2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題專項訓(xùn)練

（江蘇專用解析版）

易錯點02方程與不等式

1.一元一次方程與二元一次方程（組）

2.一元一次方程與二元一次方程（組）的應(yīng)用

3.一元二次方程及其應(yīng)用

4.分式方程及應(yīng)用

5.一元一次不等式與一元一次不等式組

6.一次不等式（組）的應(yīng)用

易錯分析。1,

熟練掌握方程與不等式的相關(guān)性質(zhì)及解法步驟，理解方程的概念，在

判斷方程定義的方法上需要注意方程成立的條件

錯題糾正

（2021秋?本溪縣期末）下列方程①乂-2=1；②3x=U;@^-=5x-P④）2-4y=3；?x-

x2

0；⑥x+2y=l,其中是一元一次方程的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【思路點撥】答案錯誤，根據(jù)一元一次方程的定義進行判斷即可.

【規(guī)范解答】解：①x-2=」■是分式方程，不是一元一次方程；

X

②3K=II；=5X-I；⑤x=0是一元一次方程；

④.4y=3是一元二次方程；

@x+2y=1是二元一次方程.

是一元一次方程的有3個，

故選：B.

【考點解讀】本題考查的是?元?次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握?元?次方程的定

義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022春?宛城區(qū)期末）若（〃L1）x+l=0是關(guān)于X的一元一次方程，則〃?

的值可以是2.（寫出一個即可）

【思路點撥】直接利用一元一次方程的定義進而得出1,0,即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：???（〃L1）x+l=0是關(guān)于x的一元一次方程，

解得m#,

???/〃的值可以是2.

故答案為：2（答案不唯一）.

【考點解讀】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02］（2022秋?信宜市校級期中）請?zhí)钌线m當(dāng)?shù)挠弥担沟藐P(guān)于工的方程，祗2?2

=0是一元二次方程，，〃的值為不為0的實數(shù).

【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可.

【規(guī)范解答】解：因為關(guān)于工的方程〃2=0是一元二次方程，

所以〃于0,

即機的值為不為0的實數(shù).

故答案為：不為。的實數(shù).

【考點解讀】本題考查的是?元二次方程的概念，掌握只含有?個未知數(shù)，并且未知數(shù)

的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03】（2021秋?云巖區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程（m+1）儲+1+（w-3）x

-1=0.

（1）當(dāng)〃?取何值時，該方程是一元二次方程？

（2）當(dāng)切取何值時，該方程是一元一次方程？

【思路點撥】根據(jù)一元二次方程、一元一次方程的概念判斷即可.

【規(guī)范解答】解：（1）???關(guān)于x的方程（5+1）工/+1+（m-3）x-1=0是一元二次方

程，

,lm2+l=2，

解得機=1,

：.m=\M,原方程是一元二次方程.

（2）,關(guān)于x的方程（m+1）/,+1+Cm-3）x-1=0是一元一次方程，

.*.m+l=O,rn-3^0或m+1T

m+l#O

解得m=-1或77l=O,

???〃】=?1或。時，原方程是一元一次方程.

【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程、一元一次方程的概念，解答此題的關(guān)鍵是

要明確：（1）只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一

般形式是。/+灰+。=0（存0）.特別要注意。翔的條件.（2）只含有一個未知數(shù)（元），

且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

易錯分析02〉

運用等式性質(zhì)時，兩邊同除以一個數(shù)必須要注意不能為（）的情況，還

要關(guān)注解方程與方程組的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了

一個帶X公因式時回頭檢驗。

錯題糾正

（2022秋?天河區(qū)校級期末）下列方程的變形中，正確的是（）

A.將5x-4=2r+6移項，得51-2匯=6-4

B.將4x=2化系數(shù)為1,得乂=~^

C.將2a-3）=-3（-x+6）去括號得，2x-6=-3x-18

D.將上上1=1去分母得，3?2計1=1

23

【答案】A

【思路點撥】答案錯誤，注意移項要變號

【規(guī)范解答】解：A、將5X-4=2A+6移項，得5."2x=6+4,不符合題??；

8、將4x=2化系數(shù)為1,得符合題意；

2

C、將2（x-3）=-3（-x+6）去括號，得2x-6=3x-18,不符合題意；

。、將』-三包=1去分母，得3-2.2=6,不符合題意.

23

故選：B.

【考點解讀】此題主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練

12x=2-4x-1,

故選：。.

