2024.2025學(xué)年廣東省中山一中豐山部高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合（2={%|六>0},則PnQ等于（）

A.0B.{x\x>1）

C.{x\x>1}D.{x\x>1或工<0}

2.集合M={x\x=5k—2,kGZ},P={x\x=5n+3,nGZ},S={x\x=10m+3,mGZ}的關(guān)系是（）

A.SQPQMB.S=PGMC.SQP=MD.P=MQS

3.已知全集U={1,2,3,456,7},A3CyB={1,3,4,6},則（C"）UB=（）

A.12,5,7}B.[1,3,4,6}C.{1,234,5,6,7}D.0

4.若a>b>0則下列不等式中一定成立的是（）

A,1,1n1,1廠b、b+1c2a+b、a

A.a+-a>b+7bB.a——a>b-b-aC.->—a+1rD.—a+2b>rb

5.下面命題正確的是（）

A.iia>ln是a-<ln的充要條件

a

B.命題“若工<1,則％2<1”的否定是“存在">1,x2>r

C.女心yWR,則且yN2”是“32+產(chǎn)工4”的必要不充分條件

D.設(shè)a,b6R,則“Q工0”是“abH0”的必要不充分條件

6.若“%>2次一3”是“IWx《4”的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-B.（-/2,/2）C.（-1,1）D.[-1,1]

7.已知a,b,c,d均為實數(shù)，有下列命題：

（1）若ab>0,be—ad>0,則？一，>。；

（2）若ab>0,0,則反一ad>0：

（3）若bc-ad>0,0,貝iJab>0,

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

8.設(shè)Q>b>c>0,則2a2+烹+^25c2的最小值是（）

A.2B.4C.2/5D.5

二、多選題：本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.已知全集U={0,1,2,3,456,7},集合A=卜WV5},9={1,3,5,7},則圖中陰

影部分所表示的集合為()

A.{0,2,4}

B.QB{AClB)

C.AnS)

D.S)nS)

10.已知正數(shù)％,y滿足為+2y=l,則下列說法正確的是()

A.xy的最大值為/B.x2+4y2的最小值為g

CQ+/5的最大值為2y/3D.i+之的最小值為7+2V6

11.大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的

數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個集合4和心

用4中元素為第一元素，B中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)Γ羞@樣的有序?qū)M成的集合叫作力與8的笛卡爾

積，又稱直積，記為4X8.即力乂8={('/)|工￡4且'6刃.關(guān)于任意非空集合“，N,T,下列說法錯誤的

是()

A.MxN=NxM

B.(MxN)xT=Mx(NxT)

C.Mx(NU7用(MxN)U(MxT)

D.Mx(Nn7)=(MxN)n(MxT)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知-IWa+bWl,-l<a-b<l,求2Q+3b的取值范圍____.

13.命題ax2+x+l<0,f為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為一.

14.已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|<m],若力n8=A,則m的最小值為___.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

設(shè)全集U=R,集合力={x|l<x<5],集合B={x\-l-2a<x<a-2].

(1)若“％6是“XW/T的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若命題FEB,貝HE/T是真命題，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

集合A={x|x2—ax+a2-19=0],集合8={x|x2—5x+6=0},集合C={x|x2+2x—8=0).

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(1)若4nB={2},求實數(shù)a的值；

(2)若An8H0,AnC=0,求實數(shù)a的值.

17.(本小題12分)

已知命題p：3x>1,使得mN%+六成立；命題q：正數(shù)a,b滿足2a+b=l,不等式mWj+京恒成立.

(1)若命題p真命題，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若命題p和命題q有且僅有一個真命題，求實數(shù)m的取值范圍.

18.(本小題12分)

近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府

積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決

定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供穴為E(0,20])(萬元)的專項補貼?波司登制衣有限公司在

收到高郵政府x(萬元)補貼后，產(chǎn)量將增加到￡=&+3)(萬件).同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)￡(萬件)產(chǎn)品需

要投入成本為(7￡+?+3嗎(萬元)，并以每件(8+?)元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金

額+政府專項補貼-成本.

