2024年九年級中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：新定義與閱讀理解問題

一、單選題

1.用用“※”定義一種新運算:對于任何有理數(shù)。和從規(guī)定〃※6=建+從.如W

2=1x2+22=6,則7派2的值為（）

A.-4B.8C.4D.-8

2.定義新運算符號+〃）x3,例：2心二（2+3卜3=15；若。*3）力0=12,

則x的值為（）

3

A.1B.-5C.——D.-1

7

3.定義一種對正整數(shù)〃的“尸’運算,①當(dāng)〃為奇數(shù)時，結(jié)果為3〃+5；②當(dāng)〃為偶數(shù)時，

結(jié)果為￡（其中k是使學(xué)為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進(jìn)行，例如，取〃=26,如

圖所示，若〃=449,蛆第201次“b的運算的結(jié)果是（）

|26|硝》|13|[44|臉aI11I…

I一I第一次I一I第二次I一I第三次I一I

A.1B.4C.6D.8

4.定義一種新運算：a?b=2a+b,a^b=a2b,則方程（x+1）十2=（3必）-2的解是

（）

56

A.x=-B,x=-\C.x=—D.x=2

27

5.定義新運算：〃%=必亙■（“工/，且。+人>0）,則6*（6叼）的值為（）

a-b

A.1B.立C.x/7D.-

55

6.對有理數(shù)定義運算：x^y=ax+by,其中a,b是常數(shù)，如果2※（-1）=-3,齦2>1,

那么4,〃的取值范圍是（）

A.a<-\,b>\B.。>一1,b<\C.a<-\,b<\D.a>-\,h>\

7.定義：我們把三角形某邊上中線的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某

邊的“中高偏度值”.如圖，在RtZ\48C中，ZACfi=9O0.AC=4,fiC=3,則乂BC中A3邊

的“中高偏度值''為（）

AH

8.經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形.如果其

中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角

形的“和諧分割線”，如圖，線段CD是A8C的“和諧分割線”，AC。為等腰三角形，

△C8O和?工8c相似，ZA=46°,則NAC8的度數(shù)為()

DB

A.113°B.92°C.113c或92。D.92°或134。

二、填空題

9.定義新運算：a*b=a“a-b),如：2*3=2?(2-3)=-4.則2*(3*5)=.

10.定義新運算：對于任意實數(shù)〃J,〃.都有〃餌〃=加〃十〃，等式右邊是常用的加法、

乘法及乘方運算.例如：-3宓2=(-3)晨2+2=2().根據(jù)以上知識解決問題：若八e4=20,

則x的值是—.

11.若〃、Z?都是有理數(shù)，定義“”如下：=例如3*2=32+2=11.現(xiàn)

b~+a(a<b)

己知4*x=29,則％的值為.

12.定義：對于給定的一次函數(shù)丁=公十。"，力為常數(shù)，且。工0),把形如

av+/?(x^0)

-av+Z>(t<0)的函數(shù)稱為一次函數(shù)'="+〃的“衍生函數(shù)”，已知一次函數(shù)

y=~2x+\,若點尸(-2、〃?)在這個一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖像上，則〃7的值是.

13.用“※”定義一種新運算：對于任意的自然數(shù)%和%滿足球丁=孫+。(1+)，)+1

為常數(shù)).例如：2^1=2xl+￡Yx(2+l)+l=3a+3.若3米4的值為20,貝心的值為

14.定義新運算：對于任意有理數(shù)db,都有。十〃=〃2-2必+1,例如：

2十(—1)=2?—2x2x(—1)+1=9,那么(—2)?3的值是.

15.定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我

們把這個圓叫做三角形的“等弦圓”.如圖，中，ZACB=90°,AC=BC=26,

當(dāng)M8c的等弦圓最大E寸，這個圓的半徑為.

c

⑹定義一種新的運算：，☆狂等，如2☆-竺=2,則-3）如二

三、解答題

17.若定義一種運算：aAh=a3-h~+ab+\*如:

2A(-3)=2A-(-3)2+2x(-3)+1=8-9-6+1=-6.

（1）計算：（一x）A（l—x）.

⑵將（1）計算所得的多項式分解因式；

⑶若丁_x_2=0,求（1）中計算所得的多項式的值.

