高一上學(xué)期信息革命與數(shù)學(xué)試題一、集合論與互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)分類系統(tǒng)選擇題某社交平臺(tái)用戶標(biāo)簽系統(tǒng)中，設(shè)集合A={00后用戶}，集合B={日均在線超3小時(shí)用戶}，則A∩B表示的用戶群體是（）A.所有00后或日均在線超3小時(shí)的用戶B.非00后但日均在線超3小時(shí)的用戶C.既是00后又日均在線超3小時(shí)的用戶D.00后中不常在線的用戶在電商平臺(tái)商品分類中，設(shè)全集U={所有商品}，集合C={電子產(chǎn)品}，集合D={促銷商品}，則?U(C∪D)表示（）A.非電子產(chǎn)品的促銷商品B.既非電子產(chǎn)品也非促銷的商品C.電子產(chǎn)品中的非促銷商品D.非電子產(chǎn)品或非促銷商品解答題某搜索引擎每天處理的搜索請(qǐng)求包含三類關(guān)鍵詞：科技（T）、娛樂（E）、教育（Ed）。已知某天數(shù)據(jù)：包含科技關(guān)鍵詞的請(qǐng)求有120萬(wàn)條包含娛樂關(guān)鍵詞的請(qǐng)求有180萬(wàn)條包含教育關(guān)鍵詞的請(qǐng)求有90萬(wàn)條同時(shí)包含科技和娛樂的有40萬(wàn)條同時(shí)包含科技和教育的有30萬(wàn)條同時(shí)包含娛樂和教育的有25萬(wàn)條三類關(guān)鍵詞都包含的有10萬(wàn)條（1）用集合運(yùn)算表示僅包含娛樂關(guān)鍵詞的請(qǐng)求數(shù)量；（2）計(jì)算當(dāng)天搜索請(qǐng)求的總條數(shù)（要求畫出Venn圖輔助說(shuō)明）。區(qū)塊鏈技術(shù)中，每個(gè)區(qū)塊的數(shù)據(jù)記錄可視為一個(gè)集合。已知區(qū)塊A={交易記錄x|x滿足哈希值前4位為0}，區(qū)塊B={交易記錄x|x金額>1000元}。（1）判斷"若x∈A∩B，則x∈A"是否為真命題，并說(shuō)明理由；（2）若集合A有28個(gè)子集，求集合A包含的交易記錄數(shù)量。二、函數(shù)模型與信息傳播規(guī)律選擇題某短視頻平臺(tái)的病毒式傳播符合指數(shù)函數(shù)模型N(t)=N0·ekt，其中N(t)表示t小時(shí)后的累計(jì)觀看人數(shù)，N0為初始觀看人數(shù)，k為傳播系數(shù)。若某視頻發(fā)布2小時(shí)后觀看量為8萬(wàn)，4小時(shí)后觀看量為32萬(wàn)，則k的值為（）A.ln2B.ln4C.2D.4數(shù)據(jù)中心服務(wù)器溫度T(℃)與運(yùn)行時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系滿足函數(shù)T(t)=20+15/(1+e-t)，該函數(shù)圖像的水平漸近線表示（）A.服務(wù)器初始溫度B.服務(wù)器理論最高溫度C.機(jī)房環(huán)境溫度D.服務(wù)器故障臨界溫度解答題某5G基站的信號(hào)覆蓋范圍呈圓形，其信號(hào)強(qiáng)度P(dBm)與距離基站的距離x(km)滿足函數(shù)關(guān)系P(x)=-120+20lg(1/x)。（1）計(jì)算距離基站0.5km處的信號(hào)強(qiáng)度；（2）若某用戶手機(jī)接收到的信號(hào)強(qiáng)度為-90dBm，判斷該用戶是否在基站1km覆蓋范圍內(nèi)。社交媒體謠言傳播通常經(jīng)歷爆發(fā)期、衰退期兩個(gè)階段。某謠言傳播模型為：爆發(fā)期（0≤t≤5）：y=1000e0.8t衰退期（t>5）：y=1000e4·(0.5)t-5其中y表示傳播范圍（萬(wàn)人），t表示天數(shù)。（1）繪制該分段函數(shù)的圖像（要求標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)）；（2）計(jì)算謠言傳播的最大范圍及出現(xiàn)時(shí)間；（3）若當(dāng)傳播范圍降至100萬(wàn)人以下時(shí)謠言失效，求謠言持續(xù)的總天數(shù)。三、指數(shù)對(duì)數(shù)與信息編碼技術(shù)選擇題計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量單位中，1GB=210MB，1MB=210KB。若某文件大小為2.5GB，用KB為單位表示約為（）A.2.5×106KBB.2.5×220KBC.2.5×103KBD.2.5×210KB在信息壓縮算法中，壓縮比r與壓縮效率E的關(guān)系為E=log2(1+r)。當(dāng)壓縮比從3提升至7時(shí)，壓縮效率提高了（）A.1B.2C.log23D.log27解答題現(xiàn)代密碼學(xué)中常用RSA加密算法，其密鑰生成涉及大素?cái)?shù)運(yùn)算。已知某加密過(guò)程：明文m需滿足0<m<n密文c=memodn（e為加密指數(shù)）當(dāng)n=33，e=7時(shí)，密文c=28（1）求n的素因數(shù)分解（即找到素?cái)?shù)p、q使n=p×q）；（2）計(jì)算明文m的值（提示：找到整數(shù)d使(e×d)mod[(p-1)(q-1)]=1，再計(jì)算m=cdmodn）。數(shù)字信號(hào)傳輸中，信噪比（dB）計(jì)算公式為SNR=10lg(S/N)，其中S為信號(hào)功率，N為噪聲功率。（1）若某信道信噪比為30dB，求信號(hào)功率與噪聲功率的比值S/N；（2）當(dāng)信噪比從20dB提升至40dB時(shí)，S/N比值提升了多少倍？