2024年上海市高考數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1?6題每題4分，第7?12題每題滿分5分）

考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果.

「設全集U={1,2,3,4,5},集合"={2,4},則

2.已知[tx<0貝/八3）=.

3.己知xwR則不等式x2—2x-3v°的解集為.

4.已知,XWK,且,是奇函數(shù)，則。一

5,已知"R，&=（2,5）1=（6,4）,且萬/區(qū),則左的值為.

6.在（X+D”的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32,則一項的系數(shù)為.

7.已知拋物線產(chǎn)=4人上有一點尸到準線的距離為以那么點尸到x軸的距離為.

8.某校舉辦科學競技比賽，有4B、C3種題庫，A題庫有5000道題，8題庫有4000道題，°題庫有

30co道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,8題庫的正確率是0.86,°題庫的正確率是

0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機選一?題，正確率是.

2/、

z+—=ni（niGR）

9.已知虛數(shù)z,其實部1,且z,則實數(shù)，”為.

10.設集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)

的最大值.

II.已知點B在點C正北方向，點。在點C的正東方向，BC=CD,存在懸A滿足

ZBAC=16.5。,/。％0=37。，則NBCA=（精確到0.1度）

12.無窮等比數(shù)列{"/滿足首項國記邛一小‘'玉'句3%，%]},若對任意正整數(shù)

〃臭合是閉區(qū)間，則q的取值范圍是

第1頁、共17頁

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13?14題每題滿分4分，第15?16題每題滿

分5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂

黑，選對得滿分，否則一律得零分.

13.已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

14.下列函數(shù)/"）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

.22n?22

C?sinx+cosxD.smx-cosx

15.定義一個集合Q,集合中的元素是空間內的點集，任?。B,呂￡。，存在不全為0的實數(shù)4,4,4,

使得4。萬十4+4。a=0.日知（l,0,0）eQ,貝IJ（0,0,1）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）GQB.（-1,0,0）eQ

C.（0,l,0）eQD.（0,0,-l）eQ

16.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,定義集合”={%|玉）￡1<%￡（-8,玉）），/3</（%））}，在使得

〃二［-1,1］的所有/（工）中，下列成立的是（）

A.存在“X）是偶函數(shù)R.存在/（X）在*=2處取最大值

C.存在/。）是嚴格增函數(shù)D.存在/（X）在尸-1處取到極小值

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內

寫出必要的步驟

17.如圖為正四棱錐P—488,。為底面ABCD的中心.

（1）若力尸=5,力。=3&，求PCM繞尸。旋轉一周形成幾何體的體積;

（2）若AP=AD,E為P8的中點,求直線與平面月￡。所成角的人小.

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18.若/（x）=log,x（〃>0,"l）.

（1）y=/（力過（4,2）,求/（2x-2）</（x）解集;

（2）存在x使得/（x+1）、/（&丫）、/（x+2）成等差數(shù)列，求《的取值范圍.

19.為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均

體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時間范圍

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學業(yè)成績、、

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)2900。名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)均為多少？

（2）估計該地區(qū)初中學生口均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與口均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關?

（附：Z2=;-J弋"I.，其中〃=〃+"c+d,P（r>3.841）?0.05.）

（4+/））（c+d）（4+c）（b+d）'7

20.已知雙曲線「：/一￡=1,/>0）,左右頂點分別為4,4,過點M（—2,0）的直線/交雙曲線「于R。

兩點.

（1）若離心率e=2時，求6的值.

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2,已知，(x)=<則/(3)=_____.

1,x<0

【答案】百

【解析】

【詳解】因/(])=["">°,故"3)=5

l,x<0

故答案為：75.

3.已知X￡K,則不等式2x-3vO的解集為.

【答案】{x|—l<x<3}

【解析】

【詳解】方程X2一2工一3=0的解為工=-1或x=3,

故不等式/一2工一3<0的解集為{x[T<x<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

4.已知/(x)=/+。，X￡R,且/(X)是奇函數(shù)，則。=.