18.定義：任意兩個數(shù)a,b,按規(guī)則c=M+a+b擴(kuò)充得到一個新數(shù)c,稱所得的新數(shù)

。為“如意數(shù)”.

⑴若a=6,b=T,直接寫出。，〃的“如意數(shù)%;

⑵如果a=4,b=—m,求a,b的“如意數(shù)”c,并證明“如意數(shù)”c?0；

（3）已知a=f-l（衣0）,且小〃的“如意數(shù)％=父+3/-1,求瓦（用含力的式子表示）

19.定義：若a+〃=3,則稱〃與〃是關(guān)于3的平衡數(shù).

（1）4與是關(guān)于3（1勺平衡數(shù)，8+x與是關(guān)于3的平衡數(shù).（填一個含x的代數(shù)

式）

⑵若。=依+1,d=x-2,且c與d是關(guān)于3的平衡數(shù)，若x為正整數(shù)，求整數(shù)k的值.

參考答案:

1.A

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解題中的新定義是解此類題的關(guān)鍵.根據(jù)題中的

新定義計算即可求出之派2的值.

【詳解】解：根據(jù)新定義得：

TX2

=-4x2+2?

=-8+4

=4

故選：A

2.B

【分析】本題考查了新運算，解一元一次方程，掌握新運算正確計算是解題的關(guān)鍵，根據(jù)

[(A*3)+10]X3=12,(x+3)x3=-6解方程即可.

【詳解】解:根據(jù)新定義得(~3)*10=12

[(A*3)+10]X3=12

"★3)+10=4

(.￥★3)=-6

(x+3)x3=-6

x=-5

故選：B

3.D

【分析】據(jù)提供的‘F'運算，對正整數(shù)〃分情況(奇數(shù)、偶數(shù))循環(huán)計算，由于〃=449為奇數(shù)

應(yīng)先進(jìn)行RD運算，發(fā)現(xiàn)從第4次運算結(jié)果開始循環(huán)，且奇數(shù)次運算的結(jié)果為8,偶數(shù)次為

1，而笫201次是奇數(shù)，這樣循環(huán)計算一直到笫201次“尸運算，得到的結(jié)果為8.

本題主要考查了新定義運算，有理數(shù)的混合運算.熟練掌握''尸運算法則，找到結(jié)果存在的

規(guī)律，根據(jù)有理數(shù)的混合運算求出答案，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：第一次:3x449+5=1352,

第二次：詈，1352+8=169,即左二3,

第三次：3x169+5=512,

第四次：512=2%即k=9,計算結(jié)果為1,

第五次：lx3+5=8,

第六次：/，8=2,即k=3,計算結(jié)果為1,

此后計算結(jié)果為8和1循環(huán)，

V20I是奇數(shù)，

???第201次運算結(jié)果是8.

故選：D.

4.C

【分析】本題考查解一元一次方程、有理數(shù)的混合運算.根據(jù)。十2=2"+力，族』%,

可以求得題目中方程的解.

【詳解】解：Va?b=2ii+b,球b=fb,(x+1)十2=(3※力-2,

???2(X+1)+2=32-X-2,

整理得7x=6,

解得：x='j;

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了實數(shù)的新定義運算，根據(jù)題意列出算式，進(jìn)行計算即可求解?.

【詳解】解：依題意，6*(6*3)=6*^^=6*1=^^=立

')6-36-15

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了新定義，求不等式的解集，理解新定義是解答本題的關(guān)鍵.由新定義得

=-3①，〃+助>1②，進(jìn)而得。+2(勿+3)>1,求出〃的取值范圍，進(jìn)而可求；I"的

取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得：2a-〃二一3①，a+2b>\@

由①得：〃=2〃+3③

/.a+2(2a+3)>\,

解得。>-1,

由①得：。二容，

.。-3、.

?.------>-1,

2

Jb>],

Aa>-\,Z?>1.

故選：D.

7.A

【分析】本題考查了勾股定理.根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出中人B邊上的

高和該邊上的中點到C。的距離，再求它們的比值即可.

【詳解】解：作C￡）_LA8干點CE為AACB的中線，

;NACB=90°,AC=4,BC=3、

???AB=ylAC2+BC2=\l41+31=5*

..ACBCABCD

?-2-=-2-'

.4x35CD

22

I?

