2024-2025學(xué)年江蘇省部分高中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)%=1,且%+i=^+3（?iWN*）,則這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是（）

A.yyB.yyC.yyD.3

2.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為、=bx+a,則下列結(jié)論不正確的是（）

X23456

y4.02.5-0.50.5-2

A.a>0B.b<0

C.4b+a=0.9D.預(yù)計(jì)％=7時(shí)，y2

3.直線義-y-2=0關(guān)于直線，：3x-y+3=0對(duì)稱的直線方程是（）

A.7x+y+22=0B.7x-y+22=0C.4x-y4-1=0D.4x4-y+1=0

4.在1和7之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.若這77i個(gè)數(shù)中第1個(gè)為居第m個(gè)為y,則工+至

“y

的最小值是（）

A.；9B.4C.3D.9；

24

5.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中

一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.300B.360C.390D.420

6.已知雙曲線C：妥9=1的一條漸近線I與橢圓E：各《=1（。>匕>0）交于48兩點(diǎn)，若田1%1=

|43］（尸1，?2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（）

A.73-1B.V3+1C.粵D.要

7.若圓/+y2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)（a,1）的距離為3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.（-2/6,2/6）

C.（-1,0）U（0,1）D.（-2/6,0）U（0,276）

8.已知曲線當(dāng)1+歲=1,P（&,yo）是曲線E上任意一點(diǎn)，貝J|代不+y（）l的最大值為（）

A.孕B.孚C.715D.730

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁，共16頁

9.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和S“二2九2一11九(九￡V)，貝|J()

A.該數(shù)列的公差為4B.a”=21

C.%有最小值一15D.S”有最小值一號(hào)

10.已知函數(shù)/'(%)=(4%—1>2=即+的無+a2%2+...+則()

3

A.a3=4xCl2B./(x)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C%

C.旬十。2十。3十…十?12=312D./'(5)的個(gè)位數(shù)字是1

11.已知拋物線r：/=4y的焦點(diǎn)為F,過戶的直線k交r于4(%1，%),鞏%2，%)兩點(diǎn)，r在點(diǎn)B處的切線為5

過/作與%平行的直線%,交r于另一點(diǎn)。(與，丫3)?記l與y軸的交點(diǎn)為0,則()

A.為乃=2B.,X2>%3成等差數(shù)列

C.粽|=1D.△力8C面積的最小值為16

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線2%-少一2=0?￡/?)與％+2、+3=0垂直，則亡=____.

13.已知橢圓?+y2=i的焦點(diǎn)為片，P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若4F】P4是銳角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值

F2,

范圍是______.

n

14.已知數(shù)列｛an｝滿足%+1+(-l)an=2n-l(neN)且其前62項(xiàng)的和為1885,則。62=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知圓C：x2+y2=4,直線［過點(diǎn)4(一2,1).

(1)當(dāng)直線1與圓C相切時(shí)，求直線/的方程；

(2)設(shè)線段的端點(diǎn)、8在圓C上運(yùn)匆，求線段48的中點(diǎn)M的軌跡方程.

16.(本小題15分)

隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化

消費(fèi)空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費(fèi)者的年齡分布，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，得到如下列聯(lián)

表：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)

是微短劇消費(fèi)者3045

不是微短劇消費(fèi)者

合計(jì)100200

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(1)根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)？

(2)記2020?2024年的年份代碼工依次為1,2,3,4,5,下表為2020?2023年中國(guó)微短劇市場(chǎng)規(guī)模及2024

年中國(guó)微短劇預(yù)測(cè)的市場(chǎng)規(guī)模y(單位：億元)與4的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份代碼無12345

市場(chǎng)規(guī)模y9.436.8101.7373.9m

根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=132.71%-192.85,求相關(guān)系數(shù)r,并判斷該經(jīng)臉回歸方程

是否有價(jià)值.

n(ad-bc)2

參考公式:參=其中？i=Q+b+c+d,z.05=3.841.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'0

回歸方程、=。+雙，其中心嗎尸廠弋”，/IO?3.16,IxL(yi-y)2=442.03,相關(guān)系數(shù)丁=

%=1(々一%)￥

￡屋(:_.若|r|N0.75,則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值.

