202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之橢圓（二）

一,選擇題（共5小題）

%2y-

I.（2022?甲卷）橢圓C：—+—=1（a>/;>0）的左頂點為4點、P,。均在。上，且關(guān)于丫軸對稱.若

a2b2

直線ARAQ的斜率之積為士則。的離心率為（）

4

國611

A.—B.—C.-D.—

2223

%?V21

2.（2022?甲卷）已知橢圓C：—+77=1<a>h>0）的離心率為小4,4分別為C的左、右頂點，B

a2b23

為C的上頂點.若811?872=-1，則C的方程為（）

X2y2X2

A.—+-=1B.—+

181698

%2必X21

C.一+-=1D.+r=i

32T

42y2

3.（2021?新高考I）已知尸2是橢圓C：不~+-二1的兩個焦點，點M在C上，則尼|的最

94

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

/y2

4.（2021?乙卷）設(shè)8是橢圓C：—+77=1（?>/?>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|P8|O,

c2bz

則C的離心率的取值范圍是（）

遮、1V21

A.[―,1）B.[-,1）C.（0,—]D.（0,-]

2222

x2

5.（2021?乙卷）設(shè)8是橢圓C：w+『=l的上頂點，點P在。上，則的最大值為（）

5LL

A.-B.V6C.V5D.2

2

二,填空題（共5小題）

%2y2

6.（2022?新高考I）已知橢圓C：—4-77=1（a>b>0）,C的上頂點為A,兩個焦點為回，尸2,離心

率為今過內(nèi)且垂直于4”2的直線與C交于D,E兩點，|D￡]=6,則AADE的周長是.

x2y2

7.（2022?新高考H）已知直線/與橢圓L+J=I在第一象限交于4,8兩點，/與x軸、》軸分別相交

63

于M,N兩點，且|MA|=W8|,|MM=2次，則/的方程為.

42y2

8.（2021?甲卷）已知月為橢圓C：—+—=1的兩個焦點，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，

164

且|尸。|=尸|尸2|，則四邊形尸四。尸2的面枳為

2

9.（2021?上海）己知橢圓f+/=i（ovbVl）的左、右焦點為rI、尸2,以。為頂點，”2為焦點作拋物

線交橢圓于P,且NPPIF2=45°,則拋物線的準(zhǔn)線方程是.

_y2

10.（2021?浙江）已知橢圓丁十9=1（〃>匕>0）,焦點尸?（-C,0）,F2（c,0）（c>0）.若過Fi的直

azbz

線和圓（X-L）2+）,2=02相切，與橢圓的第一象限交于點p,且PF21X釉，則該直線的斜率

是>橢圓的離心率是.

三,解答題（共10小題）

X2y22-J21

11.（2023?全國）已知橢圓C：—4-77=l（a>b>0）的離心率為二一,直線y=之交。于A、8兩點，|48|=

a"0"3z

3x/3.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右焦點分別為Q、尸2,過Fi斜率為1的直線交C于G、H兩點，求△尸2G〃的周長.

12.（2022?天津）橢圓[+[=1（a>〃>0）的右焦點尸、右頂點A和上頂點8滿足黑

a2b2\AB\2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點M,與），軸相交于N（N異于M）.記0為坐標(biāo)原點，若|OM=|ON，

且△MON的面積為百，求橢圓的方程.

/y2

13.（2022?北京）已知橢圓E：—4-77=1（a>b>0）的一個頂點為A（0,I）,焦距為28.

a2b2

（I）求橢圓石的方程：

（H）過點P（-2,1）作斜率為女的直線與橢圓E交于不同的兩點8,C,直線4B,AC分別與x軸

交于點M,N.當(dāng)|MN|=2時，求左的值.

3

14.（2022?乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0,-2）,B（-,-1）

兩點.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點P（l,-2）的直線交￡于知，N兩點，過M且平行于工軸的直線與線段A8交于點。

點”滿足茄=前.證明：直線"N過定點.

