2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策模型構(gòu)建試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在參數(shù)的區(qū)間估計中，置信水平1-α表示（）。A.參數(shù)α落在置信區(qū)間內(nèi)的概率B.置信區(qū)間包含參數(shù)α的概率C.置信區(qū)間包含參數(shù)α的頻率D.參數(shù)α落在置信區(qū)間外的概率2.對于兩個獨立樣本的均值比較的假設(shè)檢驗，當樣本量較小且總體方差未知時，通常選用（）。A.Z檢驗B.t檢驗（配對）C.t檢驗（獨立）D.F檢驗3.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，回歸系數(shù)β?的假設(shè)檢驗H?:β?=0的拒絕域表示（）。A.t統(tǒng)計量>t臨界值B.t統(tǒng)計量<-t臨界值C.t統(tǒng)計量<t臨界值D.F統(tǒng)計量>F臨界值4.若對一個變量進行多次測量，其結(jié)果圍繞均值波動，這種變異主要是由（）引起的。A.系統(tǒng)誤差B.隨機誤差C.測量誤差D.抽樣誤差5.在方差分析中，檢驗多個總體均值是否相等，所依據(jù)的原理是（）。A.總變異可以分解為組內(nèi)變異和組間變異B.各組樣本均值之間的差異程度C.總體分布的形狀D.樣本量的大小二、判斷題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。請判斷下列說法的正誤，正確的填“√”，錯誤的填“×”。）6.假設(shè)檢驗的第一類錯誤是指拒絕了實際上成立的原假設(shè)。（）7.在進行相關(guān)分析時，變量X和變量Y之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，說明它們之間的線性關(guān)系越強。（）8.回歸分析中的估計標準誤差（S_e）衡量的是回歸直線對觀測值的擬合優(yōu)度。（）9.抽樣分布是指樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）的分布。（）10.對一組觀測值進行標準化處理后，其均值一定為0，標準差一定為1。（）三、計算與分析題（本大題共3小題，共35分。）11.（10分）某公司想要估計其產(chǎn)品在新市場的平均銷售價格。隨機抽取了50個零售點的數(shù)據(jù)，樣本均值為15元，樣本標準差為3元。假設(shè)價格服從正態(tài)分布。（1）求該公司產(chǎn)品在新市場的平均銷售價格95%置信區(qū)間。（2）公司經(jīng)理認為平均價格至少為14元，請基于此置信區(qū)間判斷該經(jīng)理的看法是否有統(tǒng)計依據(jù)？（假設(shè)檢驗顯著性水平α=0.05）12.（15分）某研究者想要探究廣告投入（X，單位：萬元）對產(chǎn)品銷量（Y，單位：件）的影響。收集了10組數(shù)據(jù)，計算得到：ΣX=70,ΣY=550,ΣX2=578,ΣY2=32350,ΣXY=4060。假設(shè)銷量與廣告投入之間存在線性關(guān)系。（1）建立銷量對廣告投入的線性回歸方程。（2）檢驗廣告投入對銷量是否有顯著影響（α=0.05）。（3）當廣告投入為8萬元時，預(yù)測銷量，并給出預(yù)測值的95%置信區(qū)間。（假設(shè)殘差平方和SSE=270）13.（10分）一家工廠生產(chǎn)兩種型號的零件A和B。為了檢驗兩種型號零件的重量是否相同，隨機抽取了10個A型號零件和10個B型號零件進行測量。數(shù)據(jù)（單位：克）如下：（此處省略具體數(shù)據(jù)，假設(shè)已計算得到：A組樣本均值=50.5,B組樣本均值=49.8,A組樣本方差s?2=4.2,B組樣本方差s?2=3.8，且假設(shè)兩總體方差相等）。（1）檢驗兩種型號零件的重量是否有顯著差異（α=0.05）。（2）請解釋該檢驗的假設(shè)條件，并說明如果條件不滿足，可以考慮的替代方法。四、模型構(gòu)建與應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分。）14.某銀行想要分析客戶的信用評分（X?，分數(shù)0-100）和月收入（X?，單位：千元）對其是否逾期還款（Y，逾期為1，未逾期為0）的影響，以便進行信貸風(fēng)險評估。收集了100個客戶的數(shù)據(jù)，并使用邏輯回歸模型進行分析，得到模型結(jié)果如下：（此處省略具體模型輸出結(jié)果，假設(shè)提供了關(guān)鍵回歸系數(shù)及其顯著性水平、模型整體擬合優(yōu)度指標等）。（1）解釋模型中信用評分變量系數(shù)的經(jīng)濟含義。（2）假設(shè)某客戶信用評分為75分，月收入為5千元，根據(jù)模型預(yù)測該客戶逾期還款的概率是多少？（需要說明計算過程或引用模型結(jié)果）（3）該銀行計劃將逾期風(fēng)險控制在一個較低水平（如5%），對于信用評分低于某個值的客戶，銀行會要求額外的擔(dān)保。請根據(jù)模型結(jié)果，提出一個合理的信用評分閾值建議，并說明理由。試卷答案一、選擇題1.B*解析：置信水平1-α表示在重復(fù)抽樣下，構(gòu)造的置信區(qū)間包含真實參數(shù)α的概率。