J￡乜1(芍-x)2J(y~y)2

17.(本小題15分)

已知S”為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，%=1,且%=Sa+n(n>2且nGN)

(1)證明：｛斯+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式;

(2)若,記T為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,求證:3T>2.

an，an+lnn

18.(本小題17分)

1尢+1

已知數(shù)列｛6｝和｛九｝,數(shù)列出“｝的前n項(xiàng)和Sn=〃2,an=(1)—(ne/V-),數(shù)列｛品｝滿足c”=斯?b”.

(1)求證：數(shù)列｛九｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和Tn；

(3)若金<TH對(duì)一切九6N”恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知。為雙曲線E：,一言=1(。>0,8>0)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)(心/1)在E上，且E的離心率為2.

(1)求雙曲線E的方程.

(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的的直線I交E的右支于4B兩點(diǎn)，△4BD的外心為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段0M所在直

線斜率為七.

①求證：直線和直線8D的斜率之積為定值；

部探求心和心的關(guān)系，并說明理由.

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結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)，得0+45。=2a,

3

所以tan/?=tan(2a-45°)=]+(%)[=一7,即對(duì)稱直線的斜率k=tanp=-7,

結(jié)合點(diǎn)P在對(duì)稱直線上，可得對(duì)稱直線方程為y+￡=-7(%+5)，即7x+y+22=0.

故選:A.

求出兩條直線的交點(diǎn)羨)，可知對(duì)稱直線經(jīng)過點(diǎn)P,然后根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合兩

角和與差的正切公式求出對(duì)稱直線的斜率，進(jìn)而求出對(duì)稱直線的方程.

本題主要考查直線的方程、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)公式等知識(shí)，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解:在1和7之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

由等差數(shù)列的性質(zhì)得％4-y=l+7=8,且l<%VyV7,

M.I1,251/,、/1,25、1，25x,y、、1I25xy.9

則一H=wQ+y)(-H)=77(26H---------F-)>-(26十o2/-------)=

xy8、/八xyJ8、yxJ8、7yx2

'_4

當(dāng)且僅當(dāng)y=5x,即/飛。時(shí)取等號(hào)，即的最小值是去

Z=T

故選：4

由題意可得x+y=8,利用基本不等式1的代換，可求B的最小值.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：當(dāng)5個(gè)人中有3個(gè)人被錄用，

則不同的錄用情況種數(shù)是用=60；

當(dāng)5個(gè)人中有4個(gè)人被錄用，

4c

則不同的錄用情況種數(shù)是以吊a=180；

當(dāng)5個(gè)人中全部被錄用，

c|cQc

則不同的錄用情況種數(shù)是名■"+當(dāng)“=150,

Aj0司0

則不同的錄用情況種數(shù)共有60+180+150=390.

故選：C.

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由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題求解.

本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題，屬中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由己知，雙曲線C的漸近線方程為y=±JWx，不妨設(shè)I的方程為y二衣，

由|AB|=IF/2I=2c,440%=60。，所以△力。七為等邊三角膨，力（5，*），

代入橢圓方程，得卷+器=1，又02—82=02,

故4+4（；、2）=1'解得/=4一2/"，（e2=4+2/9舍去），所以e

故選：A.

由題意不妨設(shè)，的方程為y=Cx，根據(jù)題意可得A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，進(jìn)而計(jì)算可求得橢圓的離心率.

本題主要考查求橢圓的離心率，屬于中檔題.