15.（2022?全國）已知橢圓C的左、右焦點分別為Fi（-c,0）,Fl（c,0）,直線），=空式交。于A,B

兩點，\AB\=2y[7,四邊形AFiBm的面積為4vs.

（1）求。；

（2）求C?的方程.

16.（2022?上海）已知橢圓「：—+y2=l（?>1）,4、8兩點分別為「的左頂點、下頂點，C、。兩點均

在直線/：x=a上，且C在第一象限.

（1）設(shè)尸是橢圓「的右焦點，且求O「的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）若。、D兩點縱坐標(biāo)分別為2、1,請判斷直線4。與直線BC的交點是否在橢圓1'上，并說明理

由；

（3）設(shè)直線A。、8c分別交橢圓「于點P、點Q,若P、Q關(guān)于原點對稱，求|。。|的最小值.

%22\/5

17.（2021?天津）已知橢圓于+==1（a>/>0）的右焦點為F,上頂點為B,離心率為-7-,且|8月=V5.

a2b25

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）直線/與橢圓有唯一的公共點M,與y軸的正半軸交于點M過N與8”垂直的直線交x軸于點P.若

MP〃BF,求直線/的方程.

/y2

18.（2021?北京）已知橢圓氏—+77=1Ca>b>0）的一個頂點A（0,-2）,以橢圓E的四個頂點圍

a2b2

成的四邊形面積為4西.

（I）求橢圓E的方程；

（II）過點尸（0,-3）作斜率為A-的直線與橢圓七交于不同的兩點8,C,直線AB、AC分別與直線

了=-3交于點"、N,當(dāng)IPM+I產(chǎn)MW15時，求k的取值范圍.

19.（2021?新高考H）已知橢圓C的方程為=1右焦點為“（魚，0）,且離心率為不■.

（I）求橢圓C的方程；

（H）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+『=從（x>0）相切.證明：M,N,F三點共

線的充要條件是|MN=V3.

X2y2

20.（2021?全國）設(shè)橢圓G：—4-^-=1Ca>b>0）與y軸正半軸的交點為8,右焦點為E已知8,F

在OC：-2x-2y=0上.

（1）求G的方程；

（2）若直線/過點C,交G于M,N兩點，且C為線段MN的中點，求

為。的上頂點.若84?842=-1，則C的方程為（)

y2X2y2

A.—+-=1B.—+-=1

181698

x2必X2,

c，+—=ID.—+/=1

2

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】首先設(shè)出橢圓方程，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算法則可得橢圓方程.

%2y2

【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為益+

則&(一3m,0),A2(3m,0),8(0,2&m),

由平面向量數(shù)量枳的運算法則可得:

222

BAX-BA2=(-3m,-2x/2m)?(3m,-2\/2m')=-9?n+8m=-1,/./zz=1,

y2

則橢圓方程為U+--=1

98

故選：B.

【力:評】本題主要考杳橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算等知識，屬于中等題.

X?=］的兩個焦點，點M在。上，則呷?|M網(wǎng)的最

3.（2021?新高考I）已知尸I,尸2是橢圓C：—+

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【考點】橢圓的幾何特征；基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維;

運算求解.

【答案】C

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化求解即可.

%2y2

【解答】解：Fi,正2是橢圓C：—十一=1的兩個焦點，點M在。上，|MF1|+|MF2|=6,

94

|M%|+|M七|

所以|Mri|?|M放區(qū)（■）2=9,當(dāng)且僅當(dāng)|MQ|=|MF2|=3時，取等號,

2

所以|MFi|?|A/7切的最大值為9.

故選：C.

【點評】本題考宣橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

工2y2

4.（2021?乙卷）設(shè)B是橢圓C：=+77=1（〃>8>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|W2b,

a2bz

則C的離心率的取值范圍是（）

V21V21

A.[—,1）B.[-,1）C.（0,—]D.（0,-]

2222

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】計算題：方程思想；轉(zhuǎn)化法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：運算求解.

【答案】C

【分析】設(shè)P（xo,.yo）,可得|P8『二-點~詔-2外o+cP+/,yo€[-〃，b],結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

出離心率的取值范圍.

