§5.3平面向量的數(shù)量積

【考試要求】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義2了解平面向量的數(shù)量積與投影向

量的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩

個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系5會用向量的方法解決某些簡單的

平面幾何問題.

【知識梳理】

1.向量的夾角

已知兩個非零向量從。是平面上的任意一點，作為=〃，OB=b,則

叫做向量。與力的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與力，它們的夾角為仇我們把數(shù)量回如空幺叫做向量a與b的數(shù)量積，

記作（vb.

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

CAx4。

設(shè)a,8是兩個非零向量，它們的夾角是"e是與。方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,

過息的起點A和終點從分別作⑦所在直線的垂線，垂足分別為A，%,得到再拓，我們

稱上述變換為向量a向向量b投影，腦后叫做向量a在向量b上的投影向量.i己為㈤ccs，a

4.向量數(shù)量積的運算律

（\）ab=ba.

⑵（㈤?）=2（。功）=力）.

（3）（。+辦c=a?c+"c.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量。=（內(nèi)，yi）,力=（也，辨），〃與力的夾角為。

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a山=|。||切8s0a-b=x\X2+y\y2

模\a\=y[a^i|a|=U^+y?

a-b八—十）口'2

夾角cos°~\a\\b\cos彳錢

alb的充要條件ab=0■￥1工2+）'注2=0

M創(chuàng)與同俗|的關(guān)系1。創(chuàng)W|a仙||川及+），1＞2|Wyj（X?+）3）（.《+貨）

【常用結(jié)論】

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(1)(。+初(。一力)=/一廿；

(2)(a±b)2=a2±2ah+h2.

2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(1)若。與》的夾角為銳角，則。山＞0；若。山＞0,則。與力的夾角為銳角或0.

(2)若。與〃的夾角為鈍角.則。山＜()；若a山＜0,則。與力的夾角為鈍角或兀

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴兩個向量的夾角的范圍是0謂.(X)

(2)若明力共線，則。心=叫|力|.(X)

(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量.(J)

(4)若ab=ac,則b=c.(X)

【教材改編題】

1.已知向量。，力滿足⑷=2,步|=小，且a與力的夾角為30。，那么。力等于()

A.IB.eqC.3D.3巾

答案C

解析由題意可得〃?力=|"Hb|cos30。=2乂，^X2=3.

2.已知向量a,5的夾角為60。，⑷=2,\b\=\t則|。+知|=.

答案26

3.若向量。=(1,2),力=(-3,4),則ab的值等于；a與b夾角的余弦值等于.

答案5米

解析因為。=(1,2),6=(—3,4),

所以。6=—3乂1+2X4=5,|a|=^l2+22=V5,他尸水一3＞+42=5,

所以cos＜a,b)=箭=^71=坐.

題型一平面向量數(shù)量積的基本運算

例I(1)(2023?廣州模擬)在平面四邊形48C。中，已知Q=成，P為CD上一點,亦=3而,

\AB\=4,\AD\=3,Q與成的夾角為仇且cos〃=j則麗等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

答案D

解析如圖所示，

'：AB=DC,

???四邊形43CQ為平行四邊形，

?.6=3防，

：.AP=AD-\-DP=Ab-\-^AB.

―?—?-?3-*—?

PB=AB-AP=^AB-AD,

—*—2

又???兇8|=4,|AD|=3,cos0=y

，——2

則48AO=4X3XG=8,

???力?麗=(而+；砌.(涵一珂

=4X8-9+^X42=-2.

2lb

(2)(2023?六安模擬)在等邊A48C中，48=6,BC=3BD,AM=2AD,則證?%=

答案22

解析如圖，以8C所在直線為x軸，8c的垂直平分線為），軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

：AB=6,BC=3BD,AM=2AD,

AB(-3,0),C(3,0),

M(—2,-3小)，

化簡得應(yīng)）|=2<1

故俞?啟=俞（箭）+加）=麗|2+屐）灰=（2世）2+26乂285：=12.