7.【答案】0

【解析】解：若圓/+/_4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)（a,1）的距離為3,

圓X2+產(chǎn)=4的圓心為。（o,o）,半徑為丁=2,

設(shè)圓（％-a）2+（y—I）2=9,

由題意，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相交，所以3—2<|不？<3+2,

解得0VQ2V24,g|J-2<6<Q<0或OVQV2A.

所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（一2五,0）U（0,2\<6）.

故選：D.

問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交，進(jìn)而可得3-2VQTTV3+2,求解即可.

本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：當(dāng)xvO,y>0時(shí)，一。+4=1，

36

則曲線E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線在第二象限的部分，

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當(dāng)0,y>0時(shí)，—+^=1，

36

則曲線E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓在第一象限的部分，

當(dāng)x>0,y<0時(shí)，'一』=1，

36

則由線E表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線在第四象限的部分，

當(dāng)x<0,yVO時(shí)，一號(hào)一4=1，方程無解，不表示任何圖象,

36

因?yàn)镮門無°+必1可看成是點(diǎn)P(%o，y。)到直線Gx+y=o的距離的兩倍，

由圖可知，點(diǎn)P(3,yo)在橢圓上時(shí)，距離最大，

'設(shè)P-cos仇yT^sin。),

此時(shí)4-y0=3cos3+\T6sin3=V_15sin(0+辦其中tan?=芽，

所以+y0\max=/15?當(dāng)sin(6+*)=1時(shí)，等號(hào)成立,

則+y0|的最大值為百百

故選：C.

分類可得曲線軌跡，利用|門勺+必1可看成是點(diǎn)P。。，尢)到直線+y的距離的兩倍，當(dāng)點(diǎn)尸(的,小)在橢

圓上時(shí)距離最大，利用三角代換可求最大值.

本題考查凱跡方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因?yàn)镾n=2n2-iiMnwN"),

S1=a[=2—11=—9,

當(dāng)九工2時(shí)，SnT=2(n-l)2-ll(n-1)=2n2-ISn+13,

22

得/=Sn-Sn_i=(2n-lln)-(2n-15n+13)=4n-13(n>2),

檢驗(yàn)的=-9符合上式，所以%=4n-13,

對(duì)于4d=—an=4(n+1)—13—4n4-13=4,選項(xiàng)4正確；

對(duì)干B,an=4x11-13=31,選項(xiàng)3錯(cuò)誤：

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對(duì)于C,根據(jù)=2/-11〃=2(九一個(gè))2-號(hào)(〃€N*),

當(dāng)71=3時(shí)，S”有最小值S3=2x9-11x3=-15,選項(xiàng)C正確，。錯(cuò)誤.

故選:AC.

利用“、Sn關(guān)系先求出通項(xiàng)公式，由此判斷選項(xiàng)力、B,再利用數(shù)列函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)。、D.

本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

rr

【解析】解:A：(4X-1>2的展開式的通項(xiàng)為77+1=。2(4%)12-「?(-l)=(-l)-412T.Cr2?x12-rr=

0,1.2,...,12,

令r=9,可得爐的系數(shù)為Q3=(-1)3.43.《2=-43XC；2，故力錯(cuò)誤；

B：二項(xiàng)式的展開式共有13項(xiàng)，可知第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的最大，最大值為《2,故8正確；

C:令X=0,可得。0=1；令％=1,可得劭+Q[+…+。12=3"；

所以田+。2+…+。12=312-1,故C錯(cuò)誤；

D：因?yàn)?*(5)=(20-I)]?，

且(20-1嚴(yán)的展開式的通項(xiàng)為了什1=鑿2?2012-A.(-1)A,k=0,1,2,…,12,

可知當(dāng)k=0,1,2,…，11,7\+1均為20的倍數(shù)，即個(gè)位數(shù)為0,

當(dāng)A=12時(shí)，7\3=1，所以/(5)的個(gè)位數(shù)字是1,故。正確；

故選：BD.

