一元二次方程（二）

一.選擇題（共5小題）

1.（2025?廣安）關于x的一元二次方程，+3盧1=0的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根

B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.無法確定

2.（2025?遂寧）已知關于工的一元二次方程7-3x+〃?+l=（）有實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

5555

->-c>-<-

A.4B.-44D.-4

3.（2025?涼山州）某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，月平均增長率相同,第一季度共生產鋼鐵1860噸,

若設月平均增長率為x,那么可列出的方程是（）

A.560（1+x）2=1860

B.560+560（1+x）+560（1+緘）=1860

C.560+560（1+x）+560（1+x）2=1860

D.560+560（1+2J）2=1860

4.（2025?重慶）某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客

達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

5.（2025?臺灣）已知甲方程式為（x-4）2=%乙方程式為（x+9）2=-4.關于甲、乙兩方程式的解的

情形，下列敘述何者正確？（）

A.甲有兩個相異的解,乙無解

B.甲有兩個相異的解,乙有兩個相異的解

C.甲有兩個相同的解,乙無解

D.甲有兩個相同的解,乙有兩個相異的解

二,填空題（共9小題）

6.（2025?廣東）不解方程，判斷一元二次方程2?+x-1=0的根的情況是.

7.（2025?綏化）已知加，〃是關于x的一元二次方程A2-2025x+l=0的兩個根，則（"+1）（〃+1）

8.（2025?蘇州）已知xi，x2是關于工的一元二次方程AZr-/?=0的兩個實數(shù)根，其中為=1,則x2

9.（2025?眉山）已知方程x*2-5=0的兩根分別為xi，X2?則（xi+1）（X2+1）的值為.

10.（2025?山東）若關于x的一元二次方程?+4.r-m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍

是.

11.（2025?廣安）己知方程5、-24=0的兩根分另U為〃和小貝U代數(shù)式J-4。+〃的值為.

12.（2025?上海）一元二次方程2?+4+〃，=0沒有實數(shù)根,那么,n的取值范圍是.

13.（2025?瀘州）若一元二次方程2?-6尸1=0的兩根為a,0,則2a2-3a+30的值為.

14,已知關于x的方程7+如-3=0的一個根是I,則的值為.

三.解答題（共4小題）

15.（2025?齊齊哈爾）解方程：/-7x=-12.

16.（2025?威海）如圖，某校有一塊長20〃?、寬14〃?的矩形種植園.為了方便耕作管理，在和植園的四周

和內部修建寬度相同的小路（圖中陰影部分）.小路把種植園分成面枳均為24〃尸的9個矩形地塊，請你

求出小路的寬度.

<-----20m-----a

14m

17.（2025?南充）設加4是關于*的方程（x-1）（x-2）=m2的兩根.

（1）當用=-1時，求工2及加的值.

（2）求證：（.ri-I）（X2-1）W0.

18.（2025?瀘州）某超市購進甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進價均為125元，隨著生產

成本的降低，甲種商品每件的進價年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進價為80元.

（1）求乙種商品每件進價的年平均下降率；

（2）2024年該超市用不超過7800元的資金一次購進甲、乙兩種商品共100件，求最少購進多少件甲

種商品.

一元二次方程（二）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號12345

答案BDCBA

一,選擇題（共5小題）

1.（2025?廣安）關于x的一元二次方程/+3x+|=0的根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根

B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.無法確定

【考點】根的判別式.

【專題】判別式法；運算能力.

【答案】B

【分析】依據(jù)題意，由一元二次方程為，+3x+1=0,則△=32?4X1X1=5>O,進而可以判斷得解.

【解答】解：由題意，???一元二次方程為f+3x+l=0,

AA=32-4XlX|=5>0.

???該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：B.

【點評】本題主要考查了根的判別式，解題時要熟練掌握并能靈活運用根的判別式進行判斷是關鍵.

2.（2025?遂寧）已知關于x的一元二次方程Y?3x+機+1=0有實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

5555

<C

-->---<-

A.4B.44D.TH4

【考點】根的判別式.

【專題】判別式法；運算能力.