題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

命題點1向量的模

例2已知向量。和。的夾角為30。，同=]，制=小，則|。+2目等于（）

A.1+25B.eq

C.eqD.3,\/2

答案B

解析根據(jù)向量的運算法則和數(shù)量積的定義，

可得I”+2b\=*\/（g+2〃?=442+4〃.力+46

=、T+4X1X小Xcos30。+4乂（5）2=皿.

命題點2向量的夾角

例3若3，C2是夾角為胃的兩個單位向量，則。=2d+。2與b=-3ei+2e2的夾角為（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案C

解析由題意可得eie=lX1Xcos鼻=￡,

故a?b=（2ei+e2>（—3ei+2e2）

=-6e?+ere2+2e3=—6-；+2=—

|a|=d（2ei+e2）2=44屋+4d9+4=由，

協(xié)I=N（-3ei+2e2）=、9e*-12eie+4-=市，

_2

,ab21

故8s〈〃，b）=麗=再訴=一》

由于<u,b）E[0,〃],故（“，b）="y.

命題點3向量的垂直

例4（2022?全國甲卷）已知向量〃=（〃?,3）,6=（1,加+1）.若0_1_力，則機=.

3

答案甫

3

解析Va±Z>,工”?力=〃?+3（m+1）=4機+3=0,解得切=一不

思維升華（I）求平面向量的模的方法

①公式法：利用同="\/^及(4±方)2=|0|2±2°功+仍F；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

(2)求平面向量的夾角的方法

ab

①定義法：cos0=麗;

②坐標(biāo)法.

(3)兩個向量垂直的充要條件

4_164=>°6=0臺|。一同=|。+加(其中aWO,8W0).

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知ei,e2是單位向量，且e「e2=g，若向量。滿足e「a=2,則下列選

項正確的是()

B.約在發(fā)上的投影向量的模為:

A.|ei—e2|=l

C.g與幻一殳的夾角為相

D.a在白上的投影向量為2約

1L

答案ABD

解析因為eie=1X1XcosQi,e{)=*所以0，e?的夾角為

設(shè)。4=約，013=€2,貝ijBA=ei—C2,由此可得△(MB是一個等邊三角形，

所以<ei,ei—e2)=多故C錯誤；

|ei—e『=e?—2e「e2+/=l,故期一刃=1,故A正確；

因為約在62上的投影向量為管。2=92,所以模為:，故B正確；

221N乙

設(shè)ei與。的夾角為仇因為e「a=2=|a|cos0,

所以。在幻上的投影向量為(|a|cos0)ei=2ei,故D正確.

(2)(2022?新高考全國H)已知向量。=(3,4),6=(1,0),c=a+力,若Q,c)=(b,c〉，則「

等于()

A.-6B.-5C.5D.6

答案C

解析由題意，得c=a+力=(3+八4),

所以ec=3X(3+7)+4X4=25+3z,

"c=IX(3+0+0X4=3+/.

因為<a,c>=(b,c〉，

所以cos(a,c)=cos(b,c),

加工=紅

1\aWc\~\bWcV

即5=3+f,解得f=5,故選C.

題型三平面向量的實際應(yīng)用

例5在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力

為G,兩個拉力分別為人.尸2,且的1=122|，肌與尸2的夾角為仇當(dāng)兩人拎起行李包時，下

列結(jié)論正確的是（）

G

A.|G|=|/||+啊B.當(dāng)0=飄，|人尸坐G|

C.當(dāng)〃角越大時，用力越省D.當(dāng)甲i|=|G|時，0=^

答案B

解析根據(jù)題意可得G=B+凡，

則|G|=|Fi+F2|=水|尸|+凡|2=「人+刊+2尸「尸2=弋2播+2廣彳?COS仇

當(dāng)0=（）時，|G|=2|FI|=|FI|+|F2|,

當(dāng)時，|G|=）2稻+2肝-cos]=也|尸||,

即周邛|G|,故A錯誤，B正確；

|G|=-\/2F?J-2F?cos0,因為y=cos。在（0,n）上單調(diào)遞減，

且行李包所受的重力G不變，所以當(dāng)。角越大時，用力越大，故C錯誤;

當(dāng)|Fil=|G|時，即|G|=42肝+2碎cos。=嗎|,解得cosQ—4,

又因為go,兀），所以e=專，故D錯誤.

