專題01簡單計算題

【實數(shù)混合計算、整式分式化簡、解分式方程、解不等式及方程、因式分

解】

類型一實數(shù)混合運算

1.計算：（-2）2+1—Gl—后+（3-6）°2.計算：5x(-3)+

3.計算：*府+2-、4.計算：（T0）x716+2022°.

.計算卜闋+（啦-；）一（夜+；）.

56.計算：V25-|-7|+(2-V3)0.

8.計算：-22+^+(乃一6)°+十一125.

7.計算：|一2021|+(-3)°-4.

9.計算：（一11+卜及卜（萬一3）'一/.10.計算（一1嚴°+（!一兩.

類型二整式化簡及化簡求值

1.先化簡，再求值：(a+b)(a-b)+b(2a+b)t其中。=1,b=-2.

2.先化簡，再求值：(l+x)(l—x)+x(x+2),其中x=

3.化簡求值：(2x+3)(2x-3)-(x+2)2+4(x+3),其中x=VL

4.先化簡，再求值：(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=+

5.先化簡，再求值：(x-2)2-4x(x-1)+(2x+l)(2x-1),其中x=—企.

6.先化簡，再求值：(4—3)2+2(34—1),其中〃=

7.先化簡,再求值：(x+5)(x-l)+(x-2)2,其中工二6.

8.已知5/一x一1=0,求代數(shù)式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.

9.先化簡，再求值：ci(a+2b)—2b(a+b),其中〃=不，b=6.

10.先化簡,再求值:(x-2)(x+2)-x(x-l),其中x=3.

ra2-9a-3__1

7.先化簡，再求值:其中。=2.

1a-\a-\)a+2

8.先化簡，再求值：（1-占卜4晨］,其中x=&.

9?先化簡，++*卜1再從TG中選擇一個合適的x值代入求值?

X+1

10.先化簡，再求值:1+其中A=4.

771j2+4X+4

2

“3a-1a+a1,廣

IL化間求值：e幣+二j，其中。二百」,

12,先化簡，再求值：（川+2+/_）?=心，其中m為滿足一：LVm<4的整數(shù).

2-m3-m

班先化簡，再求值：IFx+2"x+l一1百卜r其中I"

14,已知x-y=2,-----=1,求fy-xy?的值.

xy

15.先化簡，再求值：—r一+/W+3,其中m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三

m"-4/77+4I—3J

邊長，且m是整數(shù).

■______IVx+\

16.先化簡,再求值:x-33-xJx~-9其中x=0-3.

17.先化簡，再求值：V+-（X-1）%其中x=2020.

x-\x+2

類型四解分式方程【記得要檢驗】

2x?r-1

1.解方程:1+------2.解分式方程：--=1.

7^2x+3

r4-144.解方程擊+匚合

3.解方程：二7一E二L

Y-13

5.解方松二？一"八6.解方程：=—

x-2x

?r4r-23

7.解方程：------1=——8.解分式方程：----------=1.

X-1X—1xx-2

x4x2

9解方程：二TE+I10.解方程：一+—=2；

x-\\-x

Yr

11.解分式方程：——+1.

x+13x+3

類型五解不等式（組）

1..解不等式組①

%+1<3.@

請結合題意填空，完成本題的解答

⑴解不等式①，得;

⑵解不等式②，得；

⑶把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:

-2-10123

⑷原不等式組的解集為.

x+5v4

3.解不等式上三-工<3-葉2

2.解不等式組：<3x+l.

------->2x-]34

2

3x-4<5

3x-l>x+l

4.解不等式組:5.解不等式組：2x-lx-2

x+4<4x-2------>----

32

x-2<2x

6.解不等式組,l2x，并求出它的所有整數(shù)解的和.

x-\<----+--

3

(4(x+1)<7x+13,

7.解不等式組x-8并求它的所有整數(shù)解的和.

X-4<-^5-,

3x<6

8.解不等式組：<一,,并在數(shù)軸上表示其解集.

