2025年高三《第十二單元計(jì)數(shù)原理》測(cè)試卷

一、單選題

1.在（1+%X）8的展開(kāi)式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（）

A.9B.4C.3D.2

2.已知：（X—2）8=+Q［（x-1）+。2（%-1）2+…+-1）8，則。5=（）

A.56B.-56C.448D.-448

3.2025年1月7口9時(shí)5分，西藏自治區(qū)口喀則市定日縣發(fā)生6.8級(jí)地震，現(xiàn)從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作

隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

4.一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著水平面的網(wǎng)格線爬行到點(diǎn)B,再由點(diǎn)B沿著長(zhǎng)方體的棱爬行至頂點(diǎn)。處，則它可以

爬行的不同最短路徑條數(shù)有

A.40B.60C.80D.120

5.五一假期期間，某單位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，則不同

安排方法的種數(shù)有（）

A.42B.72C.78D.96

6.某小組5人各寫(xiě)一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中抽取一張，則恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡的

不同分配方式有（）

A.9種B.11種C.44種D.45種

7.現(xiàn)有編號(hào)為4B,C的3個(gè)不同的紅球和編號(hào)為。，E的2個(gè)不同的白球.若將這些小球排成排，耍求A

球排在正中間，且D,E不相鄰，則不同的排法有（）

A.8種B.12種C.16種D.32種

8.若32。+。能被8整除,則a的值可能為（）

A.1B.2C.4D.7

第1頁(yè)，共14頁(yè)

9.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝杰出的研究成果之一.如圖，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一

組平行線，則在第10條斜線上，最大的數(shù)是()

,第I條斜線

第)條斜統(tǒng);二卜第3條斜線

第5條斜線

第4條斜線廠「"31，彳二4第7條斜線

41

笫6條斜線1：：為，。01()51

廣入152()156

A.35B.25C.21D.20

10.已知卜+去)”的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于72,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A2163「21n9

A-TDn-T6C.癡D.-

11.已知/(%)是定義在R上的函數(shù)，且/(%)-/(2-%)=0,/(x)+/(2+%)=0,/(-1)=1,則￡；雪2[(_

1)嗡"儂-1)+(-I)一嘲2J(2切=()

A.22024B,22023C.21012D.0

二、多選題

12.在(4-3)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是()

A.常數(shù)項(xiàng)為學(xué)B.各項(xiàng)系數(shù)和為-2

432

C.二項(xiàng)式系數(shù)和為64D.無(wú)項(xiàng)的系數(shù)為一今

13.在4張獎(jiǎng)券中，一、二、三、四等獎(jiǎng)各1張，將這4張獎(jiǎng)券分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至多2

張，則下列結(jié)論正確的是()

A.若甲、乙、丙、丁均獲獎(jiǎng)，則共有24種不同的獲獎(jiǎng)情況

B.若甲獲得了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，則共有6種不同的獲獎(jiǎng)情況

C.若僅有兩人獲獎(jiǎng)，則共有36種不同的獲獎(jiǎng)情況

D.若僅有三人獲獎(jiǎng)，則共有144種不同的獲獎(jiǎng)情況

14.商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個(gè)2x2的正方體道路網(wǎng)(如圖，圖中線段均為可行走的通道)，

甲、乙兩人分別從48兩點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)4為止,

第2頁(yè)，共14頁(yè)