2.C*解析：根據(jù)t檢驗適用條件，樣本量較小且總體方差未知時，應(yīng)使用t檢驗（獨立樣本）。3.A*解析：回歸系數(shù)β?的檢驗統(tǒng)計量通常為t統(tǒng)計量，拒絕H?:β?=0的條件是t統(tǒng)計量大于對應(yīng)的t臨界值。4.B*解析：隨機誤差是圍繞均值波動的不確定性因素，是正常變異的主要來源。5.A*解析：方差分析的核心思想是將總變異分解為由因素水平（組間）引起的變異和隨機誤差（組內(nèi)）引起的變異。二、判斷題6.√*解析：第一類錯誤的定義即為拒絕了一個實際上為真（成立）的H?。7.√*解析：|r|越接近1，表示X與Y的線性關(guān)系越強；r=1或r=-1為完全線性相關(guān)。8.×*解析：估計標準誤差（S_e）衡量的是實際觀測值到回歸直線的平均距離，反映模型預(yù)測的精確度，而非擬合優(yōu)度（擬合優(yōu)度由R2衡量）。9.√*解析：抽樣分布定義為樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）的分布。10.√*解析：標準化的過程（X標準化后=(X-均值)/標準差）會將均值變?yōu)?，標準差變?yōu)?。三、計算與分析題11.（10分）（1）15±2.009*(3/√50)=[14.535,15.465]（2）因為14<14.535，所以不能拒絕H?：μ≥14。經(jīng)理的看法有統(tǒng)計依據(jù)。*解析：（1）計算樣本均值（15）、標準差（3）、樣本量（50）。由于總體方差未知但假設(shè)正態(tài)，使用t分布。查t表得df=49時，α/2=0.025的臨界值t?.025≈2.009。計算置信區(qū)間上下限。（2）檢驗H?：μ≥14vsH?：μ<14。拒絕域為t<t?.025。計算檢驗統(tǒng)計量t=(14-15)/(3/√50)=-2.36。因為-2.36<2.009，拒絕H?。即μ<14，支持經(jīng)理的看法。12.（15分）（1）b?=(10*4060-70*550)/(10*578-702)=32b?=550/10-32*70/10=-45回歸方程：Y?=-45+32X（2）H?:β?=0。t=b?/SE(b?)。SE(b?)=√[(SSE/(n-2))*(ΣX2-(ΣX)2/n)]=√[270/8*(578-4900/10)]=√[33.75*88]=16.97。t=32/16.97=1.89。df=8。查t表得t?.025,8≈2.306。因為|1.89|<2.306，不拒絕H?。（3）Y?(8)=-45+32*8=199。預(yù)測區(qū)間：Y?±t_(α/2,df)*SE(Y?)。SE(Y?)=S_e*√[1/n+(X?-X?)2/Σ(X-X?)2]。Σ(X-X?)2=ΣX2-(ΣX)2/n=578-4900/10=88。SE(Y?)=√33.75*√[1/10+(8-7)2/88]=√33.75*√[0.1+1/88]=√33.75*√[0.1+0.01136]=√33.75*√0.11136≈5.81。預(yù)測區(qū)間：199±2.306*5.81=[185.58,212.42]。*解析：（1）使用最小二乘法公式計算回歸系數(shù)b?和b?，得到回歸方程。（2）對回歸系數(shù)β?進行t檢驗。計算t統(tǒng)計量，與臨界值比較或計算p值做出判斷。（3）計算點預(yù)測值Y?(8)。計算預(yù)測標準誤差SE(Y?)，利用t分布構(gòu)建預(yù)測區(qū)間。13.（10分）（1）合并方差s_p2=[(9*4.2+9*3.8)/(10+10-2)]=[37.8+34.2]/18=72/18=4。t=(50.5-49.8)/[s_p*√(1/10+1/10)]=0.7/[2*√(0.1)]=0.7/[2*0.3162]=0.7/0.6324≈1.11。df=18。查t表得t?.025,18≈2.101。因為|1.11|<2.101，不拒絕H?。（2）假設(shè)條件為：兩組樣本獨立、來自的兩個總體的方差相等（同方差性）、數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。如果同方差性不滿足，可以使用Welcht檢驗或加權(quán)最小二乘法。如果正態(tài)性不滿足且樣本量較小，可能需要使用非參數(shù)檢驗方法（如Mann-WhitneyU檢驗）。*解析：（1）由于假設(shè)方差相等，使用合并方差s_p2，計算檢驗統(tǒng)計量t，與臨界值比較或計算p值。（2）說明方差分析（或t檢驗）的假設(shè)條件，并列舉當條件不滿足時的替代方法。四、模型構(gòu)建與應(yīng)用題14.（20分）（1）信用評分變量系數(shù)表示，在其他變量（如月收入）不變的情況下，信用評分每增加一個單位，該客戶逾期還款的對數(shù)概率（logit）變化的估計值。系數(shù)為負（假設(shè)），說明信用評分越高，逾期還款的可能性越低。（2）假設(shè)模型輸出提供了logit=β?+β?*75+β?*5。計算logit值，然后使用exp(logit)得到概率P。例如，若logit=-0.5，則P=exp(-0.5)≈0.607。需根據(jù)實際模型結(jié)果計算。（3）設(shè)定逾期概率P≤0.05。解不等式β?+β?*X+β?*5≤0.05*ln(1/0.05)。需要找到使得該不等式成立的最低信用評分X閾值。例如，若β?=-1.5,β?=-0.04,