(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益y(萬元)關(guān)于政府補貼”(萬元)的表達式；

(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益y(萬元)最大？

19.(本小題12分)

已知集合4={%,為，…,即}中的元素都是正整數(shù)，且由Va2V<%.若對任意第，yW4,且xHy,都有|x-

y|N整成立，則稱集合A具有性質(zhì)M.

⑴判斷集合{123,4}是否具有性質(zhì)M；

(2)已知集合力具有性質(zhì)M,求證：■—；之今/(i=1,2,…,幾)；

(3)已知集合4具有性質(zhì)M,求4中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.

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【解析】解：對于4取a=2,b=3Kija+-<b+1,選項力錯誤；

4aD

對于氏由于函數(shù)y=x-：在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又G>b>0,則Q匕一"選項8正確；

a0

對干C,取a=8,b=l,則:V得，選項。錯誤；

對于D,a=4,b=l,則筌1瑤，選項。錯誤.

故選:B.

舉特例可判斷選項“，C,D,構(gòu)造函數(shù)可判斷選項工

本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：對于4若a>l,則工<1,則aVO或a>l,所以a>1是2V1的充分不必要條件，故力

aa

錯誤；

對于8,命題“若％VI,則的否定是“若工<1,則無2NJ,故“錯誤；

對干C,設(shè)x,yeR,則當(dāng)“x>2且y工2”時，+y2>4”成立，而爐+y2>4時，可以x=0,y=-3,

所以'322且丁之2”是“必+產(chǎn)之個，的充分不必要條件，故C錯誤；

對于。，若QHO,b=0時，ab=O,若abH0,則a工0,所以“Q工0"是"abH0”的必要不充分條件,

故D正確.

故選：D.

直接利用不等式的解法和基本不等式的應(yīng)用和命題的否定及充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷力、8、C、D

的結(jié)論.

本題考查的知識要點：不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，命題的否定，充分條件和必要條件，主要考查

學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，可得由1可以推出%>2。2-3,但由％>2次-3不能推出1WXW4.

所以口,4任(2水一3,4-00),可得2a2-3VI,解得一VIVa<VI,即a的取值范圍是(JI,-VI).

故選：B.

根據(jù)題意，可得口,4］是(2。2一3,+8)的真子集，從而建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到本題的答案.

本題主要考查不等式的解法、充要條件的判斷及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

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【解析】【分析】

本題考查命題真假判斷，不等式與不等關(guān)系的靈活運用，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

本題就是帥>0,b"Qd>。，X>。三個結(jié)論之間輪換，知二推一，利用不等關(guān)系證明即可,

【解答】

解：對于(1)ab>0,be-ad>0,

將不等式兩邊回時除以助，

*一鼻>3所以(1)正確；

對于(2)：ab>0,

將不等式兩邊同時乘以劭，

:.be-ad>0所以(2)正確；

對于(3):沁>0,

.?卡>0,

ab

又be-ad>0,

ab>0,所以(3)正確.

故選D.

8.【答案】B

【解析】解:2a2+4+-Wac+25c2

abQ(Q-D)

9911

=(Q-5cA+Q2-Q6+abH——r+—；----

abQ(Q—b)

711

=(a_5c)2+a/?+_+fl(a_d)+___

>0+24-2=4

當(dāng)且僅當(dāng)a-5c=0,ab=1,Q(Q-b)=1時等號成立

如取Q=b=與,c=容滿足條件.

故選：B.

先把2a2+2+忌乃-10ac+25c2整理成(a-5c)2+ab+白+a(a-b)+公萬，進而利用均值不等式

求得原式的最小值.

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用.主要考查了運用基本不等式求最值的問題.

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9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題主要考查集合的基本運算:，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖驗證8,C,D,再利用交集補集定義判斷A.

【解答】

解：由圖可知陰影部分所表示的集合為An(CJ5)，C正確，B,。錯誤，

因為4={0,1,2,3,4},CyB={0,2,4,6),

所以4r(QB)={0,2,4},故4正確.

