào)即可)

【答案】②④

【分析】能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是完全平方式，即符合。2±2帥+〃結(jié)構(gòu)，由此對(duì)各項(xiàng)判定

后即可解答.

【詳解】①所給出的多項(xiàng)式不符合完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式.

②-r+2號(hào)-)?=(.r2-2.r>f+y2)=-(x-y)2.

③所給出的多項(xiàng)式不是完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式.

2

④1j+工=(1--)2.

42

，②④能用完全平方公式分解因式.

故答案為②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了用完全平方公式法進(jìn)行因式分解的能力，應(yīng)用公式的前提是準(zhǔn)確認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu).

10.因式分解：〃?(〃?+6)+9=.

【答案】(m+3)2##(3+M2

【分析】先計(jì)算第一部分的乘法運(yùn)算，再運(yùn)用公式法分解因式即可.

【詳解】解：機(jī)("?+6)+9

=nr+6m+9

=(m+3)2.

故答案為：(m+3)2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

11.分解因式：?8/0+8//-2。居=.

【答案】-2abC2a-b)2

【分析】先提取公因式-2而，再南余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【詳解】解：原式=-2ab(4a2-4ab+b2)

=-2ab(2a-h)2,

故答案為：-2ab(2t/-Z?)2.

【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法，公式法分解因式，解題的關(guān)鍵在于提取公因式后要繼續(xù)進(jìn)行二次分解因式.

12.分解因式：4+12(x-y)+9(x-j)2=.

【答案】(3x-3y+2)2

【分析】把(x-y)看成整體，利用完全平方公式分解即可.

【詳解】4+12(x—y)+9(x—)，)2

=2:+2x2x3(x-y)+[3(x-y)f

=[2+3(x-y)[=(3x-3>>+2)'.

故答案為：(3x-3y+2)2.

【點(diǎn)睛】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

13.若m-〃=-6,則“:"——m/i的值是___________.

2

【答案】18

【分析】先因式分解，再整體代入計(jì)算即可.

212

■、小m+ifnr+n-linn(m-nY(-6)2

[]--------mn=------------=-------------■=--------=18

2222

故答案為：18

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解再整體代入是解題的關(guān)鍵.

14.計(jì)算852-130x85+652的結(jié)果是.

【答案】400

【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算即可.

【詳解】解：852-130X85+652

=852-2X65X85+652

二(85-65)2

=400；

故答案為400.

【點(diǎn)睛】本題主要芍行因式分解，熟練掌握利用完全平方公式公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：

15.因式分解：

⑴2/-8x

(2)3x2-12xy+l2y2

(3)”2(々一力)+16y2(。-〃)

【答案】(1)2X(X+2)(X-2)

(2)3(x-2y)2

⑶l：a-b)(3x+4y)(3x-4y)

(4)(m-n)(x+y)(l-m+n)

【分析】(1)先提公因式2x,然后根據(jù)平方差公式因式分解：

(2)先提公因式3,然后根據(jù)完全平方公式因式分解.；

(3)先提公因式(。-6),,然后根據(jù)平方差公式因式分解：

(4)先提公因式即可求解.

(1)

解：原式=2工卜2-4)

=2r(x+2)(x-2):

(2)

解：原式=3(f-4孫+49)

=3(工一2)，)2；

(3)

解：原式=(9f-]6力(a-b)

=("〃)(3x+4)，)(3x-4)，)：

(4)

解：原式=(〃L〃)(X+)，)一(〃L〃)(〃L〃)(X+)，)

=(m―〃)(x+y)(l—/〃+〃).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

I3

16.已知4+人=彳,48=一6，先因式分解，再求值：a'b+2a&+加.

2o

【答案】ab(a+b)\--

【分析】先將公共因式提出來(lái)，然后利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：a/+2//+"3

=ab^a?+2ab+b?)

=ab(a+b)'

i3

當(dāng)〃+力=2，〃力=-不時(shí),

313

原式—X-=---

8432

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是提出公共因式.

17.如圖1、圖2所示，其中

圖1圖2

(1)用含。、人的代數(shù)式表示它們陰影面積，則，=,邑=

(2)因式分解￡-邑，并求出當(dāng)。=4,。=1時(shí)式子的值.

【答案】⑴片_/，(。-6)2

(2)次。-6),6

【分析】(1)根據(jù)正方形的面積公式列代數(shù)式即可：

(2)根據(jù)(1)得出的結(jié)果因式分解，再代入數(shù)據(jù)即可求解.

(1)

解:圖1的面積是1=。2-6；

圖2的面積是52=(。-6)2;

故答案為：a2—Z?2;(a—b)2；

(2)

解：S.-S^^-^-(a-b)2

=a2-b2-(a2-lab+b2)

=a2-b2-a2+2ab-b2

=2ab—2及

=2b(a-h),

當(dāng)<z=4,〃=1時(shí)，原式=2x1x(4-1)=6.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，列代數(shù)式，用到的知識(shí)點(diǎn)是正方形的面枳公式，多項(xiàng)式的乘法，關(guān)鍵是根

據(jù)所給出的圖形列出相應(yīng)的代數(shù)式.

