人教版（2024）八年級上冊數(shù)學(xué)18.1分式及其基本性質(zhì)教案

18.1.1從分數(shù)到分式

課型新授課4復(fù)習(xí)課口試卷講評課口其他課口

教學(xué)內(nèi)容分析“從分數(shù)到分式”是人教版九年制義務(wù)教育課本中八年級第一學(xué)期第十五

章的第一節(jié)內(nèi)容，是中學(xué)知識體系的重要組成部分。分式的概念與整式是

緊密相連的，是前面知識的延伸，同時也是對前面知識的進一步運用和鞏

固。學(xué)生掌握了分式的意義后，為進一步學(xué)習(xí)分式、函數(shù)、方程等知識作

好鋪墊；學(xué)好本章不僅能提高學(xué)生的運算能力、運算速度，還有助于培養(yǎng)

學(xué)生的觀察、類比歸納能力，并讓學(xué)生體會從具體到抽象、從特殊到一般

的認知規(guī)律；讓學(xué)生在自主探索的學(xué)習(xí)過程中享受成功的喜悅.形成良好

的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

學(xué)習(xí)者分析學(xué)生通過小學(xué)分數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中已形成了分數(shù)的相關(guān)知識，知道分

數(shù)的分子、分母都是具體的數(shù)。因此，在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不能會用學(xué)

習(xí)分數(shù)的思維定勢來認知和理解分式。同時，學(xué)生在七年級上冊中已學(xué)過

整式，分式與整式一樣也是代數(shù)式，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該能較好

地遷移知識。

教學(xué)目標1.了解分式的概念.

2.理解分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件.

3.能熟練地求出分式有意義的條件及分式值為零、為正、為負的條件

教學(xué)重點掌握分式的定義。

教學(xué)難點能熟練地求出分式有意義的條件和分式的值為零的條件。

學(xué)習(xí)活動設(shè)計

教師活動學(xué)生活動

環(huán)節(jié)一：引入新課

教師活動1：學(xué)生活動1：

1.整式包括什么？

2.什么是單項式？學(xué)生回顧舊知

3.什么是多項式？

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活動意圖說明：以比賽的形式，從學(xué)生回顧舊知識引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

環(huán)節(jié)二：新知探究

教師活動2：學(xué)生活動2：

1.長方形的面積為10cm2,長為7cm.寬應(yīng)為___cm；

長方形的面積為S,長為a,寬應(yīng)為______.

?

S學(xué)生回答

a

2.把體積為200c"的水倒入底面積為33以/的圓

柱形容器中，水面高度為____函；把體積為/的

水倒入底面積為S的圓柱形容器中，水面高度為

a

O

3.一艘輪船在靜水中的最大骯速為30km/h,它以最

大船速沿江順流航行90km所用時間，與以最大航

速逆流航行60koi所用的時間相等，江水的流速是

讓學(xué)生觀察思考，并與小學(xué)學(xué)過的

多少？

分數(shù)對比，學(xué)生先回答，教師后歸

如果設(shè)江水的流速為vkm/h,則輪船順流航行90〃/〃

納總結(jié).

所用時間為_________力，逆流航行60〃力所用時間

為_________h,由方程_________________可

以解出r的值.

思考

式子3932有什么共同點？它們與

分數(shù)有什么相同點和不同點？

相同點：都具有分數(shù)的形式

不同點：（觀察分母）分母中有字母

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分式的定義：

一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有

字母，那么式子3叫做分式.其中A叫做分式的分

子，B為分式的分母.

分式必須滿足三個條件：

①形如3的式子；

②A、B都是整式；

③分母B中含有字母.

注意：

①分式是不同于整式的另一類有理式，分母中

含有字母是分式的一大特點.

②分數(shù)是分式中的字母取某些值的結(jié)果，分式

更具一般性

活動意圖說明：以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景抽象出分式的概念，建立數(shù)學(xué)

模型，并理解分式的概念..

環(huán)節(jié)三：新知講解

教師活動3：學(xué)生活動3：

我們知道，要使分數(shù)有選義，分數(shù)中的分母不

能為0.要使分式有意義，分式中的分母應(yīng)滿足什教師提出問題，學(xué)生嘗試回答，

么條件？最后教師引導(dǎo)與總結(jié)

提示：1.分數(shù)?有意義嗎？沒有意義

分數(shù)有意義的條件是分母不為0

2.類似的分式?有意義的條件是什么

D

呢？

分式有意義的條件是分母8刈.

