專題17等腰三角形與直角三角形（9大考點，精選45題）

考點概覽

考點1等腰三角形的性質(zhì)

考點2等腰三角形的判定

考點3等腰三角形的性質(zhì)與判定

考點4等邊三角形的性質(zhì)

考點5等邊三角形的判定

考點6等邊三角形的性質(zhì)與判定

考點7直角.三角形的性質(zhì)

考點8直角三角形斜邊的中線

考點9三角形綜合問題

考點1等腰三角形的性質(zhì)

1.：2025?陜西?中考真題）如圖，在V/WC中，ZACB=90°,ZA=20°,CO為A3邊上的中線，DEJ.AC,

則圖中與NA互余的角共有（）

C.4個D.5個

2.（2025?安徽?中考真題）如圖，在VABC中，Z4=120°,AB=AC,邊AC的中點為。，邊BC上的點E

滿足EOJ.AC.若DE=C，則AC的長是（）

C.2>/3D.3

3.（2025?浙江?中考真題）如圖，在中，NA=35。,。。是斜邊上的中線，以點C為圓心，CD長

為半徑作弧，與48的另一個交點為點E.若AB=2,則的長為（）

DEB

A.-n

9

4.（2025?四川涼山?中考真題）如卻，AB=AC,AE=AD,點E在8。上，^EAD=ZBAC,ZBDC=56°,則

NA8C的度數(shù)為（）

A.56°B.60°C.62°D.64°

5.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,。是8c邊上的一

個動點，連接AO,則AD的最小值為.

DC

6.（2025?湖南長沙?中考真題）如圖，在VABC中，AB=AC,NB=72。,以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑作

弧，交CA于點M,交C8于點N,再分別以點M,N為圓心，大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點

P,作射線CP交A8于點D

(2)若8c=2.5,求A。的長.

考點2等腰三角形的判定

7.（2025?吉林?中考真題）如圖，在VABC中，Zfi=45°,Z4>Z4Cfi>Zfi.尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點

8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊84,BC于點、M,N；（2）以點C為圓心，出V長為半徑畫弧，交

邊C3于點N'；再以點N'為圓心，WN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點

（3）過點“畫射線C”交邊A8于點D下列結(jié)論埼送的為（）

A

B…0

A.ZB=ZDCBB.NBDC=90。C.DB=DCD.AD+DC=BC

8.（2025?四川自貢?中考真題）如圖，ZABE=NBA*,CE=CF.求證：AE=BF.

9.（2025?吉林長春?中考真題）圖①、圖②、圖③均是4x3的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方

形，其頂點稱為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作VA4C,使VA6c的頂點均

⑴在圖①中，VABC是面積最大的等腰三角形：

⑵在圖②中，VA8C是面積最大的直角三角形：

（3）在圖③中，VA4C是面積最大的等腰直角二角形.

10.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）在如圖的房屋人字梁架中，48=AC,點。在上，下列條件不用說明

的是（）

BDC

A.ZADB=ZADCB.NB=NCC.BD=CDD.AZ）平分上BAC

考點3等腰三角形的性質(zhì)與判定

11.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖1,在等腰直角三角形A8C中，ZAC8=90。，點。為邊A8的中點；

動點尸從點A出發(fā)，沿邊ACfC8方向勻速運動，運動到點4時停止.設(shè)點。的運動路程為x,△APO的

面積為），，），與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到C8的中點時，PD的長為（）

的長為

16.（2025?河北?中考真題）如圖.四邊形A3CZ）的對角線AC,“。相交于點“，AC=AD,?ACB2ADB,

點尸在EO上，ZBAF=ZEAD.

⑴求證：A3C@.AFD；

⑵若BE=FE,求證：ACJ.I3D.

考點4等邊三角形的性質(zhì)

17.（2025?廣西?中考真題）如圖，點A。在8C同側(cè)，AB=I3C=CA=2,BD=CD=6,則AQ=

18.（2025?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在VABC中，AC=3,BC=2,ZC=60°,D是線段上一點（不

與端點8。重合），連接AO,以4。為邊，在4。的右側(cè)作等邊三角形AOE,線段OE與線段AC交于點

F,則線段CF長度的最大值為.

