專題9不等式與不等式組（8大考點，精選51題）

考點概覽

考點1不等式的性質(zhì)

考點2解一元一次不等式

考點3不等式組的解集

考點4在數(shù)軸上表示不等式組的解集

考點5已知不等式組的解集求參數(shù)的值

考點6不等式組的整數(shù)解問題

考點7新定義及材料閱讀題

考點8一元一次不等式的實際應用問題

考點1不等式的性質(zhì)

1.（2025?廣西?中考真題）有兩個容量足夠大的玻璃杯,分別裝有a克水、b克水,a>b,都加入c克水后,

下列式子能反映此時兩個玻璃杯中水質(zhì)量的大小關(guān)系的是（）

A.a+c>b+cB.a+c=b+cC.a+c<b+cD.a—c<b—c

【答案】A

【分析】本題主要考查J'不等式的基本性質(zhì).根據(jù)不等式的性質(zhì)，在兩邊同時加上相同的正數(shù)J不等式方

向不變，即可求解.

【詳解】解：???初始時，兩杯水的質(zhì)量分別為。克和?？耍?/p>

工加入c克水后，兩杯水的質(zhì)量變?yōu)椋╝+c）克和（匕+c）克，

,/a>h,

/.a+c>b+c?

故選：A

2.（2025?四川涼山?中考真題）下列說法正確的是（）

A.若|a|=村,則a=b

B.若am<bni,則a<b

C.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

【答案】C

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，不等式的性質(zhì)，正方形的判定定理，垂徑定理，互為相反數(shù)的兩

個數(shù)的絕對值也相等，據(jù)此可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有當/〃>0時，原式才正確，據(jù)此可判斷

B；根據(jù)正方形的判定定理可判斷C；根據(jù)垂徑定理可判斷D.

【詳解】解；A、若同=網(wǎng)，則〃=功，原說法錯誤，不符合題意；

B、若訓<加2（帆>0）,則”力，原說法錯誤，不符合題意；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法正確，符合題意；

D、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，原說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.（2025?山東東營?中考真題）一次函數(shù)丁=履+2伏工0）的函數(shù)值），隨工的增大而減小，當x=-l時，），的值

可以是（）.

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根掂一次函數(shù)的

增減性可得&的取值范圍，再把x=T代入函數(shù)丁=履+2僅/0）,從而判斷函數(shù)值），的取值范圍，即可得出

結(jié)果.

【詳解】解：???一次函數(shù)），=米+2（攵工（））的函數(shù)值y隨x的增大而減小，

，當x=-1時，y=-k+2>2,

選項中只有3符合要求，

故選：A.

考點2解一元一次不等式

4.（2025?吉林?中考真題）不等式x-3>2的解集為（）

A.x>5B.x<5C.x>-\D.x<-\

【答案】A

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題關(guān)鍵.

解一元一次不等式，通過移項即可求解.

【詳解】解：?.?不等式為工-3>2,

二移項，得：x>2+3,

二.不等式x-3>2的解集為x>5.

故選：A.

5.（2025?江西?中考真題）不等式-工+1>0的解集為

【答案】x<\

【分析】本題考查解一元一次不等式.根據(jù)一元一次不等式的解法，先移項，再系數(shù)化為1,即可求解.

【詳解】解：移項，得-x>-1,

系數(shù)化為1,得x<l.

故答案為：x<l.

6.（2025?四川瀘州?中考真題）若點（1,。-2）在第一象限，則。的取值范圍是.

【答案】a>2

【分析】本題考查象限內(nèi)點的符號特征，解一元一次不等式.解題的關(guān)鍵是掌握坐標系中每個象限內(nèi)點的

符號特點如下：第一象限（+,+）,第二象限（一,+）,第三象限（一,-），第四象限（+,-）.

根據(jù)第一象限內(nèi)點的坐標符號為（+,+），得到再解一元一次不等式即可.

