14.2.1平方差公式

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題:

1.計(jì)算（-2a-3b）（2a-3b）的結(jié)果為（

A.4?2-9b2B.9Z?2-4a2

C.-Acr-\2ab-9b1D.-4a2+\2ab-9b2

2.下列各式不能用平方差公式計(jì)算的是（)

A.（2x-\-b）（2x-b）B.(2X4-Z?)(/?-2X)

C.（2式一/?）（—2x—D.(2x+/?)(-2x-/?)

好三36的是()

A.B.(-6>+xX6y-x)

C.C-6.1…D.(-61-IK6>-V)

4.下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是()

A.(a+h)(a-b)=a2-h2B.(.r+l)(x-1)=r2-1

C.(2x+l)(2x-1)=2x2-1D.(-3x+2)(-3x-2)=9^-4

22

5.(-2a+3b)()=4^-9M,括號(hào)I應(yīng)填()

A.2〃+3分B.勿2_3分C.-2a2-3b2D.-2^+3^

6.從邊長為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長為〃的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個(gè)

長方形（如圖2所示）.根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個(gè)正確的等式是（)

圖1

A.(a-bf=cr-lab+b1B.a(a-b)=a2-ab

222

C.b(<a-b)=cib-bD.a-b=^a-￥b)^a-b)

7.若a2-b2=-,a+b=—,貝lja-/?的值為()

84

11

A.--B.-C.1D.2

22

二、填空題：

9.(x+1)(x-1)-(X-2)(A+2)=

10.若。，b互為相反數(shù)，則a2-b2=.

11.如圖，在邊長為。的正方形中剪去一個(gè)邊長為〃的小正方形">〃)，把乘ij下的部分拼成一個(gè)梯形,

分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式.

12.計(jì)算：2008x2010-20092=.

13.若(T—4產(chǎn))川=16.儼一日則A=.

14.若a2-b2=4,則(a-力)2(a+Z?)2=

三、計(jì)算題：

15.計(jì)算:(1)(x+y)(x-y)-(2x-y)(x+3y)

(2)(2a+5)(2a-5)-4a(a-2)；

(3)(3a+2b)(-3a+2b)(9a2+4b2)(結(jié)果用幕的形式表示)

16.用乘法公式簡(jiǎn)算

(1)199x201；(2)20132-2014x2012.

17.先化簡(jiǎn),再求值(3〃+2份(2a-3力--2力(2a-。)，其中a=-1.5b=-.

f4

四、解答題:

18.已知3既是x-4的算術(shù)平方根，又是x+2)，-10的立方艱，求9-)2的平方根.

19.兩個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字相同，其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字是6,另一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的

數(shù)字是4,它們的平方差是220,求這兩位數(shù).

20.大學(xué)生小李畢業(yè)后回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)投資辦養(yǎng)豬場(chǎng)，分成成豬和仔豬兩個(gè)互不相鄰的正方形豬場(chǎng)，已

知成豬場(chǎng)的面積比仔豬場(chǎng)的面積大40〃R兩個(gè)豬場(chǎng)圍墻總長80〃?，求仔豬場(chǎng)的面積.

能力提升篇

一、單選題：

1.已知。+〃=2,則/—b?+4b的值是()

A.4B.3C.2D.1

2.(c嚴(yán)-〃)("+6)等于()

A.a2,"-b2nB.amr-btn1C.a2,n+b-nD.b?”-01m

3.2x(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是()

A.8B.6C.2D.0

二、填空題

4,計(jì)算I產(chǎn)隈(625嚴(yán)8二

20202-2018x2022

5.觀察下列各式的規(guī)律：

(?-/7)(?+Z?)=?2-b2

(4-人)(/+々〃+7?2)=。3-

(a-h^ay+a2b+ab2+b^=a4-b4

可得到("一與卜產(chǎn)16+〃2。/+..+"刈5+力2。16)=.