【考點解讀】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練03】(2022秋?東昌府區(qū)校級期末)解方程：

⑴/1、-X-41-=-1：

X-1X

__1__

-x+22-X\2_4-

【思路點撥】(1)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答；

(2)按照解分式方程的步驟，進行計算即"J解答.

【規(guī)范解答】解：(1)

X-1X

x2+x-I=x(x-I),

解得：x=&

2

檢驗：當(dāng)x=2時，x(x-1)和，

2

??*=1■是原方程的根：

2

(2),

x+22-xx2-4

2(x-2)+x+2=4,

解得：x=2,

檢驗：當(dāng)x=2時，(x+2)(x-2)=0,

???x=2是原方程的增根，

???原方程無解.

【考點解讀】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗.

易錯分析03

運用不等式的性質(zhì)3時，容易忘記改不變號的方向而導(dǎo)致結(jié)果出錯。

注意結(jié)合不等號兩邊的正負性靈活轉(zhuǎn)變不等號的方向。不等式(組)

的解得問題要先確定解集，確定解集的方法運用數(shù)軸。

錯題糾正

3x<5x+6

（2022秋?碑林區(qū)校級期末）解不等式組：x+1

6

3x＜5x+6①

【答案】［號＞一］②，

解不等式①得：-3,

解不等式②得:

???原不等式組的解集為：史

5

【思路點撥】答案錯誤，沒有注意運算符號，沒有改變符號方向。

3x〈5x+6①

【規(guī)范解答】〈x+1

6

解不等式①得：x＞-3,

解不等式②得:

工原不等式組的解集為：-3〈良

5

【考點解讀】解一元一次不等式組，準確熟練地進行計算是解題題的關(guān)鍵.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022秋?拱墅區(qū)期末）若心b,則下列式子中正確的是（）

.a/b

A.一4一B.a-3<b-3C.-3a<-3bD.a-b<0

22

【思路點撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷.

【規(guī)范解答】解；A、不等式的兩邊同時除以2,不等式仍成立，即之＞上，故本

22

選項不符合題意;

B、不等式的兩邊同時減去3,不等式仍成立,即故本選項不符合題

意;

C、不等式。＞人的兩邊同時乘?3,不等式仍成立，即?3aV?34故本選項符合題意;

。、不等式力的兩邊同時減去〃，不等式仍成立，即"-〃＞（）,故本選項不符合題意.

故選：C.

【考點解讀】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，運用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等

式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊

要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于（）進行分類討論.

【變式訓(xùn)練02］（2022秋?東方期末）計算：

⑴VI6+（-4-）-I-2|+（-3）2；

&-4<5

（2）解不等式組：Ix+1、.

號>1

【思路點撥】（1）先計算平方根，乘方，再計算除法和加減法；

（2）分別計算兩個不等式，再求兩個解得公共部分即可.

【規(guī)范解答】解：（1）原式=4x（-2）-2+9

=-8-2+9

（2）解不等式3X-4V5,得xV3；

解不等式史3>1,得

2

，原不等式組的解為：1<XV3.

【考點解讀】本題主要考查運算能力，涉及實數(shù)的運算，解一元一次不等式組，掌握相

關(guān)運算法則是解題基礎(chǔ).

【變式訓(xùn)練03］（2022秋?碑林區(qū)校級期末）關(guān)于x的不等式組1、有解且每一個x

2x+8>4a

的值均不在-2Y￡6的范圍中，則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a<\C.\<a<5D.a>5

【思路點撥】先按照解一元一次不等式組的步驟進行計算可得2a-4Vx〈a-3,然后根

據(jù)題意可得：24-4次或。-3工-2,從而可得：生5或日1,最后再根據(jù)不等式組有解集

可得。-3>2〃-4,進行計算即可解答.

a-x>3①

【規(guī)范解答】解:

2x+8>4a②'

解小等式①得：3,

解不等式②得：x>2a-4,

???原不等式組的解集為：2a-4<x<a-3,

???不等式組有解且每一個x的值均不在-2<A<6的范圍中,

2a-4>6或a-3g-2,

解得：生5或心1,

???不等式組有解集，

Afl-3>2fl-4,

解得:a<\,

綜上所述：。的取值范圍是aVl,

故選:A.

【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是

解題的關(guān)鍵.

易錯分析04〉

一元二次方程中相關(guān)字母的取值范圍的題目易忽視二次項系數(shù)不

為0。解這類問題一定要掌握一元二次方程的定義，注意特殊字母的

取值范圍

錯題糾正

（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知方程（〃-2）M+Zr=（）是關(guān)于x的一元二次方程，則“

=-2.