【詳解】解：???點在第一象限，

解得：a>2,

故答案為：a>2.

7.（2025?福建?中考真題）不等式jx+lW2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

234234

234234

【答案】C

【分析】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出

不等式的解集即可.

【詳解】解：白+142,

-^<2-1,

2

【答案】C

【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求需兩個不等式的解集，再確定它們解集的公共部分即為不等

式組的解集.

【詳解】解：解不等式標+1>5,得：x>2；

解不等式1-3x2-8,得：x<3,

???不等式組的解集為：2<x<3：

故選C.

II.（2025?四川宜賓?中考真題）滿足不等式組一八的解是（）

x>0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【分析】先求出不等式組的解集，然后逐項分析即可.

本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式（組）的方法.

x<2

【詳解】原不等式組為：一八，

x>0

聯(lián)立兩個不等式，解集為0<xW2.

A.—3：不滿足x>0,排除.

B.-1：不滿足.r>0.排除.

C.1：滿足0<142,符合條件.

D.3：不滿足x<2,排除.

故選：C.

x>-2

12.（2025?浙江?中考真題）不等式組。一,〈的解集是_______

2x-3<5

【答案】-2Vx<4

【分析】本題考查了解一元一次不等式組的解集.熟練掌握解一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

先求第二個不等式的解集，進而可得不等式組的解集.

x>-2

【詳解】解:

2x-3<50

由①得：x<4.

???原不等式組的解集為：-2Wx<4,

故答案為：-2<x<4.

--1>0

13.（2025?上海?中考真題）不等式組2的解集為

2x+3之x

【答案】x>2

【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組

的解集.

“1>0①

【詳解】解：2

2X+3>A@

由①，得：x>2；

由②，得：x之一3；

???不等式組的解集為：x>2；

故答案為：x>2.

x+2>0

14.（2025?新疆?中考真題）不等式組3的解集是

【答案】x>\

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取

小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集.

A+2>0?

【詳解】解：

x>\?

由①得：x>-2,

由②得：x>\,

，不等式的解集為：

故答案為：x>1.

l+2x>x-6,

15.（2025?湖南長沙?中考真題）解不等式組：

4x<3A+2.

【答案】-7<xK2

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小

取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

1+2A>X-6?

【詳解】解:

4.v<3x+2@

解不等式①，得x>-7.

解不等式②，得XW2.

???不等式組的解集為-7vx42.

2（x+l）>x-l

16.（2025?北京?中考真題）解不等式組：x+5

-->3x

2

【答案】-3<x<l

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

2（x+l）>x-l?

【詳解】解：x+5.小

--->3x@

2

解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：x<l,

???原不等式組的解集為-3<x<1.

x+3<5

17.（2025?陜西?中考真題）解不等式組：

2(.r+l)>x-l

【答案】-3<x<2

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

【詳解】解：|2（川）>1②

由①得，xv2；

由②得，x>-3,

???原不等式組的解集為：-3<x<2.

18.（2025?四川成都.中考真題）（1）計算:-x/9+2cos45°+|V2-2

5x-l>3(x+l)①

（2）解不等式組：

【答案】（1）3；（2）2Vx48

【分析】本題考查的是實數(shù)的運算和解一元一次不等式組，熟知運算法則和不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

（1）分別根據(jù)負整數(shù)指數(shù)耗、二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角曲數(shù)、絕刈值的性質(zhì)進行計算，再把結(jié)果相

加減；

（2）分別解出每個不等式的解集，然后確定不等式組的解集即可.

【詳解】解：（1）->/94-2COS45O4-|V2-2|

=4-3+2x—+2-72

2

=4-3+收+2-血

二3；

5X-1>3（X4-1）@

⑵邑―一②

32

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<8,

所以原不等式組的解集為2<xW8.