當BWO時，分式《有意義

當B=0時，分式、無意義

D

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力叫做分式的分子，”叫做分式的分母.

2.有意義的條件

分式3有意義的條件是4W0

3.值為零的條件

分式3值為零的條件是大0且B#0.

D

課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】

必做題：

1.列式表示下列各量.

(1)某村有〃個人，耕地40公頃，人均耕地面積為________公頃.

⑵△力a'的面積為S,BC邊長為a,高49長為__________.

(3)一輛汽車行駛a千米用。小時，它的平均車速為______千米/小時；

一列火車行駛a千米比這輛汽車少用1小時，它的平均車速為__________

千米/小時.

2.若胃值為正數(shù)，則Q的取值范圍是()

Q—2

A.a>3B.a=2C.a<2D.a>3或a<2

3.當>為任意實數(shù)時,下列分式一定有意義的是()

.X—lX+1公X2+lI、X2

A..D._C..U.

X2+lX2x2-lx+1

選做題：

4.當X取何值時，分式與多有意義？X取何值時，分式的值為0?

X2-4

5已.知〃尸2時，分式安無意義；生〃尸4時，分式的值為0,求a與人的

m-b

值.

【綜合拓展類作業(yè)】

6.當分式晉值等于零時，對多項式4-/+初〃廣4進行分解因式

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課堂總結(jié)

一般地，如果4藻示整式，且阱含有

定義.

字母，式子《叫做分式，其中，4叫做

分式的分子，切可做分式的分母.

有意義

分式-分式防意義的條件是6*0.

的條件

值為零

-?分式施為零的條件是4=0且8#0.

的條件

作業(yè)設(shè)計【知識技能類作業(yè)】

必做題：

1.下列代數(shù)式中，屬于分式的是（）

A.--B.-a-bC.—D.—

22x-13

2.當/=一1時，分式含的值（）

a2-l

A.沒有意義B.等于零

C.等于1D.等于一1

選做題

3.當x為何值時，分式與的值為零？

X+1

【綜合拓展類作業(yè)】

4.若2-、2,求2?3秒-2y的值.

xyx-2xy-y

教學(xué)反思概念的獲得是本節(jié)課的重點，在分式構(gòu)建概念過程中沒有采用數(shù)學(xué)內(nèi)

部的邏輯結(jié)構(gòu)引入，即從運算的角度引入，而是從實例引入。這樣處理的

原因有兩個，一是分式不是脫離實際而產(chǎn)生的，而是反映現(xiàn)實問題中的數(shù)

量關(guān)系的一種模型。二是義務(wù)教育階段對單項式除以多項式及多項式除以

多項式的除法不作要求，因此我選擇從實際問題引入課題。

課堂教學(xué)中在問題的設(shè)計和練習(xí)題目設(shè)計上我關(guān)注了各個層次的學(xué)

生，學(xué)生在探究環(huán)節(jié)不乏精彩發(fā)言和獨到的見解，但是，考慮到學(xué)生的年

齡特點還可以設(shè)計一些情境激發(fā)學(xué)生的興趣。

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分課時教學(xué)設(shè)計

18.1.2分式的基本性質(zhì)

課型新授課4復(fù)習(xí)課口試卷講評課口其他深口

教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是人教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書八年級上冊第十五章第

一節(jié)第二課時：分式的基本性質(zhì)。分式的基本性質(zhì)是分式本章的重點內(nèi)

容之一，是分式變形的依據(jù)，也是進一步學(xué)習(xí)分式的通分、約分以及四

則運算的基礎(chǔ)。教材在這里安排的篇幅很小，內(nèi)容很簡練，學(xué)生自己學(xué)

習(xí)的難度較高。學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容是學(xué)好本章及以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等

問題的關(guān)鍵，對后續(xù)學(xué)習(xí)有重要影響。

學(xué)習(xí)者分析學(xué)習(xí)的過程是自我生成的過程，其基礎(chǔ)是學(xué)生原有的知識。在學(xué)習(xí)本節(jié)

課之前，學(xué)生原有的知識是分數(shù)基本性質(zhì)的運用。八年級學(xué)生一方面可

能會對原有知識有所遺忘，從心理上愿意去驗證，愿意去猜想，從而激

活原有知識；另一方面，八年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納總結(jié)能力，

那么如何讓學(xué)生靈活運用分式的基本性質(zhì)進行化簡和約分就是本節(jié)內(nèi)

容要突破的難點。

教學(xué)目標1.理解并掌握分式的基本性質(zhì).