【解答】解：點8的坐標(biāo)為（0,b）,設(shè)P（刈，和）,

則看+舒I,

a2b2

:.XQ=CT(1—

2

2222

故|尸坪=XQ+(jo_b)=a(1-+=—^-Jo-2by^+cr-^b,)x)G[-b,b],

b

h3

又對稱軸和=-^2

,3

當(dāng)一3三一。時，即〃Nc時，

則當(dāng)和=-〃時，|P8|2最大,此時|P陰=2兒

故只需要滿足一4$-力，即廬2c2,則.2-c22c2,

所以e=M冬，

a2

又0<eVI,

V2

故。的范圍為（0,—\,

h3

當(dāng)一時，即力V。時，

則當(dāng)川=一冬時，-砰最大,

44

此時3+a2+b2=b+2戶+C222

匕4

當(dāng)且僅當(dāng)==d即〃=C時等號成立,

又bVc,所以|P8|2>4%又PB|>2b,

故不滿足題意，

綜上所述的e的范圍為(0,—

方法二:根據(jù)題意,有B(0,/?),設(shè)尸(xo,.yo),則|PB|W22就+(卯WY4b2,

也即J(一冬+(和-〃)2<4戶，

不妨設(shè)8=1,則V.voH-1,1],(/?D評+2川?/+320,

也即V.voH-1,1],(>D+1)[(a2-I)yo-/+3]NO,

也即V州[-1,1],(M?1))0-熱320,

從而可得(/-I)(-1)-。2+3200?！?1,y/2],

V2

從而離心率的取值范圍為(0,—

故選：C.

【點評】本題考杳了橢圓的方程和性質(zhì)，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.

x2

5.(2021?乙卷)設(shè)B是橢圓C：三+欣=1的上頂點，點夕在。上，則|尸身的最大值為()

5r-L

A.-B.V6C.V5D.2

2

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】A

【分析】求出8的坐標(biāo)，設(shè)P(代cos。，sine),利用兩點間距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化

求解距離的最大值即可.

x2

【解答】解：B是橢圓C：三+『=1的上頂點，所以8(0,1),

點P在C上，設(shè)尸(述cos。，sin6),6e[0,2ir),

所以|P8|=J(\/5cos0-0)2+(sin0-I)2=74cos?8-2sinJ+2

=\/—4sin20—2sin0+6=J-4(sinB+扔+空,

當(dāng)sin6=-，時，|P8|取得最大值，最大值為|.

故選：A.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能

力，是中檔題.

二,填空題(共5小題)

x2y2

6.(2022?新高考I)已知橢圓C：—+T-=1(a>^>0),C的上頂點為A,兩個焦點為尸i,尸2,離心

azb2

率為;.過尸I且垂直于A尼的直線與C交于。，E兩點，|。￡]=6,則△ADE的周長是13.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】13.

【分析】根據(jù)已知條件，先設(shè)出含。的橢圓方程，再結(jié)合三角形的性質(zhì)，以及弦長公式，求出c的值,

即可求解.

工2y21

【解答】解：???橢圓C：—+77=1(a>b>0)的離心率為；，

a2b22

，不妨可設(shè)橢圓C：-;+—;=a=2c,

4c23c2

VC的上頂點為A,兩個焦點為尸i,F2,

???△A/jPZ為等邊二角形，

???過Q且垂直于A乃的直線與C交于。，E兩點，

kDE=tan30°=孚，

由中垂線的性質(zhì)可得，\AD\=\DFi\,\AE\=\EF2\,

設(shè)直線￡>E方程為y=孚(％+c),D(xi,>,i),E(xz,”)，

將其與橢圓C聯(lián)立化簡可得，13?+gcx-32c2=0,

由韋達(dá)定理可得，工1+乃2=-普，無1%2=-崎-，

2

|。月二52+1%-x2|=yjk+17(^1+X2y-4x^2=Jg+1,J(一各2+H=畏=6,解得

13

。=可

1Q

△4OE的周長等價于|。田+|。心|+|E&|=4a=8c=8x號=13.