3x-2<x+2

19.（2025?江蘇連云港?中考真題）解不等式組>

5x+5>2x-7

【答案】-4<x<2

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大，同小取

小，大小小大中間找，大大小小無解了，確定不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式3x-2<x+2,得x<2,

解不等式5x+5>2x-7,得x>-4,

所以不等式組的解集為-4<x<2,

3x+1>x-3

20.（2025?江蘇蘇州?中考真題）解不等組：x

---->—

23

【答案】x>3

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

3x+l>x-3

【詳解】解：x-1X

---->—

23

解不等式3x+l>工-3,得x>-2.

解不等式得x>3.

??.不等式組的解集是x>3.

2x+32—5,

21.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）解不等式組：）x+4

x-2<---

3

【答案】-4<x<5

【分析】本題考查解不等式組，分別求出每一個不等式組的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的

解集.

2x+3>-5?

【詳解】解:…②‘

由①，得：xNT；

由②，得：x<5：

???不等式組的解集為：-4<x<5,

2x+3>-5

22.（2025?甘肅?中考真題）解不等式組：。x+4

x-2<---

3

【答案】-4<x<5

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小

取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定出不等式組的解集.正確求出每一個不等式解集是基礎，

熟知確定不等式組解集的原則是解答此題的關(guān)鍵.

2x+3>-5?

【詳解】解：

x-2<—(2)

解不等式①，得：x>-4,

解不等式②，得x<5,

二.不等式組的解集為T?x<5.

考點4在數(shù)軸上表示不等式組的解集

23.（2025.內(nèi)蒙古?中考真題）不等式組，工產(chǎn)

的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

【答案】C

【分析】本題考查解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的

步驟是解題的關(guān)鍵.先解一元一次不等式組，再在數(shù)軸上表示即可.

x-l>0

【詳解】解:

x<3

解不等式x-120,得力N1,

???不等式組的解集為

???不等式組［“一/°的解集在數(shù)軸上表示是:

x<3

-1012345

故選：C.

24.（2025?河北?中考真題）（1）解不等式2xW6,并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

（2）解不等式3-工<5,并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

（3）直接寫出不等式組_/一:的解集.

3-x<5

?」1111」」1A

-4-3-2-101234

【答案】（1）xW3,見解析；（2）x>-2,見解析；（3）-2<x<3

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求不等式組的解集，熟知解不

等式和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）把不等式兩邊同時除以2求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；

（2）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為I的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可;

（3）先求出每個不等式的解集，尋根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）

求出不等式組的解集即可.

【詳解】解：（1）2x<6

不等式兩邊同時除以2得xK3,

數(shù)軸表示如下所示：

II?I??111A

-4-3-2-101234

(2)3-x<5

移項得：-x<5-3,

合并同類項得：-xv2,

系數(shù)化為1得：x>-2,

數(shù)軸表示如下所示:

-4-3-2-101234

⑵①

(3)八

[3-x<5②

解不等式①得：x<3,

解不等式②得：x>-2,

???原不等式組的解集為-2<XK3.

25.(2025?天津?中考真題)解不等式組今

2x-3>x-5(2)

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

(1)解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-3-2T0123

(4)原不等式組的解集為.

【答案】(l)xWl

(2)x>-2

(3)作圖見解析

(4)-2<x<l

【分析】本題考查解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，

(1)根據(jù)移項，合并同類項即可得解；

(2)根據(jù)移項，合并同類項即可得解；

(3)根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸卜.表示的方法：“〉”空心圓點向右畫折線，“之”實心圓點向右面折線，“V”

空心圓點向左畫折線，實心圓點向左畫折線，據(jù)此畫出圖形；

(4)根據(jù)一元一次不等式組的解集確定的原則：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到,

據(jù)此確定不等式組的解集；

解題的關(guān)鍵是掌握：①不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法；②一元一次不等式組的解集確定的原則.

【詳解】(1)解：移項，得：3x-2x^l,

合并同類項，得：x<l.