6.求值：(，孰1-孰1-5)(1一自(，鬲=--------

三、解答題

7.觀察下列算式：39x41=4()2-12,48x52=5()2-22,65x75=702-52,83x97=902-72...,請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)的

規(guī)律用字母表示出來.(給定字母小，〃)

8.閱讀并完成下列各題：

A.(2x+Z?)(2x-Z?)B.(2x+Z?)(Z?-2x)

C.(2x—〃)(—2x—D.(2x+Z?)(—2x—Z?)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：4、(2x+")(2x-〃)可以用平方差公式;

B、(2工+3(〃-2可=(。+2”(〃-2"，可以用平方差公戈

(2X-Z?)(-2A-Z?)=-(2X-Z2)(2X+Z?),可以用平方差公式;

D、(2X4-Z?)(-2X-Z?)=-(2x+/?)(2x+Z?),不能用平方差公式;

故答案為：D.

【分析】平方差公式：(。+〃〉(a-b)=a>-b>\其中。是完全相同項(xiàng)，〃是互為相反項(xiàng)，根據(jù)這個(gè)特征逐

一驗(yàn)證即可判斷求解.

3.在下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是的是()

A.-X)B.(-6y+xX6y-x)

C.(x-6jXx+6j)D.(-63-XX6>-K)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】解答：-1)=36.1*-v2,(-61*vX6\-x)=T6j-xy=-36『*12x3-

63)(丫?6.1)=/+36『，(-6j-x)(6;-v)=-36i*+v，

故選D.

分析：根據(jù)平方差公式將各式展開.

4.下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是()

A.(〃+/?)(a-h)=a2-b2B.(x+1)(x-1)=x2-1

C.(2x+l)(2x-1)=2x2-1D.(-3x+2)(-3x-2)=9x2-4

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：⑵?+1)⑵-1)=(2x)2-1,故C錯(cuò)誤.

故選：C.

【分析】根據(jù)兩數(shù)和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，可得答案.

5.(-2a2+3b2)()=4〃-9/咒括號(hào)內(nèi)應(yīng)填()

A.2a2+3〃B.勿2.3/C.-2a2-3b2D.-la^b2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：??《2a2+3b2)92a2-3b?)=4/-9況

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平方差公式求解即可.

6.從邊長為〃的正方形中剪掉一個(gè)邊長為〃的正方形(如圖1所示)，然后將剩余部分拼成一個(gè)

長方形(如圖2所示).根據(jù)圖形的變化過程，寫出的一個(gè)正確的等式是()

圖1

A.=a2-2ab+b2B.a(a-b)=a2-ab

C.b(a-b)=ab-b2D.a2-b2=^a+b)^a-b)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式的幾何背景

【解析】【解答】解：笫一個(gè)圖形陰影部分的面積是a2-b2,

第二個(gè)圖形的面積是，

則/一〃2=(々+〃)(。一〃).

故答案為：D.

【分析】利用正方形的面積公式和長方形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等

列出等式即可.

7.若犀-左二-,a+b=—,貝lja-〃的值為()

84

11

A.--B.-C.1D.2

22

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：Va2~吩=(a+b)(a-b)=—,a+b=—,

84

.*.(；-b=--r—=—,

842

故答案為：B

【分析】利用平方差公式進(jìn)行拆分，計(jì)算出的值。

二、填空題：

4

【答案】,〃產(chǎn)

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

力2=1,2_2

【脩析】【解答】解：原式=nnQ

9

4

故答案為：—,“於-〃2。

【分析】根據(jù)平方差公式去括號(hào)，再根據(jù)積的乘方法則計(jì)算奏方即可。

9.(x+l)(x-l)-(x-2)(x+2)=

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】原示二(尸-1)-(”-4)=3

【分析】本題考查了平方差公式，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.若a,b互為相反數(shù)，則a2-b2=.

【答案】0

【知識(shí)點(diǎn)】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)；平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】，b互為相反數(shù),

；?a+b=O

/.a2-b2=(?+/?)(?-Z?)=0,

故答案為：0.

【分析】由于互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0,可得，什力=0,利用平方差公式將原式變形為

"一加=(〃+〃)(〃-〃)，然后代入計(jì)算即可.

11.如圖，在邊長為。的正方形中剪去一個(gè)邊長為〃的小正方形(。>〃)，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形,

分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式.

【答案】a2-〃=(a+b)(a-b)

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式的幾何背景

【解析】【解答】解：因?yàn)樽髨D陰影部分的面積是由大正方形的面積減去小正方形的面積，即為a2-b2，

右圖陰影部分的面積可利用梯形的面積公式可得：(2/2+2〃)x(〃—〃)xg=(a+〃)(a-〃).

故答案為：a2-b2-(?+/?)(?-/?).

