2023年上海中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

（原卷版）

專題07幾何壓軸題

1.（2022?上海）如圖，在nAAC。中，尸是線段4C中點，聯(lián)結(jié)4。交”于點E,聯(lián)結(jié)CE.

（1）如果AE=CE.

i.求證：為菱形；

ii.若A8=5,CE=3,求線段的長；

（2）分別以4E,BE為半徑，點A,“為圓心作圓，兩圓交于點E,尸，點尸恰好在射

線CE上，如果=求理的值.

BC

B

2.（2021?上海）如圖，在四邊形/WCZ）中，AD//BC,ZABC=90°,AD=CD,O是對

角線AC的中點，聯(lián)結(jié)3。并延長交邊CD或邊4）干點E.

（1）當(dāng)點E在CD上,

①求證：ADAC^OBC；

②若BE工CD,求處的值:

BC

(2)若DE=2,OE=3,求8的長.

3.（202。?上海）如圖，A4AC中，AB=AC,是A4BC的外接圓，40的延長線交邊AC

于點。.

(I)求證：/胡C=2ZA8D；

(2)當(dāng)ABC。是等腰三角形時，求N8CD的大小:

(3)當(dāng)At>=2,C￡>=3時，求邊8C的長.

4.(2019?上海)如圖1,4)、4。分別是A4BC的內(nèi)角NB4C、NABC的平分線，過點A

作AE_LAD,交8。的延長線于點E.

(1)求證：ZE=-ZC；

2

(2)如圖2,如果=且皮):OE=2:3,求cosNABC的值；

(3)如果/鉆C是銳角，且A48C與AM應(yīng)相似，求ZABC的度數(shù)，并直接寫出％些的

SgBC

值.

5.(2018?上海)己知GX)的直徑4?=2,弦AC與弦BD交于點E.且OD_LAC,垂足為

點尸.

DD

￡

（一）

AoBaoBAoB

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,如果AC=BO,求弦AC的長；

（2）如圖2,如果石為弦8。的中點，求的余切值；

<3）聯(lián)結(jié)8C、CD、D4,如果GC是C）O的內(nèi)接正八邊形的一邊，8是的內(nèi)接正

（〃+4）邊形的一邊，求AAC￡>的面積.

6.（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，己知梯形ABC。中，AD3BC,NA=90。，AB=C,AD=6,

8c=7,點?是邊AD上的動點，聯(lián)結(jié)6P,作々F尸=/AT>C,設(shè)射線尸尸交線段6c于E,

交射線DC于廠.

（I）求NAZ）C的度數(shù)；

（2）如果射線P尸經(jīng)過點C（即點E、〃與點C重合，如圖②所示），求AP的長；

（3）設(shè)AP=x,DF=y,求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

圖②

7.（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形A5CD中，AD//BC,A5=26,3c=42,cosB=—,

13

AD=DC.點M在射線CB上，以點C為圓心，CM為半徑的0c交射線CD于點N,聯(lián)

結(jié)MN,交射線C4于點G.

（1）求線段4）的長：

（2）設(shè)線段CM=x,券=）'，當(dāng)點N在線段8上時，試求出），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出X的取值范圍;

（3）聯(lián)結(jié)DM,當(dāng)ZNMC=2/DMN忖,求線段CM的長.

8.（2022?黃浦區(qū)二模）已知：在梯形ABC。中，AD//BC,ZA5C=90°,AB=6,

BC:AD=\:3,O是AC的中點，過點。作交8C的延長線于點E.

（1）當(dāng)BC=EC時,求證：AB=OE；

（2）設(shè)8c=〃，用含a的代數(shù)式表示線段座的長，并寫出。的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)O/）、DE,當(dāng)A/X應(yīng)是以力￡為直角邊的直角三角形時，求4C的K.

9.（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知在RtAABC中，ZC=90°,。是邊BC上一點,

ZAPC=45°,PDVAB,垂足為點。，48=4逐，BP=4.

（1）求線段叨的長；

（2）如果NC的平分線CQ交線段產(chǎn)。的延長線于點Q,求NCQP的正切值；

（3）過點。作RiAABC的直角邊的平行線，交直線AP于點E,作射線CE,交直線尸。于

點產(chǎn)，求上的值.