???解不等式①，得：x<\,

故答案為：x<l；

(2)移項，得：2x-不之-5+3,

合并同類項，得：x>-2,

???解不等式②，得：x>-2,

故答案為：x>—2：

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來如圖所示:

-3-2-10123

(4)原不等式組的解集為：-2<x<\,

故答案為：-2<x<1.

2x2x7①

并在數(shù)軸上表示.

26.(2025?廣東深圳?中考真題)解一元一次方程組*+2)<3②

解：由不等式①得：

由不等式②得：

在數(shù)軸上表示為:

-5-4-3-2-1012345

所以，原不等式組的解集為

【答案】x>-l；x<4；-1<x<4；見解析

【分析1本題主要考查解一元一次不等式組，分別求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小無法找“確定不等式組的解集,

2x>x-\?

【詳解】解:

-(x+2)<3?

12

解不等式①，得：x>-l

解不等式②，得：x<4

在數(shù)軸上表示如下:

-5-4-3-2-1012345

所以不等式組的解集為：-i<x<4,

故答案為：x>-\；x<4；-l<x<4

2x-7<3（x-l）

27.（2025?山東威海?中考真題）（1）解不等式組｛I,、1，并把它的解集表示在數(shù)軸上;

r-21

⑵解分式方程亨r『心

【答案】（1）-4<x<3,數(shù)軸表示見解析；（2）x=0

【分析】本題考查了一元一次不等式組和分式方程的解法，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的方

法是解題的關(guān)鍵;

（1）先求得不等式組中每個不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式組的解集，進而在數(shù)軸上表

示解集即可；

（2）分式方程去分母化為整式方程，求得整式方程的解后再檢驗即得答案.

2x-7<3（x-l）?

【詳解】解：⑴I,1,科，

55+1）-尸1②

解不等式①，得

解不等式②，得xW3,

所以不等式組的解集是-4<x<3,

不等式組的解集在數(shù)軸上表示為:

去分母，^X-2-（2X-1）=-1,

解得：x=0,

經(jīng)檢驗：x=0是原方程的解,

所以原方程的解是x=0.

3x+3>0

28.（2025?四川自貢?中考真題）解不等式組:并在數(shù)軸上表示其解集.

4x-3<3x-\

1111I

-2-I0123

【答案】Tc<2,見解析

【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先分別解不等式組中的

兩個不等式，再在數(shù)軸上表示解集的公共部分即可.

3x+3>00

【詳解】解:

4x-3<3x-l?

由①得：x>-l,

由②得：x<2,

在數(shù)軸上表示其解集如下:

—161<>

-2-10I23

???不等式組的解集為：-lvx<2.

考點5已知不等式組的解集求參數(shù)的值

X—3>—1

29.（2025?四川南充?中考真題）不等式組?的解集是x>2,則加的取值范圍是________

-x<-m+1

【答案】m<3

【分析】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集，熟知不等式組的解集取值規(guī)則是

關(guān)鍵.

先分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)兩個解集結(jié)合不等式組的解集求出〃?的取值范圍即可.

x-3>-l

【詳解】解:

-x<-m+1

解不等式x-3>-1得:x>2,

解不等式一得：

???不等式組的解集是x>2,

m-\<2,

ni<3.

故答案為：〃區(qū)3

考點6不等式組的整數(shù)解問題

30.（2025?黑龍江?中考真題）關(guān)于工的不等式組《,2'V一3<一0八恰有3個整數(shù)解，則。的取值范圍是

【答案】-2<.a<-\

【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解?，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于。的不等式組.先解含參

的不等式組，根據(jù)不等式組恰有3個整數(shù)解得到關(guān)于。的不等式組，求解即司;根據(jù)解集的情;兄得到關(guān)于。

的不等式組是解題的關(guān)鍵.

3

【詳解】解：解不等式2X-3W0得：xW；,

解不等式X—C7>0得：K>a,

???不等式組恰有3個整數(shù)解，

**?-2Ka<—1f

故答案為：—24av—1.