【答案】2或-2

【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到滿足二元?次方程定義，根據(jù)一元二次方程的定義

求解即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：同=2,且a-2和，

解得：。=-2,

故答案為：-2.

【考點解讀】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首

先要看是否是整式方程,然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022秋?鳳凰縣期末）已知：1）戶*"咐-1=0是關(guān)于x的一元二次

方程，則/“=-3.

【思路點撥】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案.

【規(guī)范解答】解：???Sl1）3M+H6x-1=0是關(guān)于"的一元二次方程，

/.|/n+l|=2,-1和，

解得：m=-3?

故答案為：-3.

【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練021（2022秋?褰州區(qū)期末）關(guān)于x的方程（a-I）f+4x-3=0是一元二次方程,

則（）

A.a>1B.a=1C.的D.a>0

【思路點撥】根據(jù)一元二次方程定義可得：〃-■（），再解即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：1^0,

解得：存1,

故選：C.

【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程定義，解題的關(guān)鍵是掌握只含有一個未知數(shù)，

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫?元二次方程.

【變式訓(xùn)練03】已知關(guān)于x的一元二次方程加+2/-4?-5=0,試寫出滿足要求的所有小

〃的值.

【思路點撥】本題根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）

二次項系數(shù)不為0.由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意知，當(dāng)［圻2時，方程為源-4X-5=0,

Ib=l

當(dāng)時，方程為-3『+2x-5=O,

lb=2

當(dāng)時，方程為-4『-3一0,

lb=2

當(dāng)（圻2時，方程為展?9=0,

lb=0

當(dāng)時，方程為f-2x-5=0,

Ib=l

當(dāng)時，方程為f+2r?9=0.

b=0

【考點解讀】本題利用了一元二次方程的概念.只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2

的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ar?+必+c=o（且。刈）.特別要注意啟0的

條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.

易錯分析05

關(guān)于一元一次不等式組有解、無解的條件易忽視相等的情況。解不等

式過程中，容易忽視整數(shù)解的正確選擇，需要考慮到解題步驟中要滿

足每個步驟及相關(guān)條件

錯題糾正

5x+l

(2022?成都模擬)解不等式組：O2-'.

[5x-2<3(x+D.

”J罕警41①

【答案”32,

5x-2<3(x+l)②

解不等式①得：x>-I,

解不等式②得：x>2.5,

???原不等式組的解集為：x>2.5.

【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

’2x-l5x+l①

【規(guī)范解答】32,

5x-2〈3(x+l)②

解不等式①得：x>-h

解不等式②得：x<2.5,

.?.原不等式組的解集為：-1夕<2.5.

【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)暴，特殊角的

三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

舉一反三

'5x-l43(x+1)

【變式訓(xùn)練01](2022秋?平南縣期末)解不等式組：2x-l2x+3一,并利用數(shù)軸表

<-1

32

示不等式組的解集.

【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

r5x-l<3(x+1)①

【規(guī)范解答】解：bx-12x+3/11G，

~~-Q

解不等式①得：.爛2,

解不等式②得：r>-7.5,

???原不等式組的解集為：-2.5〈爛2,

???該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:

【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握

解一元一次不等式組佗步驟是解題的關(guān)鍵.

'3x-24x①

【變式訓(xùn)練02](2022?蔡甸區(qū)模擬)解不等式組、^請按下列步驟完成解答:

蕓〉-1②

(I)解不等式①，得爛1:

(II)解不等式②，得A>-3；

(III)將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

(IV)原不等式組的解集為-3〈爛1.

-4-3-2-101234

【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

'3x-24x①

【規(guī)范解答】解：《1、

京

(I)解不等式①，得把1；

(II)解不等式②，得x>-3；

(III)將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

(IV)原不等式組的解集為-3〈爛1,

故答案為：(I)爛1；

(II)x>-3；

(IV)

【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握

解一元一次不等式組佗步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03](2022春?淮陰區(qū)期末)解不等式(組)：

(1)解不等式上空》-7,并把解集在數(shù)軸上表示出來；

2

5x-l<3(x+1)

（2）解不等式組2x-l5x+l<1，并寫出它的所有整數(shù)解.

