2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練

（全國通用解析版）

專題04方程與不等式

FW^I

KT【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】....................................................................................1

【考向一實際問題與一元一次方程】..........................................................1

【考向二解二元一方程組】..................................................................5

【考向三實際問題與二元一次方程組】.......................................................10

【考向四解一元二次方程】.................................................................18

【考向五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】....................................................20

【考向六實際問題與一元二次方程】.........................................................26

【考向七解分式方程】......................................................................33

【考向八實際問題與分式方程】.............................................................38

【考向九解不等式（組）】...................................................................44

【考向十實際問題與不等式（組）】...........................................................52

?【直擊中考】

【考向一實際問題與一元一次方程】

例題：（2022?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清

酒一斗直粟十斗，醇酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清、隙酒各幾何？”意思

是：現(xiàn)在一斗清酒價值1。斗谷子，一斗醋酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5

斗酒，問清、醋酒各兒斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）

A.10x+3（5-x）=30B.3x+10（5-x）=30

「x30-x.x30-x

C.—+-------=5D.-+-------=5

103310

【答案】4

【分析】根據(jù)題意直接列方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得：10x+3（5—x）=30,

故選：A.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

I.（2022?貴州六盤水?統(tǒng)考中考真題）我國“OF—41型"導(dǎo)彈俗稱"東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26

馬赫（1馬赫=340米/秒），則“小」41型〃導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？

設(shè)飛行x分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（）

A.26x340x60x=12000B.26x340x=12000

26x340X26x340x60%

C.=12000D.=12000

10001000

【答案】D

【分析】結(jié)合單位的換算，根據(jù)路程=速度*時間建立方程即可得.

【詳解】解：因為1分鐘=60秒，1公里=1000米，

所以可列方程為———=12000.

1000

故選：D.

【點睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.（2022?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的

數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，鴛馬日行一百五十里，鴛馬先

行一十二日，問良馬幾何追及之？〃題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬

先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的

是（）

A.24（）.r+15（）x=150x12B.24（）x-15（）x=240x12

C.240x+150x=240xl2D.240x-150x=150x12

【答案】。

【分析】設(shè)快馬工天可以追上慢馬，根據(jù)路程=速度X時間，即可得出關(guān)于”的一元一次方程，

此題得解.

【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，

依題意，得：2404150.1=150x12.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方

程是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）我國占代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文

如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意?

今有100頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：

城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數(shù)為（）

A.25B.75C.81L).90

【答案】B

【分析】設(shè)城中有/戶人家，利用鹿的數(shù)量=城中人均戶數(shù)+；x城中人均戶數(shù)，即可得出關(guān)

于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)城中有x戶人家，

依題意得：x+gx=100,

解得：XF,

團城中有75戶人家.

故選：B.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

4.（2022,江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十

五；人出七，余三.問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，

還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價各是多少？若設(shè)人數(shù)為x,則可列方

程為.

【答案】5x+45=7x-3

【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢：若每人出7錢，多余3錢”，即可得出關(guān)于x的

方程，此題得解.

【詳解】解：依題意,得：5A-+45=7X-3.

故答案為：5x+45=7x-3.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題

的關(guān)鍵.

5.（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）近年來，洞庭湖區(qū)環(huán)境保護效果顯著，南遷的候鳥種群

越來越多.為了解南遷到該區(qū)域某濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉40只，戴上識別卡并

放回；經(jīng)過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只4種候鳥中有10只佩有識別卡，由此估計該濕地

約有只A種候鳥.

【答案】800

【分析】在樣本中“200只A種候鳥中有1（）只佩有識別卡〃，即可求得有識別卡的所占比例，

而這一比例也適用于整體，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：設(shè)該濕地約有x只A種候鳥，

則200：10=x：40,

解得x=800.

故答案為:800.

【點睛】本題主要考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可.

(2)m的值20

(3)6月份每噸再生紙的利潤是1500元

【分析】(1)設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為工噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為(2x-100)噸，然后根

據(jù)該廠3,4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；

(2)根據(jù)總利潤=每?噸再生紙的利潤x數(shù)量列出方程求解即可：

(3)設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為)，，5月份再生紙的產(chǎn)量為〃噸，根據(jù)總

利潤=每一噸再生紙的利潤X數(shù)量列出方程求解即可；

【詳解】(1)解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為x噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為(21-100)噸.