能力提升篇

一、單選題：

1.已知a、〃滿足等式，x=/-6而+9爐.y=4a-12方-4,則入，y的大小關(guān)系是()

A.x=yB.x>yC.x<yD.x>y

【答案】D

【分析】計(jì)算x,y的差，利用完全平方公式將屋-6面+964/+I2>4轉(zhuǎn)化為(a-3〃-2尸，再根據(jù)平方的非

負(fù)性解題.

(詳解］解：x-y=a2-6ab+9b2-(4a-12b-4)

-ir-6?Z?+9Z?2-4a+12/?+4

=("30)2-4(4-30)+4

=(a-3b-2)2

("36-2)2NO

..x>y

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，涉及完全平方公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.不論％,y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式4%+爐一6廠H3總是()

A.非負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

【答案】A

【分析】先把原式化為犬-4工+4+)，2-63，+9,結(jié)合完全平方公式可得原式可化為(x-2)2+(y-從而可

得答案.

【詳解】解：f4xI/6yI13

=A2-4x+4+y2-6y+9

=(x-2)2+(y-3)2^0.

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的值,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用完全平方公式分解因式，掌握“。2一功力一從=(々—6廣

是解本題的關(guān)鍵.

3.已知a,b,。是aA3c的三邊長(zhǎng)，且滿足/+/=2伙4+C-6),則此三角形是()

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】先移項(xiàng)，將等式右邊化為0,再結(jié)合完全平方公式及平方數(shù)的非負(fù)性解題即可.

【詳解J《J+<?2-2b(a+c—b)

a2+c2+b2+b2-2ab-2bc=0

：.(a-b)2+(b-c)2=0

:.a=b=c

.?.aA8C是等邊三角形,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用、等邊三角形的判定等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

二、填空題：

4.甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式f+依+8時(shí)，甲看錯(cuò)了〃，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯(cuò)了小分解結(jié)果為

(A+1)(x+9),則多項(xiàng)式r+ax+b分解因式的正確結(jié)果為.

【答案】(X+3)2

【分析】根據(jù)題意可知。、人是相互獨(dú)".的，在因式分解中〃決定常數(shù)項(xiàng)，。決定一次項(xiàng)的系數(shù)，利用多項(xiàng)

式相乘法則計(jì)算，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出。、〃的值，代入原多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

【詳解】解：???分解因式/+ov+力時(shí)，甲看錯(cuò)了,分解結(jié)果為(X+2)(X+4),

???在(x+2)(x+4)=爐+6"8中，。=6是正確的,

???分解因式/+如+)時(shí)，乙看錯(cuò)了m分解結(jié)果為(x+l)(x+9),

???在(1+1)(工+9)=x2+10,v+9111,b=9是正確的，

/.x2+cix+b=x2+()x+9=(x+3『.

故答案為：(X+3)2

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解和整式化簡(jiǎn)之間的關(guān)系，牢記各自的特點(diǎn)并能靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

5.已知為等腰三角形/WC,其中兩邊。力滿足，片-4。+4+|。-3|=0,則AAAC的周長(zhǎng)為

【答案】7或8

【分析】先運(yùn)用平方差公式將等式的前三項(xiàng)因式分解得(a-2)2+g-3|=0,再根據(jù)非負(fù)性求出明人的值,

再代入求值即可.

【詳解】解：/_4〃+4+|八3|=0,

(a-2)2+|^-3|=0,

ci=2,。=3,

???當(dāng)腰為3時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為3+3+2=8,

當(dāng)腰為2時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為3+2+2=7.

故答案為：7或8.

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握完全平方

公式.

6.已知://+/+/=1。而一16,則3+力的值為_(kāi)_______

【答案】16

【分析】先對(duì)等式進(jìn)行移項(xiàng)，然后配方法因式分解求得〃、。得值，最后計(jì)算即可.

【詳解】解：由a/+〃2+從=通力_]6，

得―8而+16+a2-2ab+從=0,

即(他一4尸+(〃一切2=0,

ab=4

a=b

/.a—b—12,

??.a+h=4或-4,

/.(a+b)2=\6,

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用以及偶次方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法因式分解是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：

7.某老師在講因式分解時(shí)，為了提高同學(xué)們的思維訓(xùn)練力度，地補(bǔ)充了一道這樣的題：對(duì)多項(xiàng)式

卜2-4彳+2乂/-4%+6)+4進(jìn)行因式分解，有個(gè)學(xué)生解答過(guò)程婦下，并得到了老師的夸獎(jiǎng)：

解：設(shè)42-4不=)，.

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=/+8y+16(第二步)

=('+4)2(第三步)

=(X2-4A+4)2(第四步)

根據(jù)以上解答過(guò)程回答以下問(wèn)題：

(1)第四步的結(jié)果繼續(xù)因式分解得到結(jié)果為；

⑵請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式(V+6”(f+6工+]0)+25進(jìn)行因式分解.

【答案】⑴