32

【思路點撥】（1）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答;

（2）按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：（1）上至女-7,

2

13A>2(JV7),

I-3x>2x-14,

-3x-2x>-14-1,

-5x>-15,

x<3,

該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:

’5x-l<3(x+l)①

(2)2x-l5x+l

《1②’

32

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：x>-1,

???原不等式組的解集為：-1aV2,

???該不等式組的所有整數(shù)解為：-I,0,1.

【考點解讀】本題考杳了解一元一次不等式組，解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等

式的解集，?元?次不等式組的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

易錯分析06〉

解分式方程時首要步驟去分母，分數(shù)相相當(dāng)于括號，易忘記根檢驗,

導(dǎo)致運算結(jié)果出錯。另外注意方程無解時，相關(guān)字母可能會出現(xiàn)多個

解，容易遺漏

錯題糾正

（2022春?大英縣期末）關(guān)于x的分式方程泌無解，則〃的值是

X-1X-1

【答案】。的值為1

【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到無解的多種情況，分兩種情況：當(dāng)1=0時，整

式方程無解，當(dāng)x-1=0時，分式方程有增根，無解，然后分別進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：史包=~^+1，

X-1X-1

=4+A-1,

（〃-1）x=2,

???分式方程無解，

???分兩種情況：

當(dāng)a-1=0時，a=1；

當(dāng)x-1=0時，/=1,

把x=l代入（a-1）A—2中，

a-1=2,

*.a=3,

綜上所述：”的值為1或3.

【考點解讀】本題考查了分式方程的解，解分式方程，分兩種情況進行計算是解題的關(guān)

鍵.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01】（2022秋?磁縣期末）（一）分解因式:

(1)x2(x+4)-4x(A+1)；

(2)(f+1)2-4f

(3)JT-7X+\2.

（二）解分式方程：x+1-f=1

x-1乂2-1

【思路點撥】（一）m先提公因式，再利用平力差公式繼續(xù)分解即可解答;

（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式繼續(xù)分解即可解答；

（3）利用因式分解■十字相乘法，進行分解即可解答；

（二）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：（一）（1）x2（A+4）-4x（x+1）

=x[x（x+4）-4（x+1）]

=x（.r+4j-4x-4）

=x(x2-4)

=x(x+2)(x-2)；

(2)(f+1)2-Ax2

=(f+1)2-(2x)2

=(A2+1+2X)(,r+l-Iv)

=(x+1)2(x-1)2；

(3)JT-7X+\2

=f+(-3-4)x+(-3)x(-4)

=(x-3)(x-4)；

方程兩邊都乘(x+1)(x-1)得：

(x+1)(x+\)-4=(x+1)(x-1),

解得：r=1,

檢驗：當(dāng)x=l時，(x+1)(x-1)=0,

???x=l是原方程的增根，

???原分式方程無解.

【考點解讀】本題考查了解分式方程，提公因式法與公式法的綜合運用，因式分解-十

字相乘法，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02](2022秋?綏棱縣校級期末)解下列分式方程：

X-l1-X

【思路點撥】(1)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答;

(2)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：(1)二一二一二1，

X-l1-X

1-2-X-\

解得：x=0,

檢驗：當(dāng)x=0時，x-1^0,

??/=。是原方程的根;

32x-l6x-3

2A-1-3=4,

解得：x=4.

檢驗：當(dāng)x=4時，3(2x7)和，

???工=4是原方程的根.

【考點解讀】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗.

【變式訓(xùn)練03](2022?常德)方程2+一的解為x=4.

xx(x-2)2x

【思路點撥】方程兩邊同乘2x(x-2),得到整式方程，解整式方程求出x的值，檢驗后

得到答案.

【規(guī)范解答】解：方程兩邊同乘2x(x-2),得4x-8+2=5x-10,

解得：x=4,

檢驗：當(dāng)x=4時，2x(x-2)=16/0,

???%=4是原方程的解，

,原方程的解為x=4.

【考點解讀】本題考查的是分式方程的解法，解分式方程的步驟：①去分母；②求出整

式方程的解：③檢驗；④得出結(jié)論，注意解分式方程時，一定要檢驗.

易錯分析07

不等式(組)的解得問題要先確定解集，注意包含與不包含，以及對

正整數(shù)，整數(shù)，非負整數(shù)等關(guān)鍵詞理解要透徹，容易概念混亂。確定

解集的方法運用數(shù)軸。

錯題糾正

(2022秋?鄲州區(qū)期中)不等式3+x>3x?5的正整數(shù)解有()

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【思路點撥】答案錯誤，注意兩點：4取不到，正整數(shù)解不包含0.再按照解一元一次不等

式的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：3+x>3x-5,

x-3x>-5-3,

-2x>-8,

x<4,

???該不等式的正整數(shù)解為：3,2,1,共有3個正整數(shù)解,

故選：c.

