二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

電考點(diǎn)先知

知識(shí)考點(diǎn)

1.等腰三角形的存在性問(wèn)題2.直角三角形的存在性問(wèn)題

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

3.三角形的面積最值問(wèn)題4.平行四邊形的存在性問(wèn)題

篁題型精析

知識(shí)點(diǎn)一特殊三角形的存在性問(wèn)題

特殊三角形的存在性問(wèn)題

2

兩點(diǎn)間的距離公式已知A（yJi）,8（芍，乃），則A5=J3一修產(chǎn)+（>,1->2）.

兩個(gè)一次函數(shù)垂直已知M=Kx+仿，y2=k2x+b2,若兩個(gè)一次函數(shù)互相垂直，則人球2=-1.

一次函數(shù)人的計(jì)算方法已知4K，,），8（芍，為），則您B內(nèi).

西一電

題型一熟悉公式

例1已知4（一2,3）,B（4,I）,

（1）求A、B兩點(diǎn)間的距離；

（2）求A、B所在的一次函數(shù)的太值.

例2已知函數(shù)小y=3x-2,若函數(shù)4：y=與6互相垂直，貝|」&=.

變1已知43,-6）,B（-L-3）,

（1）求A、6兩點(diǎn)間的距離：

（2）求A、8所在的一次函數(shù)的女值；

（3）若一次函數(shù)），=心+力與AB所在一次函數(shù)互相垂直，求A的值.

變2如圖所示,

（1）請(qǐng)寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求AB所在直線(xiàn)的斜率（即&）；

（3）若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求并且滿(mǎn)足AC=PB,求F點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二特殊三角形的存在性問(wèn)題

類(lèi)型一等腰三角形存在性問(wèn)題

等腰三角形亦可用“兩圓一線(xiàn)”的方法.

例1如圖，已知拋物線(xiàn)），=加+法+3經(jīng)過(guò)A（-2,0）,2（4,0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在丁軸上是否存在點(diǎn)使ZXACM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的點(diǎn)例的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AACM的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A=______,C=_______,M=_______,

第二步：求出AACW三邊長(zhǎng)度：AC=__________,AM=__________,CM=__________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)AO4M時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)4M=CM時(shí)，

第四步：得出答案：所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為.

例2如圖，拋物線(xiàn)），=—/+Ox+c與x軸相交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)

C,M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，直線(xiàn)工=1是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，且點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求拋物線(xiàn)的關(guān)系式；

（2）在線(xiàn)段MB上是否存在點(diǎn)P,使△PC。為等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出APCO的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：P=_______，C=_______,D=_______,

第二步：求出APC￡＞三邊長(zhǎng)度：PC=__________,CD=__________,PD=__________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)PGCZ）時(shí)，②當(dāng)PC=PD^i，③當(dāng)CD=PD^i，

第四步：得出答案：所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

變2已知二次函數(shù)y=以一3〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,。），。（。,3）,與工軸交于另一點(diǎn)以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為7）.

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)。

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出APDC的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：P=_______,C=一___，D=_______?

第二步：求出APDC三邊長(zhǎng)度：PC=__________,CD=__________，PD=___________，

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)PC=C。時(shí)，②當(dāng)PC=PD時(shí),③當(dāng)c0二p。時(shí)，

第四步：得出答案：所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________________—?

類(lèi)型二直角三角形的存在性問(wèn)題

例1I如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)），=--+飯+。與X軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線(xiàn)

），=%-6過(guò)點(diǎn)'與），軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).點(diǎn)P是線(xiàn)段。8上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的

垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，交直線(xiàn)8。于點(diǎn)N.

（2）當(dāng)?shù)拿骅鬃畲髸r(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；［。（2,0）1

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第三問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出△QMC的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：Q=_______,M=_______,C=_______,

第二步：求出AQMC三邊的斜率：kQM=__________,kQC=__________,kMC=___________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)kQM.=-1時(shí)，②當(dāng)kQM'々MC=-1時(shí)，③當(dāng)^QC-=-1時(shí)，

第四步：得出答案：所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___________________.