對(duì)于4根據(jù)二項(xiàng)展開式分析求解；對(duì)于&根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：利用賦值法，令％=0、

x=1即可得結(jié)果；對(duì)于D：因?yàn)閒(5)=(20-1>2,結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解:如圖:

根據(jù)題知?(0,1)，直線匕，%的斜率存在.

V=kx+1

,2/，化簡(jiǎn)得/一4kx-

{=4y

4=0,

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根據(jù)韋達(dá)定理可得=-4,Xi+x2=4k,

因此月丫2=丘?它=且=1，所以選項(xiàng)力錯(cuò)誤.

八4416

對(duì)于選項(xiàng)8，由于函數(shù)y=3,因此導(dǎo)函數(shù)y'=會(huì)因此拋物線E在點(diǎn)8處的切線％的斜率為六2，

因此直線，3：y-yi=T（X-X1）,即丁=奪無+7+2.

1

聯(lián)立，=2犯'+力+2,化簡(jiǎn)得/一2切工一4月一8=0,

x2=4y

因此與+x3=2X2，因此選項(xiàng)8正確.

對(duì)于C,由b：丫=多X+乃+2,令％=0,得'=月+2,所以D（0,yi+2）.

又|。尸|=+1,/ri=乃+1,故C正確.

222

對(duì)于D，|/18|=V1+/c?%-x2\=V14-Zc-J（巧+M）?一軌1%2=4（1+k）.

2

結(jié)合圖象口J知，Xi=2（k+VPTT），x2=2（/c-V/c+l）?

I22

又由必+x3=2%2，得％3=2X2-%=2/c-6Vk?+1，y3=10k-6/cVk+1+9，

所以點(diǎn)C到直線48的距離d=■2-6雙4一坐2+6代5-9+1」=8GTT,

7fc2+i

所以Sf8c=14（攵2+1）*8，西萬=16（憶2+1放之16，當(dāng)且僅當(dāng)k=°時(shí)等號(hào)成立，故Z）正確?

故選：BCD.

4選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)直線。的方程為y=〃x+l,聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，從而

求出力丫2=1；

8選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到切線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到/+與=2無2；

C選項(xiàng)，求出D（0,九+2）,|D用=力+1,結(jié)合焦半徑公式求出［4/q=yi+l,C正確；

。選項(xiàng)，弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，表示出△ABC的面積，從而得到面積最小值.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于難題.

12.【答案】1

【解析】解：???直線2%-ty-2=0?WR）與％+2y+3=0垂直，

??.由直線與直線垂直的性質(zhì)得：

2xl+（-t）x2=0,解得t=l.

故答案為：1.

利用兩直線垂直的充要條件計(jì)算即可求得￡的值.

本題考查兩直線垂直的允要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

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13.【答案】（一2,-等）U（竽,2）

【解析】解：因?yàn)闄E圓5+y2=i的焦點(diǎn)為尸1，尸2,P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),

若，"PF2是銳角，則西?西>0且點(diǎn)p不在左、右頂點(diǎn)處.

設(shè)P(&，%)，-2<XO<2,

則羽=1一斗，F(xiàn)式-6,0）,&0）,

則西.麗=(-A/-3-x0,-y0),-Xo,-yo)=就-3+%=；焉一2>0,

解得%o6(—2,—U2),

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（-2,-孚）U（等,2）.

故答案為：（-2,一孚）U（孚,2）.

由題意可得耐?配>0且點(diǎn)P不在左、右頂點(diǎn)處，設(shè)PQoJo），-2<x0<2,進(jìn)而計(jì)算可得一2>0,

求解即可.