-----vx+2

31.（2025?四川眉山?中考真題）若關(guān)于x的不等式組2_至少有兩個正整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方

x+\>-x-^a

程土二二2-3的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)〃的值之和為（）

.r-11-x

A.8B.14C.18D.38

【答案】B

【分析】本題主要考查了求不等式組的解集，解分式方程，先解不等式組，確定出。的取值范圍，再解分

式方程，結(jié)合解為正整數(shù)的條件篩選出4的值，最后求和即可.

3X-1今小

------<x+2?

【詳解】解：2

x+\>-x+a@

解①得：x<5

解②得：x>，

3x-l<.°

???關(guān)于X的不等式組~一'+"至少有兩個正整數(shù)解

x+\>-x+a

，不等式組的解集為宇4x45.

???不等式組的解集至少有兩個正整數(shù)解，則解集需包含至少兩個整數(shù).

當?44時，解集包含％=4,5,

此時aW9.

分式方程合=2-三化簡為:1_2x+\

X—1x—1

解得X=W

要求解為正整數(shù)且xwl,則中為大于等于2的整數(shù),

即。為大于等于6的偶數(shù).

Va<9,

?\4=6或8,

當。=6時，不等式組的解集為2.5WXW5,整數(shù)解為3,4,5,滿足條件.

當。=8時，不等式組的解集為3.5?x45,整數(shù)解為4,5,滿足條件.

則所有滿足條件的整數(shù)。之和為6+8=14,

故選：B.

2x-2<XD

32.（2025?重慶?中考真題）求不等式組:2%1②的所有整數(shù)解.

2

【答案】T,0,1

【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.利用解不

等式組的步驟求解，再得出其整數(shù)解即可.

'2x-2<x?

【詳解】解：〈x—l2x-i^>

——<-----②

23

解不等式①，得：%<2；

解不等式②，得：x>-l；

???不等式組的解集為-1WXV2.

所以該不等式組的所有整數(shù)解是-1,（），1.

4A-3<X

33.（2025.江蘇揚州?中考真題）解不等式組:3（X+1）>2『并寫出它的所有袋擎裂解.

【答案】不等式組的解集為-3</工1,它的所有負整數(shù)解為-2,-1

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵.先分別求出兩個不等式

的解集，再找出它們的公共部分口1為不等式組的解集，然后寫出它的所有負整數(shù)解即可得.

【詳解】解：〔3（川）>2田

解不等式①得：x<h

解不等式②得：x>-3,

所以不等式組的解集為-3vxMl,它的所有負整數(shù)解為

考點7新定義及材料閱讀題

34.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）對于1、y定義了一種新運算G,規(guī)定G（x,y）=工+3），.若關(guān)于。的不等式

G（aA-2d\>-2

組k1?\D恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是____?

G（-2a,\+4a）>P

【答案】-174P<7

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應用，能根據(jù)找不等式的解集和已知得出

關(guān)卜尸的不等式組是解此題的關(guān)鍵.先根據(jù)新定義化簡關(guān)廣〃的不等式，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，得出

進而解不等式組，即可求解.

【詳解】解：???G（x,y）=x+3y

?+3(l-2t/)>-2?

???關(guān)于a的不等式組

解不等式①得：a<\

p_7

解不等式②得：?>—

???不等式組有3個整數(shù)解,

???整數(shù)解為-1,0.1,

P-3

-2<―-<-1

10

解得：-17Vp<-7

故答案為：-17￡P(guān)<-7.

a（a（>h））給出下列結(jié)論:

35.（2025?四川瀘州?中考真題）對于任意實數(shù)定義新運算：。※人23,

①8X2=8；②若工洶=6,則x=6；③。※力=（一4）※（-）；④若（2X—4）X2<5X,則％的取值范圍為

x>^.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了實數(shù)的新定義運算，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義運算分類討論是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)新定義運算法則，逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：@V8>2,

???8X2=8,故①正確，

②必=6,

當x>3時，x=6,

當xv3時，一x=6,即x=-6,故②不正確；

③?！?（一。）※（一人）不成立.例如"=〃=I.則4※8=1.（一4）※（-/?）=—1.故③不正確：

④當23一422即X23時，

貝ij：2x-4<5x,

4

解得：x>,

J>3；

當2x-4<2,即xv3時,

貝ij：一（21一4）<5%，

4

解得:x>-t

.\-<x<3,

7

綜上所述，x>g,故④正確，

故正確的有①和④，共2個，

故選：B.