【答案】。

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結合根的判別式A=/J-4ac20,可得出5-4〃?20,解之即可得出實數(shù)機

的取值范圍.

【解答】解：???關于x的一元二次方程，-3x+,〃+l=0有實數(shù)根，

2022年接待游客人次數(shù)X（1-該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率）2,可列出關于x的一元二次方

程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.

【解答】解：設該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為

根據(jù)題意得：25（1+x）2=36,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2（不符合題意，舍去），

???該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為20%.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

5.（2025?臺灣）已知甲方程式為G-4）2=9,乙方程式為（x+9）2=-4.關于甲、乙兩方程式的解的

情形，下列敘述何者正確？（）

A.甲有兩個相異的解，乙無解

B.甲有兩個相異的解，乙有兩個相異的解

C.甲有兩個相同的解，乙無解

D.甲有兩個相同的解，乙有兩個相異的解

【考點】解一元二次方程-直接開平方法；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】A

【分析】利用直接開平方法解方程（X-4）2=9,利用負數(shù)沒有平方根可判斷方程J+9）2=-4沒有

實數(shù)解，從而可對各選項進行判斷.

【解答】解：對于方程（x-4）2=%

x-4=±3,

解得X1=7,X2=l；

對于方程G+9）2=-4.

因為負數(shù)沒有平方根，

所以此方程沒有實數(shù)解.

故選：A.

【點評】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如$=〃或（依+〃?）2=〃（〃20）的一元二次

方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

二.填空題（共9小題）

6.12025?廣東)不解方程，判斷一元二次方程27+x-1=0的根的情況是方程有兩個不相等方實數(shù)根.

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【分析】把〃=2,〃=1,c=-l代入判別式△=/，-4時進行計算，然后根據(jù)計算結果判斷方程根的情

況.

【解答】解：一元二次方程2?+x-1=0,

AA=12-4X2X(-1)=9>0.

???該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【點評】此題主要考查了根的判別式，正確求出根的判別式是解題關鍵.

7.12025?綏化)已知機，〃是關于x的一元二次方程7-2025x+l=()的兩個根，則(加+1)(〃+1)=2027.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用：運算能力.

【答案】2027.

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出〃計〃=2025,代入整理后的代數(shù)式，即可求解.

【解答】解：???機，〃是關于人的一元二次方程7?2025x+l=0的兩個根，

/.m+n=2025，mn=1,

(，〃+1)(?/+1)=〃〃%+用+〃+1=1+2025+1=2027,

故答案為：2027.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，掌握根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.

8.(2025?蘇州)已知內，。是關于x的一元二次方程f+Zt-加=0的兩個實數(shù)根，其中xi=l,則X2=-

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】-3.

【分析】利用根與系數(shù)的關系，可得出用+工2=-2,結合川=1,即可求出超的值.

【解答】解：Vxi，也是關于x的一元二次方程/+2?，〃=0的兩個實數(shù)根，

.*.X|+X2=-2,

又Vxi=1,

?.X2=-2-x\=-2-1=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“一元二次方程ad+Zu+c=OQWO）的兩根之和等于一

是解題的關鍵.

9.（2025?眉山）已知方程/?&-5=0的兩根分別為四，式2，貝[J<AI+1）（A2+1）的值為-2.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用：運算能力.

【答案】-2.

【分析】依據(jù)題意，利用根與系數(shù)的關系得到M+X2,R也的值，然后（片+1）（X2+1）代入計算即可.

【解答】解：由題意，???方程/-2r-5=0的兩根分別為即，也，

.,.X|4-X2=2,X\X2=-5.:.（.ri+1）（X2+1>=X]X2+X\+X2+\=~5+2+1=-2.故答案為：?2.

【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，解題時要熟練掌握并能靈活運用關系式是關鍵.

10.（2025?山東）若關于x的一元二次方程/+4.〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃，的取值范圍是

_4.

【考點】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】〃?>-4.

【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得根的判別式△>（）,可列出關于相的一元一次

不等式，解之即可得出實數(shù)，〃的取值范圍.

【解答】解：???關于x的一元二次方程，+4x-〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，

???A>0,

即A=42+4/n>0,

解得m>-4.