EF

備用圖

10.(2022?金山區(qū)二模)如圖，已知：RtAABC中，NAC4=90°,A4=IO,sinZ/MC=->

5

O是邊AC上一點，以點。為圓心，為半徑的圓O與邊AC的另一個交點是點。，與邊

四的另一個交點是點E,過點。作的平行線與圓。相交于點P,與AC相交于點Q,

OP的延長線交45于點尸，聯(lián)結(jié)尸Q.

(1)求證：DP=EP；

(2)設(shè)。4=x,△產(chǎn)PQ的面積為y,求)，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)如果△尸PQ是以尸Q為腰的等腰三角形，求40的長.

11.(2022?寶山區(qū)二模)如圖，已知為圓O的直徑，C是弧上一點，聯(lián)結(jié)3C,過

點O作OD_L3C,垂足為點E,聯(lián)結(jié)交8c于點尸.

(1)求證：=

(2)如果A〃?AO=AO2,求NABC的正弦值;

聯(lián)結(jié)O/，如果AAO尸為直角三角形，求心國的值.

(3)

S&AFB

12.（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，為半圓O的直徑，點C在線段的延長線上，BC=OB,

點。是在半圓O上的點（不與A,B兩點重合），CE上CD且CE=CD,聯(lián)結(jié)OE.

PJ71

（1）如圖【，線段8與半圓O交于點尸，如果。歹=8/，求證：——=-；

CF2

（2）如圖2,線段Q與半圓O交于點尸，如果點。平分求tan/DEA：

（3）聯(lián)結(jié)O￡交CD于點G,當(dāng)拉XX7和AEGC相似時，求NAOD.

13.（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在RlAABC中，NC=90。，ZC4B=3O°,A8=10.點E是

線段AB上一動點，點G在8C的延長線上，且CG=AE,聯(lián)結(jié)EG,以線段EG為對角線

作正方形EDGF，邊ED交AC邊于點M,線段反;交AC邊于點N,邊EF交邊于點P.

（1）求證：NG=2EN；

（2）設(shè)AE=x,AAEV的面積為），，求y關(guān)于1的函數(shù)解析式，并寫出工的定義域；

（3）聯(lián)結(jié)NP,當(dāng)AEPN是直角三角形時,求AE的值.

（備用圖）

14.（2022?楊浦區(qū)二模）已知在扇形AO3中，點C、。是A8上的兩點，且

（2）如圖2,聯(lián)結(jié)AD,交半徑OC于點E,當(dāng)OD//AC時，求——的值；

ED

（3）當(dāng)四邊形8OCZ）是梯形時，試判斷線段AC能否成為內(nèi)接正多邊形的邊？如果能,

請求出這個正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請說明理由.

15.（2022?松江區(qū)二模）已知AA4c中，AB=AC,AD.屬是AA4c的兩條高，直線跖1

與直線4）交于點Q.

（1）如圖，當(dāng)NB4C為銳角時，

①求證：DB2=DQDA；

②如果絲=3,求NC的正切值；

QD

(2)如果AQ=3,自2=2,求AA8C的面積.

B

16.（2022?嘉定區(qū)二模）在梯形A8OL已知ZX7//A8,ZZMB=90°,OC=3,DA=6,

他二9,點石在射線AB上，過點E作石尸〃4),交射線DC于點/，設(shè)AE二x.

(1)當(dāng)x=l時，直線￡1與AC交于點G,如圖1，求GE1的長;

(2)當(dāng)x>3時，直線砂與射線C8交于點”.

①當(dāng)3Vx<9時，動點M(與點A、。不重合)在邊AD上運動，且AM=BE,聯(lián)結(jié)例〃

交AC于點N如圖2,隨著動點M的運動，試問CH:"V的值有沒有變化，如果有變化,

請說明你的理由；如果沒有變化，請你求出C〃：〃N的值:

②聯(lián)結(jié)4H,如果44E=NC4￡>,求x的值.

備用圖

17.(2022?奉賢區(qū)二模)如圖，已知A4BC,點E在邊AC上，且4AC=NCBE,過點4

作8c的平行線，與射線交于點O,聯(lián)結(jié)CD.