5x+4>3x+2

-2-I0I23

9.解不等式2x-1>亨，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

10.解不等式—X—1之三x—-3+1,并在數(shù)軸上表示解集.

32

ill1111alj

-4-3-2-101234

類型六整式方程

[1]一元一次方程的解法

x-2

1.4(2x-l)-3(5x+2)=3(2-x)；2.X--=3

2

0.1x-0.2x+14解方程號F警.

3.------------------------=3.

0.02().5

x0.17-0.2X?6.解方程:/子得

5.解方程:-------------------------=1

0.70.03

[2]二元一次方程組的解法

x+2y=42x-y=4,

1解.方程組:2.解方程組

x+3y=5x+y=2.

3.已知方程組xA+y、=3①？②的解滿足疝一3，，＜5,求k的取值范圍.

2x4-y=7

4.已知方程組《.的解也是關于x、v的方程or+y=4的一個解，求a的值.

x=y-l

x=2y3x-2y+20=0

工解方程組:6.解方程組

x-y=62x+15y-3=0

3x-y=-4

7.解方程組：lx-2y=-32x+y=2,

8.解二元一次方程組:

8x+3y=9.

[3]解一元二次方程的解法

1.用適當方法解方程。

(I)x2-4A=0：(2)4/-25=0：(3)2x(x-3)+x=3.

2.用適當方法解方程。

(I)196x--l=0;(2)4x-+l2x+9=81;

x2-7x-1=0;(4)2X2+3X=3：

(5)X2-2X+1=25;(6)M2x-5)=4x-IO：

(7)x2+5x+7=3x+l1;(8)x2-2x-3=0

(9)x(x-3)-3=0(10)解方程：x2-x=2(x-1)

(11)解方程:：2+6X-1=0(12)解方程：3x2-4x-1=0

(13)解方程:-6x=7(14)解方程：(x-2)2=(3x-1)

類型七因式分解

1>ay+ax2、3mx-6my3、4c/+1Oab

4、15/+5。5、x2y-xy26、12xyjz-9x2y2

7、x(a+b)-y(a+b)8、5x(x-y)+2y(x-y)9、6q(P+q)-4P(p+q)

10、(in4-77)(P+q)-{in+/?)(p-q)a(a-b)+(a-b)212、3-y)2-y(x-y)

13、1-4,+4/14、，/-14利+4915、/?2-22/7+121

16、2x2-817、9-y218、2-2a2

19、4x2-y20、0.8k?一16、21、25P2_4財

專題01簡單計算題

【實數(shù)混合計算、整式分式化簡、解分式方程、解不等式及方程】

類型一實數(shù)混合運算

0

1.計算：(-2)2+1-61-后+(3-6)°2.計算：5x(-3)+|-

小。

解：原式=4+且5+1=6解：5x(—3)+1—\/6|--=-15+5/6-1=—16+V6

3.計算：(3-兀)°一一1+A+2-2.4.計算：(-10)xf-lj-Vi6+2022o.

4

解：原式=1---1-64—=7解：原式=5-4+1=2.

44

6.計算：V25-|-7|+(2-V3)°.

解：原式=5—7+1=—1.

=收+［（&一/田圳［

=氏-2日-6

7.計算：|一2021|+(-3)°-7?.8.計算:+(萬一石)°+4一125.

解：一22十（；）+（乃一6）。+3示

解：|-2021|+(-3)°-V4

=2021+1-2,=-4+9+1—5

=2020.

.計算：卜&|+("1

9(_1)2+10.計算(-lyso+jj-癇.

解：(-1)2++友|+(4

原式=1+5—4=2.

=1+72+1-2

類型二整式化簡及化簡求值

1.先化簡,再求值:(a+b)(a-b]+b(2a+b)t其中a=l,b=-2.

【詳解】解?：原式=6/一〃2+2"+〃=/+為〃，

將。=1,〃=-2代入式中得：

原式=F+2xlx(-2)=1-4=-3.