【答案】0

【解析】

【詳解】因為/(x)是奇函數(shù)，故/(r)+/(x)=O即/+。+(一X)3+〃=0,

故。=0,

故答案為：0.

5.己知％￡R,d=(2,5)/=(6J),且萬//5，則〃的值為.

【答案】15

【解析】

【詳解】?2//方，...2%=5X6,解得〃=15.

故答案為：15.

6.在(x+l)〃的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32,則/項的系數(shù)為.

【答案】10

【解析】

【詳解】令x=l,「.(1+1)〃=32,即2〃=32,解得〃=5,

所以(x+l)5的展開式通項公式為卻|=C>x?,令5-r=2,則尸=3,

.-.7；=C^x2=Wx2.

故答案為：1().

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7.已知拋物線V=4x上有一點尸到準線的距離為9,那么點，到％軸的距離為.

【答案】4及

【解析】

【詳解】由V=4x知拋物線的準線方程為x=-l,設點P（/Jo）,由題意得為+1=9,解得/;8,

代人拋物線方程V=4x,得y；=32,解得％=±4及,

則點P至Ux軸的距離為472.

故答案為：4c.

8.某校舉辦科學競技比賽，有力、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，8題庫有4000道題，。題庫有

300）道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,4題庫的正確率是0.86,C題庫的正確率是

0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是

【答案】0.85

【解析】

【詳解】由題意知，4伉。題庫的比例為：5:4:3,

543

各占比分別為不，不，行,

543

則根據(jù)全概率公式知所求正確率P=石＞0.92+—x0.86+—x0.72=0.85.

故答案為:0.85.

2

9.已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+—=〃?（meR）,則實數(shù)加為.

Z

【答案】2

【解析】

【詳解】設z=l+bi,6cR且b/0.

則z+2=1+方+2M3.

-------7+-------T1=m,

Z1+bi

￡+3

=m

\+b2

,/ine＞解得"7=2,

b^-b

=0

故答案為：2.

10.設集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)

的最大值

【答案】329

【解析】

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【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù).

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

①當個位為。時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數(shù)有P；=72個；

②當個位不為0時，則個位有C；個數(shù)字可選，百位有C；=256個數(shù)字可選，十位有C；個數(shù)字可選，

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有C；C；C；=256,

最后再加上單獨的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為72+256+1=329個.

故答案為：329.

11.已知點8在點。正北方向，點。在點C的正東方向，BC=CD，存在點A滿足

NBAC=16.5。,ND4c=37°,則NBC4=（精確到0.1度）

【答案】7.8°

【解析】

【詳解】設N8C4=a4GD=90-9,

在△OC4中，由正弦定理得旦=.。匕八

sin。sinZ.CAD

__________CA__________CD

即sin[180-(90-9+37.0)]sin37.0，

C4_CD

即sin(90-6>+37.0)-sin37.0①

CACB

在VH。中，由正弦定理得一^

smBsinZ.CAB

________CA________CBG4_CB

即sin[180-(6+16.5)]-sinl6.5，即sin(1+16.5)-sin16.5，②

②sin(90-<9+37.0)sin37.0

因為CQ=CB,W得一~--------.

①sin(夕+16.5)sin16.5

利用計算器即可得gk7.8，

故答案為：7.8.

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12.無窮等比數(shù)列｛%｝滿足首項％>0國>1,記/〃=1一丁,/￡[。],%]=[%，%+[]｝，若對任意正整數(shù)

〃要合/“是閉區(qū)間，則4的取值范圍是.