(1)求證：AB?=BEBD；

(2)如果AA=4,cosZABC=-.

4

①當(dāng)BE=BC,求CE的長；

②當(dāng)/W=/)C時，求NBAC的正弦值.

18.（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在AA4C中，AC=6,BC=9,NBAC=2NB,A￡>平分NBAC

交5c于點O.點E、戶分別在線段4?、DC上，RAE=DF,聯(lián)結(jié)所，以AE、EF為

鄰邊作平行四邊形AEFG.

（1）求8D的長；

（2）當(dāng)平行四邊形A瓦6是矩形時，求AE的長；

（3）過點。作平行于"的直線，分別交比'、AG、AC于點P、Q、M.當(dāng)DP=MQ

時，求AE的長.

備用圖

19.（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知矩形A8CD中，AQ=5,以AD上的一點七為圓心，EA

為半徑的圓，經(jīng)過點C,并交邊呂C于點尸（點尸不與點C重合）.

（1）當(dāng)AE=4時，求矩形對角線4c的長；

（2）設(shè)邊/W=x,CF=y,求），與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）設(shè)點G是AC的中點，KZGEF=45°,求邊AB的長.

20.（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，在四邊形A3C￡>中，ABHDC,AB=BC=6,ADLAC,

點石為對角線4c的中點，射線。石交邊8c于點尸.

（I）求證：DC=2ABi

（2）如果。尸_LBC,求ZACD的余弦值；

（3）當(dāng)ACM是等腰三角形時，求線段所的長.

備用圖

21.（2022?楊浦區(qū)三模）己知在RtAABC中，ZACB=90°,AD是A48C的內(nèi)角N84C的

平分線，過點B作8石_LAD,交AD的延長線于點E.

（1）如圖1，聯(lián)結(jié)CE,求證：CE=BE；

（2）如圖2,如果cotZ44C=空，求生的值；

7DE

（3）如果以點。為圓心，ZX?長為半徑的圓恰好經(jīng)過RIAABC的斜邊中線與邊4）的交點

F,H.AC=4,求邊A3的長.

22.(2022?徐匯區(qū)模擬)如圖，已知線段AB=4,以"為直徑作半圓，過圓心。作的

垂線OQ交半圓于點E，P是AE上的點，連結(jié)AP并延長交OQ于點C,連結(jié)必交OQ于

點F.

(1)我們知道/4尸8=90。，證明方法如下:

聯(lián)結(jié)OP,r€)A=€)P,:.ZPAO=ZAPO,\-OB=OP,:.NOPB=NQBP.

在MP3中，ZPAO+ZAPO+ZOPB+^OBP=\S(r,

:.ZAPO+/OPB=90。,即〃尸8=90°

請再用一種其他方法證明ZAP^=90°.

(2)如圖2,以P8,PC為鄰邊作oP8Z)C,當(dāng)CD與0O相切時，求PC的長；

(3)已知點加為47上的點，且4"='.當(dāng)AMFP與A4BP相似時，求絲的值.

23.(2022?黃浦區(qū)校級二模)如果三角形中一個內(nèi)角a的兩條夾邊中有一條邊上的中線長

恰好等于這條邊的長，那么稱這個三角形為“奇異三角形”，角a叫做“奇異角”，這條邊

叫做“角a的奇異邊”.

(1)如圖1,已知在AA5c中，ZC=90%tanA=—,求證：AABC是“奇異三角形”；

2

(2)已知ADEF是“奇異三角形"，DE=2,NO=&)。，當(dāng)￡>E是“NO的奇異邊”時，

請在圖2上作出ADE尸并求出/邛的長；(不必寫作法，保留作圖痕跡)

(3)如圖3,已知在邊長為。的正方形A3C。中，點P、Q同時從點A出發(fā)，以相同的速

度分別沿折線AB-8C和AO-OC向終點C運動，記點?所經(jīng)過的路程為S,當(dāng)刖尸。為

“奇異三角形”時，求人的值.

24.（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在半徑為3的圓O中，OA.都是圓。的半徑，且

ZAO8=90。，點。是劣弧AB上的一個動點（點C不與點A、8重合），延長AC交射線03

于點D.