2.理解約分和最簡分式的意義，能夠運用分式的基本性質(zhì)對分式進行變

形.

3.會運用分式的基本性質(zhì)進行分式的約分和通分

教學(xué)重點理解并掌握分式的基本性質(zhì)。

教學(xué)難點靈活運用分式的基本性質(zhì)進行分式變形

學(xué)習(xí)活動設(shè)計

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教師活動學(xué)生活動

環(huán)節(jié)一：引入新課

教師活動1:學(xué)生活動1：

問題1:下列分數(shù)哪兩個之間是相等的？并說出

理由.

一2，一1，7，24

381236學(xué)生回顧舊知

解：

336

活動意圖說明：從分數(shù)的變形著手，復(fù)習(xí)分數(shù)的基本性質(zhì)，為類比學(xué)習(xí)新知做鋪墊。猜

想得到分式的基本性質(zhì)。

環(huán)節(jié)二：新知探究

教師活動2：學(xué)生活動2：

問題2：下列兩式成立嗎？為什么？

0=/(CHO)%=〃CHO)

44C')6c6')

分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子與分母同時乘以(或

學(xué)生回答

除以)一個不等于0的數(shù)，分數(shù)的值不變.

那分式有類似的性質(zhì)嗎？想一想.

即對于任意一個分數(shù)：E

0

E,(CH0)E=行(cH0)

bbebb-c

分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整讓學(xué)生觀察思考，并與小學(xué)學(xué)過的

式，分式的值不變.分數(shù)對比，學(xué)生先回答，教師后歸

示例：分子乘以*分子除以〃納總結(jié).

Il|2i

分式的=而二。

2：2：f

的乘以*分母除以〃

活動意圖說明：在這個活動中，體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)是在原有知識上自我生成的過程

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環(huán)節(jié)三：新知講解

教師活動3：學(xué)生活動3：

例1、填空：

z^x3_()3x2+3xy_x+y

-y6建一()

教師提出問題，學(xué)生嘗試回答，

(2)±=<_____1*=

2

abdiba最后教師引導(dǎo)與總結(jié)

(川』。)

運用分式的基本性質(zhì)應(yīng)注意什么？

(1)“都”：分子和分母是同時乘或除以某個

整式，而不是只有分子或分母單獨進行.

(2)“同一個”：分子和分母都乘或除以同一個

整式，該整式是同一個.

(3)“不為0”：時刻注意分母不等于零.

活動意圖說明：讓學(xué)生運用類比的方法發(fā)現(xiàn)分式的基本性質(zhì)，并通過合作交流，更

好地總結(jié)出分式的基本性質(zhì)，從而實現(xiàn)了學(xué)生主動參與、應(yīng)用新知的目的。

環(huán)節(jié)四：新知講解

教師活動4：學(xué)生活動4：

想一想：聯(lián)想分數(shù)的約分.由例題你能想出如

何對分式進行約分？

與分數(shù)約分類彳以,關(guān)鍵是要找出分式的分子與

分母的最簡公分母.學(xué)生先獨立思考，然后組內(nèi)交流，代

觀察例1(1)，你能想出如何對分式進行約分表發(fā)言

嗎？

約去分子分母的公因式.

怎么找公因式呢？

(1)找系數(shù)的最大公約數(shù)；

(2)找分子、分母相同因式的最低次基；

(3)兩者的乘積即為公因式.

像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子

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與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

最簡分式：

分子與分母沒有公因式的式子.

注意：分式的約分，一般要約去分子和分母所有的

公因式，使所得的結(jié)果成為最簡分式或整式.

活動意圖說明：培養(yǎng)學(xué)生類比歸納能力.激勵學(xué)生主動探索，由已知得到未知。體

現(xiàn)了新課程理念。

環(huán)節(jié)五：典例精析

教師活動5：學(xué)生活動5：

例3、約分：

⑴-25a2阮3

⑴15ab2c

學(xué)生看題思考

公3—96xz-12xy+6yz

^X2+6X+92/3x-3y

學(xué)生回答問題

布北小、-25Mbe3_Sabc-Sac2_Sac2

腑“15ab2c~5abc-3b~3b，

⑵/-9=(x+3)(x-3)_x-3

X2+6X+9-(X+3)2-x+3

⑶空壬空空=處血=_

3x-3y3(x-y)v))

約分的基本步驟

(1)若分子、分母都是單項式，則約去系數(shù)的

最大公約數(shù)，并約去相同字母的最低次轅；

(2)若分子、分母含有多項式，則先將多項式

分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式.