由題意得：x+(2x-100)=800,

解得：x=300,

02x-lOO=5OO.

答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；

(2)解：由題意得：500(1+w%)-10001+y%j=660000,

解得：〃?%=20%或〃z%=-3.2(不合題意，舍去)

0m=20,

團〃？的值20；

(3)解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為5月份再生紙的產(chǎn)量為〃噸，

1200(1+>)2?a(l+y)=(1+25%)X12(X)(1+y)a

0I2(X)(l+y)2-15(X)

答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出

方程求解是解題的關(guān)鍵.

【考向二解二元一方程組】

'x-y=2?

例題：(2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題)解方程組：

2x+y=70'

x=3

【答案】

y=i

【分析】用加減消元法解方程組即可.

【詳解】解：①+②得：3x=9,

酎=3,

將x=3代入②得：6+y=7,

0y=1.

團原方程組的解為：\=3「

【點睛】本題考查解方程組，解二元一次方程組的常用方法：代入消元法和加減消元法，選

擇合適的方法是解題的關(guān)譴.

【變式訓(xùn)練】

2x—y=2k—3

1.（2022?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x,），的方程組：，的解中x與y的和不

x-2y=k

小于5,則〃的取值范圍為（）

A.k>SB.k>8C.k<SD.k<8

【答案】4

【分析[由兩式相減，得到%+y=攵-3,再根據(jù)工與的和不小于5列出不等式即可求解.

【詳解】解：把兩個方程相減，可得x+y=&-3,

根據(jù)題意得：2-325,

解得：k>S.

所以攵的取值范圍是AN8.

故選:A.

【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與），的和是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組廠+=5的解是______.

y=2x

v-1v-2

【答案】0##?;

y=2[x=1

【分析】利用代入消元法進(jìn)行求解方程組的解即可.

x+2y=5Q

【詳解】解:

y=2x@

把②代入①得：5x=5,解得：x=l,

把戶1代入②得：），=2；

回原方程組的解為

[）'=2

y—1

故答案為《一.

[y=2

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)

健.

2x+3v=13

3.（2022?山東濰坊?中考真題）方程組，；-八的解為.

\x=2

【答案】°

[y=3

【分析】用①x2+②x3,可消去未知數(shù)戶求出未知數(shù)x,再把x的值代入②求出1y即可.

2x+3y=13@

【詳解】解:

3x—2y=0②

①x2+②x3,得I3x=26,

解得：x=2,

把x=2代入②,得6-2產(chǎn)0,

解得產(chǎn)3,

故方程組的解為《x=2

卜=3

x=2

故答案為：公

y=3

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元

方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵.

3x+2y=12

4.（2。22.江蘇無錫.統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組2x_；,=1的解為——

x=2

【答案】

y=3

[分析】方程組利用加減消元法求出解即可.

3x+2y=12①

【詳解】解:

2x-y=\?

①+②x2得：7x=l4,

解得：x=2,

把x=2代入②得：2x2-y=l

解得：產(chǎn)3,

x=2

所以，方程組的解為,，

[y=3

x=2

故答案為：.

[y=3

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

5.（2。22?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）已知二元一次方程組/t+2aV=4'則”的值為一

【答案】1

【分析】直接由②-①即可得出答案.

【詳解】原方程組為''〈自，

由②-①得x-y=l.

故答案為：I.

【點睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會觀察，并用整體法求解.

6.（2022.貴州黔東南.統(tǒng)考中考真題）芳（2X+），-5）2+JX+2），+4=O,則工一一丫的值是

【答案】9

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0,每一項都為0,分別算出x,1y的值，即可

【詳解】0（2x+y-5）2>0

Jx+2y+4N0

（2x+y-5）2+Jx+2y+4=0

2x+y-5=0

加

.r+2y+4=0

14

x=一

3

解得：

故答案為：9

【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)之和為零，解二元一次方程組；根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為零，每一項都為

0,算出x,），的值是解題關(guān)鍵

I3

7.（2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）解方程組：<--1-3

244

x=5

【答案】,

.y=i

【分析】整理方程組得x"-3；，=31①3②’繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解?

x-2y=3Q)

【詳解】解：整理方程組得，

2x+3y=\3@

①x2-②得-7y=-7,

產(chǎn)1,

把盧I代入①得x-2=3?