故答案為：13.

【點評】本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生很強的綜合能力，屬于中檔題.

X2y2

7.（2022?新高考H）已知直線/與橢圓丁++=1在第一象限交于A,B兩點,/與x軸、軸分別相交

63

于M,N兩點，且|M4|=|NB|,|MM=2V5,則/的方程為x+V2v-272=0.

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)A（xi,yi）,B（X2,）2）,線段48的中點為E,可得koE，kAB=J'為二一'設(shè)直

4+%2X2-X12

線/的方程為：y=kx+m,k<0rm>0,何（―￡,0）,N（。，/〃），可得E（-/，/），koE=-k,進(jìn)

而得出人再利用|皿=26,解得〃?，即可得出/的方程.

【解答】解：設(shè)A（xi,_vi）,B（應(yīng)，”），線段A8的中點為E,

嶗+￥6富菖6

相減可得：4-4=

X2~X12

則叱口尸笨粉腎二yl-yl1

據(jù)-好一一2'

設(shè)直線/的方程為：y=kx+m.k<0,m>0,M（一半，0）,N（0,機(jī)）,

工E（一養(yǎng),—）,:?koE=-k,

-k*k=—解得A=—?

27712

與+血2=26，化為：—+,2=12.

JM

.\3W2=12,/H>0,解得〃?=2.

/./的方程為y=--yx+2?即x+V2y-2x/2=0,

故答案為：x+V2y-2A/2=0.

【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

y2

8.(2021?甲卷)已知尸I,22為橢圓C：77+—=1的兩個焦點，p，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，

164

且|PQI=|Fi正2|,則四邊形PF1QF2的面積為8.

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】判斷四邊形PF1Q也為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.

【解答】解：因為P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=|戶32],

所以四邊形PQQ尸2為矩形，

設(shè)I"尸2|=〃，

由橢IM1的定義可得|PFi|+|P正2==2a=8,

所以nr+2mn+ir=64,

因為|PQ『+|P氏2『=尸]尸2|2=4C2=4(a2-/?2)=48,

即〃/+/P=48,

所以〃?〃=8,

所以四邊形PF\QFi的面積為|PFi||P"2|=m〃=8.

故答案為:8.

【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓的定義，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題.

9.(2021?上海)已知橢圓/+/=1(0V8V1)的左、右焦點為尸I、F2,以。為頂點，也為焦點作拋物

線交橢圓于P，且/PQ正2=45°,則拋物線的準(zhǔn)線方程是尸1-魚.

【考點】橢圓的幾何特征；拋物線的焦點與準(zhǔn)線.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】尸1-衣.

【分析】先設(shè)出橢圓的左右焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線尸F(xiàn)l的方程并與拋物線方程聯(lián)

立，求出點P的坐標(biāo)，由此可得?用_LQ尸2,進(jìn)而可以求出PFi,PP2的長度，再由橢圓的定義即可求

解.

【解答】解：設(shè)Q(-c,0),Fi(c,0),則拋物線＞2=4戊,

公解得…i.

直線PFi：,，=x+c,聯(lián)立方程組

所以點尸的坐標(biāo)為（c,2c）,所以。尸2_1尸尸2,又PF2=與吊=2的所以PF\=2^c

所以P/1+PF2=(2+2V2)c=2a=2,

則c=&一1,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-c=\-y[2,

故答案為：x=1—V2.

【點評】本題考杳了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算推理能力，屬于中檔題.

42y2

I。（2021?浙江）已知橢圓我+記="心〃>°）,焦點為一，0）,尸2（C,0）（00）.若過網(wǎng)的直

線和圓（k表）2+），2=°2相切，與橢圓的第一象限交于點p,且p放Lt軸，則該直線的斜率是手

橢圓的離心率是二

【考點】橢圓的焦點弦及焦半徑.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

i■2V5V5

【答案】—,—.