例2拋物線(xiàn)y=/+-+c經(jīng)過(guò)A、8(1,0)、C(0,-3)三點(diǎn).點(diǎn)。為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接A。、AC.BC、

DC.

(2)在)，軸上是否存在一點(diǎn)E,使AAT陀為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

變1如圖，拋物線(xiàn)），=a?+以+2與x軸交于點(diǎn)A。,0）和3（4,0）.

（I）求拋物線(xiàn)的解析式：

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)七，點(diǎn)產(chǎn)是位于上軸上方對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，￡C〃x軸，與對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋

物線(xiàn)交于點(diǎn)C,四邊形。氏/是平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；［62）］

（3）在（2）的條件下，連接OC,x軸上方的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△OCP是直角三角形？若存在，

求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第三問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AOCP的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：O=_______,C=_______,P=_______,

第二步：求出AOCP三邊的斜率：koc=__________,kOP=__________,kCP=__________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)％C?％P=T時(shí)，②當(dāng)％c,dp=T時(shí)，③當(dāng)％PMCP=T時(shí)，

第四步：得出答案：所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________.

綜合與探究:如圖，拋物線(xiàn)），=-*/+竽x_46與無(wú)軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)）.拋

（2）求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)；［2百］

（3）探究在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△8CP為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在.請(qǐng)說(shuō)明理由.

知識(shí)點(diǎn)二鉛錘法求面積最值問(wèn)題

鉛錘法求面積最值問(wèn)題

鉛垂高

已知SMBC=5X水平寬X鉛錘高二萬(wàn)|七f卜以一)j

Z以平寬

【注意】面積最值問(wèn)題也可以用“平移”的方法.

題型三鉛錘法求面積最值問(wèn)題

例1如圖1,拋物線(xiàn)廣④2+以-3交x軸于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)8(-1,0),交y軸于點(diǎn)C.

°2

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)，為直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接/%,PC,求△AC〃面積的最大值；

(3)如圖2直線(xiàn)/為該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，在直線(xiàn)/上是否存在一點(diǎn)M使A8CM為直角三角形，若存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

過(guò)點(diǎn)P做直線(xiàn)產(chǎn)?！?，軸，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)0根據(jù)“鉛錘法*我們需要求出A、C、尸、。四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

第一步：求出直線(xiàn)AC的解析式：力c=，

第二步：設(shè)出尸點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,

第三步：寫(xiě)出A、C、P、。四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A(),C(),P<),Q(),

第四步：根據(jù)“鉛錘法”，寫(xiě)出△4CP的面積：

SSACP=~Z?水平寬,鉛錘高=；.,右一］左卜卜上一>下|=-------------------------，

第五步：根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值：(SM〃)max=.

例2如圖，拋物線(xiàn)產(chǎn)加+公+4經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,作直線(xiàn)4c.

(1)求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)3c的函數(shù)解析式.

(2)。是直線(xiàn)8C上方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求△AOC面積的最大道及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,B,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)

直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

過(guò)點(diǎn)。做直線(xiàn)軸，交直線(xiàn)SC于點(diǎn)E.根據(jù)“鉛錘法*我們需要求出8、C、D.￡四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

第一步：求出直線(xiàn)BC的解析式：,

第二步：設(shè)出。點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為,

第三步：寫(xiě)出B、C、。、E四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：B(),C(),D(),E(),

第四步：根據(jù)“鉛錘法”，寫(xiě)出△BQC的面積：

SMiDC=:?水平寬，鉛錘高=g?k右一工左||上一y下卜-------------------------，

第五步：根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值：(5A^c)max=.

變1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)A,B在x軸上，且O4=OC=4O8,

動(dòng)點(diǎn)?在過(guò)A,B,。三點(diǎn)的拋物線(xiàn)上.

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式.

(2)在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得△B4C的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及

△P4c面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得AACQ是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：做輔助線(xiàn)：,(請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出輔助線(xiàn))

第二步：求出直線(xiàn)4c的解析式：%c=，

第二步：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

第三步：寫(xiě)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：_(),_(),_(),_(),

第四步：根據(jù)“鉛錘法”，寫(xiě)出△陰C的面積：

S.C=3.水平寬?鉛錘高=g?卜右一年|?卜上-y下卜-------------------------,

第五步：根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值：(5"底).的=.