2.先化簡，再求值：(1+X)(1-X)4-X(X+2),其中x=g.

【詳解】(1+?—(1+2)=1一/+/+2/1+2%

當x時，原式=l+2x=l+2x[=2.

22

3.化簡求值：(2x+3)(2x-3)-(x+2)2+4(x+3),其中x=

【解析】原式=4x?-9-(X2+4X+4)+4x+12

=4x2-9-x2-4x-4+4x+12=3x2-1,

當入=加時，原式=3X(V2)2-1=3X2-1=6-1=5.

4.先化簡，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=1

【解析】原式=x2-l+2x-X2=2X-1,

當x=：時,原式=2x1-1=0.

5.先化簡，再求值：(x-2)2-4x(x-1)+(2x+l)(2x-1),其中x=-行.

【解析】(X-2)2-4x(x-1)+(2x+l)(2x-1)

=x2-4x+4-4X2+4X+4X2-1

=X2+3,

當x=-企時，原式=(-V2)2.3=5.

6.先化簡，再求值：(4-3)2+2(3〃-1),其中〃=及.

【解析】解：原式—6a+9+6a—2=〃2+7,當〃=加時，原式=(0尸+7=9.

7.先化簡，再求值：(x+5)(x—1)+(x—2)~,其中工二6.

【廨析】原式二f—x+5x—5+f—4x+4=2d—1

將x=代入得：原式=2x(>/5『一］=2x3-1=5.

8.已知5/-X-］=0?求代數(shù)式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.

【辭析】解：原式=9/一4+尤2-2工=10/2一2%一4.

V5X2-X-1=0>A5x2-x=b???10/-2工=2，，原式=2-4=-2.

9.先化簡，再求值：+2b)-2b(a+h),其中a=小，b=下>.

【解析］+2Z?)-26(。+b)=a?+2ab-2ab-2b2=a2-2b2

當a=Gb=6時，原式=(右)2-2X(6)2=5-6=-l.

10.先化簡，再求值:(。-2)(x+2)-x(x-l),其中％=3.

【解析】(x-2)(xi2)-x(x-1)?:<2-4-x2ix=x-4,當x=3時，原式?x-4T.

類型三分式化簡及化簡求值

1.化簡：(±獨立1+1).立1.八f(a+\八2a

2.化簡：--+i

mm\a-\Ja-

【詳解】解：(----------+1)+--------解：原式二竺

mma—12a

_m2-3〃?+1+■〃("?+l)(zzz-'l)la[a+l)(tz-1)

mtna-\2a

_nr-2m+1m

=a+l.

m(///+1)(///-'1)

_tn

m(m+l)(m-Kl)

m-\

3?化簡：占學1一4。a-\

4.化簡:

(。+7+2

x+\x2-3x解：原式=(《±即+匕絲)+21

解：原式=

。+2a+2。+2

x+1+x2-3x2。+1ci—\.

x2-la+2a+2

X2-2x+l

二------a-?+--2---

x2-1a+2a-\

(x-ir

x2-l

Cv-l)2

(X+l)(X-l)

x-1

~x+i'

2

ZI”.a+3a+3a6.化簡：（a-1+白）+器系；

5.化簡工+a2_2a+1-

a+3ST)?【解析】原式二1）（：-3）+白

【解.析】原式=產-(a+2)(a-2)

—aa(a+3)a-3a-3-a^3-

a+3(1)2a2-4a+31a—3

=(---------+----)?------------

l—aa(a+3)a—3a—3(a+2)(a—2)

2

1-a_(a-2),a-3

a?一a-3(a+2)(a-2)

a-2

=a+2;

a2-9a-31用其中I

7.先化簡，再求值:

?-2。+1a-\a-l>

(a+3)(.-3)a—\11

【詳解】解：原式=

(6Z-1)2a-3a-\a+2

a+311

a-\a-\)a+2

a+21

fl-1a+2

1

a-\

1

*a=21,原式==1.

a-\2-1

i--Lx-

8.先化簡，再求值:r+2x+l'其中

X+1/

x+\1、x2+2x+l

解：原式=（

x+lx+1X

,r+l-l.(x+1)2

x+1x

=x+l，

,：x=&,工原式=x+l=&+1.