解得x=5,

團方程組的解為｛x=5.

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

x-y=\

8.（2022?廣西桂林?統(tǒng)考中考真題）解二元一次方程組：

x+y=3

x=2

【答案】

【分析】利用加減消元法可解答.

x-y=1①

【詳解】解:

x+y=3②

①+②得：2A=4,

以=2,

把x=2代入①得：2->=1,

0v=1,

回原方程組的解為：］

【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的

關(guān)鍵.

9.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考直題）計算求解：

⑴計算2sin45。-12-⑸

I3J

4x+y=5

（2）解方程組，A-ly_

.虧+§一

【答案】⑴2應(yīng)-5

A=-l

（2）Q

y=9

【分析】（1）先去絕對值，算負(fù)整數(shù)指數(shù)累，將特殊角三角函數(shù)值代入，再計算即可;

（2）直接解二元一次方程組即可.

（1）

原式=2x正+&-2-3

2

=2>/2—5；

⑵

4x+y=5①

整理方程組得:

3.r+2y=15②

由①得：y=5-4工③，

將③代入②得：-5工=5,

解得：x=-l,

將x=-l代入③得：y=9,

則方程組得解為：，”=

y=9

【點睛】本題考查實數(shù)運算:和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識點的運算法

則.

【考向三實際問題與二元一次方程組】

例題：（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）某商店決定購進(jìn)4、8兩種北京冬奧會紀(jì)念品.若購進(jìn)A種

紀(jì)念品10件，8種紀(jì)念品5件，需要1000元：若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，8種紀(jì)念品3件,

需要550元.

⑴求購進(jìn)4、B兩種紀(jì)念品的單價；

⑵若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)

念品的數(shù)量不少于3種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)3種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商

店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若銷售每件同種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件〃種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的

各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求M最大利潤.

【答案】（1）購進(jìn)小8兩種紀(jì)念品的單價分別為50元、10（）元

⑵共有6種進(jìn)貨方案

（3）當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品160件8種紀(jì)念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元

【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)總利潤為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）設(shè)A種紀(jì)念品單價為〃元，8種紀(jì)念品單價為2元

10?+5/?=1000。=50

根據(jù)題意,解得

5a+3b=55()力=100

團購進(jìn)A、8兩種紀(jì)念品的單價分別為50元、100元.

（2）設(shè)該商店購進(jìn)4種紀(jì)念品x個，購進(jìn)8種紀(jì)念品），個

根據(jù)題意，得50x+100.y=10000

變形得），=100-51

x>6^100-^x①

由題意得:

100--x>2d?

2

由①得：X..150

由②得：匕160

團15滕次160

取，），均為正整數(shù)

取可取的正整數(shù)值是150,152,154,156,158,160

與x相對應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25,24,23,22,21.20

團共有6種進(jìn)貨方案.

（3）設(shè)總利潤為W元

貝IJW=20x+30y=5r+3000

團5>0

團W隨x的增大而增大

團當(dāng)x=160時，W有最大值：5x160+3000=3800（元）

回當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元.

【點睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實際應(yīng)用.根據(jù)題意正

確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題,

原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”

意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭

還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是

()

x-y=4.5y-x=4.5

y-x=4.5x-y=4.5

A.13.C.D.

2x-y=12x-y=1----Xr-11X——I

22

【答案】D

【分析】設(shè)木頭長為x尺，繩子長為），尺,根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子丕剩

余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺〃，即可得出關(guān)于此），的二元一次方程

組，此題得解.

【詳解】解：設(shè)木頭長為X尺，繩子長為），尺,

由題意可得

故選：D.

【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相

應(yīng)的方程組.