【考點解讀】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式是解題

的關(guān)鍵.

舉一

【變式訓(xùn)練01](2022春?黑山縣期中)解不等式：

①21)V3(x+E-2,并把解集在數(shù)軸上表示出米.

②解不等式：紅土2①2-],并寫出其非負整數(shù)解.

34

【思路點撥】①按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答;

②按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：①2G-1)<3(x+1)-2,

2v-2<3x+3-2,

2x-3x<3-2+2,

-x<3,

x>-3,

該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

-5-4-3-2-161234

②2x7/x+2_?,

3~4

4(2x-1)>3(3x+2)-12,

8x-4>9x+6-12,

8x-9x>6-12+4,

-x>-2,

爛2,

，該不等式的非負整數(shù)解2,1,0.

【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，在數(shù)軸上表示

不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02](2022春?新會區(qū)期末)關(guān)于x的不等式3.”加+2>0的最小整數(shù)解為2,則

實數(shù)機的取值范圍是￡)

A.5<w<8B.5<w<8C.59日8D.5<w<8

【思路點撥】解出不等式，然后根據(jù)不等式的最小整數(shù)解為2,即可列出關(guān)于機的不等

式，從而求出機的取值范圍.

【規(guī)范解答】解：3x-m+2>0,

3x>m-2,

、nr2

Y/----，

3

???不等式的最小整數(shù)解為2,

解得：5<m<8,

故選：A.

【考點解讀】本題考杳的是含參數(shù)的一元一次不等式，掌握根據(jù)不等式的最小整數(shù)解求

參數(shù)的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03］（2022春?南寧期末）不等式4-3.。2廠6的非負整數(shù)解有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：4-3x>2v-6,

--2x>-6-4?

-5x>-10,

x<2,

???不等式的非負整數(shù)解為：1,0,

???不等式的非負整數(shù)解有2個，

故選:B.

【考點解讀】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式是解題

的關(guān)鍵.

易錯分析08〉

掌握科學(xué)記數(shù)法，精確度概念。熟練掌握概念：科學(xué)記數(shù)法的表示形

式為。XI）的形式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確

定a的值以及n的值.

易錯分析08

方程與不等式應(yīng)用于實際問題時應(yīng)注意：（1）單位要統(tǒng)一；（2）找等

量關(guān)系必須準確；（3）列方程組時要避免出現(xiàn)（）=0的情況。在一元二

次方程中容易忽略多個解

錯題糾正

（2022?中山市三模）某中學(xué)為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進

的圖書.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲

種書柜3個，乙種書柜4個，共需資金1440元.

（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，學(xué)校至多能夠提供資金3750元，請寫

出所有購買方案供這個學(xué)校選擇（兩種規(guī)格的書柜都必須購買）.

【答案】甲種書柜2個，乙種書柜18個

【思路點撥】答案錯誤,沒有考慮多解,（1）設(shè)甲種書柜單價為x元,乙種書柜的單價

為），元，根據(jù)：購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲種書柜

3個，乙種書柜4個，共需資金1440元列出方程組求解即可；

（2）設(shè)甲種書柜購買個，則乙種書柜購買（20-小）個.根據(jù)：購買的乙種書柜的數(shù)

量N甲種書柜數(shù)量且所需資金W3750列出不等式組，解不等式組即可得不等式組的解集,

從而確定方案.

【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為），元，由題意得：

r2x+3y=1020

3x+4y=1440

A.n-zgfx=240

解之得：〈，

ly=180

???甲種書柜單價為240元，乙種書柜的單價為180元.

（2）設(shè)甲種書柜購買加個，則乙種書柜購買（20-w）個；

由題意得:2406+180（20-m）<3750.

解之得：，〃工2.5

???，〃取整數(shù)，

???〃?可以取的值為：1,2.

即：學(xué)校的購買方案有以F兩種：

方案一：甲種書柜1個，乙種書柜19個，

方案二：甲種書柜2個，乙種書柜18個.

【考點解讀】本題主要考查二元一次方程組、不等式的綜合應(yīng)用能力，根據(jù)題意準確抓

住相等關(guān)系或不等關(guān)系是解題的根本和關(guān)鍵.