下列說(shuō)法正確的是（）

A.不從A必須經(jīng)過(guò)g到達(dá)B的方法數(shù)共有9種

B.甲從4到B的方法數(shù)共有180種

C.甲、乙兩人在。2處相遇的概率為與

D.甲、乙兩人相遇的概率為第

15.下列關(guān)于排列組合數(shù)的等式或說(shuō)法正確的有（）

A,月+優(yōu)+Cl+???+C；。=330

B.已知九>m,則等式號(hào)=零對(duì)任意正整數(shù)上m都成立

m+1n+1

C.沒(méi)%=>4gox（親+*+*…+弱）,則%的個(gè)位數(shù)字是6

D.等式（或）2+（屐）2+（鬣）2+...+（C；；）2=C%對(duì)任意正整數(shù)"都成立

16.已知（1-%）2°25=Q°+a6+3爐+…+。2025/°25，則（）

A.展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為0

B.Q]++…+^2025=-1

C.22。25ao+22024%+2202302+...+a2（）25=1

D.—+—+-+^—=-1

ala2a2025

三、填空題

17.在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+義》0的展開(kāi)式中，含一項(xiàng)的系數(shù)是.（具體數(shù)字作答）

18.有3名司機(jī)，3名售票員要分配到3輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機(jī)和一名售票員，則可能的分配

方法有種（填數(shù)字）.

第3頁(yè)，共14頁(yè)

答案和解析

1.【答案】C

【解析】(1+"展開(kāi)式的通項(xiàng)為A+1=4(網(wǎng)」=3』?哈必，

當(dāng)7=0,3,6時(shí)，系數(shù)為整數(shù)，

故系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是3.

2.【答案】B

[解析】因?yàn)?％-2)8=[(%-1)-I]8,

其展開(kāi)式的通項(xiàng)為G+1=1)8T(-l)r,

則令r=3,得as=(-1)3xCl=-56.

故選8.

3.【答案】B

【解析】從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì),

則可將7人分為1,1,1,1,3或1,1,1,2,2五組即可，

則不同的分組方法有第+空=35+105=140種，

A2

s

則每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有1404S=16800種.

故選：B.

4.【答案】B

【解析】由題意，從力到B最短路徑有底=10(條)，

由點(diǎn)B沿著置于水平面的長(zhǎng)方體的棱爬行至頂點(diǎn)C,最短路徑有四=6(條)，

.??它可以爬行的不同的最短路徑有10x6=60(條).

故選B.

5.【答案】C

【解析】根據(jù)題意甲不值第一天，乙不值第五天，

若甲排在第五天，則其余4人進(jìn)行全排列，有川=24種排法，

若甲不排在第五天，則甲有3種排法，乙有3種排法，其余三人有用=6種排法,

???3x3X用=54種排法，

：,24+54=78種排法.

故選C.

第5頁(yè)，共14頁(yè)

6.【答案】D

【解析】由題意，恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡，即其他4人都取到不是自己寫(xiě)的賀年卡,

先分析其他4人都取到不是自己寫(xiě)的賀年的情況，

設(shè)四個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫(xiě)的賀年卡分別為。、氏c、丸

第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式；

第二步，假設(shè)甲取6則乙的取法可分兩類：

乙取Q，則接下來(lái)丙、丁取法都是唯一的，

乙取C或d(2種方式)，不管哪一科情況，接下來(lái)丙、丁的取法也都是唯一的

根據(jù)加法原理和乘法原理，共有3x(1+2)=9種情況，

則恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡的不同分配方式有5x9=45種

7.【答案】C

【解析】因?yàn)樵虑蛞旁谡虚g第三個(gè)位置，所以A球的位置是固定的，只有1種排法.

剩下8、C,D、E進(jìn)行全排列，排列數(shù)為川=24種.但是這里多算了0、E相鄰的情況.

當(dāng)。、E相鄰時(shí)，把。、E看成一個(gè)整體放在1,2位置或者4,5位置，

有度x度=2x2=4種排法，

8、C全排列有用=2種排法，

所以。、E相鄰的排法有4x2=8種.

那么。、E不相鄰的排法有24-8-16種.

則滿足題意的不同的排法有16種.

故選：C.

8.【答案】D

【解析】320+a=910+a=(1+8)10+a

l10

=C?08°+C\0Q+...+Cjg8+a

210

=1+a+(小8i+C5o8+...+C；§8)

%8i+%82+...+C得8I。能被8整除,

???1+Q也能被8整除，

Q的值可能為7.