（1）當(dāng)點C為線段AD中點時，求/AQ8的大??；

（2）如果設(shè)AC=x,BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當(dāng)AC=身時，點E在線段OQ上，且OE=1,點”是射線04上一點，射線E尸與射

5

線交于點G,如果以點A、G、尸為頂點的三角形與ADGE相似，求義^的值.

25.（2022?徐匯區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過?種玩具（如圖1）,這種玩具用七根小

棍做成，各結(jié)點均可活動，AD=AF,CD=DE=EF=FC,且0。＜4廠一。廠.使用時，

將A,O釘牢在平板上，使A,O間的距離等于木棍OC的長，繞點O轉(zhuǎn)動點C,則點C在

0O上運動，點E在直線3G上運動，BGLAB.圖2是該玩具轉(zhuǎn)動過程中的一幅示意圖.

（1）判斷點A,C,￡在同一條直線上嗎？請說明理由，

（2）當(dāng)點O,C,廠在同一條直線上時.

①求證：CDHAB.

②若OC=2,CD=3,tanZOAC=-,求8石的長.

26.（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，線段科=1,點。是線段處延長線上的點，AD=a（a>\）,

點O是線段AP延長線上的點，OA1=OPOD,以O(shè)為圓心，CM為半徑作扇形Q4A,

Z25必=90°.

點C是弧上的點，聯(lián)結(jié)PC、DC.

（1）聯(lián)結(jié)8。交弧AB干石，當(dāng)a=2時，求班:的長；

（2）當(dāng)以PC為半徑的。。和以CD為半徑的G）C相切時，求a的值；

（3）當(dāng)直線DC經(jīng)過點8,且滿足PC04=8?！睍r，求扇形。48的半徑長.

27.（2022?寶山區(qū)模擬）已知等邊A43C的邊長為2,點D為邊BC的中點、,以點4為圓心

的圓交邊AC于點E（點E不與點4、C重合）.

（1）如果圓A與線段8C有公共點，求線段AE的取值范圍；

<2）如果射線。E與線段￡4的延K線交丁點尸，

①設(shè)A￡=x,AF=y,求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

②當(dāng)SQE=S&\EF時，求線段AE的長?

Ct

AB

28.（2022?徐匯區(qū)模擬）已知：在AA8C中，ZABC=9O°,AB=5,ZC=30°,點。是AC

邊上一動點（不與A、。重合），過點D分別作DE,AB交AB于點E,DFLBC交BC

于點歹，聯(lián)結(jié)所，設(shè)AE=x,EF=y.

（1）求〉，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）以尸為圓心尸C為半徑的。川交直線AC于點G,當(dāng)點G為AD中點時，求x的值；

（3）如圖2,聯(lián)結(jié)如將AE8O沿直線瓦）翻折，點E落在點E處，直線8E與直線47相

交于點M,當(dāng)為等腰三角形時，求NAA。的度數(shù).

29.（2022?松江區(qū)校級模雙）如圖1,點C是半圓上一點（不與A、B重合），OD_BC

交弧8C于點O,交弦BC于點E,連接4）交8c于點尸.

（1）如圖1,如果AD=BC,求NABC的大??；

（2）如圖2,如果A/:Z）F=3:2,求NABC的正弦值；

（3）連接O尸，OO的直徑為4,如果MR?是等腰三角形，求4）的長.

30.(2022?浦東新區(qū)校級模擬)如圖1,已知等腰AA8C中，AB=AC,即是8C邊上的

中位線，點G為應(yīng):中點，點乃是底邊8C上一動點，線段CG與線段竹交于點Q,聯(lián)結(jié)

EQ.

<1)若PC=3BP,證明:EQ//AC,且EQ=1八C；

3

(2)如圖2,當(dāng)八8=5,AC=6時，若以點“為圓心，以4尸為半徑的圓與以印為直徑

的圓相切，求研的長;

(3)若AB=6,AC=4,且僅孑。與△CT/7相似，求儲的長.

圖1備用圖

31.(2022?嘉定區(qū)校級模雙)在RtAABC中，NACB=9(甲，4c=30,人4=50.點尸是4?

邊上任意一點，直線莊_LAB,與邊AC或8C相交于石.點M在線段AP上，點N在

12

線段4戶上，EM=EN,sinZEA7P=—.