36.（2025?湖南?中考真題）已知，“，方，c是VABC的三條邊長，記f=其中火為整數(shù).

（1）若三角形為等邊三角形，則，=；

（2）下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確的結(jié)論）

①若A=2,r=l,則VA3C為直笛三角形

②若左=1,a=—b+2,c=l,貝115Vz<11

2

③若A=l,，4|,。，b,。為三個連續(xù)整數(shù)，且〃<匕<c,則滿足條件的VABC的個數(shù)為7

【答案】2①②/②①

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的性

質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得a=b=c,據(jù)此求解即可;

(2)當左=2,/=1時，可證明/+〃=/,由勾股定理的逆定理可判斷①；當攵=1,a=；〃+2,c=l時,

-b+2-b<\b--b-2<\

322

可得f=；h+2；當時,可得?當av/?時,可得，i則可求出2Vb<6,據(jù)

-b+2>h-b+2<b

[2、2

此求出f的取值范圍即可判斷②：當左=1時，貝打=生女，則可得到。+人工25根據(jù)題意不妨設門=殿+2,

c3

則剩下兩個數(shù)分別為〃，〃+1(〃為正整數(shù))，則可得〃+2<〃+〃+1[(〃+2),解不等式組求出整數(shù)〃即可

判斷③.

【詳解】解：(1)V?,b,c是VA4c的三條邊長，且VA3C是等邊三角形,

：?a=b=c,

=r+f

=i+i

=2,

故答案為；2；

(2)①當A=2,/=1時，???1=

~=1?

c2c2

a2+b2=c2?

???VA3C為直角三角形，故①正確;

②當左=1,a=—b+2,c=l時，

2

-b+2,a

7b3,.

/-------+-=-b+2

112

當426時，

a-b<c,

-b+2-b<1

.2

**|1

-b+2^b

.2

/.2<Z?<4；

當av6時,

*：b-a<c,

b--b-2<\

2

**|1

-b+2<b

.2

4<Z?<6,

/.2<Z?<6；

*：t=-b+2,

2

???/隨〃的增大而增大，

當力=2時，1=5,

當》=6時,，=n,

???5<r<ll,故②正確;

③當左=1時，則f=（?+：）a+b

?r<5

-z-r

?a+b5

??------s-,

3

*.a+b<-C\

3

'?Z、b、。是三個相鄰的正整數(shù)，a<b<c,

???不妨設c=〃+2,則剩下兩個數(shù)分別為〃，〃+1（〃為正整數(shù)）,

c<a+h<-c,

3

:.〃+2v〃+〃+1K彳(〃+2),

解得1<〃與7,

，符合題意的〃的值有2、3、4、5、6、7,共6個，

，符合題意的〃、b、c的取值一共有6組，

???滿足條件的VA8C的個數(shù)為6,故③錯誤；

故答案為：①②.

考點8一元一次不等式的實際應用問題

37.（2025?遼寧?中考真題）小張計劃購進4?兩種文創(chuàng)產(chǎn)品，在"文化夜市”上進行銷售.已知A種文創(chuàng)產(chǎn)品

比8種文創(chuàng)產(chǎn)品每件進價多3元，購進2件A種文創(chuàng)產(chǎn)品和3件8種文創(chuàng)產(chǎn)品共需花費26元.