【分析】易得左圖面積為標(biāo)62,右圖面積為:(2"2a)xm/);(a+3(a功)，然后根據(jù)兩圖面積相等即可

得到等式.

12.計(jì)算：2008x2010-20092=.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】2008x2010-20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1

【分析】運(yùn)用平方差公式標(biāo)_〃=。+份(個(gè)份計(jì)算即可.

13.若(T—4尸)<=16獷一d,則A=.

【答案】-4/+x2

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析］【解答】解：?曄/-X

-(X+4/)?A=(4)，2+x2)(4y2-x2)

AX=-(4y2-x2)=-4^+x2

故答案為：-4＞。+.壯.

【分析】將等式的右邊利用平方差公式分解因式，然后兩邊同時(shí)除以(/+4.V2),即可得到A的值。

14.若a2-b1=4,則(。一人)2(。+6)2=.

【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；積的乘方

【解析】【解答】(。一刀2(〃+歷2=[(。一加(。+加]2=(^_/?2)2=42=16.

故答案為：16.

【分析】逆用積的乘方法則后，利用平方差公式進(jìn)行變形，然后整體代入計(jì)算即可求出值.

三、計(jì)算題：

15.計(jì)算：(1)(x+y)(x-y)-(2x-y)(x+3y)

(2)(2a+5)(2〃-5)-4a(a-2)；

(3)(3a+?)(-3a+2b)(9a2+4b2)(結(jié)果用幕的形式表示)

【答案】(1)解：原式r2-)7-(2^+6盯?個(gè)-3月

=x2-y2-2x2-5/7+3)2

=-x2-5xy+2)2

(2)解：原式二4。2-25?4層+弘

=8。-25；

⑶解：原式二(-9。2+4/)(婿+4〃)

=16〃-81a4.

16.用乘法公式簡(jiǎn)算

(1)199x201；(2)20132-2014x2012.

【答案】(1)解：原式二(200-1)x(200+1)

=2002/2

=40000-1

=39999；

(2)解：20132?(2013+1)x(2013-1)

=20132-20132+1

=1.

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【分析】利用平方差公式計(jì)算求解即可。

17.先化簡(jiǎn)，再求值(3〃+23(2〃?38)?(〃-2份(2。-勿，其中。=-1.5,b=-.

4

【答案】解：(3J+22Q-3b)-(a-2b)(2a-b)

=(6cr+4ab-9ab-6b2)-(2a2-4ab-ab+2b2)

=6a2+4ab-9ab-6b2-2a2+4ab+ab-2b2

=4a2~Sb2,

當(dāng)q=-1.5=--，力二L時(shí)，

24

31

原式=4x(-->-8x(->

=9-1

2

17

~~2'

【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：平方差公式及應(yīng)用

【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式化簡(jiǎn)式子，代入。和〃的值，得到答案即可。

四、解答題：

18.已知3既是x-4的算術(shù)平方根，乂是x+2y-10的立方根，求如-產(chǎn)的平方根

【答案】解：???3既是(片4)的算術(shù)平方根，又是(x4-2y-10)的立方根，

/.A-4=32=9,x+2y-10=33,

.*.A=13?尸12,

X2-3,2

=(R+y)(x-y)

=(13+12)x(13-12)

=25

?*-產(chǎn)的平方根為±5.

【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根；立方根及開立方；平方差公式及應(yīng)用

【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的平方可得被開方數(shù)『4,根據(jù)立方根的立方可得被開方數(shù)x+2y-IO,

聯(lián)立求出X、)，的值，然后根據(jù)平方差公式可得答案.

19.兩個(gè)兩位數(shù)的十位.上.的數(shù)字相同，其中一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字是6,另一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位.上的

數(shù)字是4,它們的平方差是220,求這兩位數(shù)..

【答案】解：設(shè)這個(gè)兩個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字是X則這兩個(gè)兩位數(shù)是(10x+6)和(10x+4),由題意得：

(10x+6)2-(10.v+4)2=220解這個(gè)方程得：45答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別是：56和54.

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，利用平方差公式將方程化為一元一次方程，解出既得.

20.大學(xué)生小李畢業(yè)后回鄉(xiāng)自主創(chuàng)業(yè)投資辦養(yǎng)豬場(chǎng)，分成成豬和仔豬兩個(gè)互不相鄰的正方形豬場(chǎng)，已

知成豬場(chǎng)的面積比仔豬場(chǎng)的面積大404,兩個(gè)豬場(chǎng)圍墻總長80〃?，求仔豬場(chǎng)的面積.