舉一反三

【變式訓(xùn)練01］（2022春?遂川縣期末）近幾年我縣的桃源梯田與紅色坪場景點吸引了縣內(nèi)

外眾多游客，甲、乙兩家旅行社為了讓更多的游客前往旅游，分別推出了“賞桃源梯田，

憶紅色坪場”旅游的團體優(yōu)惠辦法.甲旅行社的優(yōu)惠辦法是：買4張全票，其余人按半價

優(yōu)惠：乙旅行社的優(yōu)惠辦法是：一律按原價的3優(yōu)惠.已知這兩家旅行社的原價均為每

4

人80元，試說明隨著團體人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費更優(yōu)惠？

【思路點撥】設(shè)團體人數(shù)為x,根據(jù)甲、乙兩個旅行社的優(yōu)惠辦法，分別列出式子，再進

行比較即可.

【規(guī)范解答】解：設(shè)比體人數(shù)為工，

則甲旅行社的費用是80x4+80x0.5（x-4）=（40A-+I60）元，

乙旅行社的費用是80x—x=60x元，

4

令40x+160=60x,得x=8,

令4（h+160V60x,得力>8,

令40x+l60>60x,得/<8,

???當(dāng)團體人數(shù)為8時，兩家旅行社的收費一樣；當(dāng)團體人數(shù)少于8時，乙旅行社收費更

優(yōu)惠；當(dāng)團體人數(shù)多于8時，甲旅行社收費更優(yōu)惠.

【考點解讀】本題主要考查?元?次方程的應(yīng)用，元?次不等式的應(yīng)用等，題目相對

比較簡單，根據(jù)題意得出甲、乙兩個旅行社的費用是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練02］（2022秋?長泰縣期中）為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，各地市先后出臺了居

民用電“階梯價格”制度，下表是某市的階梯電價收費標準（每月）：

階梯用電量電費價格

（單位：度）（單位:元/度）

一檔不超過220度的電量0.50

二檔220至420度之間的電量0.55

三檔超過420度的電量0.80

（1）小明家七月份共用電470度，求小明家七月份應(yīng)交多少電費？

（2）如果某戶居民某月用電。度（220<?<420）,請用含。的代數(shù)式表示該戶居民該月

應(yīng)交電費.

（3）小明家九月份的電費是165元，求該月用電多少度？

【思路點撥】（1）根據(jù)階梯收費可求出小明家七月份電費；

（2）根據(jù)階梯收費可得出結(jié)論；

（3）先判斷九月份的電費在的范圍，再求解即可.

【規(guī)范解答】解：（I）根據(jù)題意可知，小明家七月份的電費為：

220x0.5+（420-200）xO.55+（470-420）x0.8=110+110+40=260（元），

，小明家七月份應(yīng)交260元電費：

（2）根據(jù)題意可得,220x0.5+（〃-220）x0.55=0.55a-11.

???該戶居民該月應(yīng)交電費（0.55。-11）元；

（3）當(dāng)用電220度時,應(yīng)交電費220x0.5=110（元），

當(dāng)用電420度時,應(yīng)交電費220x0.5+（420-200）x0.55=110+110=220（元）,

設(shè)小剛家八月份的用電量x千瓦時，

V110<165<220,

A220<x<420,

A0.55x-11=165,

解得x=320.

,該月用電320度.

【考點解讀】本題考查解一元一次方程的應(yīng)用，掌握一元一次方程的解法，根據(jù)題意列

式或列方程是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練03】（2022?寧夏）某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30

元.已知330元購進佗籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等.

（1）籃球和排球的單價各是多少元？

（2）現(xiàn)要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元.籃球最多購買多少個？

【思路點撥】（1）設(shè)排球的單價為X元，則籃球的單，介為（A+30）元，由題意：330元購

進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)購買排球），個，則購買籃球（20?），）個，由題意：購買籃球和排球的總費用不

【規(guī)范解答】薛：（I）設(shè)排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，

根據(jù)題意得：曾7=2”，

x+30x

解得：x=80,

經(jīng)檢驗，x=80是原分式方程的解，且符合題意，

"30=110.

，籃球的單價為110元，排球的單價為80元.

（2）設(shè)購買籃球），個，則購買排球（20->0個，

依題意得：110y+80（20-y）<1800,

解得）嗎，

即），的最大值為6,

，最多購買6個籃球.