變2已知：如圖，拋物線(xiàn)產(chǎn)辦2+A+C（疔（））與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（（）,6）,8（6,0）,C（-2,0）,

點(diǎn)P是線(xiàn)段人8上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

備用圖

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）當(dāng)△%8的面積最大時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【第二問(wèn)解而

第一步：做輔助線(xiàn)：，（請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出輔助線(xiàn)）

第二步：求出直線(xiàn)A8的解析式：力，

第二步：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

第三步：寫(xiě)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：—（）,一（）,—（）,一（）,

第四步：根據(jù)“鉛錘法”，寫(xiě)出△RAB的面積：

SAAB=g.水平寬,鉛錘高=g?k右-x左|,卜上一yF|=-------------------------，

第五步：根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值：（5^z?）max=.

變3在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)產(chǎn)依2（a>0）的圖象向右平移I個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單

位，得到如圖所示的拋物線(xiàn)，該拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），。4=1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次

函數(shù)產(chǎn)依+。（后0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為。，的面積為5.

（1）求拋物線(xiàn)和一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)上的坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)三平行四邊形的存在性問(wèn)題

題型三平形四邊形的存在性問(wèn)題

例1I如圖,拋物線(xiàn)云+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,o),8(0,3),點(diǎn)P是直線(xiàn)48上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/，作大軸的

垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)例.設(shè)點(diǎn)/，的橫坐標(biāo)為

(2)若點(diǎn)尸在第一象限，連接AM,BM,當(dāng)線(xiàn)段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△A8W的面積；

(3)是否存在這樣的點(diǎn)?，使以點(diǎn)RM,B,O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)產(chǎn)的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2如圖，拋物線(xiàn)與X軸交于A,A兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且。人=1,。8=4,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2).

(1)求拋物線(xiàn)解析式；

(2)在對(duì)稱(chēng)軸/和拋物線(xiàn)上是否分別存在點(diǎn)M,N,使得以A,O,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形，若存在，請(qǐng)更接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變1如圖，已知拋物線(xiàn))，=加+30￥+?。＞0)與x軸交于A、3兩點(diǎn),與〉軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)A在點(diǎn)3左

側(cè)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為為(0,-3).

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)。是4軸上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上矩否存在點(diǎn)E,使以A、C、。、E為頂點(diǎn)且以AC為一邊的

四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

|變2n如圖,拋物線(xiàn)與x軸交于A（N，O），3（盯°）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（O，-5）,其中西，馬是

方程寸-4工-5=0的兩個(gè)根.

（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)M是線(xiàn)段A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN/8C,交AC于點(diǎn)N,連接CM,當(dāng)△CMN的面積

最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)0（4,0在（1）中拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E為拋物線(xiàn)卜.一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在點(diǎn)凡使以A,D,￡,F

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)〃的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

羔課后強(qiáng)化

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=公+c交x軸于點(diǎn)A（T,0）,8（2,0）,交），軸于點(diǎn)C（0,6）,

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使aAEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有。點(diǎn)的坐標(biāo)，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖，拋物線(xiàn).y=-/+〃x+c過(guò)點(diǎn)人、B,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)。，直線(xiàn)，=—+3與x軸交于點(diǎn)B,

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

3.平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=a(x-1)2+?與x軸交于4,8(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A,。的坐標(biāo)；

(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△ACP是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c交大軸于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8(3,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物

(I)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(2)若點(diǎn)E為該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)r為直線(xiàn)AO上的點(diǎn)，若律〃x軸，且所=1(點(diǎn)￡在點(diǎn)尸左側(cè)),

求點(diǎn)E的坐標(biāo)：

(3)若點(diǎn)尸是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得△A/7)為直角三角形？若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由；若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo).