【答案】解：設(shè)小豬場(chǎng)的邊長為“〃，則大豬場(chǎng)的邊長為

可得：，-y2二40①〃

,4x+4y=80②

由①得(x+y)(x-y)=40

由②得x+)=20

.*.A-y=2

.p=H

一[y=9

A112=121,92=8l

???成豬場(chǎng)的面積為121"P,仔豬場(chǎng)的面積為

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【分析】設(shè)小豬場(chǎng)的邊長為則大豬場(chǎng)的邊長為)7〃，于是小豬場(chǎng)的面積為大豬場(chǎng)的面

積為)2,根據(jù)題意，得V-WEO,解此方程組即可.

能力提升篇

一、單選題：

1.已知a+b=2,則a?一〃+4b的值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】*：a+b=2,

*.a2-b2+4b=(a-b)(a+b)+4b,

=2Ca-b)+4Z??

=2a-2b+4bt

=2(a+b)?

=2x2,

=4.

故答案為：A.

【分析】利用平方差公式分解因式，可將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為2(a-b)+44再代入可轉(zhuǎn)化為2(a+b),然后

代人求值。

2.(心-護(hù))(m+護(hù))等于()

A.a2,n-b2"B.cun2-bm2C.a2,n+b2"D.b2,,-a2n,

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；鼎的乘方

【解析】【解答】解：原式=2-(加)2

二於"-即

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，由平方差公式以及塞的乘方，計(jì)算得到答案即可。

3.2x(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是()

A.8B.6C.2D.0

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解:(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)...(316+1)

=(32-1)(32+1)(34+1)...(3,6+1)

=(34-1)(34+1)...(316+1)

=332-1

?/31=3，32=9，33=27，3,=81，35=243，36*=729，3’=2187，38=6561

「?3”的個(gè)位是以指數(shù)1到4為一個(gè)周期，幕的個(gè)位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn),

32+4=8,故3-位與34的個(gè)位數(shù)字相同即為1,

/.332-1的個(gè)位數(shù)字為0,

???2x(3+1)(3?+1)(34+1)(38+1)(3%1)的個(gè)位數(shù)字是0.

故答案為：D.

【分析】先將2變形為（3-1），再根據(jù)平方差公式求出結(jié)果，根據(jù)規(guī)律得出答案即可.

二、填空題：

,在僧（-4產(chǎn)9x（025嚴(yán)8_

4?1T舁------------------—.

2020--2018x2022

【答案】-1.

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；積的乘方

(-4)2QI8X(0.25)20I8X(-4)

【解析】【解答】解.：原式=

20202-(2020-2)(2020+2)

_-4

202()2—202()2十4

-4

■

4

=-1

故答案為：-1.

【分析】分子運(yùn)用積的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，分母按平方差公式運(yùn)算，可計(jì)算得結(jié)果.

5.觀察下列各式的規(guī)律：

^a-b)^a-\-b)=cr-b2

^a-b){cr+ab+/)=a3-Z?3

(^a-b^a3+a2b+ab2+/?3)=tz4-b4

可得到（〃一3（產(chǎn)6+/。%++"刈5+產(chǎn)6）=

【答案】a20l7-P?17

【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】（。一〃）（。+〃）二。2一屏：

(a~b)(a2+ab+b2)=4°-護(hù)；

3-。)(/+。2隊(duì)川*+b')=a4-b4;

可得到(〃一。)(/。16+〃加5^2015^^2016尸^2017_^2017,

故答案為：a^-b20]1

【分析】根據(jù)己知等式，歸納總結(jié)得出一般性的規(guī)律（兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，第i個(gè)多項(xiàng)式相同，第二個(gè)

多項(xiàng)式的。的最高指數(shù)和式子的順序數(shù)相同，且按降累依次排列，〃的指數(shù)與a剛好相反,結(jié)果為a"-b\

〃等于式子的順序數(shù)加I）,寫出所求式子的結(jié)果即可。

6.求值:得

【答案喝

【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：（"頡塌（T）（"同1W

13243581()911

=-X-X-X-X-X—...X-X----X-----X—

223344991()1()

11

20