【分析】由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離與半徑相等，由此可求出直線的斜率上利用斜率與

tan/PQ尸2相等，得到。與c之間的關(guān)系，再求出離心率.

【解答】解：直線斜率不存在時，直線與圓不相切，不符合題意;

由直線過設(shè)直線的方程為），=&（戶c）,

???直線和圓（A-1c）2+）?=C2相切,

???圓心（]c,0）到直線的距離與半徑相等,

化方-O+kc|c,解得A=智,

VF+l

42方■=1,可得夕點坐標(biāo)為P（c,（）,

將A。代入成+

,2

??+匕ZfkVz,2店

?tan/PFR=遙=最=k=丁

a2-c22\[51-e22遍

2ac52e5

店

?e=T-

275Vs

故答案為:

55

【點評】本題考查了橢圓、圓的簡單幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，是

中檔題.

三,解答題（共10小題）

x2y22\[21

11.（2023?全國）已知橢圓C：—+—=l（a>b>0）的離心率為---，直線y=亍交C于4、8兩點，|4B|=

az34

3V3.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右焦點分別為尸1、F1,過Q斜率為1的直線交C于G、H兩點,求△尸2G”的周長.

【考?點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征.

【專題】對應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

%2

【答案】（I）為3+）2=1；（2）12.

【分析】根據(jù)題意可知，?=等，且〃=〃+〃，直線y=交。于A、8兩點，|力8|=36.則A（-察

13V31

-）,B（—,-）,聯(lián)立方程，求解即可；

222

（2）根據(jù)（1）可知，。=3,△產(chǎn)2GH為焦點三角形，求解即可.

X2V22\[2

【解答】解：（1）橢圓C：—+—=1（。>>>0）的離心率為一^—,

即￡=這，且屋="+〃，

a39

則212

4京

Qx28y2

則橢圓C為忘+F=1,

直線y=*交。于A、B兩點,\AB\=3V3.

則A（一挈，，B（等

2222

8x28V2

將其中一點代入；73+F=1,解得，=8,a2=9,從=1,

9czCL

故橢圓C的方程為3+）2=1.

（2）根據(jù)（I）可知，〃=3,

記C的左、右焦點分別為Q、"2,過門斜率為1的直線交C于G、〃兩點，則△放GH為焦點三角形,

故△F2G”的周長為4〃=12.

【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.（2022?天津）橢圓土；+77=1（6/>/?>0）的右焦點F、右頂點A和上頂點B滿足巨斗=—.

a2b2\AB\2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公關(guān)點與），軸相交于N（N異于M）.記。為坐標(biāo)原點，若|OM=|OM，

且△MON的面枳為百，求橢圓的方程.

【考點】直線與橢圓的綜介.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；運算求解.

【答案】（1）e=孚；⑵1+4=1.

【分析】（1）根據(jù)黑建立小人的等式，再轉(zhuǎn)化為小c的等式，從而得離心率e的值；

（2）先由（1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化為f+3），2=。2,再設(shè)直線/為），=履+〃?，聯(lián)立橢圓方程求出點M的坐標(biāo),

再由△=（）及|OM=|OM，且△OMN的面積為V5建立方程組，再解方程組即可得解.

\BF\2

【解答】解：（1）???焉=7^a^=V?3，??a.丁萬3=:

\AB\\/a2+b22a2+b24

22

-

（2〉由（1）可知橢圓為一y+—y=1,

a2絲

3

即7+3『=

設(shè)直線/：）=公+m，聯(lián)立）+3）2=/,消去,,可得：

（3^+1）7+6癡x+（3m2?/）=o,又直線/與橢圓只有一個公共點,

AA=361cm2-4(3^+1)(3/M2-a2)=0,：,3ni1=a2(3正+1),

2

TV-3km..,-3km,m

乂."許’..如=依"+情=際+情=許'

又|OM=1。川，A(Z1^L)2+=RN2,

3r+l3kz+l

V3

解得〃2=1.??&=±

?J3

^u11-3km

又△OMN的面積為彳?|ON|?|%l=J?1刈?I

ZZSK+1

1y/3m2r-

?--------=v3?/?0r=4,

22

又%=等,3m2=/（3必+1）,/.a2=6,廬=2,

x2y2

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+—=1.