19.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖，把平行四邊形紙片A4c。沿對角線AC折疊，點3落在點E處，B'C

與AO相交于點E,此時恰為等邊三角形，若48=6cm,則A￡>=cm.

20.（2025?四川德陽?中考真題）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日

常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計自行車的車輪等.如圖，分別以等邊三角形A4C的三

個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果人8=1,那么這

個等寬曲線的周長是.

考點5等邊三角形的判定

21.（2025?北京?中考真題）如圖，ZA/ON=100°,點人在射線QM上，以點。為圓心，OA長為半徑畫弧，

交射線QV于點B.若分別以點4,B為圓心，八4長為半徑畫弧，兩弧在NMON內(nèi)部交于點C,連接4C,

貝UN。4c的大小為（）

22.（2025?貴州?中考真題）如圖，在（A8C7）中，A8=3,8C=5,乙48c=60。，以A為圓心，A8長為半徑

作弧，交EC丁點E,則EC的K為（）

A.5B.4C.3D.2

23.（2025?黑龍江綏化?中考真題）一個矩形的一條對角線長為10,兩條對角線的一個交角為60。，則這個

矩形的面積是（）

A.25B.25GC.25舊D.50G

24.（2025?四川南充?中考真題）如圖，ZAOB=90°,在射線08上取一點C,以點。為圓心，。。長為半徑

畫弧；再以點C為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在24OB的內(nèi)部相交于點。，連接并延長C。交射線。4于

點、E.設(shè)OC=1,則OE的長是.

考點6等邊三角形的性質(zhì)與判定

25.（2025?福建?中考真題）如圖，VAAC是等邊三角形，。是A4的中點，CE工BC,垂足為C,故是由CO

沿CE方向平移得到的.已知石尸過點A,BE交CD于點G.

⑴求/QCE的大??；

⑵求證：CEG是等邊三角形.

26.（2025?浙江?中考真題）如圖，在VA8C中，AB=AC,點。在邊A8上，以點。為圓心，。8長為半徑

的半圓，交BC于點D,與AC相切于點￡連接ODOE

⑴求證：ODLOE.

（2）若A8=8C,08=JJ,求四邊形OOCE的面積.

考點7直角三角形的性質(zhì)

27.（2025?江蘇蘇州?中考真題）如圖，N用ON=60。，以。為圓心，2為半徑畫弧，分別交QW,ON千A,B

兩點，再分別以A,B為圓心，卡為半徑畫弧，兩弧在N例ON內(nèi)部相交于點C,作射線OC,連接AGBC,

則lanNBCO=.（結(jié)果保田根號）

OBiN

28.（2025?甘肅蘭州?中考真題）如圖，在菱形A4CO中，AE1BC,垂足為交BD于點F,BE=CE.若

AB=4瓜則從產(chǎn)=.

29.（2025?山東煙臺?中考真題）如圖，正六邊形A3C。歷的邊長為4,中心為點O,以點。為圓心，以

長為半徑作圓心角為120。的扇形，則圖中陰影部分的面枳為.

30.（2025?四川達(dá)州?中考真題）綜合與實踐

問題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段

之間的數(shù)量關(guān)系.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在V/ABC中，AC=BC,P是AB邊上一點，過點P作尸。J_AC于。，PE上BC于E,

過點A作”工BC于尸.連結(jié)CP,由圖形面積分割法得：S^BC=5mpe+；則AF=+.

實踐應(yīng)用：如圖2,VAAC是等邊三角形，AC=3,點G是A3邊上一點，連結(jié)CG.將線段CG繞點C逆

時針旋轉(zhuǎn)60。得CF,連結(jié)G尸交8c于尸，過點P作P0_LGC于。，PE上CF于E,當(dāng)AG=1時，求PD+PE

的值.