故選：D.

9.【答案】C

第6頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】找尋數(shù)字的排列規(guī)律，第1條斜線上的數(shù)是1,第2條斜線上的數(shù)是C；,第3條斜線上的數(shù)是望,

C；,第4條斜線上的數(shù)是及，0,第5條斜線上的數(shù)是C；,或，廢，…，

第九條斜線上的數(shù)是C；_i，Cj_2,C:3,C：…,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律是從。乙[開(kāi)始，后一個(gè)組合數(shù)的下標(biāo)減小1,上標(biāo)增大L直到找全滿足規(guī)律的所有的組合數(shù)，

所以第io條斜線上的數(shù)是eg,乙,仔，cj,乙，

所以該斜線上最大的數(shù)是G=21.

10.【答案】A

【解析】依題意，鬃+。廠2=72,即n(n—l)=72,而九為正整數(shù)，解得〃=9,

則(入++/展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為幾+1=《7-A(*)k=("?c"9-3k,k=o,l,29,

由9-3攵=0,解得k=3,

所以該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為6)3傍=y.

故選：A.

11.【答案】B

【解析】因?yàn)閒W-f(2-%)=0,

即/(%)=/(2-x),

所以函數(shù)/■(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱；

又因?yàn)?(%)+/(2+x)=0,所以/(2-%)+/(2+因=0,

所以函數(shù)/'(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱：

所以f(2+x)=-f(2-x)=-/(x),

所以/'(4+X)=-f(2+x)=/(x),

即函數(shù)f(%)周期為4,

又因?yàn)椋?-1)=1,

所以/(0)=0,/(1)=-1/2)=0,/?⑶=1,

即/(2k)=0,f(2k-1)=(-I?#Ez.

1012

所以￡[(-1)世僦f(2k-1)+(-1產(chǎn)】嘲2/(2切

k=l

10121012

=?="嚼水-1打(2攵-1)+o]=yk=i嚼力

1

c1+c3+c5+c2o23

222o22o2c24--x22024=?2023

242

第7頁(yè)，共14頁(yè)

故選:B.

12.【答案】AC

【解析】(］一》6的展開(kāi)式的通項(xiàng)n+i=^(^)6"(一=(一1?.6)6-9?12-33

令12-3A=0,可得&=4,所以74+1=(-1)4嗎)2c2=澤4正確；

令X=l,得以一1)6=},即各項(xiàng)系數(shù)和為士，8錯(cuò)誤；

'2/6464

二項(xiàng)式系數(shù)和為〃=64,C正確；

令12-3k=1,得k=2CN,故二項(xiàng)展開(kāi)式中不存在工項(xiàng)，。錯(cuò)誤.

故選AC.

13.【答案】ACD

【解析】若甲、乙、丙、丁均獲獎(jiǎng)，則共有個(gè)=24種不同的獲獎(jiǎng)情況，力正確；

若甲獲得了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，則其他三人有一人獲得2個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)或者有兩人各獲得1個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),

共有⑷+信=9種不同的獲獎(jiǎng)情況，8錯(cuò)誤；

若僅有兩人獲獎(jiǎng)，則有兩人各獲得2個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，

共有爺片=36種不同的獲獎(jiǎng)情況，C正確；

若僅有三人獲獎(jiǎng)，則有一人獲得2個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，有兩人各獲得1個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，

共有盟4/；=144種不同的獲獎(jiǎng)情況，。正確.

A2

故選:ACD.

