第十四章全等三角形一與中點有關的問題和線段和差問題專項練

初中數學人教版（2024）八年級上冊

1.如圖，在VA4c中，。為的中點.

⑴求證：AB+AC>2AD；

⑵若A8=5,4c=3,求AO的取值范圍.

2.如圖，在VA4c中，。為的中點，"為A8上一點，ONtOM交AC于點、N,連接MN.求

證：BM+CN>MN.

A

BX^\C

3.如圖，AB=AE,AB±AE,AD=AC,AD±AC,點M為BC的中點，

E

BMC

求證：DE=2AM.

4.如圖,人。是VABC的中線，點E在AC的延長線上，CE=AB.N8AC=N8C4,試說明：AE=2AD.

BDCE

5.如圖，。為CE的中點，尸為AO上一點，且防"C,求證：NDFE=NDAC.

A

6.如圖，A。為VA8C的中線，E為AD上一點,BE=AC,的延長線交AC于點尸，求證:

ZCAE=ZAEF.

7.如圖.ZC=90°,BELABRBE=AB,BO_LBC且8Q=BC,CB的延長線交。七于F.

⑴求證；點廠是E。的中點；

(2)求證：SAABC=2S)EF.

8.如圖，點E在四邊形ABC。的邊A。上，ZBAE=ZBCE=ZACD=90°,且BC=CE,求證:

AD=AE+AB.

9.如圖，四邊形44CO中，AD〃BC,DE=EC,連接AE并延長交8C的延長線于點F,連接跖.

(1)求證：AE=EFx

(2)若求證：BC=AB-AD.

NACB=90。，AC=BC,BE上CE于點E,AD_LCE于點。.求證:

(I)CDA冬BEC：

Q)BE=AD—DE.

11.如圖，已知AO〃BC,N%B的平分線與NCB4的平分線相交于E,CE的連線交A尸于江求證:

AD+BGAB.

12.如圖，在等腰Rt/VWC中，NACB=90。，。是斜邊A8上任意一點，4七_1,。。于點￡,BFLCD

交。。的延長線于點尸，C，_LAB于點”，交4石于點G.

(1)求證：BD=CG；

⑵探究AE與環(huán)，加,之間的數量關系，并說明理由.

13.如圖，在四邊形八中，BA=BC,Z13AD4^BCD=180°,ZABC=2/MBN,盼V的兩

邊分別交八。、DC于點、E、尸.探究圖中線段AE,CF,E/之間的數量關系.

14.已知：A/WC中，ZC=90°,C4=CB,點。是AB的中點

（1）如圖，當點石在AC邊上，上。?1。尸交8。所在的直線于點尸，求證：AE+BF=BC；

（2）當E運動到CA的延長線上時，請畫出相應的圖形并判斷（1）中的結論是否成立，若不成立,

請寫出相應的結論并證明.

ADB

參考答案

I.(1)證明見解析

(2)1<AD<4

【分析】(1)延長40至點￡,使DE=4)，連接跖，證明△ADCgAJTZM,得出AC=E4,根

據AA+跳：〉AE可以證明AI3+AC>2AD；

(2)根據三角形三邊關系得出即可得出A3-ACv2ADvAB+AC,根據

AB=5,AC=3,求出結果即可.

【詳解】(I)證明：延長AD至點E,使OE=AQ,連接施，

為8C的中點，

:?CD=BD,

又?；AD=ED,ZADC=ZEDB,

4ADC冬4EDB,

/.AC=EB,

*/AB+BE>AE,

，AB+AC>2AD.

(2)解：VAB-HE<AE<AB-vBE,

'：AADC沿AEDB,

/.AC=EB,

：.AB-AC<2AD<AI3+AC,

VAB=5fAC=3,

???2<2AD<8,

A1</AD<4.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，對頂角相等，三角形三邊關系的應用，解題的關

鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明△AOCgZXEDB.

2.見解析

【分析】延長NO至點/),使OP=NO,連接MV,BP,證明△8O/^Z\CaV(SAS),則=

由三角形三邊關系即可完成.

【詳解】證明：如圖，延長N。至點P,使OP=NO,連接MP,BP.

J

\J"CO為BC的中點，

'乙/

p

BO=CO.

OP=ON,

在ABOP和3coN中,N40P=NC0N,

BO=CO,

ABO乂ACON(SAS),

:.PB=CN.

MO1PN,

NMOP=NMON=90°.

又OP=ON,MO=MO,

「.△MON0△MOP,

\MN=MP.

BM+BP>MP,

:.BM+CN>MN.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊的不等關系，倍長中線是解題的關鍵.

3.見解析.

【分析】延長AM至N,使MN=AM,證4AMC^ANMB,推出AC=BN=AD,求出/EAD二NABN,

證4EAD^AABN即可.