故選:AC.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本潁主要考杏了基本不等式求解最俏，屬干中檔撅.

利用已知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.

【解答】

解：對于力：v%>0,y>0,%+2y=1,

???x?2y工(要)2=弓)2=；,得孫端，

當(dāng)且僅當(dāng)1，即％=：,y=：時等號成立，故4正確；

對于3：x2+4y2=(x+2y￥-4xy=1-4xy>1-1=

當(dāng)且僅當(dāng)“看y=/時等號成立，故4正確；

對于C：(-/x+y/~2yy=x+2y4-2J%?2y=1+2Jx?2y<l+x+2y=1+1=2,

二Va+y[2y<\[2,

當(dāng)且僅當(dāng)％=看y=；時等號成立，故c錯誤；

對干小?+；)(%+2y)=1+§+/6=7+§+掾之7+2海,

當(dāng)且僅當(dāng)§=今即區(qū)或[時等號成立，故。正確.

故選：ABD.

11.【答案】ABC

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【解析】解：A,根據(jù)題意，若時={1},N二{1,2},則MxN={(1,1),(1,2)},NXM=((1.1),(2,1)),

MxN羊NxM,故力錯誤；

B,若用={1},N={2},T={3},則MxN={(1,2)},(MxN)x7={((1,2),3)),

而Mx(NxT)={(1,(2,3))},(MxN)xTHMx(NxT),故B錯誤；

C,若用={1},N={2},T={3],則Mx(NUT)={(1,2),(1,3)},

MxN={(1,2)},MxT={(1,3)},Mx(NU7)=(MxN)U(MxT),故C錯誤；

。，任取元素(Z刈EMxlNnT),則為EM且y6NPIT,則y6N且y€T,

于是Q,y)eMxN且(％y)EMXT,即(％y)e(Mx/V)n(MxT),

反之若任取元素(％y)￡(MxN)n(MxT),則(3)eMxM且(％y)EMxT,

因此yEN且y￡T,即xWM且yENCT,

所以(x,y)WMx(NnT),即Mx(NnT)=(MxN)n(MxT),故。正確.

故詵：ABC.

舉例說明判斷4BC；利用給定的定義結(jié)合集合運算的意義推理判斷0.

本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】[-3,3]

【解析】解：設(shè)2a+3b=/l(a+b)+〃(a-b),

則￡+〃=：,

“一〃=3

5

解得[2],

故2a+3b=5(a+8)—i(cz—b),

由一1<a+b<l,

故-？W?(a+b)<

由一1<a-b<1,

故一：<—；(a-b)<p

所以2Q+3b6[—3,3].

故答案為：[—3,3].

利用待定系數(shù)法設(shè)2Q+3b=a(a+b)+〃(a-b),得到方程組，解出入〃，再根據(jù)不等式基本性質(zhì)即可得

第8頁，共12頁

到答案.

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬中檔題.

13.【答案】E，+8)

【解析】解：由題意可知，命題Q/+%+1之0”為真命題.

當(dāng)G=0時，由X+1N0可得不?-1,不合乎題意；

當(dāng)GHO時，由題意可得{：：：_4aV0’解得QNj

因此實數(shù)a的取值范圍是［；,+8).

故答案為：［；,+8).

分析可知命題“VxWR,ad+x+izo”為真命題，對實數(shù)Q的取值進行分類討論，在a=0時，直接驗

證即可；當(dāng)QHO時，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式組，綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.

本題主要考查存在量詞和特稱命題，屬十基礎(chǔ)題.

14.【答案】5

【解析】【分析】

本題考查含參數(shù)的交集運算問題，屬于基礎(chǔ)題.

由4nB=4可得力cB,解出集合8后結(jié)合集合的關(guān)系計算即可得.

【解答】

解：由ACiB=4故4GB,而4W0,則

則0,

則由|x-3|Wm,得一TH+3WxWm+3,

故有d2%3,即…，

即m的最小值為5.

故答案為：5.