5.如圖，已知二次函數(shù))，=公2+-+3的圖象交工軸于點(diǎn)4(1,0),以3,0),交)，軸于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線(xiàn)8c的表達(dá)式；

(3)點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，求aBCP面積的最大值.

4

6.如圖，已知直線(xiàn)y=§x+4與x地交于點(diǎn)4,與)，軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)+區(qū)+。經(jīng)過(guò)4,C兩點(diǎn)，且

與I軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)4-1.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)。是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為，〃.求四邊形ABCO的面枳S的最大值及此時(shí)

。點(diǎn)的坐標(biāo).

7.如圖，拋物線(xiàn)y=-f+云+c與工軸相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與），軸相交于點(diǎn)C,M是

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，直線(xiàn)x=l是拋物線(xiàn)的時(shí)稱(chēng)軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求拋物線(xiàn)的關(guān)系式；

（2）已知尸為線(xiàn)段施上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)夕作軸于點(diǎn)。.若PD=M,△/<￡）的面積為S.

①求S與，〃之間的函數(shù)關(guān)系式.

②當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，在線(xiàn)段MB上是否存在點(diǎn)P,使APCQ為等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出滿(mǎn)足

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.如圖所示，拋物線(xiàn)y=F+幾+c交x軸于A8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），交》軸于點(diǎn)C（。,-3）,已知43=4,

對(duì)稱(chēng)軸在>軸左側(cè).

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸上，則拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)“，使得點(diǎn)AO,MM構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

9.如圖，拋物線(xiàn)＞=一/+以+。與x軸交于A（1,O）,3（—3,0）兩點(diǎn)，與），釉交于點(diǎn)C,P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上時(shí)，求JBC的最大面積，并直接寫(xiě)出此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，以仇C,P,M為頂點(diǎn)、為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能,

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1（）.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尸加+區(qū)+2的圖象與x軸交于4-3,0），8（1,0）兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)F是直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上?動(dòng)點(diǎn)，設(shè)三角形AFC的面積為S,求S的最大值及S取得最大值

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以A、C、M、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

?考點(diǎn)先知

知識(shí)考點(diǎn)

1.等腰三角形的存在性問(wèn)題2.直角三角形的存在性問(wèn)題

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

3.三角形的面積最值問(wèn)題4.平行四邊形的存在性問(wèn)題

攪題型精析

知識(shí)點(diǎn)一特殊三角形的存在性問(wèn)題

特殊三角形的存在性問(wèn)題

兩點(diǎn)間的距離公式已知4項(xiàng)，力)，B(X2,.V2),則48=)(為一法尸+(力一%)2.

兩個(gè)一次函數(shù)垂直已知y2=k2x+b2,若兩個(gè)一次函數(shù)互相垂直,則匕出=一］.

一次函數(shù)2的計(jì)算方法已知4(X］，＞1),8(七，乃)，貝|J.

為一期

題型一熟悉公式

例1已知4—2,3),僅4,1),

(1)求A、B兩點(diǎn)間的距離；

(2)求A、B所在的一次函數(shù)的&值.

例2已知函數(shù)小y=3x-2,若函數(shù)￡)，=匕+匕與丸互相垂直，則

k=.

變1|已知43,-6),B(-L-3),

(1)求A、3兩點(diǎn)間的距離；

(2)求4、3所在的一次函數(shù)的&值：

(3)若一次函數(shù)丁=履+人與A/3所在一次函數(shù)互相垂直，求A的值.

變2如圖所示,

（1）請(qǐng)寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求A3所在直線(xiàn)的斜率（叩女）；

（3）若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求并且滿(mǎn)足4GPB,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二特殊三角形的存在性問(wèn)題

類(lèi)型二等腰三角形存在性問(wèn)題

藕三角形亦可用“兩圓一線(xiàn)”的方法.