14.【答案】ACD

【解析】對(duì)于4結(jié)合題意可得，從點(diǎn)A到點(diǎn)Ci，需要向上走2步，向前走1步，

從點(diǎn)g到點(diǎn)8,需要向右走2步，向前走1步，

所以，甲從A必須經(jīng)過(guò)Q到達(dá)8的方法數(shù)為仁仁二9種，力正確；

對(duì)于B,從點(diǎn)A到點(diǎn)8,一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，

所以，甲從力到B的方法數(shù)為或第以=90種，〃錯(cuò)誤；

對(duì)于C，甲從點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。2，需要向上、前、右各走一步，

再?gòu)狞c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,也需要向上、前、右各走一步，

所以，甲從點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C2,不同的走法種數(shù)為題用=36種，

乙從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，不同的走法種數(shù)也為36種，

第8頁(yè)，共14頁(yè)

所以，甲、乙兩人在。2處相遇的概率為黑^二2，。正確；

yUXyU4J

對(duì)于0,若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點(diǎn)。1、的、0、E、F.G、斤,

甲從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Ci，需要向上走2步，向前走1步，再?gòu)狞c(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,需要向前走1步，向右走2步,

所以甲從點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ci的走法種數(shù)為(或7，

同理，乙從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4且經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，不同的走法種數(shù)也為(髭產(chǎn)種，

所以甲、乙兩人在點(diǎn)G處相遇的走法種數(shù)為(或)3

同理可知，甲、乙兩人在點(diǎn)C3、E、F、G、”處相遇的走法種數(shù)都為(髭)3

因此，甲、乙兩人相遇的概率為空照率=義，。正確.

JIJ入xvJJU

故選:ACD.

15.【答案】ABD

【解析】對(duì)4由制+制-1=可知，

或+以+以+…+島=或+或+琛+…/=受+琮+…/=…=4=330,

A正確；

對(duì)B:若八＞771,

則里=_______________________________________=S±L,

/Jm+1(m+l)xm!(n-m)!(n+l)x(m+l)![(n+l)-(m+l)J!n+1

B正確;

對(duì)C：=M=高一人意一奈nN3”N\

則尹尹尹…+策=(專-*)+(力方)+，”+6-意)/一米

故“磷x(*+竟+4+..?十款

=周"(方-意)=學(xué)-1，

?.萼=^=45x89!,其個(gè)位數(shù)字是0,

第9頁(yè)，共14頁(yè)

故<=等一1的個(gè)位數(shù)字是9,C錯(cuò)誤；

nnrrrn

對(duì)。：v(1+x)的展開(kāi)式通項(xiàng)為Tr+1=0xl-xx=%?x,r=0,1,2，…，耳???(1+x)=C?+C\x+

…+C；；xn,

故ix+l)n(x+l)n展開(kāi)式的x”的系數(shù)為的+CjCr1+…+6源，又優(yōu)=CJTm，則確+

?鏟+…+CM=?)2+?)2+(鬣)2+…+?)2,

2n2nr

同理可得:(1十x)的展開(kāi)式通項(xiàng)為Tr+1=C務(wù)xl-X"=%'當(dāng)r=0,1,2,…,271,即展開(kāi)式的廿的

系數(shù)為",，

2n

由干(X+1)n(%+1)?=(1+X),故(即+?)2+(鬣)2+…+?)2=Cnn,。正確.

故選:ABD.

16.【答案】BCD

【解析】4選項(xiàng)，展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為22025,故/錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，令x=0,得％=1,

令X=1,得劭+%+。2+…+a2Q25=0，

所以由+與+…+。2025=-1，故4正確；

2023

C選項(xiàng)，22°25。0+22°24Q]_(_222+…+0,2025

20252-2025

=2(a0+2一%[+2~a2+...+2a2025)

=22025[1-2-1]2025=22025-(1)2025=1,故C正確；

°選項(xiàng)，因?yàn)?+=不-+。2°25-k(_])2025-A

uk口2025T^202511)^>2025(

II

=2025!(-1)〃+2025!(-l)2025-^

一(2025-k)!k!(2025—k)!