【詳解】延長AM至N,使MN=AM,連接BN,

E

D

“、、、；'MC

'、、/

N

???點M為BC的中點，

???CM=BM,

在4AMC和^NMB中

AM=MN

?4AMe=2NMB

CM=BM

/.△AMC^ANMB(SAS),

AAC=BN,ZC=ZNBM,

VAB±AE,AD±AC,

AZEAB=ZDAC=90°,

.*.ZEAD+ZBAC=180°,

AZABN=ZABC+ZC=1800-ZBAC=ZEAD,

在^EAD^UAABN中

AE=AB

???<NEAD=NABN,

AD=BN

AAABN^AEAD(SAS),

r.DE=AN=2MN.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力,

延長AM至N,使MN二AM,再只證AN二DE即可，這就是“中線倍長”，實質是“補短法”.

4.見解析

【分析】延長4。至尸，使得。尸=人。，證明且△尸CO(SAS),進而證明NACE=NAb,

證明△Abg/MCE(SAS)即可得證.

【詳解】證明：如圖，延長4八至尸，使得。尸=A。，

???。是8c的中點，

/.BD=DC,

在△A3。與,/C。中，

BD=CD

?NADB=NFDC,

AD=FD

:?△ABg/XFCD(SAS),

...FC=AB"B=NFCD,

*：AB=CE,

???FC=CE,

ZBAC=ZBCA,

ZACE=NB+/BAC,AACF=NACB+Z.FCD,

：.ZACE=ZACFi

在△ACE與△AC/7中，

AC=AC

<Z.ACF=ZACE,

FC=EC

AAACF^ZMCE(SAS),

.?.AE=A尸，

°：AF=2AD,

，AE=2AD.

【點睛】本題考查/全等三角形的性質與判定，三角形中線的性質，三角形的外角的性質，倍長中線

是解題的關鍵.

5.見解析

【分析】過點。作CM_LA。于點M,過點E作EN工AD,交AZ)的延長線于點N,首先根據全等

三角形的判定得出絲△DEN,進而得出MC=EN,即可得出油FENWRtACM,進而得出

/DFE=NDAC.

【詳解】證明：如下圖，過點。作CWJ_A。于點M,過點E作ENJL4),交4力的延長線于點N,

A

在△DCM和二OETV中，

ZCMD=AEND

</CDM=4EDN

DC=DE

:…DCM學」DEN,

:.MC=EN,

在RlZXFEV和RtACM中，

EF=AC

EN=CM

??.RJFEN^￡RI_ACM,

:.NDFE=NDAC.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵.

6.見解析

【分析】過點8作交A。的延長線于點“，過點。作CN_LAO于點N,根據三角形的中

線的定義可得8Q=CO,證明△BZM/Z△CON,根據全等三角形對應邊相等可得3M=CN,再證

明RtACNgRt,碩M,根據全等三角形對應角相等可得=然后得出NC4E=NA"\

【詳解】證明：如下圖，過點8作交4。的延長線于點M,過點C作CN_LA。于點N,

AO為VABC的中線,

/.BD=CD,

在一和△aw中，

N'M=N'C7V￡)=90O

</BDM=NCDN

BD=CD

:…BDMaCDN,

:.BM=CN,

在Rt"CN和RtEBM中，

AC=EB

CN=BM

「.RtACN/RtEBM

:.NCAN=NBEM,

NAEF=NBEM,

\?C4￡?AEF.

【點睛】本題考查了全等二角形的判定與性質.二角形中線的性質,訐明四是解題的

關鍵.

7.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)如圖，過點E作EMLCF交CF的延長線于M,證明NEBM=ZA,再證明△ABC^ABEM

(AAS),可得BD=￡M,再證明△尸治△08尸(AAS),從而可得結論；

(2)由△AAC2△/?￡：”,八EMF9ADBF,可得SAA“C=SA“￡W,SAKM"=S/>“凡再利用三角形

中線的性質可證結論.

【詳解】⑴證明：如圖，過點E作EM_LC尸交C尸的延長線于M,

???3E_LA4,

，NEBM+NA8C=180。-90°=90°,

VZC=90°,

:.NA+NA8C=180。-90°=90°,

\?EBM?A

在^A〃。和△REM中,

/A=NEBM

V-ZC=ZM=90°,

AB=BE

:.△ABEdBEM(AAS),

：.BC=EM,

*：BD=BC,

:?BD=EM,

在^EM/和△DBF中，

NM=N。如'=90。

VNEFM=NDFB,

EM=BD

：,^EMF^/\DBF(AAS),

:?EF=DF,

???點廣是E。的中點；

(2)證明：,:△ABgXBEM,△EMF^/XDBF,

:.SAABC=SABEM,SAEMF=S1)BF,

???點尸是EO的中點，

/.SABEF=S&DBF=gSABEM=gS^ABC,

：.S^ABC=2S^BEF.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，三角形的中線的性質，掌握“利用AAS證明三角形

全等”是解本題的關鍵.

8.詳見解析

【分析】根據等量代換證明出/ACB二NDCE及NABONDEC,再證明△ABC^ZkDEC(ASA),

由全等三角形的性質即可證明結論.