四、函數(shù)性質(zhì)與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化選擇題某共享單車調(diào)度系統(tǒng)中，調(diào)度成本C(x)與調(diào)度車輛數(shù)x的關(guān)系為C(x)=0.1x2-4x+50，要使成本最低，應(yīng)調(diào)度的車輛數(shù)為（）A.10輛B.20輛C.30輛D.40輛網(wǎng)絡(luò)延遲T(ms)與并發(fā)用戶數(shù)u的關(guān)系模型為T(u)=10+200u/(1000+u2)，該函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減（）A.(0,10)B.(10,100)C.(100,500)D.(500,+∞)解答題某云計(jì)算中心有A、B兩臺(tái)服務(wù)器，其處理能力（任務(wù)/秒）與負(fù)載量（當(dāng)前任務(wù)數(shù)）的關(guān)系分別為：A服務(wù)器：f(x)=1000/(1+0.01x)B服務(wù)器：g(x)=800-0.5x（x≤1000）（1）當(dāng)負(fù)載量為多少時(shí)，兩臺(tái)服務(wù)器處理能力相等？（2）若總負(fù)載量為1200任務(wù)，如何分配任務(wù)給A、B服務(wù)器可使總處理能力最大？通信網(wǎng)絡(luò)的可靠性可用"兩點(diǎn)間連通概率"衡量。在如圖所示的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示路由器，每條邊表示通信鏈路，其連通概率為p（0<p<1），各鏈路獨(dú)立工作。（1）計(jì)算節(jié)點(diǎn)①到節(jié)點(diǎn)④的連通概率（用p表示）；（2）當(dāng)p=0.9時(shí)，比較該網(wǎng)絡(luò)與"①-②-④"直連網(wǎng)絡(luò)的可靠性差異；（3）若要求連通概率不低于0.99，求p的最小值（精確到0.01）。五、數(shù)學(xué)建模與人工智能基礎(chǔ)開放探究題機(jī)器學(xué)習(xí)中的線性回歸模型：某電商平臺(tái)想用商品價(jià)格x（元）預(yù)測(cè)日銷量y（件），收集到5組數(shù)據(jù)：(100,200),(150,180),(200,160),(250,140),(300,120)。（1）在直角坐標(biāo)系中繪制散點(diǎn)圖，判斷y與x是否存在線性關(guān)系；（2）若線性回歸方程為y=bx+a，計(jì)算系數(shù)b和a（參考公式：b=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx2-(Σx)2)）；（3）預(yù)測(cè)價(jià)格為220元時(shí)的日銷量，并分析該模型的局限性。圖像識(shí)別中的像素處理：一張256×256像素的灰度圖像，每個(gè)像素的亮度值范圍是[0,255]。（1）計(jì)算存儲(chǔ)這張圖像需要的字節(jié)數(shù)（1字節(jié)=8位）；（2）若采用直方圖均衡化算法，將亮度值x轉(zhuǎn)換為y=255log2(1+x)/log2(256)，計(jì)算原亮度值為15的像素轉(zhuǎn)換后的新值；（3）比較轉(zhuǎn)換前后圖像的對(duì)比度變化，并說(shuō)明對(duì)數(shù)函數(shù)在增強(qiáng)暗部細(xì)節(jié)中的作用。推薦系統(tǒng)中的協(xié)同過(guò)濾算法：某視頻平臺(tái)根據(jù)用戶對(duì)三類視頻的評(píng)分（1-5分）推薦內(nèi)容，已知用戶甲的評(píng)分為(4,2,5)，用戶乙的評(píng)分為(3,4,3)，用戶相似度計(jì)算公式為：cosθ=(a·b)/(|a||b|)（1）計(jì)算甲、乙兩位用戶的相似度；（2）若用戶丙對(duì)前兩類視頻的評(píng)分為(5,3)，利用甲、乙的評(píng)分預(yù)測(cè)丙對(duì)第三類視頻的評(píng)分（加權(quán)平均）；（3）分析該相似度模型在推薦系統(tǒng)中的優(yōu)缺點(diǎn)。自動(dòng)駕駛中的路徑規(guī)劃：某無(wú)人車從坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)出發(fā)，需到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)(10,0)，中間需避開以(5,0)為圓心、半徑為2的圓形障礙物。（1）設(shè)計(jì)一條多項(xiàng)式路徑y(tǒng)=ax3+bx2+cx+d，使車輛平滑通過(guò)（要求滿足y(0)=0,y(10)=0,y'(0)=0,y'(10)=0）；（2）驗(yàn)證該路徑是否滿足避障要求；（3）若車輛最大轉(zhuǎn)向角受導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值限制（|y'|≤0.5），判斷該路徑是否可行。六、創(chuàng)新應(yīng)用題量子計(jì)算中的量子比特：傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)用二進(jìn)制位{0,1}存儲(chǔ)信息，量子比特可處于|ψ?=α|0?+β|1?的疊加態(tài)，其中|α|2+|β|2=1。（1）當(dāng)α=√3/2，β=1/2時(shí)，計(jì)算量子比特處于|0?態(tài)的概率；（2）比較n個(gè)量子比特與n個(gè)傳統(tǒng)比特的信息存儲(chǔ)能力差異；（3）舉例說(shuō)明量子計(jì)算在密碼破解中的潛在優(yōu)勢(shì)。元宇宙中的三維建模：某虛擬場(chǎng)景需繪制一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2和一個(gè)平面z=4所圍成的幾何體。（1）求該幾何體在xy平面上的投影區(qū)域（用集合表示）；（2）計(jì)算該幾何體的體積（提示：