⑴求4種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價；

（2）小張決定購進A,8兩種文創(chuàng)產(chǎn)品共100件，且總費用不超過550元，那么小張最多可以購進多少件A種

文創(chuàng)產(chǎn)品？

【答案】（1）3種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為4元

（2）小張最多可以購進50件A種義創(chuàng)產(chǎn)品

【分析】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的實際應用，正確的列出方程組和不等式，是解題的關(guān)

鍵：

（1）設3種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為4元，根據(jù)A種文創(chuàng)產(chǎn)品比3種文創(chuàng)產(chǎn)品每件進價多3元，購進2件A種

文創(chuàng)產(chǎn)品和3件B種文創(chuàng)產(chǎn)品共需花費26元，列出一元一次方程進行求解即可；

（2）設小張購進6件A種文創(chuàng)產(chǎn)品，根據(jù)總費用不超過550元，列出不等式進行求解即可.

【詳解】（1）解：設5種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為x元，則：A種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為（4+3）元，

由題意，得：2（工+3）+3x=26,

解得：x=4,

答：8種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為4元；

（2）設小張購進6件A種文創(chuàng)產(chǎn)品，由（1）可知，A種文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價為4+3=7元，

由題意，得：7w+4（l00-/w）<550,

解得：〃2<50：

答：小張最多可以購進50件A種文創(chuàng)產(chǎn)品.

38.（2025?湖南長沙?中考真題）為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向

精加工轉(zhuǎn)變.根據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A,8兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷

售6千克人等級農(nóng)產(chǎn)品和4千克8等級農(nóng)產(chǎn)品共收入112元,銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)

品共收入68元.（不考慮加工損耗）

（1）求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？

（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購進60（X）千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于16000元,

則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克?

【答案】（1）A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為12元，4等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為10元

⑵要求總利潤不低于16000元，則至少需加工人等級農(nóng)產(chǎn)品2000千克

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式在實際問題中的應用，正確理解題意即可.

6x+4y=112,

（1）設A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克俏售單價為/元,B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克俏售單價為丁元，由題意得

4x+2)，=68.

即可求解:

（2）設需加工4等級農(nóng)產(chǎn)品刑千克，則需加工8等級農(nóng)產(chǎn)品（6000-機）千克，由題意得

(12-8)/n+(10-8)(6000-w)>16300.即可求解;

【詳解】（1）解：設A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為x元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為〉元,

[6x4+42y==16182,解得|x=12,

由題意得

y=10.

答：A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為12元，8等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為10元.

（2）解.：設需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品成千克，則需加工8等級農(nóng)產(chǎn)品（6000-〃。千克,

由題意得（12-8）/〃+（1。-8）（60（乂）一/〃）NI6O（X）.

解得〃拒2000,

答：要求總利潤不低于16000元，則至少需加工4等級農(nóng)產(chǎn)品2000千克.

39.（2025?四川成都?中考真題）21）25年8月7日至17日，第12屆世界運動會將在成都舉行，與運動會吉

祥物“蜀寶”“錦仔”相關(guān)的文創(chuàng)產(chǎn)品深受大家喜愛.某文旅中心在售A,B兩種吉祥物掛件，已知每個3種掛

4

件的價格是每個A種掛件價格的工，用300元購買B種掛件的數(shù)量比用200元購買A種掛件的數(shù)量多7個.

（1）求每個A種掛件的價格；

⑵某游客計劃用不超過600元購買48兩種掛件，且購買B種掛件的數(shù)量比A種掛件的數(shù)量多5個，求

該游客最多購買多少個A種掛件.

【答案】（1）每個A種掛件的價格為25元

⑵該游客最多購買11個A種掛件

【分析】本題考查分式方程的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，正確列出方程和不等式是解答的

關(guān)鍵.

4

(1)設每個A種掛件的價格為x元，則每個8種掛件的價格為根據(jù)題意列分式方程求解即可；

(2)設該游客購買y個A種掛件，則購買(y+5)個8種掛件，根據(jù)題意列不等式求解即可.