2.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）張三經(jīng)營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草.他

賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)：賣七捆上等草的根數(shù)減去25

根，就等于五捆下等草的根數(shù).設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為丁根，則下列方程正確

的是（）

J5y-Il=7xJ5x+ll=7yf5x-ll=7.yJ7x-Il=5y

47y-25=5x'7x4-25=5y0，lx-25=5y05x-25=7y

【答案】C

【分析】設(shè)上等草一捆為x根，卜.等草一捆為丁根，根據(jù)"賣五捆上等草的根數(shù)減去II根,

就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù).〃

列出方程組，即可求解.

【詳解】解：設(shè)上等草?捆為x根，卜等草一捆為了根，根據(jù)題意得：

511=7），

7x-25=5y*

故選：C

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

3.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，

引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一-尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一

根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余I尺，木長多少尺？若設(shè)繩

子長x尺，木長），尺，所列方程組正確的是（）

2x+1=y2x-1=y-x+1=5*

2-

【答案】C

【分析】本題的等量關(guān)系是：繩長-木長=4.5,木長繩長=1,據(jù)此可以列方程求解;

【詳解】設(shè)繩子長1尺，木長），尺,

x-y=4.5

依題意可得：

—x+\=y

2

故選：C

【點睛】此題考查二元一次方程組問題，關(guān)鍵是弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列方程求解

4.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）“方程"二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中,

該書的第八章名為“方程〃如:刪從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程

中未知數(shù)x,V的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程工+4），=23,則

=他表示的方程是.

【答案】1+2y=32

【分析】根據(jù)橫著的算籌為10,豎放的算籌為1,依次表示的系數(shù)與等式后面的數(shù)字,

即可求解.

【詳解】解：［表示的方程是x+2y=32

故答案為：x+2y=32

【點睛】本題考查了列二元一次方程組，理解題意是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首〃，其

書中卷八方程［七］中記載："今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各

直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊共值金1（）兩.2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭

牛、每只羊各值金多少兩？”根據(jù)題意，可求得I頭牛和1只羊共值金兩.

【答案】y

【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，建立二元一次方程組求解可得.

【詳解】解：設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，

根據(jù)題意，可彳唱:屋

/.7x+7y=18,

「?I頭牛和1只羊共值金T兩，

1Q

故答案為：y.

【點睛】本題考查二元次方程組的實際應(yīng)用.恰當(dāng)利用已知條件找出等式關(guān)系，列出二元

一次方程組是解本題的關(guān)犍.

6.（2022?吉林?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種

盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音服,是古代一種容量單位）,

1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個大

桶可以盛酒/斛、1個小桶可以盛酒>斛.根據(jù)題意，可列方程組為.

【答案】鋁=；

【分析】根據(jù)題中兩個等量關(guān)系：5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛；1個大桶加上5個

小桶可以盛酒2斛，列出方程組即可.

5x+y=3

【詳解】由題意得：?。

故答案為：產(chǎn)

[x+5y=2

【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題，理解題意、找到等量關(guān)系并列出方程組

是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)要為體育社團購買一些籃球和排球，若購買3個

籃球和2個排球，共需560元；若購買2個籃球和4個排球，共需640元.

⑴求每個籃球和每個排球的價格分別是多少元；

（2）該中學(xué)決定購買籃球和排球共10個，總費用不超過1100元，那么最多可以購買多少個

籃球？

【答案】⑴每個籃球的價格是120元，每個排球的價格是100元

（2）5

【分析】（1）設(shè)每個籃球的價格是x元，每個排球的價格是），元，根據(jù)"購買3個籃球和2

個排球，共需560元；若購買2個籃球和4個排球，共需640元.”列出方程組，即可求解；

（2）設(shè)購買，〃個籃球，則購買排球（IO-/n）根據(jù)“總費用不超過1100元，"列出不等式，即

可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)每個籃球的價格是x元，每個排球的價格是），元，根據(jù)題意得：

12x+4y=64（）'解得：（y=100'

答：每個籃球的價格是120元，每個排球的價格是100元；

（2）解：設(shè)購買機個籃球，則購買排球（10-加）根據(jù)題意得：

120/n+lOO（10-〃?）<1100,

解得m<5,

答：最多可以購買5個籃球.