62

【點評】本題考橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓相切的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題.

/y2

13.（2022?北京）已知橢圓E—+—=1（a>b>0）的一個頂點為4（0,1）,焦距為26.

azbz

（I）求橢圓E的方程；

（II）過點P（-2,1）作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸

交于點M,N.當(dāng)|“川=2時，求A的值.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】計算題：方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

工2

【答案】（I）—+y2=l；

4

（II）k=-4.

【分析】（I）利用已知和。，b,c的關(guān)系，可得小h,進(jìn)而得到橢圓方程.

（II）聯(lián)立直線與橢圓方程，再利用韋達(dá)定理求出XI+X2,巾?工2,再表示出IMN，化簡即可.

【解答】解：（I）由題意得,

《二行c=?。=2，

，橢圓E的方程為>+7=!.

4

（II）設(shè)過點P（-2,1）的直線為y-1=&（x+2）,B（X1.yi）,C（必”）,

[y-1=k(x+2)

聯(lián)立得％2v2,即(1+49)/+(16F+8k)X+16產(chǎn)+16k=0,

???直線與橢圓相交，.??△=[(16ZT+8Z:)]2-4(1+4必)(16然+16火)>0,?M<0,

2必

由韋達(dá)定理得XI+X2=-——當(dāng)&XI?X2=16+i6k

1+411+4/？

kAR=曠匕1,，直線AB為)=yM+1,

x\xl

同理（三一，）

令y=0,則AM0),N0,

'ifi-yi1一及

???附川=|廣一言尸1三盤的"某餐kf（言-言）

1一月

12(X2-%1)=12“%+匯2)2-492

k(%2+2)(%1+2)k[X1X2+2(X1+X2)+4]

1,16-2+8〃、2_4(16k2+16k)

_21+4憶2)1+4-2_

~'k16d+16左2(1642+8/C)'，

i+4k2i+4k2

2V-64/C1

?戈?［一|=2'.?.K=T

工k=-4.

【點評】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查聯(lián)立法和韋達(dá)定理、方程思想和運算能力，是一道綜合

題.

3

14.(2022?乙卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱釉為K軸、y軸，且過A(0,-2),B(-,-1)

兩點.

(1)求七的方程；

(2)設(shè)過點尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點。

點，滿足啟=花.證明：直線”N過定點.

【考點】橢圓與平面向量.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解.

22

【答案】⑴二X+-v二1；

34

(2)由4(0,—2),8(,,—1)可得線段力B：y=|x-2

“2y2

①若過點P(l,-2)的宜線斜率不存在，宜線x=l.代入刀+―=1,

34

可得M(1.——N(l,將y=一代入y=gx—2,可得T(—而+3,—~^)?得到"

(-2后+5,一緣)求得“N方程：尸(2+竽)％-2,過點K(0,-2).

②若過尸(1,-2)的直線的斜率存在，設(shè)心?-廠(H2)=0,M(xi,戶)，N(xi,必，

此-y-(A+2)=0

聯(lián)立％2y2_,得(3^+4)『-6k(2+k)x+3k(K4)=0,

T+T=1

.—6k(2+k)=一8(2+A)

XY1+Xr2~1^T3k2+4

故有99

.3k(4+k)4(4+4k-2d)

X1X2yty

~^T23必+4

xi>,2+AJ2yi=x\(kxz-k-2)+xz(kx\-k-2)

=kx\xi-kx\-2xi+履1X2-kxi-2x2

=2kx\x2-(k+2)(xi+.v2)

3k(4+k)6k(2+k)