故答案為：〃?>-4.

【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程/+bx+c=0（g0）的

根與△=/>?-4〃c有如下關系：當△>（）時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=（）時，方程有兩個

相等的兩個實數(shù)根；當AV0時，方程無實數(shù)根.

II.（2025?廣安）已知方程』-5x-24=0的兩根分別為〃和6則代數(shù)式,尸-的值為.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用：運算能力.

【答案】29.

【分析】依據(jù)題意，由己知方程24=0中的兩根分別為。、b,得出〃+b=5,a2-5a-24=0,

求出J-5〃=24,代入a2-4a+b=a2-5a+〃+〃求出即可.

【解答】解：???方程，-5工-24=0中的兩根分別為a、b,

.,.?+/?=5,cP-5a-24=0.

Aa2-5a=24,

.9?a1-4a+b=cr-5a+a+b,

=24+5,

=29.

故答案為：29.

【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解的應用，解題時要能熟練掌握并能靈活運

用了整體代入（。+力和〃2-5〃分別當作一個整體）的思想是關鍵.

12.（2025?上海）一元二次方程2/+x+m=0沒有實數(shù)根，那么〃？的取值范圍是.

【考點】根的判別式.

【專題】判別式法；運算能力.

【答案】〃

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結合根的判別式A=b2-4ac<。，可得出1-8〃?<0,解之即可得出川的取

值范圍.

【解答】解：???一元二次方程2?+.計〃?=0沒有實數(shù)根，

:.A=l2-4X2X機=1-8〃?V0,

解得：，“>1.

O

???加的取值范圍是

故答案為：

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當AV0時，方程無實數(shù)根”是解題的關鍵.

13.（2025?瀘州）若一元二次方程?6x-1=0的兩根為a,0,則2a2-3a+3B的值為10.

【考點】根與系數(shù)的關系；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】10.

【分析】將x=a代入原方程，可得出2a2?6a=l,利用根與系數(shù)的關系，可得出a+0=3,再將其代

入原式=(2a2-6a)+3(a+p)中，即可求出結論.

【解答】解：將x=a代入原方程得：2a2-6a-1=0,

2a2-6a=1.

???一元二次方程2?-6x-I=0的兩根為a,p,

a+0=3,

/.2a2-3a+3p=(2a2-6a)+3(a+p)=1+3X3=10.

故答案為：1().

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系,

找出2a2-6a=l及a+B=3是解題的關鍵.

14.已知關于x的方程/+/內-3=0的一個根是I,則〃?的值為2.

【考點】一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【答案】2.

【分析】根據(jù)題意可得：把x=l代入方程)+〃a?3=0中得：1+m?3=0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：把*=1代入方程,&g-3=0中得：1+〃?-3=0,

解得：，〃=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了一元二次方程的解.，準確熟練地進行計嵬是解題的關鍵.

三,解答題(共4小題)

15.(2025?齊齊哈爾)解方程：?-7x=-12.

【考點】解一元二次方程因式分解法.

【專題】一元二次方程及應用：運算能力.

【答案】內=4,X2=3.

【分析】先移項，再將左邊因式分解，進一步求解即可.

【解答】解：整理得：?-7x+12=0,

因式分解得：(x-4)(x-3)=0,

所以x-4=0或x?3=0,

解得xi=4,m=3.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.

16.（2025?威海）如圖，某校有一塊長20〃?、寬的矩形種植園.為了方便耕作管理，在和植園的四周

和內部修建寬度相同的小路（圖中陰影部分）.小路把種植園分成面積均為24〃/的9個矩形地塊，請你

求出小路的寬度.

【考點】一元二次方程的應用.

【專題】一元二次方程及應用；應用意識.

【答案】

【分析】設小路的寬度為xm,則9塊矩形地塊可合成長為（20-4%）機，寬為（14-4x），〃的矩形，

根據(jù)小路把種植園分成面積均為24〃%的9個矩形地塊，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合

題意的值，即可得出結論.