【考點解讀】此題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:（1）

找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

易錯題通關(guān)

一、選擇題

1.（2022九上?洪澤月考）方程2x2+x-4=0的解的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B,沒有實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.有一個實數(shù)根

【答案】A

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得△=12>X2X（-4）=1+32=33,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故答案為：A.

【思路點撥】利用一元二次方程根的判別式，得出當(dāng)△>（）時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，

當(dāng)△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)AVO時，方程沒有實數(shù)根.確定a,b,c的值，代

入公式判斷出△的符號即可得出結(jié)論.

2.（2022九上.通州月考）下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A.x*2+2x+3=0B.x2+x-12=0C.x2+8x4-16=0

D.3x2+2x+l=0

【答案】C

【規(guī)范解答】解：A、A=22-4xlx3=-8<0?

方程沒有實數(shù)根；

B、A=l2-4xlx（-12）=49>0，

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

C、A=82—4x1x16=0，

方程有兩個相等的實數(shù)根；

D、A=22-4x3xl=-8<0.

???方程沒有實數(shù)根.

故答案為：C.

【思路點撥】各選項中的一元二次方程都是一般形式，再分別求出各選項中方程的b?-4ac,

根據(jù)bMac的值的情況，可得到有兩個相等的實數(shù)根的選項.

3.（2022九上?吳江月考）關(guān)于x的一元二次方程x2-nvc￥---=0有兩個相等的實數(shù)根，

24

則m的值為（）

A.-2B.2C.-1D.I

【答案】D

【規(guī)范解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程/_〃“+：一!=。有兩個相等的實數(shù)根.

24

，A=/72-4ac=nr—4(-----)=0,

24

解得：仍=加2=1.

故答案為：D.

【思路點撥】由方程有兩個相等的實數(shù)根可得△=b2-4ac=0,代入求解可得m的值.

2021

4.（2021?建鄴模擬）已知雙曲線y=^—與直線y=kx+b交于A(玉，yj,

B(X2,%)，若M+&>0，），1+%>0，則（）

A.%>0，b>0B.k>0,Z?<0

C.k<0，b>0D.〃<0,b<0

【答案】C

2

【規(guī)范解答】解:由題意得方程kx+bx-202i=0的兩根分別為x,,x2

-2021

,/x1+x2>0

-4>o，

，k、b異號,

20212021

CL-----，>2=-----

20212021202l(x)+x2)

+)'2二-----+-----

玉乙xlx2

???乂+)>2>0.

.2021(^+x2)

>0,

,?中2

*.*+x2>0,

，Xjx2>0,

??E〉o,

k

；.k<0,b>0.

故答案為：C.

【思路點撥】由題意可得方程kx2+bx-2021=0的兩根分別為xi,X2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可

確定出k、b異號，表示出yi、y2,根據(jù)yi+y2>0可得xiX2=0,據(jù)此可判斷出k、b的正負.

5.(2020九上?丹徒期中)已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=O的一個根，則m+n的最大

值等于()

13

D.——

4

【答案】A

【規(guī)范解答】解：由題意得：此方程的根的判別式△=4-4(〃-3)20,

解得n<4,

'：x=m是一元二次方程/+24+3=0的一個根，

/.m2+2m+/?-3=0,即n=-m2-hn+3=-(/??+1)2+4,

---對于任意實數(shù)m,n<A均成立，

令y=m+n=m+(—nr—2m+3)=—m2—m+3,

1、13

整理得：>,=-(w+—)~+—,

113

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)m=-一時，y取得最大值，最大值為—

24

13

即m+〃的最大值等于一，

4

故答案為：A.

【思路點撥】由x二m是方程的根和?元二次方程根的判別式可得m,n的范圍和

〃=一加2一2相+3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

二、填空題

6.(2022九上?洪澤月考)如果a是方程％2一2x一2=0的一個實數(shù)根，則2a2一4〃+2019

的值為.

【答案】2023

【規(guī)范解答】解：把工=〃代入得到/—2a—2=0，

則"-2〃=2.

又2a*-4a=2（cJ-2a）,

把/一2。=2代入得2c/一44+2019=2（/-2。）+2019=2x2+2019=2023,

故答案為:2023.

【思路點撥】根據(jù)方程解的概念，將x=a代入方程中可得aZ2a=2,待求式可變形為

2（a2-2a）+2019,據(jù)此計算.

7.（2022九上.洪澤月考）商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元,

從1月份到3月份，設(shè)該店銷售額平均每月的增長率是x,由題意列出方程

是.