思維升華用向量方法解決實際問題的步驟

跟蹤訓(xùn)練3（2022?長春模擬）長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示，已知游船在靜水中

的航行速度Vi的大小協(xié)|=10km/h,水流的速度V2的大小加4=4km/h,設(shè)口和02所成的角

為。（0〈外冗），若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cos6等于（）

B

河流兩岸示意圖

A.一卑B.-jC.-1D.

答案B

解析由題意知(初+。2>6=0,

有協(xié)他21cos。+應(yīng)=0,

即I0X4COS<9+42=0,

7

所以cos8=—?

課時精練

過基礎(chǔ)保分練

I.若向1=4,|川=6,山與〃的夾角為135°,則加〃等于()

A.12B.12^2C.-12^2D.-12

答案C

解析由題急知mH=|/H||/i|cos1350=4X6X(—啕二一125.

2.(2023?三明模擬)已知向量。=(2,2),2=(—1,2),若-JLb,則|a+b|等于()

A.5B.6C.eqD.4小

答案A

解析V?=(2,2),6=(—1,2),a±b,；.ab=0,即-2+4=0,Az=4,Aa+^=(3,4),\a

+例=432+42=5.

3.已知a,〃為井零向量，且小同=2|〃|,|a+2》|=|2a一例，則a與方夾角的余弦值為()

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析將等式|。+2臼=|2a-b|兩邊平方，得8a6+3屬=3比設(shè)。與辦的夾角為仇即8同出期夕

+3|肝=3悶2,

得cos夕=*.

4.已知物=3,。在b上的投影向量為;6,則。仍的值為，：)

A.3B.eqC.2D.eq

答案B

解析方法一設(shè)。與b的夾角為伍?.?|a|cos哈j=5，.?.同笥Z.lalcos^?=|,：.ab

39

=|a||A|cos，=/X3=5.

119

方法-

力

二--

0222

5.已知菱形ABC。的邊長為2,N4=60。，點P是8C的中點，則網(wǎng)甲￡>等于（）

A.0B.eqC.3D.eq

答案C

解析由題意可得或=一（而+而）=一（贏+拗））,

―?—?—?I-?-?

PD=PC-\-CD=2AD-AB,

故麗.麗=_（靠+熒））.（湯一砌

=1AB|2—|^AD|2=4—1=3.

6.在△八BC中，入8-4,BL5,C4=6,△人BC外接圓圓心為O,則歷益等于（）

A.8B.eqC.8小D.18

答案A

解析由題意得。為A4垢外心，故茄筋=拗2=8.

7.（2023?鄭州模擬）在以O(shè)A為邊，以O(shè)B為對角線的菱形OABC中，萬1=（4.0）,加=（6,

幻，則N4OC1等于（）

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案B

解析由題設(shè)，AB=OB-OA=（21a）,且|嘉|=|d|=4,

所以14+4=4,則。=±入「，故仍=（6,±2小），

由NAOC=2NAO8￡（0,re）,則0<NA08〈冬

又cosNAO3=6=孚,則NAOS=去

\OA\\OB\4X4小26

所以ZAOC=?.

8.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，有下列四個等式:

甲：萩+崩+正=0；

乙：必?（以-P8）=PC?（附一尸B）；

丙：I麗1=1而1=1的;

T：PAPB=PBPC=PCP\.