15.【答案】解：⑴由是的充分不必要條件，得破8,

又4={x|l<x<5},B={x\-1-2a<x<a-2］,

因此{(lán)T；第1或{T；婚L解得a>7,

所以實數(shù)Q的取值范圍為{a|Q>7}.

(2)命題“VxeB,則x64”是真命題，則有8cA,

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當(dāng)8=0時，一1一2。>"2,解得”號符合題意，因此Q</

當(dāng)B工0時，而力={x|l<x<5},B={x\-l-2a<x<a-2],

則1工一1-2QWQ-2W5,無解，

所以實數(shù)Q的取值范圍{Q|Q<J}.

【解析】(1)將充分條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，利用子集的定義即可列出不等式求解.

(2)將真命題轉(zhuǎn)化成B是4的子集，然后分情況討論集合B為空集和非空集合，即可求解.

本題考查了充分條件與集合間的關(guān)系，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)因為集合4="優(yōu)2一。％+a2-19=0},

集合B=(x\x2-5x+6=0}={2,3},且An8={2},

所以2W4所以4-20+/-19=0,即。2一2。-15=0,

解得a=-3或Q=5.

當(dāng)G=-3時,A=(x\x2+3%-10=0}={-5,2},AC}B={2},符合題意;

當(dāng)a=5時，A={xIx2-5x+6=0]={2,3}?4cB={2,3},不符合題意.

綜上，實數(shù)a的值為-3.

(2)因為A={x\x2-ax+a2-19=0},B={2,3},

C={x\x2+2x-8=0}={-4,2},且AC=0,

所以3EA,

2

所以9—3a4-a-19=0,即a?—3a—10=0,解得Q=—2或Q=5.

當(dāng)。二-2時，A=[x\x2+2x-15=0}={-5,3}>滿足題意;

當(dāng)a=5時，A={x|x2-5x+6=0]={2,3},不滿足題意.

綜上，實數(shù)a的值為-2.

【解析】(1)求出集合8={2,3},由4nB={2},得到2WA,由此能求出a的值,再注意3WA檢驗即可;

(2)求出集合。={-4,2},由4CBW0,AQC=0,得364由此能求出a,最后同樣要注意檢驗.

本寇主要考查了集合的交集運算及交集性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為p為真命題，

所以Hl>(X+白)加”，

因為%>1,

所以工-1>0>

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所以無+<=%—1+<+1>4+1=5,

x-1x-1

當(dāng)且僅當(dāng)欠一l=，p即X=3時取等號，

X—1

所以m>5,

所以m的取值范圍為[5,+co).

(2)若q為真，則+力加小

因為2Q+Z?=1,a>0,b>0,

所以:+t=(3+()(2a+b)=4+t+華N4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)g=弓,即2a=b=婀取等號,

所以m<8,

為真，q為假，則mN5且加>8,即?n>8,

曾喏P為假，q為真，則mV5且mW8,即mV5,

綜上所述，6<5或血>8,

所以血的取值范圍為(一8,5)U(8,+co).

【解析】(1)根據(jù)命題為真命題，轉(zhuǎn)化為求％+”的最小值，即可求解.

(2)首先根據(jù)命題q為真命題，結(jié)合基本不等式求m的取值范圍，再根據(jù)兩個命題?真?假，求實數(shù)m的取值

范圍.

本題考查命題的真假，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬尸中檔題.

18.【答案】解：(1)由題意，銷但金額：(8+告)(％+3)=8%+66(萬元)，政府專項補貼：雙萬元)，成

本：7(%+3)+~^+3x(萬兀)，

所以收益y=8x+66+x—[7(%+3)+人IJ+3x]

=45-》-梟xe(0,20]；

(2)由(1)知y=48—(x+3)—懸

<48-2J(%+3)x段=48-18=30,

當(dāng)且僅當(dāng)(％+3)=鼻，即％=6時取等號，

-iO

故當(dāng)政府補貼為6萬元時，所獲收益y(萬元)最大，最大值為30.

【解析】本題主要考查利用基本不等式解決實際問題，利用一次、二次、分式函數(shù)模型解決實際問題，屬

于中檔題.