【答案】q>2

【解析】

【詳解】由題設有/=%夕",因為0>0國>1，故?！?I>%，故[%，4向]=[。q"La"]，

當〃=1時，x,ye[a]ya2],故x-yw[q-%，的一，此時。為閉區(qū)間，

當“22時，不妨設xNy,若X/E[。],%]，則X->^]。，見一生]，

若了w[%，生]，x￡[。〃，%+』，則■V6[an-a2,。川-q],

若工，yw[%，%+J，則x-y￡[o，%+i一%]，

綜上,X-y￡[0,%一4]U[%一%，勺+1-QJU[0,%+i-4]，

又/”為閉區(qū)間等價于[o,4-q]u[。〃-%，。川一?！籾[°，-〃,』為閉區(qū)間，

aaaa

而。”+1\>n+\n>2%，故%+1一々2對任意〃22恒成立，

故%+I―2%+生之0即q/"(q_2)+gN0,故q""(q_2)+]N0,

故1-22—/支對任意的〃22恒成立，因9>1,

故當+CO時，一/^■->0,故鄉(xiāng)一220即422.

故答案為：c/>2.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中第13?14題每題滿分4分，第15?16題每題滿

分5分)每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂

黑，選對得滿分，否則一律得零分.

13.已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是()

A氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

【答案】C

【解析】

【詳解】對于AB,當氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.

對于CD,因為相關系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，

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故C正確，D錯誤.

故選：C.

14.下列函數(shù)/"）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+co&xB.sinxcoax

?22i-x*22

C?sin-x+cosxL）smx-cos-x

【答案】A

【解析】

【詳解】對A,sinr+cosx=任由（工+彳），周期『=2兀，故A正確：

對B,siavcosT=—sin2x,周期7=，=兀，故B錯誤；

對干選項C,sin2x+cos2x=b是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；

對干選項D,sin2x-cos2x=-cos2x?周期T=g=兀，故D錯誤，

故選：A.

15.定義一個集合O,集合中的元素是空間內的點集，任取存在不全為0的實數(shù)4,4,

使得4OP+4OR+406=O.已知（i,o,o）￡。，則（0,0,1）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）GQ

C.（0,1,0）GQD.（0,0,-1）GQ

【答案】C

【解析】

【詳解】由題意知這三個向量OR,OR,OR共面，即這三個向最不能構成空間的一個基底，

對A,由空間直角坐標系易知（0,0,0）,（1,0,0）,（0,0,1）三個向量共面，則當（一1,0,0）,（1。0）€^無法推出

（0,0,1）把Q,故A錯誤；

對B,由空間直角坐標系易知（-1,0,0）,（1,0,0）,（0,0,1）三個向量共面,則當（0,0,0）,（1,0,0）wQ無法推出

（0,0,1）eQ,故A錯誤；

對3由空間直角坐標系易知（1,0,0）,（0,0,1）,（0,1,0）三個向量不共面，可構成空間的一個基底，

則由（1,0,0）,（0」,0）￡。能推出（0,0,1）WQ,

對D,由空間直角坐標系易知（1,0,0）,（0,0,1）,（0,0,-1）三個向量共面，

則當（0,0,—1）（1,0,0）無法推出（0,0,1）eQ,故D錯誤.

故選：C.

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16.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,定義集合例二N|X0￡R,XG(-8,x0),/(x)</(x0)},在使得

例=[-1,1]的所有/(X)中，下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函數(shù)B.存在/(X)在x=2處取最大值

C.存在/(x)是嚴格增函數(shù)D.存在/(x)在處取到極小值

【答案】B

【解析】

【詳解】對于A,若存在J，=./V)是偶函數(shù)，取XU=1G[-1,1],

則對于任意XG(-OOJ),/(X)</(1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A錯誤;

-2.x<—1,

對于B,可構造函數(shù)/(工)=Y,-1滿足集合"=[-1,1],

當工<一1時，則/(》)=-2,當-IKxKl時，/(力式一1』,當x〉l時，/(x)=l,

則該函數(shù)/(x)的最大值是/(2),則B正確；

對3假設存在/(工)，使得/(工)嚴格遞增，則A/=R,與已知必二卜1,1]矛盾，則C錯誤：

對D,假設存在/(x),使得/(x)在尸—1處取極小值，則在一]的左側附近存在〃，使得/(〃)>/(-1),

這與已知集合M的定義矛盾，故D錯誤；

故選:B.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內

寫出必要的步驟

17.如圖為正四棱錐P-458,0為底面ABCD的中心.

