高職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)資料同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛的學(xué)科，也是我們學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程不可或缺的工具。這份復(fù)習(xí)資料旨在幫助大家梳理高職數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)知識(shí)，鞏固重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。請(qǐng)大家結(jié)合課堂筆記和教材，循序漸進(jìn)，融會(huì)貫通，注重理解而非死記硬背。一、函數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，也是描述變量之間依賴關(guān)系的基本工具。1.1函數(shù)的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)。其中，x稱為自變量，y稱為因變量。自變量x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，因變量y的取值范圍稱為函數(shù)的值域。要點(diǎn)：*定義域的求法：分式分母不為零；偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；實(shí)際問(wèn)題需考慮實(shí)際意義。*函數(shù)的表示法：解析法（公式法）、圖像法、表格法。1.2函數(shù)的基本性質(zhì)*單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)x?<x?，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。*奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若對(duì)于定義域內(nèi)任意x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；若都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈D，都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為f(x)的一個(gè)周期。（通常所說(shuō)的周期是指最小正周期）*有界性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意x，都有|f(x)|≤M成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界。1.3基本初等函數(shù)我們將以下五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)：*冪函數(shù)：y=x^α(α為常數(shù))，如y=x,y=x2,y=1/x等。*指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>0且a≠1)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。*對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>0且a≠1)，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。自然對(duì)數(shù)y=lnx是底數(shù)為e(e≈2.____...)的對(duì)數(shù)函數(shù)。*三角函數(shù)：主要包括正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx等。要掌握它們的定義域、值域、周期性、奇偶性和圖像特征。*反三角函數(shù)：主要包括反正弦函數(shù)y=arcsinx，反余弦函數(shù)y=arccosx，反正切函數(shù)y=arctanx等。要掌握它們的定義域、值域和基本性質(zhì)。1.4復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)*復(fù)合函數(shù)：如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=φ(x)，且φ(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u)和u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[φ(x)]，其中u稱為中間變量。*要點(diǎn)：分解復(fù)合函數(shù)是后續(xù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)，需能準(zhǔn)確找出中間變量。*初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。二、極限與連續(xù)極限是研究函數(shù)變化趨勢(shì)的重要工具，也是微積分的理論基礎(chǔ)。連續(xù)性則是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。2.1數(shù)列的極限*定義（描述性）：對(duì)于數(shù)列{x?}，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)x?無(wú)限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是數(shù)列{x?}的極限，或稱數(shù)列{x?}收斂于A，記作lim?→∞x?=A。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。*收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性。2.2函數(shù)的極限*當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)的極限：如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大（即x→+∞和x→-∞）時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作lim?→∞f(x)=A。*當(dāng)x→x?時(shí)函數(shù)的極限：如果當(dāng)x無(wú)限地趨近于x?（x可以不等于x?）時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?時(shí)的極限，記作lim?→??f(x)=A。*左極限與右極限：lim?→???f(x)=A（左極限），lim?→???f(x)=A（右極限）。函數(shù)在x?處極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等。2.3極限的運(yùn)算法則若limf(x)=A，limg(x)=B，則：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)·g(x)]=A·B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)*lim[kf(x)]=kA(k為常數(shù))*lim[f(x)]?=A?(n為正整數(shù))2.4兩個(gè)重要極限1.lim?→?(sinx/x)=1*特點(diǎn)：當(dāng)x→0時(shí)，分子分母均趨于0（“0/0”型），且分子是分母的正弦函數(shù)。2.lim?→∞(1+1/x)?=e或lim?→?(1+t)^(1/t)=e*特點(diǎn)：形式為“(1+無(wú)窮小量)^無(wú)窮大量”，其極限為e。2.5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量*無(wú)窮小量：如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?（或x→∞）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x?（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。*性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮??；無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無(wú)窮小。*無(wú)窮大量：如果當(dāng)x→x?（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x?（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。*關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)是無(wú)窮大量，則1/f(x)是無(wú)窮小量；反之，如果f(x)是無(wú)窮小量，且f(x)≠0，則1/f(x)是無(wú)窮大量。2.6函數(shù)的連續(xù)性*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim?→??f(x)=f(x?)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處連續(xù)。*等價(jià)定義：Δx=x-x?，Δy=f(x?+Δx)-f(x?)，則lim_{Δx→0}Δy=0。*間斷點(diǎn)：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處不連續(xù)，則稱x?為f(x)的間斷點(diǎn)。常見(jiàn)類型：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)。*初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。*閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：*有界性定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。*最大值最小值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上取得最大值和最小值。*介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。*推論（零點(diǎn)定理）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)·f(b)<0），那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。三、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率，微分則是函數(shù)增量的線性近似。3.1導(dǎo)數(shù)的概念*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x?處取得增量Δx（點(diǎn)x?+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x?)，y'|?=??，dy/dx|?=??或df(x)/dx|?=??。*f'(x?)=lim_{Δx→0}[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx*也可寫(xiě)成：f'(x?)=lim?→?[f(x?+h)-f(x?)]/h或lim?→??[f(x)-f(x?)]/(x-x?)*幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線的斜率。*切線方程：y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)*可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。反之，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。3.2基本求導(dǎo)公式熟記以下基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：*(C)'=0(C為常數(shù))*(x^α)'=αx^(α-1)*(a^x)'=a^xlna(a>0,a≠1)*(e^x)'=e^x*(log?x)'=1/(xlna)(a>0,a≠1)*(lnx)'=1/x*(sinx)'=cosx*(cosx)'=-sinx*(tanx)'=sec2x*(cotx)'=-csc2x*(arcsinx)'=1/√(1-x2)*(arccosx)'=-1/√(1-x2)*(arctanx)'=1/(1+x2)3.3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則：*(u±v)'=u'±v'*(uv)'=u'v+uv'*(Cu)'=Cu'(C為常數(shù))*(u/v)'=(u'v-uv')/v2(v≠0)3.4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u)，而u=φ(x)，且f(u)及φ(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為：dy/dx=dy/du·du/dx或y'(x)=f'(u)·φ'(x)要點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于正確分解復(fù)合過(guò)程，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，不能遺漏。3.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果變量x和y之間的函數(shù)關(guān)系是由某一方程F(x,y)=0所確定，那么這種函數(shù)稱為隱函數(shù)。求導(dǎo)方法：方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，遇到含有y的項(xiàng)，把y看作x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后解出y'。3.6高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù)，如果f'(x)可導(dǎo)，則稱其導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y''，f''(x)，d2y/dx2或d2f(x)/dx2。類似地，可以定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)……，統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。3.7微分*定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x?及x?+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?是可微的，而AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy=AΔx。*可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且當(dāng)f(x)在點(diǎn)x?處可微時(shí)，其微分一定是dy=f'(x?)Δx。通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)的微分又可記作dy=f'(x)dx。*微分的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的微分dy，表示當(dāng)自變量x有增量Δx時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線縱坐標(biāo)的增量。*微分基本公式與運(yùn)算法則：由dy=f'(x)dx可知，微分的基本公式和運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則類似。*微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用：當(dāng)|Δx|很小時(shí)，Δy≈dy=f'(x?)Δx，即f(x?+Δx)≈f(x?)+f