本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】88

【解析】解：由已知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),%+i-0n=2九-1，%+2+。升1=2（n+1）-1,兩式相減，得%+%+2=

2,

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),即+i+an=2n-1,an+2-an+1=2（n+1）-1,兩式相加,得%+an+2=4n,

所以其前62項(xiàng)的和562=（?2+4+…。62）+（。1+。3+…。61）=ta2+（。4+。6）+…（。60+。52）］+［%+

（。3+。5）+…（。59+?61）］

=［做+4x（4+8+…60）］+（%+2x15）=a2+1920+的+30=1885,

所以02+ai=-65,

又。2-%=1，所以%=-33,a2=—32,

因?yàn)椤?+=2，所以町-Q1，同理可得=。9=…=a61=

所以。61=al=-33,而。62一。61=121,所以。62=。61+=88.

故答案為：88.

根據(jù)題意，分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)關(guān)系式，分組求和可計(jì)算出力,。2,再根據(jù)已知結(jié)論求解.

本題主要考查數(shù)列求和，屬于中檔題.

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15.【答案】3=-2或3%-4y+10=0.

(x+l)2+(y_1)2=l.

【解析】(1)已知圓C的半徑是2,圓心是。(0,0),

當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線，為無=一2,符合題意;

當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/為y-l=k(x+2),所以kx-y+2k+l=0,

那么圓心。至〃的距離為粵三=2,解得％=因此直線，為3x-4y+10=0.

jN+i4'

綜上所述，直線，為％=-2或3x-4y+10=0.

(yo-2

(2)設(shè)點(diǎn)8(%o，yo)，MQ,y),那么艱據(jù)點(diǎn)M是線段4B的中點(diǎn)得1x=%

因此匕。二窘+；④

(7o=2y-1

因?yàn)辄c(diǎn)3在圓C卜運(yùn)動(dòng)，所以謐+謚=4②，將rZ代入②^(2x+2)2+(2y-l)2=4,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程是(％+l)2+(y-1)2=l.

(1)分直線斜率是否存在兩種情況討論可求切線的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),B(x0>y0),可得利用點(diǎn)8在圓C上運(yùn)動(dòng)，可求點(diǎn)M的軌跡方程.

本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如下:

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)

是微短劇消費(fèi)者301545

不是微短劇消費(fèi)者7085155

合計(jì)100100200

假設(shè)/”是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”無關(guān)聯(lián),

因?yàn)?2二200x(30x85-70xl5)2

100x100x45x155?6452>3,841

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)、,￡性檢驗(yàn)，推斷/不成土，

即認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05；

(2)由％的取值依次為1,2,3,4,5,可得以=3,陽一E2=10,

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為y=132.71X-192.85,

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戲=1(看一幻保一，)_求=i(xir)(y「y)

所以方=比=15-1)2-io-=132.71,

所以2著(々一i)(y,-y)=1327.1,

E篙O匚，(%一歹)1327.1

所以r=x0.95,

1乙(々4)2］求=1(力一力23.16x442.03

因?yàn)閙=0.95>0.75,

所以該經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值.

【解析】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，根據(jù)公式求出再通過獨(dú)立性檢驗(yàn)與臨界值比較判斷即可;

(2)通過給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程公式求相關(guān)系數(shù)，再判斷.

r

17.【答案】證明見解析，an=2-l(nEN^

證明見解析.

【解析】解:(1)證明:根據(jù)題目;已知又為數(shù)列｛%｝的前？i項(xiàng)和,Qi=l,

且/=SnT+n(n>2月.neN，).

當(dāng)於=2時(shí)，。2=。1+2=3；當(dāng)九=3時(shí)，。3=。［+。2+3=7；

當(dāng)兒23時(shí)，0n=Sn_i+n,可得a“_i=Sn_2+九一1，

兩式相減并整理得%=2%-1+1?所以%+1=2(%-1+1)("工3).

又a2+1=4H0,所以a"+：=2(九N3),又等|二崔=2,滿足上式，

所以數(shù)列｛Q”+1｝是以為+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以“+1=2",所以%=2n-l(nGN*)；

2〃2「i1

nn+lnn+l

(2)由(1)知bn=an.ttn+1=(2-l)(2-l)=2-l-2-V

所以G=必+勿+/+…+bn=21^7-+prr-2^7+…+-2二一1

因?yàn)閚Nl,所以T“=l一尋五遞增，所以7\封，即37\N2.