【答案】2（l+xf=4.5

【規(guī)范解答】解：設(shè)該店銷售額平均每月的增長率是x,根據(jù)題意得，

2（1+x）2=4.5.

故答案為：2（1+冗）2=4.5.

【思路點撥】由題意可得：2月份的銷售額是2（l+x）萬元，3月份的銷伯額是2（l+x）2萬元,

然后根據(jù)3月份的銷售額是4.5萬元就可列出方程.

8.（2022九上?沐陽月考?）把方程V+2工一3=0化成（工+加『=〃的形式，則機+〃的值

是.

【答案】5

【規(guī)范解答】解：方程整理得：丁+2戈=3，

配方得：x2+2^+1=4?

即"+1）2=4,

???=1>〃=4,

貝！J=1+4=5.

故答案為：5.

【思路點撥】首先將常數(shù)項移至右邊，然后給兩邊同時加上1,再對左邊的式子利用完全平

方公式分解即可化為（x+m）2=n的形式，得至IJm、n的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算.

9.（2021九上?海安月考）已知關(guān)于x的方程,2+2〃/-3〃2+5卜4=。,其中p、q都

111c

是實數(shù).若方程有三個不同的實數(shù)根陽、々/，且一+—+—=（）,則q的值

為.

【答案】3

【規(guī)范解答】解：依題意，,2+2/”-3〃2+5卜4=0

x2+2px-3/?2+5=±q

設(shè)）［=x2+2px-3p2+5

%=±4

方程有三個不同的實數(shù)根內(nèi)、々、x3,

則力與為的圖象有三個不同的交點，

另二x2+2px-3p2+5

4=1>0,對稱軸為X=~p

,/則））與乃的圖象有三個不同的交點，

則y=-Q經(jīng)過必的頂點

設(shè)X3=_p,則_g=4（5-3：）4p=5_4〃2

2

即q=4p-5

設(shè)X，%是f+2px-3p2+5=q的兩根，

則x24-2px-3/72+5=4/72-5

即X’十2川一7〃’+10=0

2

/.xi+x2=-2p,Xj-x2=10-7p,x3=-p

.X+Z?］二-2〃?［二］0一5//.0

22

x［x2x310-7p-p(7/?-10)p

p2=2

?.?A=(2/?)2-4(10-7p2)=32/?2-40>0

解得p2>-

4

p2=2

(7=4p2—5=3.

故答案為：3.

【思路點撥】設(shè)yi=x2+2px-3P2+5,yz=±q,根據(jù)方程有三個不同的實數(shù)根可得y=-q經(jīng)過yi

的頂點，設(shè)X3=-p，據(jù)此可得q與P的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得Xl+X2=-2p,XlX2與0~7p2,

111c

X3二P，然后結(jié)合一+-----7=°可得p2=2,根據(jù)判別式求出p的范圍，進而可得q的值.

?X|入3

10.（2020九上?泰興期末）對于一個函數(shù)，當(dāng)自變量x取n時，函數(shù)值y等于4—n,我們

稱n為這個函數(shù)的“二合點”，如果二次函數(shù)y=mx?+x+l有兩個相異的二合點xi,X2,且xi

<x2<l,則m的取值范圍是.

【答案】--VmVO或m>l

3

【規(guī)范解答】根據(jù)題意得：4/=加尸+工+1

整理得：nvc+2x-3=0

???有兩個相異的二合點

?'?A=Z?2-4ac=4+12/w>0

得:m>--

3

①當(dāng)m>0時，根據(jù)xi〈X2〈l,由求根公式得：

-2-\4+嘰-2+J4+嘰1解得:m>l,m<0（舍去）

2m2m

②當(dāng)mvO時，根據(jù)xiVx2VI,由求根公式得:.

—2+J4+12團<—2一‘4+12加<］解得:m<o,m>l（舍去）

Im2m

綜上所述：--VmVO或m>l

3

故答案是：--VmVO或m>l

3

【思路點撥】題目中，有兩個相異的二合點，根據(jù)一元二次方程的判別式仆=b2-4ac>0，

得到〃，再分別討論當(dāng)m>0時，m<0時，用求根公式表示出方程兩根，利用川

<xz<l求出m的范圍.

三、解答題

11.（2022?徐州）

（1）解方程：x2-2A-1=0;

2A—1>1,

(2)解不等式組：［+x

-----<x-\.

3

【答案】(1)解：d—2x+l=2，

(x-l『=2,

??x—1=