例1如圖，已知拋物線(xiàn)），=?+法+3經(jīng)過(guò)A（-2,0）,4（4,0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)使△ACM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足

要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AACM的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A=,C=,M=

第二步：求出AACM三邊長(zhǎng)度：AC=__________，AM=__________,CM=___________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)4G4M時(shí)，②當(dāng)AGCM時(shí)，③當(dāng)AM二CM時(shí)，

第四步：得出答案：所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（l）y=*+；.+3

84

⑵符合條件的點(diǎn)例的坐標(biāo)有：（0,3+713）,（0.-3）,（0,3-713）

【分析】（1）把人（-2,0）,鞏4,0）代入拋物線(xiàn)），=奴2+日+3,待定系數(shù)法求解析式即可求

解；

（2）求得。點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)M（0,?。?，進(jìn)而分類(lèi)討論①當(dāng)AC=,②C4=CM,③MC=M4,

根據(jù)勾股定理即可求解；

【詳解】（1）解：把A（-ZO）,8（4,0）代入拋物線(xiàn)），=加+法+3得：

__3

4。-3+3=0"-8

L"°C,解得：」，

b=—

4

qa

則拋物線(xiàn)的解析式是：y=-]/+；x+3；

84

33

（2）由＞'=—x~H—x+3,

84

當(dāng)。=0時(shí),y=3,則C（0,3）,

???A（-2,0）,

,AC?=2?+32=13,

設(shè)M（0,6），則CM2=（/%_3）2,AM*2=*4822+m2

如圖I,

①當(dāng)=時(shí)，13=22+/H2，

解得：ni=3（舍去）或〃?=一3,

②當(dāng)。=CM時(shí)，13=（〃L3『，

解得：/〃=3-或+3

③當(dāng)MC=M4時(shí)，（/W-3）=22+7H2,

解得：加一?

6

綜上所述，符合條件的點(diǎn)”的坐標(biāo)有：（o［）,（0,3+至），（0,-3）,（0,3-713）

例2如圖，拋物線(xiàn)y=-d+法+?.與x軸相交于A,B兩點(diǎn)、（點(diǎn)A位于點(diǎn)8的左側(cè)）,

與y軸相交于點(diǎn)C，M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，直線(xiàn)x=l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0.3）.

（2）已知。為線(xiàn)段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作夕。_Lx軸于點(diǎn)D.若PD=m,的面

積為S.

①求S與，〃之間的函數(shù)關(guān)系式.

3

②當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).I嗎，3）］

（2）在（2）的條件下，在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)P,使△尸C。為等腰三角形？如果存在，

直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第三問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出APC/）的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：P=，C=,D=,

第二步：求出APCD三邊長(zhǎng)度：PC=__________,CD=__________,PD=___________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)PGCO時(shí)，②當(dāng)PC=PD時(shí)，③當(dāng)CD=PD時(shí)，

第四步：得出答案：所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】（1）〉，=4+2X+3

⑵①一—!2+|W(0<W<4)；②嗚3,3

2

(3)存在，(-6+36,18-6。)或(4-6,-2+2")

【分析】（1）點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求c的值，由對(duì)稱(chēng)軸可求b的值，即可求解；

（2）①先求出點(diǎn)M,點(diǎn)A,點(diǎn)3的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求8M解析式，由三角形的面

積公式可求解：②利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

（3）分三種情況討論，利用兩點(diǎn)距離公式列出方程可求解.

【詳解】（1）解：?.?直線(xiàn)》=1是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（。,3）,

b

93,一而不=1,

：.h=2t

二拋物線(xiàn)的解析式為：y=-/+2x+3；

(2)解：?Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4

???M(l,4).

???令y=O-+2x+3=0,

解得為=3,工2=-1,

???A(-l,0).B(3,0).

???點(diǎn)”(1,4),點(diǎn)3(3,0),

:.直線(xiàn)BM的解析式為丁=-2x+6.

???點(diǎn)P在直線(xiàn)8W上，且P力_Lx軸于點(diǎn)。，PD=m,

???點(diǎn)P3-今,陽(yáng)卜

\.乙）

m

?q-PDOD=-rf：x\3--

222)42

i3

???S與〃?之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-w/+1皿°<〃?工4)；

②S=-/7Z24--/7Z=-(7H-3)2+—

4244

9

當(dāng)〃?=3時(shí)，，S有最大值為了，

4

此時(shí)/>￡）="?=3

3

把），=3代入y=_2x+6,得x

工當(dāng)〃?=3時(shí)，S有最大值為，此時(shí)限,31?