(1)若/P=5,4Q=3x/^，求尸。4繞PO旋轉一周形成的凡何體的體積;

(2)若AP=AD,E為PB的中點,求直線80與平面力EC所成角的大小.

【答案】(I)12兀

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【解析】

【小問1詳解】

正四棱錐滿足且P。1平面N8CD,由49u平面N8CZ）,則POJLZO,

又正四棱錐底面/BCD是正方形，由力0=3及可得，力0=3,

故P07PA2-40?=4,

根據(jù)圓錐的定義，尸。/繞PO旋轉一周形成的幾何體是以P0為軸，40為底面半徑的圓錐,

即圓錐的高為00=4,底面半徑為49=3,

根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是gx兀X32X4=12TT

【小問2詳解】

連接E4,EO,EC，由題意結合正四棱錐的性質可知，每個側面都是等邊三角形，

由E是心中點，則4E_LP8,CEJLP4,又力。七=瓦/瓦CEu平面ZCE,

故P4_L平面ZCE,即4￡_L平面力CE，又3OQ平面ZCE=O,

于是直線BD與平面AEC所成角的大小即為ZB0E,

不妨設ZP=ZQ=6,則8。二3五,8￡=3,s\nZBOE=-^==—f

3企2

又線面角的范圍是0,^

7T

故田即為所求

18.若/（x）=logM（a>0,。W1）.

（1）歹=/（力過（4,2）,求/（2x-2）v/（x）的解集;

（2）存在x使得/。+1）、/（原）、/（x+2）成等差數(shù)列，求】的取值范圍.

【答案】（1）k|1<%<2}

（2）a>\

【解析】

【小問1詳解】

第11頁、共17頁

因為y=/（x）的圖象過（4,2）,故log04=2,故/=4即。=2（負的舍去），

而f（X）=log2x在（0,+8）上為增函數(shù)，故/（2x-2）</（X）,

故0<2x-2<x即l<x<2,

故f（2x-2）</（x）的解集為卜11cx<2}.

小問2詳解】

因為存在X使得/（X+1）、/'（6）、/（X+2）成等差數(shù)列，

故2/（"）-/（X+1）+/（X+2）有解，故2loga（ax）-\oga（x+1）+logfl（x+2）,

因為。>0,awl,故x>0,故=（x+l）（x+2）在（0,+動上有解，

由/=立詈±2=1+3+捺=2（3+（［_（在（0,+紇）上有解，

令，二Lw（O,+8）,而y=2/+（）-:在（。,+8）上的值域為。,+8）,

故二>1即a>1.

19.為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均

體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

「時間范圍

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)”2)[2,2.5)

業(yè)成就

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？

（2）估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？

n(ad-he)2

（附：Z具中〃=a+b+c+〃，尸(力’23.841)*0.05.)

(〃+/))(c+d)(a+c)e+d)

【答案】（1）12500

(2)0.9h

（3）有

【解析】

【小問1詳解】

第12頁、共17頁

179+43+2825

由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比

58058

25

則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為29000x至=12500.

【小問2詳解】

估計該地區(qū)初中生的FI均體育鍛煉時長約為

0.5/0.5+11+1.5-A1.5+2仆2+2.5.

—X139+------x1i9ni1+------X179+------x43+-------x28=0.9.

58022222

則估計該地區(qū)初中學生LI均體育鉞煉的時長為0.9小時.

【小問3詳解】

由題列聯(lián)表如下：

[1,2)其他合計

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計222358580

提出零假設“°：該地區(qū)成績優(yōu)秀與口均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關.

其中a=0.05.

2_580x(45x308-177x50)2

之3.976>3.841.

95x485x222x358

則零假設不成立,

即有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關.