【詳解】解：???N8CE=NACD=90。

???ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE

AZACB=ZDCE

又丁/BAE=/BCE=90。,四邊形ABCE的內角和為360°,

/.ZABC+ZAEC=180°,

乂'/ZAEC+ZDEC=180",

AZABC=ZDEC

在^ABC與^DEC中

/ABC=/DEC

BC=CE

ZACB=NDCE

.,.△ABC^ADEC(ASA)

，AB=DE

AAD=AE+DE=AE+AB

即4)=A￡+A8.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，結題的關鍵是通過等量代換證明NACB=NDCE及

ZABC=ZDEC.

9.(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了平行線的性質,全等二角形的判定與性質.線段的垂直平分線的性質.熟練掌握

平行線的性質，全等三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵.

(1)由A?！??C,可得ZADE=NFCE,ZDAE=ZCFE,進而可證.AD咯.FCE(AAS),貝!AE=EF；

(2)由AAOE/JCE(AAS),可得AE=EF,AD=CF,進而可證45=8/，則

BC=BF-CF=AB-AD.

【詳解】(I)證明：???AO〃8C,

:.ZADE=4FCE,ZDAE=ZCFE,

又???DE=EC,

???「AO比AAS),

AA￡=EF；

(2)證明：由(1)可知，▲ADEM尸CE(AAS),

AAE=EF,AD=CF,

*/BEJ.AF,

JAB=BF,

：.BC=BF-CF=AB-AD,

BC=AB-AD.

10.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(I)根據等角的余角相等得出NC4￡>=N3CE,結合已知條件，直接證明

△CZM^ABEC(AAS)；

(2)根據全等三角形的性質得CO=BE,CE=AD,根據線段的和差關系即可求解.

【詳解】(I)證明：:BE1CE于點E,4)_LCE于點。，ZACB=90°,

NACD+ZBCE=90°,ZACD+ZCAD=90。,

/CAD=/BCE,

在OA和V8EC中，

ZCDA=NBEC,

、ACAD=NBCE,

AC=CB,

CDA^BEC(AAS).

(2)解：由(1)知，二CDA義一BEC,

:.CD=BE,CE=AD,

QDE=CE-CD,

:.DE=AD—BE,

:.BE=AD—DE.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

II.證明見解析

【分析】如圖，在48上截取八〃=4。,證明“。七邑人"￡再證明3〃加運幺。52可得4。=4"，從

而可得結論.

【詳解】證明：如圖，在A8上截取人"=4。，

AE平分NDAB,

NDAE=/HAE,

AE=AE,

....ADEg二AHE,

p

C

E

ZADE=/AHE,

AD//BC,

：.ZADE+NBCE=180。,

ZAHE+N8HE=180。,

NBCE=NBHE,

的平分/ABC,

:"ABE=/CBE、

?;BE=BE,

:.,HBEACBE、

BC=BH,

AB=AH+HB、

AB=AD+BC.

【點睛】本題考查的是仝等三角形的判定與性質，掌握“利用截長補短的方法證明兩條線段的和等于

另一條線段”是解題的關鍵.

12.(1)見解析

(2)AE=EF+BF,見解析

【分析】(1)根據等腰三角形的定義及各角之間的關系得出ZCAG=ZBCF,然后利用全等三角

形的判定證明即可；

(2)根據全等三角形的判定證明VACE史8/L得A￡=CF,CE=BF,即可得出結論.

【詳解】(I)證明：?1A4C為等腰直角三角形，且朋，

:.^ACG=^CBD=45°,

.NC4G+/AC￡=90。，Z5CF+ZACE=90°,

:./CAG=/BCF,

在jACG和△C8O中,

ZCAG=/BCD

■AC=CB,

ZACG=Z.CBD

A/ACG?ASA),

I3D=CG；

(2)解:AE=EF+BF.理由如下：

在zMCE和VCB/中，

NCAE=/BCF

<ZAEC=NCFB,

AC=CB

M.ACEaCBF,

.,.AE=CF,CE=BF,

,.AE=CF=CE^EF=RF+F.F.

【點睛】本題利用了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟知全等三角

形的判定定理.

13.4￡+3=七尸，見解析

【分析】延長。C到點，，使C〃=A￡,連接34,證明=結合BC="A,CH=AE,

可得△BCHgABAE,BE=HB,ZABE=NHBC,再證明//78/=/破尸，可得空△￡8"，

從而可得結論.

【詳解】解：延長。C到點〃，使C〃=AE,連接84.

ZBAD+ZBCD=\SO°,/8C”+N8CO=180。，

:./BCH=/BAD.

BC=BA,CH=AE,

ABCH會ABAE.

:.BE=HB,ZABE=ZHBC.

;.NHBE=NABC.

ZABC=2/MBN,

:./HBE=2NMBN,

即ZHBF=/EBF.

?.BF=BF,

:AHBF冬AE