412J

（3）解：存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-6+3正』8-6"）或（4-近,-2+2近）.

理由如下：

設(shè)P（f,6-2）,則C（0,3）,D（r,O）,

所以|叫=|6-2|,

\CD\=\lr+9,

\PC\=J『+（3_2/1=/5C-⑵+9,

若歸力|=|6|,即|6_2/|="有，

解得/=4-療（4+療舍去），

所以點(diǎn)尸（4一行,—2+2"）；

若|叫=|P。，即|6—2/|=，5/一12什9,

解得，=-6+3"（-6-3"舍去），

所以點(diǎn)P（-6+3",18-63）；

若|m|=|PC|,即必石=^5產(chǎn)一1269,

解得f=0或，=3,均不合題意，故舍去，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6+3/,18-6>/7）或（4-近,-2+2萬(wàn)）.

|變11如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)），=f+hx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（L0）和點(diǎn)B,與），軸

交于點(diǎn)。（0,3）,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與X軸交于點(diǎn)。.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式：

（2）在y軸I.是否存在一點(diǎn)P,使aPBC為等腰三角形？若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AP8C的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：P=_______,B=_______,C-______,

第二步：求出AP3C三邊長(zhǎng)度：PB=__________,PC=__________，Btc=________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)PB=PC時(shí),②當(dāng)P8=8C時(shí)，③當(dāng)PC=BC時(shí)，

第四步：得出答案：所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】⑴尸/一4工+3

(2)存在,(0,3+3揚(yáng)或(0,3-3&)或(0,-3)或(0,0)

【分析】(1)代入41.0)和0(0.3),解方程組即可；

(2)求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到8C,當(dāng)aPBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行

討論：①CP=CB：②BP=BC：?PI3=PC.

【詳解】(1)解：把41。和。(。,3)代入)，=/+尿+。，

1+b+c=0

'c=3

解得：匕=4c=3,

???二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=r-4x+3：

(2)令y=0,貝U-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

???8(3,0),

/.BC=3叵,

點(diǎn)戶(hù)在V軸上，當(dāng)aPBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖，

①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=30

/.OP=OC+PC=3+3叵或OP=PC-OC=3品-3

.?.6（0,3+3&）,8（0,3-3a）；

②當(dāng)5P=8C時(shí)，0P=0C=3,

???4（0,-3）；

③當(dāng)P8=P。時(shí)，

?;0C=0B=3

.?此時(shí)P弓。重合，

???巴（（）,（））；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0,3+3人）或（0,3-3人）或Q-3）或（0,0）.

|變2］已知二次函數(shù)戶(hù)+灰一3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,0）,C（0,3）,與工軸交于另一點(diǎn)8,拋

物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得△P0C為等腰三角形？若存在，求出

符合條件的點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第二問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出APDC的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：P=_______，C=_______,D=_______,

第二步：求出APDC三邊長(zhǎng)度：PC=__________,CD=__________,PD=___________,

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)PGCD時(shí)，②當(dāng)PC=PD時(shí)，③當(dāng)CD=PD時(shí)，

第四步：得出答案：所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________.

【答案】（l）y=-A-2+2x+3

（2）存在，（乎，呼）或（2,3）

【分析】(1)將A(-1,O)、8(0,3)代入二次函數(shù))，=°*+瓜一34求得。、〃的值即可確定二次

函數(shù)的解析式；

(2)分以C。為底和以CD為腰兩種情況討論.運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱

坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線(xiàn)解析式即可求解.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù))=以2+法-3〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,0)、C(0,3),

a-b-3a=0

二根據(jù)題意，得

-3a=3

解得L〃=今一］，

b=2

???拋物線(xiàn)的解析式為>>=-x2+2x+3.

(2)存在.

)，=-丁+21+3對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)工=1.

①若以CD為底邊，則［0=6。，

設(shè)耳點(diǎn)坐標(biāo)為“?)，根據(jù)勾股定理可得叩2=衣+(3-4,叩J(AIR(45,

因此f+(3-),)2=(X-1)2+(4一),)2,

g|Jy=4-x.