=(-1戶+(-1)2。25-4=0,

所以工+上+…+'

ala2a2025

11111

=(----1-------)+(----1-------)+…H--------

ala2024a2。2023a2025

=0+=--=-1,故。正確.

a2025?o

故選：BCD.

17.【答案】330

第10頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】在(1+X)3+(1+x)4+…+(1+%)1°的展開(kāi)式中,

含好項(xiàng)的系數(shù)是第+朝+eg+…+《0=吟=黑黑譽(yù)=330.

故答案為：330.

18.【答案】36

【解析】先將3個(gè)司機(jī)安排在3輛車上，再安排3個(gè)售票員，

故有脛房=36種結(jié)果，

故答案為36.

19.【答案】24；112

【解析】設(shè)％(ij=1,2,3,4)表示第i行第洌數(shù)，

第一行在=1,234)中選1個(gè)，有4種選法；

不妨設(shè)第一行選了小1，則第二行只能在4/0=234)中選1個(gè)，有3種選法；

不妨設(shè)第二行選了勾2,則第三行只能在=3,4)中選1個(gè)，有2種選法；

不妨設(shè)第三行選了的3,則第四行只選。44,有1種選法，因此共有4x3x2x1=24種選法.

因?yàn)樵谙旅鏀?shù)表中，

10203040

10203040

10203040

10203040

選4個(gè)方格，且每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則選中方格的4個(gè)數(shù)之和為100,

而所給數(shù)表是：

10+120+130+140+0

10+220+230+340+2

10+320+230+340+3

10+520+430+440+4

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在數(shù)表中,

1110

2232

3233

5444

第11頁(yè)，共14頁(yè)

選4個(gè)方格，且每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則選中方格的4個(gè)數(shù)之和最大.

因?yàn)樵跀?shù)表中，

1110

2232

3233

5444

選中滿足條件的方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值為5+3+3+1=12,

所以在題目所給的數(shù)表中，選中滿足條件的方格的4個(gè)數(shù)之和的最大值為100+12=112.

20.【答案】255

2

【解析】由-=a。+ax(x-1)4-Q式X-I)+…+。8(工-1)8?

令x=2,可得X著—=28=256,

828

又[1+(x-I)]=。。+%(%—1)+a2(x-I)+…+aQ(x—I),

上式二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)為：G+1=喘(％-1)=.令r=8,可得08=或=1.

二2葭ai=255.

故答案為：255.

72

21.【解析】(1)在(％-1)(-x+I)=a。+axx+a2x+…+他小中，

取x=1,得劭+%+?+…+即=0

取x=-1,得—256=劭-%+…+即，

以上兩式相減，得+。3+。5+=128.

7k7k

(2)(mx+I)’的通項(xiàng)為T〃+i=C/(mx)7f=m~CyX~t

若&二一70,PJiJmCy—m2^=—70,

所以3nI?一7n-io=o,解得m=2或一*

22.【解析】(1)當(dāng)九=4時(shí)，學(xué)校共有6種不同的葷菜和4種不同的素菜，

若每份學(xué)生餐有1葷3素，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇方法為盤(4=6X4=24(種).

(2)6種不同的葷菜和n種不同的素菜，任取2葷2素，不同的選擇方法為髭鬣(種).

由題意，得C雞2200,整理可得九(九一1)2野，解得心三等或"三等(舍去)，

因?yàn)閚€N*,5x4〈察6x5涔,

所以力之6,力的最小值為6.

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23?【解析】(1)依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為4,第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為鬣，

所以胃=看，即f=|，則/一6幾=0,

n2x1

???n=6或九=0(舍去)，

???n=6；

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所以(2%一意)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為：G+i=C%(2x)6-r(-x-2y=(—l)「26-rc"6-嚴(yán)(0<r<6,re/V),

令6-5r=0,解得r=4,

所以7'5=22以3=60為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為60,為第5項(xiàng)；

(2)由(1)知7；+1=(-l)r26-r^x64r(0<r<6,reN),

令6-則r=