【解答】解：設小路的寬度為x則9塊矩形地塊可合成長為（20-4x）/”，寬為（14-4x）小的矩

形，

根據(jù)題意得：（20-4x）（14-4x）=24X9,

整理得：2?-17x+8=0,

解得：X|=1,X2=8（不符合題意，舍去）.

答：小路的寬度為|即

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

17.（2025?南充）設加，也是關于x的方程（x-1）（x-2）=,/的兩根.

（1）當XI=-I時，求X2及加的值.

（2）求證：（Ai-1）（X2-1）W0.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用：應用意識.

【答案】（1）次=4,771=±A/6：（2）詳見解答.

【分析】（1）先把方程的解代入方程，得關于m的新方程并求解，再根據(jù)根與系數(shù)的關系或解方程求

出方程的另一個解；

（2）先利用根的判別式判斷方程解的情況，再利用根與系數(shù)的關系整體代入，得結論

【解答】解：（1）把同=-I代入方程（x-1）（x-2）=〃J,

得〃a=6,

?=+>/6.

：.（x-1）（x-2）=6,即f-3x-4=0.

:.（x-4）（x+1）=0.

.*.X1=-1，X2=4.

??x2=4,m=±\/6.

（2）方程（x-1）（x-2）=謂可化為/-3"2-/=o.

?IA=9-4（2-毋）=4勿2+]>o,

，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

??'方程（x-1）（x-2）=nr即』-3x+2-〃』=（）的兩根為x\、X2?

/.xi+X2=3,xi*X2=2-nr.

/.（XI-1）（.X2~1）

=Xl*X2-（X|+X2>+l

=2-n?-3+1

=-nr2.

VTM2^0,

:.?〃』W0，叩（xi-1）（X2_1）WO.

【點評】本題主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系、一元二次方

程的解法等知識點是解決本題的關鍵.

18.（2025?瀘州）某超市購進甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進價均為125元，隨著生產

成本的降低，甲種商品每件的進價年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進價為80元.

（1）求乙種商品每件進價的年平均下降率：

（2）2024年該超市用不超過7800元的資金一次購進甲、乙兩種商品共100件，求最少購進多少件甲

種商品.

【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用.

【專題】一元二次方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；應用意識.

【答案】（D20%；

（2）40件.

【分析】（1）設乙種商品每件進價的年平均下降率為工，利用乙種商品2024年每件的進價=乙種商品

2022年每件的進價義（1-乙種商品每件進價的年平均下降率）2,可列出關于x的一元二次方程，解之

取其符合題意的值，即可得出結論；

（2）設購進y件甲種商品，則購進（100-y）件乙種商品，利用進貨總價=進貨單價X購進數(shù)量，結

合進貨總價不超過7800元，燈列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論.

【解答】解：（I）設乙種商品每件進價的年平均下降率為x,

根據(jù)題意得：125（1-x）2=80,

解得:xi=0.2=20%,X2=1.8（不符合題意，舍去）.

答：乙種商品每件進價的年平均下降率為20%：

（2）設購進），件甲種商品，則購進（100-y）件乙種商品，

根據(jù)題意得：（125-25X2）>-+80（100-y）W7800,

解得：了240,

的最小值為40.

答：最少購進40件甲種商品.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關

系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

考點卡片

1.一元二次方程的解

(I)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)元二次方程定有兩個解，但不定有兩個實數(shù)解.這㈤，人2是元二次方程al十4十c=O(a#O)

的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

依產+"盯+。=0(a#0),ar22+te+c=O

2.解一元二次方程-直接開平方法

形如/=〃或2=〃(〃》())的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成/=〃的形式，那么可得工=±四：

如果方程能化成｛iix+m)2=p(p》0)的形式，那么派+〃?=±四.

注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù).

②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

3.解一元二次方程■因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩

個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一

元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零：②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得

到兩個一元一次方程：④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

4.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=/，-4ac)判斷方程的根的情況.

一元二次方程ax1+bx+c=0(〃K0)的根與-4ac有如下關系：

①當4>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△VO時，方程無實數(shù)根.

上酉的結論反過來也成立.

5.根與系數(shù)的關系

（1）若二次項系數(shù)為1,常用以下關系：XI，X2是方程/+px+