又［點(diǎn)（乂y）在拋物線(xiàn)上,

/.4-x=-x2+2x+3>

即f-3x+l=0，

解得再=檸6

應(yīng)舍去,

3+75

/.x=-------，

2

5-"

y=4-x=

2

3+6

即點(diǎn)R坐標(biāo)為(?5-75

~1~丁.

②若以C。為一腰,

???點(diǎn)2在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)鳥(niǎo)與點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)工=1對(duì)稱(chēng),

此時(shí)點(diǎn)八坐標(biāo)為(2,3).

二?符合條件的點(diǎn)夕坐標(biāo)為I印'與鳥(niǎo)或(23).

類(lèi)型二直角三角形的存在性問(wèn)題

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-/+灰+。與x軸交于點(diǎn)人，B,與y軸

交于點(diǎn)C,直線(xiàn)y=工-6過(guò)點(diǎn)B,與），軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).點(diǎn)尸是線(xiàn)段

0B上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,交直線(xiàn)8。于點(diǎn)M

（2）當(dāng)△"￡）笈的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：［/2,。）］

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第三問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AQMC的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：Q=_______,M=_______,C=_______,

第二步：求出△QMC三邊的斜率：kQM=__________,kQC=__________,kMC=___________,

第三步：分類(lèi)討論：

。當(dāng)kQMQC=-1時(shí)，②當(dāng)=一1時(shí)，③當(dāng)%C《“C=T時(shí)，

第四步：得出答案：所以。點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________________.

【答案】⑴>7+5工+6

(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0)

(3)存在.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(012)或(0T)或(0.4+2/可或僅,4-2A)

【分析】(1)根據(jù)直線(xiàn))，=%-6過(guò)點(diǎn)8,D,可求出B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)C的坐

標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)把ZWDB的面積看成S△皿8=S"+S,ND即可求出答案；

(3)分三種情況：①當(dāng)NQWN=90。時(shí)，②當(dāng)NQNM=90。時(shí)，③當(dāng)NMQN=90。時(shí).

【詳解】(1)解：(1)???直線(xiàn)y=x-6過(guò)點(diǎn)R。，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)D在)，軸上，

令廣。，得x=6,令x=0,得了=-6,

???8(6,0),。(0,-6),

丁點(diǎn)C和點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為。(0,6)

???拋物線(xiàn)y=-丁+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)C,

0=-36+6Z?+c佑=5

**?V，解得4u，

6=cc=6

:,拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為)，=-/+5x+6.

(2)解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(，〃,0),

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(小,->-5〃?+6)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，幾加一6),

MN=-nr+5m+6—+6=-nr+4m+12>

?*,S.MDB=S&MNB+S&MND=_MN,OB=-x+4"i+12)x6

=-3m2+12ni+36=-3(w-2)2+48,

V-3<0,

當(dāng)〃2=2時(shí)，S3MDB慢大=48，

此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,0).

(3)解：存在.

當(dāng)"?=2時(shí)，-nr+5m+6=-22+5x2+6=12，

???M(2,12),

當(dāng)〃?=2時(shí)，/w-6=2-6=M,

???N(2,-4),

???△QMN是直角三角形，

???分三種情況：

①當(dāng)NQMN=90。時(shí)，QM〃x軸，

???Q,M(2,12)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，

???2(0,12)；

②當(dāng)NQMW=90。時(shí)，Q/V〃x軸，

???Q,N(2,-1)兩點(diǎn)的縱M標(biāo)相同，

???0(0,-4)；

③當(dāng)NMQV=9O。時(shí)，

設(shè)Q(0，〃)，則QM'QN'MM,

VA/(2,12),N(2,-4),

J2=(0-2)2+(w-12)2=z?2-24/z+148,QN2=(0-2)2+(w+4)2=z?2+8/?+20,

MN2二(2-2『+(12+4)2=256,

AW2-24?+M8+n2+8〃+20=256,

解得：9=4+2屈,%=4-2/，

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,4+2屏)或(0,4-2岳)，

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,12)或(0T)或(0,4+271可或(0,4-2j團(tuán).