注意事項：

(1)約分前后分式的值要相等.

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公

因式.

(3)約分是對分子、分母的整體進行的，也就

是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式.

活動意圖說明：培養(yǎng)他們語言表達能力，讓學(xué)生的個性得到充分的展示

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環(huán)節(jié)六：新知講解

教師活動6：學(xué)生活動6:

聯(lián)想分數(shù)的通分，由例1你能想出如何對分式

進行通分嗎？

與分數(shù)的通分類似，在例1(2)中，我們利用

分式的基本性質(zhì)，將分子和分母同乘適當?shù)恼剑烙懻摵髥为毣卮?/p>

不改變分式的值，把三和券化成分母相同的分

aba"

式.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分

別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分

式的通分.

通分的關(guān)鍵：確定最簡公分母.

最簡公分母：一般取各分母的所有因式的

________的積作公分母.

確定幾個分式的最簡公分母的方法：

(1)因式分解：

(2)系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

(3)字母：各分母的所有字母的最高次暴

(4)多項式:各分母所有多項式因式的最高次

塞

⑸積：

活動意圖說明：通過類比分數(shù)的通分學(xué)習(xí)分式的通分，學(xué)生在對熟悉的知識進行回

顧后自然而然得出分式約分中的各部分相關(guān)知識，不需要機械化的講解。

環(huán)節(jié)七：

教師活動七：學(xué)生活動七：

例3、通分

⑴義與等⑵會與

2a2bab2cx-5

學(xué)生組內(nèi)交流，派代表發(fā)言，教

3x

x+5師補充

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解：(1)最簡公分母是2》5%.

33,be3bc

2a2b2a2b-be2a2b2c

a—b(a—b)?2a2a2-2ab

ab2cab2c-2a2a2b2c

解：(2)最簡公分母是(x+5)U-5).

2x2x(x+5)2x2+10%

x-5(x-5)(x+5)%2-25

3x3x(%—5)3x2-15x

x+5(x+5)(x-5)x2-25

活動意圖說明：通過例題加深對分式基本性質(zhì)的理解，鞏固分式基本性質(zhì)的應(yīng)用條

件、基本方法、需要注意的問題.

板書設(shè)計一、分式的基本性質(zhì)

戶瞪⑺中。）戶言⑺*。）

二、分式的約分

1.約分的基本方法是：

先找出分式的分子、分母公因式，再約去公因式.

2.約分的結(jié)果是：整式或最簡分式

三、分式的通分

1.分式通分的關(guān)鍵是：找到最簡公分母

2.若分母是多項式時，應(yīng)先將各分母分解因式，再找出最簡公分母

課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】

必做題：

1.分式一,牛也，衿,寧中最簡分式的個數(shù)是（）

12ab-a2（a+b）a+b

A.0個B.1個C2個3個

2.使等式三=/自左到右變形成立的條件是（）

x+2X2+2X

A.x<0B.x>0C.x0D.x*

0且xH7

3.下列各式中，正確的是（）

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x-y_1八ab-1b-1

U.---=---

x2-y2x+yc?鬻=。ac-1c-1

選做題:

4.如果把分式各中的x和y都擴大到原來的5倍，那么分式的值

)

A.擴大到原來的5倍E.不變

0.縮小到原來的2D.擴大到原來的4倍

5.已知工+工=4,則2X—3町+2y

xy-x+2xy-y

【綜合拓展類作業(yè)】

2%2_2y2

一

6.已知x+尸2,玲求分式的值

x2+2xy+y2

課堂總結(jié)-內(nèi)-----容---|.A，萬：A二?€

"然3?

分式的

基本性質(zhì)

(1)分子分母同時迸行；

(2)分子分母只能同乘或同除，不能進行

同加或同減；

(3)分子分母只能同乘或同除同一個整式

”4)除式是不等于零的整式

作業(yè)設(shè)計【知識技能類作業(yè)】

必做題：

1.下列各式成立的是()

.C

A.——=---B.—=-上C.E4

b-aa+ba-ba-bb-aa+b

c

]).-=-

b-aa-b

2.下列各式中是最簡分式的()

.a-b

A.——B.3c.之D

b-ax+yx-2x2-y2

選做題

/.\10a3bc(2)…

3.約分：一5a2匕3c2⑷X2-6X+9

第14