【點睛】本題考查一元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出

方程組和不等式.

8.（2022?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)4,B兩種產(chǎn)品，其中4

產(chǎn)品每件成本為100元，銷售價格為120元，8產(chǎn)品每件成本為75元，銷售價格為100元，A,

3兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出.

⑴第一個月該公司生產(chǎn)的A,B兩種產(chǎn)品的總成本為8250元，銷售總利潤為2350元，求這

個月生產(chǎn)4,8兩種產(chǎn)品各多少件?

（2）下個月該公司計劃生產(chǎn)4,3兩種產(chǎn)品共180件，且使總利潤不低于4300元，則8產(chǎn)品至

少要生產(chǎn)多少件？

【答案】⑴這個月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，8產(chǎn)品70件

(2)140件

【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品丁件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可;

（2）設(shè)“產(chǎn)品生產(chǎn)〃?件，則A產(chǎn)品牛.產(chǎn)（180-m）件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可.

【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品4件，8產(chǎn)品V件,

IOOx+75y=825O,

根據(jù)題意，得

(120-IOO)x+(IOO-75)y=2350

x=30

解得

y=70'

團這個月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，A產(chǎn)品70件,

答：這個月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，3產(chǎn)品70件;

（2）解：設(shè)“產(chǎn)品生產(chǎn)〃;件，則A產(chǎn)品生產(chǎn)（180-機）件,

根據(jù)題意，得(100-75)6+(120-100)(180-〃7)24300,

解這個不等式，得〃后140.

圖8產(chǎn)品至少生產(chǎn)140件,

答：A產(chǎn)品至少生產(chǎn)140件.

【點睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不

等式是解此題的關(guān)鍵.

9.（2022?四川巴中統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，市場上豬肉粽進(jìn)

價比豆沙粽進(jìn)價每盒貴1Q元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價為100元.

⑴求每盒豬肉粽和豆沙粽的進(jìn)價;

⑵在銷華中，某商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)每盒豬肉粽售價為50元時，每天可售出100盒，若每盒估價提

高1元，則每天少售出2盒.設(shè)每盒豬肉粽售價為a元，銷售豬肉粽的利潤為w元，求該商

家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤.

【答案】⑴每盒豬肉粽的進(jìn)價為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價為30元

(2)1800元

【分析】(1)設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價為工元，每盒豆沙粽的進(jìn)價為)'元，根據(jù)豬肉粽進(jìn)價比豆

沙粽進(jìn)價每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價為100元列出方程組，解出即可.

(2)根據(jù)當(dāng)4=50時，每天可售出100盒，每盒豬肉粽售價為a元時，每天可售出豬肉粽

[1(H)-2(a-5O)]盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再化成頂點式即可得解.

(1)

設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價為x元，每盒豆沙粽的進(jìn)價為3元，由題意得；

x-y=10

x+2y=100

陞=40

解得：an

y=30

?.?每盒豬肉粽的進(jìn)價為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價為30元.

(2)

=(a-40)(1(X)-2(a-50)1

=-2(a-70)2+1800.

.??當(dāng)a=70時，卬最大值為1800元.

團該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤為1800元.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列

出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵.

10.(2022?山東濟南?統(tǒng)考中考真題)為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗.已

知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗

多花費10元.

⑴求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

⑵若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，則購

買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由.

【答案】⑴甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元

⑵當(dāng)購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時，花費最少，理由見解析

【分析】(1)設(shè)每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格)，元，由“購買20棵甲種

樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元,購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元”列出

方程組，求解即可；

(2)設(shè)購買甲種樹苗，〃根，則購買乙種樹苗(l(X)-〃7)棵，購買兩種樹苗總費用為W元得出

一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)設(shè)甲種樹苗每棵x元，乙種樹苗每棵y元.

f20x+16y=1280A=40

由題意得,，解得

x-y=\Oy=30

答：甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元.

（2）設(shè)購買甲種樹苗加棵，則購買乙種樹苗（100-，〃）根，購買兩種樹苗總費用為W元,

由題意得W=40〃2+30（100-"2）,W=l（）/77+3（XX）,

由題意得解得〃此25,

囚為W隨m的增大而增大，所以當(dāng)〃?二25時W取得最小值.