3k2+4--3k2+4

-24k

=9，

3k'+4

—24k

/.X1V2+xVi=-5——(*)，

23k2+4

ry=yi可得T（學(xué)+3,為），"（3,1+6-必，%）,

聯(lián)立2、

3=/一2

KN=(X2,”+2),

KH=(3>'i+6-Ai,),1+2),

又(*+2)(3yi+6-Xi)-X2<y\+2)=-2(xi+x2)+6(戶+*)-xi”-%2yi+3戶)2+12=

6k(2+k)-8(2+A)?+2)<…)4(4±^

-2x+6x+3X+12

3必+43必+4

=.2X^±^+6X^±^—2&X^2+(R2)x鱉地+3、4(4+4廣2/)+]2=0,

3—+43/+43/+43d+43—+4

J",N,K三點共線，故直線”N過點(0,-2),

綜上，可得直線"N過定點（D,-2）.

【分析】（1）設(shè)E的方程為〃1+〃）2=1（/77>0,〃>o且〃?工〃），將43兩點坐標(biāo)代入即可求解；（2）

由40,-2）,8?,-1）可得線段43；、=《X-2,①若過戶（1,-2）的直線的斜率不存在，直線

為x=l,代入橢圓方程，根據(jù)質(zhì)=而即可求解；②若過P（l,-2）的直線的斜率存在，設(shè)日?），-

kx—y—（k+2）=0

（A+2）=0,M（.ri,）“），N（xi,），2）,聯(lián)立/y2,得（3/+4）*-62（2+4）x+3A

h■+彳=i

（&+4）=0,結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)E的方程為〃〃>0且

將4（0,-2）,竭，-1）兩點代入得

m+n=1'

解得m=i.n=i,

%2y2

故￡的方程為E+1；

32

--X-2

(2)由4(0,2，-1）可得線段48：y=3

y2

①若過點尸（1,-2）的直線斜率不存在，直線x=l.代入一+=二1,

34

可得M（1,——N（l,-5—）?將y=—21代入y=—2?可得T>+3,——得到H

(-2V6+5,一竽)求得HN方程：尸(2+孚)無一2,過點K(0,-2).

②若過PQ,-2)的直線的斜率存在，設(shè)區(qū)-廠(k+2)=0,M(xi,yi),N(必”),

(kx—y—(Zc+2)=0

聯(lián)立/2,得(3F+4)^-6k(2+Z)x+3k(R4)=0,

h■+彳y=i

二一8”)

r+r-6k(2+k)

…2-3必+4%3必+4

故有

a4(4+4-2)'

y^2

?3必+43/C2+4

xiy2+x2yi=x\(.lea-k-2)+x2(kx\-k-2)

=kx]X2-kx]-2xi+fcviA?-履2-2x2

=2kx\x2-(Z+2)(xi+x2)

3A(4+k)6k(2+k)

=2k?-a+2)?

3k2+43k2+4

一24k

3必+4,

：.y+xy(*),

Xi22x3M+4

(y=7i3v

聯(lián)立、=會_2,可得7(筌-3,%)，H(3yi+6-%i，%),

J

KN=(myi+2),

—>

KH=(3yi+6-xi?yi+2),

又(”+2)(3yi+6-xi)-X2：)“+2)=-2(xi+x2)+6(yi+”)-x\y2-.^yi+3yiy2+12=

.2X6^+6XZB^±)_2^+(H2)G”"+3二(4+尸)+]2

3k+43k+43k+4

=-2x^i+6x^±i—32)x幽"+3、4(4+4”/)+|2=°,

3『+43K+43K+43d+43〃+4

:.H,N,K三點共線，故直線〃N過點(0,-2),

綜上，可得直線HN過定點(D,-2).

【點評】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

15.(2022?全國)已知橢圓。的左、右焦點分別為R(-c,0),產(chǎn)2(c,()),直線產(chǎn)攀r交。于A,B

兩點，八8|=2夕，四邊形4尸出F2的面積為4國.

(1)求c：

(2)求C的方程.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

%?y2

【答案】（1）V3；（2）—+—=1.

96

【分析】（1）由對稱性知|。4|二夕，不妨取點A在第一象限，先求得點A的坐標(biāo)，再利用四邊形4QBF2

的面積為4