二、函數(shù)間斷點一、函數(shù)連續(xù)性定義§2.8函數(shù)連續(xù)性

第二章現(xiàn)實世界中很多變量是連續(xù)不停.如氣溫、時間、物體運動等等，都是連續(xù)改變.這種現(xiàn)象反應(yīng)在數(shù)學上就是連續(xù)性，函數(shù)連續(xù)性是微積分又一主要概念！第1頁可見,函數(shù)在點定義:在某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備以下條件:存在;且有定義,存在;一、函數(shù)連續(xù)性定義若在某開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),則稱它在該開區(qū)間內(nèi)連續(xù),或稱它為該開區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù).第2頁continue比如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)集合記作只要都有第3頁對自變量x0增量有函數(shù)增量左連續(xù)右連續(xù)當時,有函數(shù)在點x0連續(xù)有以下等價命題:第4頁函數(shù)y=

f(x)在點x0

連續(xù)兩種等價定義:假設(shè)函數(shù)f(x)在點x0某臨域內(nèi)有定義.充要條件是充要條件是問題：什么樣函數(shù)y=

f(x)在點x0

連續(xù)？第5頁例1.

證實函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).一樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).第6頁這說明，對于連續(xù)函數(shù)，極限符號與函數(shù)符號能夠交換.比如注意：對于非連續(xù)函數(shù)，極限符號與函數(shù)符號不一定能夠交換.若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù),而且則稱函數(shù)f(x)在在點x=a右連續(xù)，在點

x=b左連續(xù),或稱它為該區(qū)間上連續(xù)函數(shù).閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).第7頁在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點某去心鄰域內(nèi)有定義,則這么點以下情形之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為函數(shù)f(x)間斷點.在無定義;二、函數(shù)間斷點第8頁間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中最少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.第9頁為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.比如:第10頁顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.第11頁1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點類型.2.設(shè)時提醒:在x=0連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點,練習題第12頁3確定函數(shù)間斷點類型.解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.第13頁內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限最少有一個不存在在點間斷類型在點連續(xù)等價形式第14頁一、連續(xù)函數(shù)運算法則二、初等函數(shù)連續(xù)性連續(xù)函數(shù)運算與初等函數(shù)連續(xù)性第二章第15頁定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)定理1.在某點連續(xù)有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,連續(xù)函數(shù).(利用極限四則運算法則證實)積,商(分母不為0)運算結(jié)果,仍是一個在該點比如,比如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證實略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.單調(diào)遞增(遞減)也連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)運算法則第16頁在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如,定理3.（連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)是連續(xù)）若函數(shù)在點x0連續(xù)，且函數(shù)在點u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點x0連續(xù)，即定理3可修改為下面求復(fù)合函數(shù)極限定理第17頁定理4

（復(fù)合函數(shù)求極限）若函數(shù)在點x0有極限，即又函數(shù)f(x)點a連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點x0但或者在點x0無定義(即x0是可去間斷點)

極限存在，為若函數(shù)f(x)連續(xù)，則∣f(x)∣一定連續(xù).反之，若∣f(x)∣連續(xù)，函數(shù)f(x)不一定連續(xù).

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)第18頁比如,是由連續(xù)函數(shù)鏈所以在上連續(xù).復(fù)合而成,第19頁補例.設(shè)均在上連續(xù),證實函數(shù)也在上連續(xù).證:依據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則,可知也在上連續(xù).第20頁二、初等函數(shù)連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)比如,連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))連續(xù)區(qū)間為定義域為所以它無連續(xù)點而第21頁例1.

求解:原式例2.求解:令則原式說明:當時,有利用連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性求極限第22頁例3.

求解:原式說明:若則有第23頁例4.

求解:

原式=第24頁例5.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點.在點x=1

不連續(xù),第25頁思索與練習續(xù)?反例

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?提醒:“反之”不成立.