5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于12、商數(shù)關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點(diǎn)：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡(jiǎn)寫(xiě)，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫(xiě)成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書(shū)寫(xiě)．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對(duì)一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對(duì)α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．二、三角函數(shù)求值問(wèn)題處理方法1、同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)．解題時(shí)要注意角α的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù)．2、已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問(wèn)題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)鍵在于運(yùn)用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析解決問(wèn)題的突破口．三、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．四、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．題型一sina、cosa、tana知一求二【例1】已知，在第二象限，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由及是第二象限角，得，所以.故選：C【變式1-1】已知，且為第四象限角，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以．故選：D.【變式1-2】已知是第二象限角，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵為第二象限角，，∴．故選：B．【變式1-3】已知角終邊在第一象限，，那么的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，在第一象限，則，所以.故選：C.【變式1-4】已知A為銳角，lg1+sinA=m，lg1A.m+1nB.12(m?n)【答案】B【解析】∵A為銳角，∴0<sinA<1，0<cosA<1，∵lg1+sinA=m∴m?n=lg∴l(xiāng)g題型二正、余弦齊次式的應(yīng)用【例2】已知，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故選：C．【變式2-1】已知，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因，則，所以.故選：C【變式2-2】設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因，則，解得，所以.故選：B【變式2-3】已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以原式?）因?yàn)?，所?【變式2-4】已知，則＝（）A．B．2C．D．6【答案】A【解析】因?yàn)樗?，故選：A【變式2-5】若，則的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A【變式2-6】（多選）若，則可以是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因?yàn)椋?，則，即，解得或.故選：AD.題型三sinacosa、sina±cosa知一求二【例3】的三個(gè)內(nèi)角為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以為，，故可得，故，則.故選：D.【變式3-1】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故選：C【變式3-2】為三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角，若，則這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形【答案】D【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以A是鈍角.所以三角形是鈍角三角形.故選：D.【變式3-3】已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，因?故選:B【變式3-4】已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，所以，，且，所以，所以，得，滿(mǎn)足，所以，即（2）因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以所以題型四三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【例4】（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B【變式4-1】函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，當(dāng)是第二象限角時(shí)，，當(dāng)是第三象限角時(shí)，，當(dāng)是第四象限角時(shí)，，綜上，函數(shù)值域?yàn)椋蔬x：C．【變式4-2】化簡(jiǎn)：（是第二、三象限角）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．當(dāng)是第二、第三象限角時(shí)，原式．故選：C．【變式4-3】化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】．故選：D【變式4-4】化簡(jiǎn)：若，則____________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，且所以原式故答案為?題型五三角恒等式的證明問(wèn)題【例5】求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)