答：當(dāng)購買甲種樹苗25枳，乙種樹苗75棵時，花費最少.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是本題

的關(guān)鍵.

11.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)A、8兩種品牌

的粽子，兩次進(jìn)貨時，兩種品牌粽子的進(jìn)價不變.第一次購進(jìn)A品牌粽子100袋和8品牌粽

子150袋，總費用為700（〕元；第二次購進(jìn)A品牌粽子180袋和3品牌粽子120袋，總費用

為8100元.

⑴求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價各是多少元；

⑵當(dāng)〃品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對4品牌

粽子進(jìn)行降價銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低I元，則每天的銷售量將增加5

袋.當(dāng)8品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大？最

大利潤是多少元？

【答案】（1）A種品牌粽子每袋的進(jìn)價是25元，8種品牌粽子每袋的進(jìn)價是30元

（2）當(dāng)3品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大，最大

利潤是980元

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解;

（2）設(shè)3品牌粽子每袋的銷售價降低〃元，利潤為卬元，列出卬關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，求

出函數(shù)的最值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價是x元，8種品牌粽子每袋的進(jìn)價是）'元,

100.v+150y=7000

根據(jù)題意得,

180A+120y=8100

x=25

解得

），=3（）

故A種品牌粽子每袋的進(jìn)價是25元，8種品牌粽子每袋的進(jìn)價是30元;

（2）解：設(shè)8品牌粽子每袋的銷售價降低。元，利潤為卬元,

根據(jù)題意得，

卬=（54_々_30）（20+5々）=-5/+100々+480=_5（々-10）2+980,

0-5<0,

回當(dāng)3品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利

潤是980元.

【點睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式

和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

【考向四解一元二次方程】

例題：（2022?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）解方程：f-2x-3=0

【答案】百=-1,虧=3

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【詳解】解：X2-2X-3=0?

（x+l）（x-3）=0,

x+1=0或x-3=0,

戶-1或x=3,

故方程的解為玉=-1，工2=3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式

分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題）一元二次方程Y+41—8=0的解是（）

A.與=2+2/,七=2-2石B.%=2-20,占=2-2日

C.玉二-2+2夜,電=-2-2夜D.司=一2+2后,毛=-2—2>/5

【答案】D

【分析】利用配方法解方程即可.

【詳解】解：0<+4x-8=O，

0x2+4.r=8,

0x2+4x+4=12?

0（X+2）2=12,

0x+2=±2>/3，

解得司=-2+2"x,=-2-2x/3,

故選。.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）方程W-2.24=0的根是（）

A.N=6,x?=4B.$=6,x?=-4

C.X1=-6,x2=4D.-V1=-6,x,=-4

【答案】B

【分析】先把方程的左邊分解因式化為(x+4)(x-6)=0,從而可得答案.

【詳解】解：2.24=0，

\(x+4)(x-6)=0,

."+4=0或x-6=0,

解得：x,=6,X2=-4.

故選4

【點睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式"是解

本題的關(guān)鍵.

3.(2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題)若工=-1是方程f+x+m=0的一個根，則此方程的另一

個根是()

4.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】設(shè)f+x+〃?=0另一個根是a,

0-l+a=-1,

團a=0,

故選；B.

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程根與

系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

4.(2022?云南?中考真題)方程2^+1=3犬的解為.

【答案】％=l，%2=g

【分析】先移項，再利用為式分解法解答，即可求解.

【詳解】解：移項得：2A2-3x?1=0，

0(2x-l)(x-l)=O,

團21=()或工一1二0,

解得：X=1,y=7，

故答案為：X]=l,X2=g.

【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適

的方法解答是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）一元二次方程（工-2）（x+7）=0的根是.

【答案】西=2,X2=-7

【分析】由兩式相乘等于0,則這兩個式子均有可能為（）即可求解.

【詳解】解：由題意可知：X—2=0或x+7=（）,

團％=2或々=-7,

故答案為：$=2或々=-/.