例2|拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)48(1,0)、。(0,-3)三點(diǎn).點(diǎn)。為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連

（1）求拋物線(xiàn)的解析式;

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)E,使石為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)后的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴.y=/+2x-3；

（2）存在，符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（。，1）或（。，-9或（0，-1）或（0，-3）.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）分三種情況：ZE4P=90°,ZADE=90°,NAEQ=90。討論即可.

【詳解】（1）解：???y=/2+灰+c經(jīng)過(guò)B（l,0）、C（O,-3）,

i+Z?+c-=0b=2

c=-3，解得

「=一3

2

，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x+2x-3;

（2）解：在y軸上存在點(diǎn)E,使VA國(guó)為直角三角形，理由如下:

;拋物線(xiàn)的解析式為y=f+2x—3=（x+l1一4,

:.D（-b-4）,

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，機(jī)），

AAE2=nr+9,DE2=nt2+Sm+\1,AD2=20,

當(dāng)NE4O=90°時(shí)，有A爐+A￡）2=O爐，

，"產(chǎn)+9+20=〃，+8"?+17，

3

解得m=:,

???此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（o，￡|;

當(dāng)ZAPE=900時(shí)，O￡：2+4O2=AE2,

ni~+Sin+17+20=m~+9.

7

解得加=-5，

?，.此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-g）；

當(dāng)ZAED=90。時(shí)，AE2+DE2=AD\

府+9+m2+8/n+17=20?

解得m=-1或m=-3,

，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-1）或（0,-3）.

綜上所述，符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（。，￡|或（0，-或（0，-1）或（。，-3）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)產(chǎn)是位于x軸上方對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C〃x軸，與

對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C,四邊形OEC廠(chǎng)是平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：［（5,2）］

（3）在（2）的條件下，連接OC,x軸上方的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△Ob是直角

三角形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【第三問(wèn)解答】

第一步：寫(xiě)出AOCP的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：O=_______,C-______p=______9

9

第二步：求出AO"三邊的斜率：koc=______----，k()p=一」kep=__________

第三步：分類(lèi)討論：

①當(dāng)心C?％P=T時(shí)，②當(dāng)句C-％CP=T時(shí)，③當(dāng)％p/cp=—l時(shí)，

第四步：得出答案：所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____—

【答案】(Dyu/x—gx+Z

(2)C(5,2)

2+V29

⑶點(diǎn)P(消或

【分析】(1)把點(diǎn)4(1,0)和8(4,0)代入,，=d+灰+2,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)解析式配方得出x=，,E^，0)，根據(jù)四邊形OEC”是平行四邊形，可得

FC=OE=g得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式即可求解；

^①當(dāng)點(diǎn)0是直角頂點(diǎn)^^^過(guò)點(diǎn)^作^^,儀：十點(diǎn)。，交對(duì)稱(chēng)軸十點(diǎn)片，則NOCq=90。

過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)CM_Lx軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)片作尸NJ.CW于點(diǎn)N,證明△<NCS^CM。，設(shè)

6^，。］，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出&=±三，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)求得〃；②當(dāng)點(diǎn)4是直角

12)CMOM

頂點(diǎn)時(shí)，連接。鳥(niǎo)，CP一則N。6c=90。，得出巴力是Rl△。鳥(niǎo)C斜邊。。的中線(xiàn)，即可求

解.

【詳解】(1)解：把點(diǎn)A(l,0)和8(4,0)代入y=o?+加+2

a+b+2=0

得《

16。+4。+2=0

1

a=-

2

解得.

???拋4勿線(xiàn)的解析式為y=g/-|x+2；

???拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)E仔0)

2U)

四邊形OEb是平行四邊形

FC=OE=-

2

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是：x2=5

2

?.?點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上/.y=^52|?52=2

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)是(5,2)；

(3)①當(dāng)點(diǎn)。是直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作CR^OC于點(diǎn)C,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)4,則NOCR=90。

過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)