20.已知雙曲線「：/一與=1,（〃>0）,左右頂點分別為4,4,過點M（—2,0）的直線/交雙曲線「于只0

b~

兩點.

（1）若離心率e=2時，求b的值.

（2）若力=4P為等腰三角形時，且點尸在第一象限，求點尸的坐標.

3~

（3）連接。。并延長，交雙曲線「于點H,若4R?A2P=T,求b取值范圍.

【答案】（1）b=W>

（2）*2,2⑹

第13頁、共17頁

⑶（0詞一（后明

【解析】

【小問1詳解】

由題意得《=￡=二=2，則c=2,b=V22-1=>/3-

a1

【小問2詳解】

2

當b=壁時，雙曲線「：/一&二1,其中/（—2,0）,4（1,0）,

33

因為為等腰三角形，則

①當以M4,為底時，顯然點尸在直線上，這與點，在第一象限矛盾，故舍去;

一2

②當以4P為底時，|MP|=|A〃4|=3,

2323

一-堂7x=---x=---

11八11Jx=\

設P(x,y),則,8,聯(lián)立解得＜I—或＜8后或L)，=0，

8V17

(X+2)2+/=9y=------

11

因為點尸在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去：

（或者由雙曲線性質知|〃尸|>|"4|,矛盾，舍去）;

③當以為底時，|4耳=|朋闋=3,設夕（即匕）），其中X）>0，乂）>°，

2

(x0-l)+y(j=9

則有，片_區(qū)=1，解得，即尸（2,2今

8

3

綜上所述：尸（2,2啦）.

小問3詳解】

由題知4（7,0）,4。,0）,

當直線/的斜率為0時，此時4兄4。=0,不合題意，則號，0,

則設直線/：X=〃少-2,

設點尸（再，必），。（々，%），根據(jù)。。延長線交雙曲線「于點R,

根據(jù)雙曲線對稱性知火（一七，一%），

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x=my-2

聯(lián)立有0（b2m~-1）j/2-4b2my+3〃=0,

/一匕=1

b2

顯然二次項系數(shù)/〃/一1"()，

其中A=（-4〃力2丫一4僅2〃?2—ij3b2=4b4m2+\2b2>0,

②,

4「=(_&+1,一力),4戶=at,必),

則4及4產(chǎn)=(一工2+1)(七一1)一乂k=1，因為尸(外,必),。(當，%)在直線/上，

則*="少1—2,x2=my2-2,

即一（即2-3）（町一3）-M8=1，即（加?+l）-（凹+%）3加+10=0,

將①②代入有（m2+1）.-2^——3〃?.4乎7+10=0,

、）b2m2-1b2m2-1

即3b2（加2+1）-3〃八4b2ni+10（/>2/w2-1）=0

化簡得/〃?2+3〃一]o=o，

所以〃/=詈-3,代入到用《2_］工0,得〃=10-3〃工1,所以〃工3,

b~

且〃/二廠-320,解得〃工四，又因為8>o,則

b~33

（in

綜上知，h2G（O,3）U3,—,:.be（o,百）U瓜

\J

21.對于一個函數(shù)/(x)和一個點〃(a,b),令s(x)=(x—a)2+(/(x)—分，若尸(%,/(%))是s(x)取

到最小值的點，則稱P是M在/'(X)的“最近點

(1)對于/(x)=1(x>0)，求證：對于點M(0,0),存在點P,使得點P是“在〃x)的“最近點”；

x

(2)對于/(1)=巴”(1,0),請判斷是否存在一個點尸,它是M在/(x)的“最近點”，且直線與

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y=/(x)在點尸處的切線垂直；

(3)已知y=/(x)在定義域R上存在導函數(shù)/'(X),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設點

A/1(/-l,/(r)-g(r)),M2(z-Fl,/(/)+g(/)).若對任意的/cR,存在點p同時是〃,股2在/(%)

的“最近點”，試判斷/(丁)的單調性.

【