9.先化簡，(一二+1)+一\?再從一1，0,1,G中選擇一個合適的x值代入求值.

(x+lxx-\

JW7-V-F工_][-I.XXXT1

解：M^=[(x+l)(x-l)+(x+l)(x-l)J"=(X+l)(X-l)'~=7+\f

Vx+1*0,X-IHO,XHO,x#±l,x#0

1,y/3-\y/3—\

當x=G時，原式=耳石=西水瓦可=丁

1x+\

10.先化簡，再求值:1+,其中x=4.

x+1/x2+4x+4

11x+1x+1+1x+1x+2A+l1

解:+

x+1)x2+4x+4x+lx2+4x+4x+l(x+2)2x+2

1

將工=4代入得，原式=

x+24+26

11化.簡求值:~;-------―；-----1-----其中a=\H-1.

a~-2i7+1。一"

a-la2+a+a+1

解：原式=卜一1)2

a-\(a+l)(4一l)1

(a-l)2(a+l『a+\'

當。二6-1時，原式="一

V3-1+13

12.先化簡，再求值：（/〃+2+1一）.竺心，其中m為滿足一l〈mV4的整數(shù).

2-四3-m

(m+2)(2-M?52(/〃一2)

解：原式=

2-m2-7773-m

4-m~5、2(/??-2)9-ni~2(〃?-2)=(〃?+3)(3-⑼也且7…7時6,

(---------+--------)-------------=----------

2—m2—m3-tn2—m3-m2-inj-m

2-w0,3-〃？w0,/.mw2,n3,

乂機為滿足一1<〃?<4的整數(shù)，.?.6=()或〃?=1,

當m=0時，原式=-2m-6=-2x0-6=-6,

當W;=1時，原式=一2"?-6=-2x1-6=-8?

...___(x~+2,x+11、x~

13.先化簡，再求值：--；-------------+------?其中x—3=0.

(x--1x-1)x-\

(x+l)21-Ix-l

解；原式=(…r——7?—

(x+l)(x-l)x-ljf

G+l__\_\x-\

x-\)X1

xx-\

X

.x-3=0

:.x=3

將x=3代入原式，原式=」.

3

14.已知x-y=2,-----=1,求Fy-xy?的值.

xy

解：,「x-y=2,

11y-x-2,

-------=-------=—=1,

xyxyxy

町=-2,

/.x2y-xy2=y)=(-2)x2=-4.

.先化簡'再求值：/^^（總+加+3

其中m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三

邊長，且m是整數(shù).

蛆盾2)(9/―9]〃/m2_nr〃2-3_加一3

解：原式----飛一-----+------T=——-

(m-2)(〃?-3m-3Jni-2"?一3m-1nvin-2

?「m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長,

/.3-2<m<3+2.即l<mV5.

,/m為整數(shù)，m=2、3、4,

又'.'m±0、2、3m=4,

4-31

原式=--=-

4-22

x1x+1

16.先化簡，再求值:rF，其中x=>/2-3.

x-33-xx--9

一x+1x+1

解：原工"三7+3)03)

x+1(x+3)(x-3)

x-3x+\

=x+3,

當戶血-3時，原式=也-3+3=及.

17.先化簡，再求值：X"+4-Y+4?--(X-1)%其中x=2O2O.

x-1x+2

解；原式二1￡±22L￡ZL—1=工+2-1=工+1

A--1X+2

當x=2020時，原式=2020+1=2021.