(1)當(dāng)nN3時(shí)，可得0nt=5廣2+九一1，進(jìn)而兩式相減，可得%=2即-1+1,進(jìn)而可得｛%+1｝是等比數(shù)

列，可求通項(xiàng)公式；

(2)利用裂項(xiàng)相消法可求得7\=1-五七p進(jìn)而可證結(jié)論.

本題考查數(shù)列求和的其他方法，屬于中檔題.

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18.【答案】數(shù)列｛bn｝的前71項(xiàng)和配=",

當(dāng)71=1時(shí)，仇=Si=1；

22

當(dāng)ri之2時(shí)，bn=Sn—Sn.i=n—(n—l)=2n—1.

又瓦=1也符合上式，所以以=2n-l(n€N)

因?yàn)椤?1-bn=2,

所以數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列.

原+8).

【解析】(1)證明：數(shù)列｛兒｝的前汽項(xiàng)和基=島

當(dāng)n=1時(shí)，d=S[=1；

22

當(dāng)臬N2時(shí)，hn=Sn-S-i=n—(n—l)=2n—1.

又瓦=1也符合上式，所以九=2n—l(n6AT).

因?yàn)閮?】一切=2,

所以數(shù)列｛九｝是等差數(shù)列.

1%+112〃-1+11

(2)解.：由⑴得旬=6)丁=6)「一=(?,

故。=斯,以=丁~，

T1,3,5,,2n-3,2n-l

Tn=訝+7+>+…+^^+^-

(,1，111,3,2n-3,2n-l

則T=寵+舌+…+-^-+7^，

兩式相減得亂=^+2忌+*+???+擊)一生J

1c2n—132n+3

=2+2x^q——行〒k

即7“=3-竽

2n+l2n-l3-2n

(3)解:因?yàn)镃+1

n2n+12〃+l

當(dāng)71=1時(shí)，Cn+i-Cn>0,即Cn+i,。,，當(dāng)九工2時(shí)，易得C“+iVJ，

所以Ci<C2>C3>C4>…，故C2是數(shù)列｛0｝中的最大項(xiàng)，且C2=*

要使.<m對(duì)一切九eN?恒成立，只需m>押可,

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故實(shí)數(shù)m的取值范圍為總,+8).

(1)由S”求出數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷即可；

(2)將"代入求出時(shí),進(jìn)一步求得％=得，利用錯(cuò)位相減法求解；

(3)判斷數(shù)列｛4｝的單調(diào)性，求出｛%｝最大項(xiàng)得解.

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】x2-^=l；

④正明過程見解析；

②k\k?=2,理由見解析.

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線E匕且雙曲線E的離心率為2,

信—以一］

所以"二2，

。=a2+b2

解得a?=1,b2=3,

則雙曲線￡的方程為%2一q=1；

(2)。證明：易知直線和直線BD斜率存在且不為零，且不為士門.

設(shè)直線的方程為％=771^-1,直線80的方程為無=m2y-l?

此時(shí)m】，機(jī)?均不為零且不為±?，

設(shè)4(打，力)，8(%2，力)，直線AB的方程為％=my+3(m芋0且土等),

x=my+3

聯(lián)立2/「消去”并整理得(37n2—l)y2+i8niy+24=。，

(無~T=1

此時(shí)/=(18m)2-4x(3m2-1)x24=36m2+96>0,

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由韋達(dá)定理得力+%=3=2工%丫2=3m3,

224-18m

斫以mm一打+1—+1-m2yly2+4m(yi+y2)+16—?殿4mxi^+16_?

所以mini?-——"點(diǎn)~手■"守

3m2-1

則直線4。和直線BC的斜率之積為定值；

x=7nly—1

2_y2_?消去工并整理得(3mf-1)必-67714=0