拓展延伸：如圖3,已知A8是半圓。的直徑，AC,BE是弦,AC=BE,。是A8上一點，PDLAC,垂

足為。，AB=IO,A￡>=2,BDS求S.AC+S'△PBE的值?

考點8直角三角形斜邊的中線

31.（2025?江蘇連云港?中考真題）如圖，在VA3C中，ZACB=90°,/C48=30。，AD平分/CW,BE±AD,

C.|6

D考

32.（2025?甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC,8。相交于點。，點E,尸分別在

邊AB,8c上，連接￡尸交對角線4。于點P.若尸為石尸的中點，408=35。，則//?￡=（）

A.95°B.100°C.110°D.145°

33.（2025?四川成都?中考真題）正六邊形尸的邊長為1,則對角線A。的長為.

34.（2025?北京?中考真題）如圖，在正方形A8CO中，點￡在邊CD上，CFLBE,垂足為足若45=1,

Z￡BC=30°,則△A6尸的面積為.

考點9三角形綜合問題

35.（2025?遼寧?中考真題）（1）如圖1,在V/1AC與△/）（2中，NBAC=NCDB,AC與04相交于點P,

PB=PC,求證：△AB%/\DCB；

（2）如圖2,將圖1中的△OCB澆點8逆時針旋轉(zhuǎn)得到D'CB,當(dāng)點。的對應(yīng)點以在線段84的延長線上

時，8C與人C相交于點M：若八B=2,BC=3,/人AC=60。，求CM的長；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CC'并延長，與4。的延長線相交于點N,連接MV,求eAMN的面

積.

N

（圖1）（圖2）（圖3）

36.（2024?青海西寧?中考真題）如圖，在VA3C中，48=90。，47=8C,點。在AC上，過點￡）作QE〃

交AB于點、E,延長8c到點/，變b=AZ）,連接CK,DF.

⑴求證：四邊形。代石是平行四邊形.

⑵若N￡）CE=30。，AC=2,求尸。的長.

37.（2025?北京?中考真題）在VABC中，NACA=90。，N4BC=a，點。在射線8c上，連接AO,將線段

AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180。-2a得到線段AE（點七不在直線AB上），過點E作所〃AB,交直線8C于點

F.

⑴如圖1,a=45。，點。與點C重合，求證：BF=AC；

（2）如圖2,點。，F(xiàn)都在AC的延長線上，用等式表示。b與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

38.（2025?廣東深圳?中考真題）綜合與探究

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1,小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形.

【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四

邊形稱為“雙等四邊形"，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”.如圖2,在VABC中，AB=AC,AC=AD,

AD=ABAC.此時，四邊形ABC。是“雙等四邊形"，VA8C是“伴隨三角形〃.

D

D

A

圖1圖2圖3

【問題解決】如圖3,在四邊形人BC。中，AB=AC,AD=CD,/D=/BAC.求：

①4D與BC的位置關(guān)系為：：

②AC?ADBC.（填"或"="）

【方法應(yīng)用】①如圖4,若AC=BC,將VABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至VAO￡,點。恰好落在8c邊上，求證：

四邊形八石是雙等四邊形.

②如圖5,在等腰三角形A8C中，AC=BC,cosB=^,A8=5,在平面內(nèi)找一點。，使四邊形A8CO是

以VABC為伴隨三角形的雙等四逅形，若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由.

39.（2025?上海?中考真題）小明正在進(jìn)行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究.

⑴如圖（1）所示，在梯形A8CO中，AD//BC,AB1BC.設(shè)七為邊AB中點，將V4OE繞點￡旋轉(zhuǎn)180。，

點D旋轉(zhuǎn)至點尸的位置，得到的△OR7是等腰三角形，其中。尸=。。，設(shè)求邊8c的長（用“表

示）；

（2）如圖（2）所示，已知梯形MQPN中，MN//QP,且MN＜尸。，MQ=NP.請設(shè)計一種方案，用一條

或兩條直線