4

【詳解】(1)解：設每個A種掛件的價格為x元，則每個8種掛件的價格為qx元.

300200)

根據(jù)題意，得4、x

一X

5

解得x=25,經(jīng)檢驗工=25是原方程的解，且符合題意，

答：每個A種掛件的價格為25元；

(2)解：設該游客購買y個A種掛件，則購買(丁+5)個B種掛件，

由(1)得每個4種掛件的價格為］x25=20(元)，

根據(jù)題意，得25y+20(y+5)<600,

解得yv與，

由于y為正整數(shù)，

故該游客最多購買11個A種掛件.

40.(2025?河南?中考真題)為助力鄉(xiāng)村振興，支持惠農(nóng)富農(nóng)，某合作社銷售我省西部山區(qū)出產(chǎn)的甲、乙兩

種蘋果.已知2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和

為800元.

(1)求甲、乙兩種蘋果每箱的售價.

(2)某公司計劃從該合作社購買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數(shù)不超過甲種蘋果的箱數(shù).求該公

司最少需花費多少元.

【答案】(1)甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為100元、80元；

(2)該公司最少需花費1080元.

【分析】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，理解題意正確列式

是解題關(guān)鍵.

（1）設甲、乙兩種蘋果每箱的仕:價分別為X元、y元，根據(jù)“2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的仕:價之和為440

元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價之和為800元”，列二元一次方程組求解即可；

（2）設購買甲種蘋果。箱，根據(jù)“乙種蘋果的箱數(shù)不超過甲種蘋果的箱數(shù)”列不等式，求出。的取值范圍，

設該公司需花費w元，得到關(guān)于。的一次函數(shù)，求出最值即可.

【詳解】（1）解：設甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為％元、V元，

J2x+3），=440

IJJ14x+5^=800'

x=100

解得：

y=80

答：甲、乙兩種蘋果每箱的售價分別為100元、80元；

（2）解：設購買甲種蘋果〃箱，則購買乙種蘋果（12-4）箱，

則12—a4a,

解得：a>6,

設該公司需花費w元，

則w=100a+80（12-a）=20a+960,

20>0,

??.w隨。的增大而增大,

二.當4=6時，卬有最小值為20x6+960=1080,

即該公司最少需花費1080元.

41.（2025,江蘇連云港?中考真題）如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬

⑴現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長方形硬紙片，恰好能制傷甲、乙兩種紙盒各多少個？

（2）皿果需要制作100個長方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少張

正方形硬紙片？

【答案】（1）恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個

（2）至少需要134張正方形硬紙片

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

[x=40

（1）先設恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個.結(jié)合題意列出方程組，再解得｛即可作答.

（2）先設制作乙種紙盒〃，個，需要卬張正方形硬紙片.根據(jù)題意列出卬=100+〃?，結(jié)合機N；（100-〃?），

得用之三，其中最小整數(shù)解為34.運用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分析作答即可.

【詳解】（1）解：制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，甲種需要1個正方形，4個長方形，乙種需要2個正

方彩,3個長方形，

設恰好能制作甲種紙盒x個，乙和紙盒），個.

根據(jù)題意，得':

4x+3y=400

x=40

得

)，二80'

答：恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個.

（2）解：設制作乙種紙盒機個，需要w張正方形硬紙片.

則w=2m+(100-m)=100+6.

由上=1>0,知卬隨，〃的增大而增大,

:.當〃?最小時，1口有最小值.

根據(jù)題意，得〃?之：（100-，〃），

解得機N寫，

其中最小整數(shù)解為34.

即當〃?=34時，w=100+34=134.

答：至少需要134張正方形硬紙片.

42.（2025?廣東深圳?中考真題）某學校采購體育用品，需要購買三種球類.已知某體育用品商店排球的單

價為30元/個，籃球，足球的價格如下表:

①籃球、足球、排球各買一個的價格為140元

②購買2個足球的價格比購買一個籃球多花費40元