類型四解分式方程【記得要檢驗】

2t12Y-1

1.解方程：二=1+一=.2.解分式方程：—-=1.

x-2x-2x+3

解：方程兩邊同時乘最簡公分母（x-2）,解：方程兩邊同時乘最簡公分母（x+3）,

得：2x=x-2+1,得：2x—1=x+3.

x=-1,x=4.

經檢驗，x=-l是原方程的解，經檢驗，x=4是原方程的解.

"I4,2x

3.解方程：--------:-=1.4.解方程=+1=——.

x-1X--1X+1X-1

解：方程兩邊同時乘最簡公分母（x-l）（X+1）,解：2（X-1）+（X+1）（X-1）=X（X+1）,

去分母得：（X+1）2-4=X2-12.v—2,+x~—\=x~+x*

整理得2x=2,解得x=l,x=3?

檢驗，當X=1時，（X-1）（X+1）=0檢驗:4x=3代入（x+l）（x-l）中得，（x+l）（工一1）工0,

所以X=1是分式方程的增根，戈=3是該分式方程的解.

故比方程無解.

Y-1323

5.解方程：-------；—=1.6.解方程：--=

X+1尸一1x-2x

解：方程兩邊都乘以（X+1）（X—1））,解：方程兩邊同時乘以x（x-2）,

得：=得：2x=3（x-2）,

x2—2x+1—3=x~-1?2x=3x-6，

x~—2,x—x~=-1-1?+?3?—x=-6，

-2x=l.x=6,

1

x=~2'經檢驗，x=6是原方程的根,

檢驗：把x=代入(x+l)(x—l)，O工原方程的解為x=6.

??.x=-g是原方程的根.

2

2v4v-23

7.解方程：——一1=——8.解分式方程：一——=1.

x-\x-\xx-2

解：2x-x+l=4,解：方程兩邊同時乘以x(x-2)

解得：x=3.得：x2-4x+4-3x=x2-2x,

檢驗：把x=3代入x-1中，-5x=-4,

4

得x—1=3—1=2。0,x=—,

5

4

???JV—3是分式方程的根.經檢驗工=三是分式方程的解.

X4X2

9.解方程：——=--+110.解方程：—+——=2；

X—1-1x-1\—x

解：方程兩邊同時乘(x+1)(x-1),解：方程兩邊同時乘(x-1),

得，x(x+1)=4+x2-1得：x-2=2x—2

解得,x=3,解得x=0,

經檢驗，x=3是原方程的根，經檢驗x=0是分式方程的解:

所以，原方程的根為:x=3.

1L解分式方程：」一二二一+1.

x+\3x+3

解：方程兩邊同時乘以最簡公分母3(x+1),

得：3x=x+3(x+l),

解比方程，得X=一3,

經檢驗，x=-3是原分式方程的根.

類型五解不等式(組)

1..解不等式組FD①

請結合題意填空，完成本題的解答

(2)解不等式①，得；

⑵解不等式②，得：

⑶把小等式①和②的解集在數(shù)釉上表示出來:

-2-10123

⑷原不等式組的解集為.

【詳解】解：解不等式①，得x>-2,解不等式②，得XK3,

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來為：

----1-----o-----1----1-----1------1-----------1----L->

-3-2-1012345

所以原不等式組解集為：-2<x<3.

x+5<4

2.解不等式組：,3%+1..

--->2x-1

2

解：由x+5<4,得xv—1；

3r+1

由----->2x-l,得x《3；

2

.,?原不等式組的解集為xv-1.

3.解不等式與一xv3-胃.

34

1-x6x+2

解：------x<3-------,

34

去分母，得4(l—x)—12xv36-3(x+2),

去括號，得4-4x-12xv36-3x-6,

移項，得Tx—12x+3xv36—6—4,

合并同類項，得一13x<26,

系數(shù)化成1,得工>一2.