如果只有一個等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案B

解析甲：6+而+元=0,則萩+而=一正，故P為△A8C的重心；

乙：荷.（或一前）=元.（詼一兩），則（兩一而）.以=筋己=0,故A8_LAC,即△48C為直角

三角形；

丙：點P到三角形三個頂點的距離相等，故P為△八8C拘外心；

T:前而=而?正,則（萩一陌麗.麗=0,同理可得函.正=為成=0,即P為△ABC

的垂心，

當(dāng)△A8C為等邊三角形時，三心重合，此時甲、丙、丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙

成立時，其他三個至少有兩個等式不成立.

9.已知⑷=4,力=（-1,0）,且3+2方）_1_從則a與）的夾角為.

答案號

解析由力=（-1,0）,得囹=1,

因為（a+2b）_L瓦所以3+26）?力=0,

所以4功+2b2=0,

所以MWIcos（a,b）+2|力『=0,

因為同=4,

所以4cos〈a,b）+2=0,所以cos〈a,b）

因為Q,b）￡[（）,7r],所以（a,b）=~^.

10.（2022?全國甲卷）設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為今且|&=I,|。|=3,貝1」（2〃+方）力=.

答案11

解析（2〃+外力=2a6+b=2|a||b|cos〈a,b>+|Z>|2=2XIX3x|+32=11.

過綜合提升練

11.（多選）（2022?佛山模擬）一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4N,水平拉力

人的大小為3N,另一力尸2未知，貝心）

A.當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時，|F2|=5N

B.當(dāng)尸2與B方向相反，且I尸2|=5N時，，物體所受合力大小為0

C.當(dāng)物體所受合力為人時，|BI=4N

D.當(dāng)|尸d=2N時,3NW|尸I+22+G|W7N

答案ACD

解析由題意知，尸2的大小等于重力G與水平拉力尸I的合力大小，由圖①知|尸21=5N,故

A正確；

如圖②，物體所受合力應(yīng)等于向量而與尸2的和向量的大小，顯然B錯誤;

當(dāng)物體所受合力為B時，說明G與尸2的合力為0,所以I尸d=4N,C正確；

由上知，重力G與水平拉力尸?的合力為由)，\AI)\=5N,易知當(dāng)尸2與病同向時合力最大,

最大值為7N；反向時合力最小，最小值為3N,

即3NWIQ+尸2+GIW7N,故D正確.

12.已知向量。=(2,/〃)，,=(3,1),若向量。，力的夾角是銳角，則〃?的取值范圍是()

A.(—6,+°0)

B.eq

C.cqU(j,+8)

D.eqU^—I，+8)

答案C

解析因為0=(2,m),1=(3,1),

所以ab=6+〃z,

。?)=6+心0,

因為向量。，力的夾角是銳角，所以

2—3加工0,

2

解得〃?>—6,且小#

所以實數(shù)，〃的取值范圍是[-6,|)U0,+8).

13.(多選)已知。為坐標(biāo)原點，點A(1,O),Pi(cosa,sina),?2(cos//,sin/?),P3(cos(a—/?)?

sin(a一夕))，則下列選項正確的是()

A.\OP}\=\OP2\

B.|而|=|市3|

C.eq?麗=配?祝

D.eqOPi=OP\OP2

答案ABD

解析由題意后=(1。)，函的坐標(biāo)等于己的坐標(biāo)(i=l,2,3),

I而1=1市1=1，A正確；

|A尸=7(cos6-l)2+(sin乃-0)2=<2-2cos4,

\P\PT,\=y/[cos(a—fi)—cosa]2+[sin(?-p)—sina]2=<2-2[cosacos(a一夕)+sinasin(a一夕)]=

^2-2cos/7,

所以I而|=|KAl,B正確；

OAOP\=cosa,OP2OP3=cos//cos(a—//)+sin//sin(a—fi)=cos(2//—a),C錯誤；

OA-OP3=cos(?—//),