【點睛】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計算細(xì)心即可.

6.（2022?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）一元二次方程f-4工+3=0配方為（工-2）2=3則々的

值是.

【答案】1

【分析】將原方程x2—4x+3=0變形成與（1-2）2=々相同的形式，即可求解.

【詳解】解：A2-4.14-3=0

X2-4X+3+1=0+1

2

X-4X+4=1

（a2）』

團k=l

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關(guān)鍵.

7.（2022?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）解方程：（2x+3）2=（3x+2f

【答案】％=T,9=1

【分析】直接開方可得2x+3=—3x—2或2x+3=3工+2,然后計算求解即可.

【詳解】解：0（2x+3）2=（3.r+2）2

12]2x+3=—3x—2或2x+3=3x+2

解得％=-1,

【點睛】本題考查了解一元一次方程.解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

【考向五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

例題：（2022?四川眉山?中考真題）設(shè)巧，々是方程/+2》-3=0的兩個實數(shù)根，則.一+￥的

值為.

【答案】10

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得至1]%+8=-2,%?看=-3,然后根據(jù)完全平方公式變形求值，

即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

團占，%是方程f+2犬-3=0的兩個實數(shù)根，

0+x2=-2,芯?占=-3,

2

團X：+x；=(%+x2)-2xix1=(一2『-2x(-3)=10：

故答案為：10.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是

掌握得到斗+工2=-2,A'|*x2=-3.

【變式訓(xùn)練】

I.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于X的一元二次方程/一2工一女=0沒有實數(shù)根，則〃

的值可以是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)根的判別式列出不等式求出4的范圍即可求出答案.

【詳解】解:13一元二次方程』-2"一:=0沒有實數(shù)根,

團△=(-2)2-4X1X(-4)=4+4AVO,

田女<一1,

故選：A.

【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于x的方程M-x-〃=。有實數(shù)根，則實數(shù)小的

取值的范圍是()

A.m<—B.m<—C.m>--D.m>―-

4444

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根。ANO.列不等式求解即可.

【詳解】解析：???關(guān)于，的方程f-4_切=0有實數(shù)根,

△=(一l)?一4(-7??)=1+4/.?/>0,

解得加>-!,

4

故選C.

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與判別式之

間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)對于實數(shù)。，力定義新運算：踞b=al"b,若關(guān)于x的

方程1派工=太有兩個不相等的實數(shù)根，則左的取值范圍()

A.k>—B.k<—C.k>—且ZwOD.k>—且攵工0

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)新定義運算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的

判別式列不等式組求解.

【詳解】解：即※

^x2-x=k，

BPx2-x-k=0?

同關(guān)于上的方程1淘=k有兩個不相等的實數(shù)根，

0A=(-1)2-4X(-A：)>O,

解得：k>-[故人正確.

4

故選:A.

【點睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式

△=方2一4a當(dāng)/>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)/=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)

/V0方程沒有實數(shù)根.

4.(2022吶蒙古呼和浩特統(tǒng)考中考真題)已知為，巧是方程/-4-2022=0的兩個實數(shù)根，

則代數(shù)式M-2()22N+*的值是()

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：解:因巧，々是方程丁一工一2022=0的兩個實數(shù)根，

2

0X1-2022=&,x(x,=-2022,xi+x,=1

22

x：-2022玉+A：2=x](Xj-2022)+x2=x：++x2)*-2內(nèi)占=1-2x(-2022)=4045

故選A

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題)已知關(guān)于工的一元二次方程d—2x-a=0的兩根分別

記為巧，X2,若再=一1,則“-.I：-X；的值為()

A.7B.-7C.6D.-6

【答案】B

【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出4=3,〃=3,再求代數(shù)式的值即.

【詳解】解：團一元二次方程/-21-〃=0的兩根分別記為占，x『

04+演=2,

回％=T,

團々=3,

同x『*2=-a=-3,

04=3,

0G——x^>=3—9—1=-7.

故選從

【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系

數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵.

6.(2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)若一元二次方程f+x—c=O沒有實數(shù)根，則c的取值

范圍是.

【答案】c<-?-##c<-0.25

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