【點睛】

3x-4<5

3x-l>x+1

4解.不等式組:5.解不等式組：]2x-]x-2

x+4<4x-2-------->------

32

解：解不等式3x-lNx+1,得：x>l,解：解不等式①得xV3

解不等式x+4<4x-2,得：x>2,解不等式②得x>-4

??.不等式組的解集為x>2.，不等式組的解集為-4<x<3.

x-2<2x

6.解不等式組,l+2x，并求出它的所有整數(shù)解的和.

x-\<------

3

解：解不等式①，得1之―2,解不等式②，得x<4,

???不等式組的解集為-2二人<4,???不等式組的所有整數(shù)解為：-2,T,。，1,2,3

???所有整數(shù)解的和為：-2+(-l)+0+l+2+3=3.

(4(x+1)<7x+13,

7.解不等式組X_H并求它的所有整數(shù)解的和.

x-4<

3

4(x+1)<7x+13①

【解析】

x—②

由①得，x2-3,

由②得，x<2,

所以，不等式組的解集是-3Wx<2,

所以，它的整數(shù)解為：-3,-2,-1,0,1,

所以，所有整數(shù)解的和為-5.

3x<6

8.解不等式組：5-2,并在數(shù)軸上表示其解集?

023

3x<6①

【詳解】解:

5x+4>3x+2②

解不等式①,得：x<2,解不等式②，得：x>-l,

則不等式組的解集為

將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下:

-4-3-2-I0I234

9.解不等式2x-1>丁，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

~~~01~~

解：去分母，得：4x-2>3x-1,

移項，得：4x-3x>2-1,

合并同類項，得：x>l,

將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖：

x—1x—3

10.解不等式?之三-+1,并在數(shù)軸上表示解集.

32

-4-3-201__2__34~.

解：去分母，^2(x-l)>3(x-3)+6,

去括號，得2x-2N3x-9+6,

移項，合并同類項得-XN-1,

系數(shù)化為1，得入W1,

在數(shù)軸上表示解集如圖：

-4-3-2-101234

類型六整式方程

[1]一元一次方程的解法

]上二3一匕

1.4(2x-l)-3(5x+2)=3(2-x)；2.

23

解：8x-15x+3x=6+4+6解：6x-3(l-x)=18-2(x-2)

-4x=16llx=25

25

x=-4x=一

11

0.lx-0.2x+1_34.解方程

_2=3X+2

0.02瓦一、32

10x-20lOx+10r

解：原方程可化為:------------------=3解:去分母得：2(2x-l)-12=3(3x+2),

約分得：5x-10-(2x+2)=3,去括號得：4x-2-12=9x+6,

去括號得5xT0-2x-2=3,移項合并得：5x=-20,

移項及合并，得3x=15,解得：x=-4.

系數(shù)化為1,得x=5.

x0.17-0.2x16.解方程：4^--'

5.解方程:----------------=1

0.70.034

解：原方程可以化成：—-17~2°X=1,解：去分母得：12x+30=24x-8-3x+24,

73

去分母，得：30x-7(17-20x)=21.移項合并得：-9x=-14,

去括號、移項、合并同類項，得：170x=140.解得：x二

9

14

系數(shù)化成1,得：x=一.

17

[2]二元一次方程組的解法

x+2y=42x-y=4,

L解方程組:2.解方程組

x+3y=5x+y=2.

解：②-①，得y=1.解：①+②得3x=6,，x=2,

把y=i代入①，得x=2.把x=2代入②，得y=O,

x=2x=2

團原方程組的解為..，原方程組的解是八.

)，=1y=0

x+y=3?

3.已知方程組《的解滿足26-3”5,求k的取值范圍.

x-y=2(2)

解:令①+②得，2x=5,

解得：x=g，

將x=|代入①中得，(+)，=3,解得：)，=；,

將x=2,y代入2履-3yv5得，2*工女_3又!<5,

2'222

13

解得：左端.

2x+y=7

4.已知方程組《,的解也是關于x、y的方程or+y=4的一個解，求a的值.

x=y-i

2x+y=7?

解：方程組(

x=y-\?

把②代入①得：2()，-1)+)，=7,

解得：)=3,