解得C0=（,

???BD=NBC2-CD?=F3s=1,

???C￡為aAAC8斜邊A8上的中線，48=5,

??.BE=）,

2

597

/.ED=BE-BD=---=—

2510f

7

即點E到。。的距離為歷，

1

2

5-

24

-一

???ABC'PAB邊的“中偏度值”為：77

1-

O

AEDH

故選:A.

8.C

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識帶你，由AC。是等

腰三角形，ZADC>ZBCD,則N4QC>NA,即ACVCZ),分AC=A。和D4=DC兩種

情形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可.正確分類是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：???△8。和./灰?相似，

:.NBCO=NA=46°,

AC。是等腰三角形，ZADC>/BCD,

AZADC>ZA,H|JAC^CD,

①當(dāng)AC=AO時，即NACD=ZADC=^(180°-46°)=67。，

AZACB=67°+46O=113°,

②當(dāng)以=O。時，ZACD=ZA=46°,

AZACB=46°+46°=92°,

故選：C.

9.80

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，按照定義的新運算進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】由題意得:2*(3*5)

=2*[32X(3-5)]

=2*[9x(-2)]

=2*(-18)

=22X[2-(-18)]

=4x(2+18)

=4x20

=80,

故答案為：80.

10.不=2,X2=-2

【分析】本題考杳有理數(shù)的混合運算，新定義問題，根據(jù)已知公式得出4/+4=20,解之可

得答案.

【詳解】解:.-x04=2O,

/.4x2+4=20?

即4x2=16,

解得：內(nèi)=2,9=-2.

故答案為：％=2,々=—2.

II.5

【分析】此題考杳了解一元一次方程和平方根解方程.根據(jù)題中的新定義分兩種情況化簡已

知等式，求出x的值即可.

【詳解】解：當(dāng)41時，則l6+x=29,解得x=13,不符合題意；

當(dāng)4Vx時，則丁+4=29,解得玉=5,x2=-5（舍去），

綜上，x的值為5.

故答案為：5.

12.-3

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)“衍生函數(shù)”的定義，找出一次函數(shù)

），=-2x+l的“衍生函數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由定義知，一次函數(shù)y=-2x+i的“衍生函數(shù)"為），='J

2x+l（x〈0）

???點產(chǎn)（-2,m）在一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖象上，x=-2<0,

in=2x（—2）+1=—3.

故答案為：-3.

13.1

【分析】本題考查了解一元一次方程.理解題意，正確的列一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

由題意知，3^4=3x4+d（3+4）+l,3^4=20,即3x4+a（3+4）+l=20,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知,3X4=3X4+〃（3+4）+1,3X4=20,

???3x4+a（3+4）+l=20,

12+7?+1=20,

解得，a=\,

故答案為：1.

14.17

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，把相應(yīng)的值代入到新定義的運算即可；掌握有理

數(shù)混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（-2）十3=（—2丫一2x（—2）x3+1=4+12+1=17.

故答案為：17.

15.4-272/-2x/2+4

【分析】先根據(jù)圓周角定理說明當(dāng)。過C時，且在等腰直角三角形A8C的三邊上截得的

弦相等，此時0。最大，再過點。分別作弦CG、CF、OE的垂線，垂足分別為P、N、M,

,進(jìn)而得到==然后利用直角三角形的邊角關(guān)系以及三角形的面積公式進(jìn)行計

算即可;掌握圓周角定理、垂徑定理以及正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示：

??一員1與三角形的三條邊都有兩個交點，截得的三條弦相等，

???圓心。就是三角形的內(nèi)心，

???當(dāng)I。過。時，且在等腰宜角三角形A8C的三邊上截得的弦相等，此時。最大,

過點。分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為尸、N、M,

'：CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

,?ZC8=90。，AC=BC=2日

JAB=&AC=4,

AOC+SHOC+SAOB=SABC，

,?SABC=-ACOP+-BCON+-ABOM=-ACBC

2226

設(shè)OM=x,則OQ=ON=x,

?**2>/2x+4y[2x+4x=7>/2x25/2，解得x=2&-2，即8=0N=2&-2,

在RtACON中，OC=?ON=S.

故答案為：4-25/2.

，6-I

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)?！?)="“，可以求得所求式子的值，本題得

a

以解決.

【詳解】解：?！钊?”殳

/.(2^3)☆1

2+2x3一

-----☆]

2

=4如

4+2x1

3

2；

3

故答案為:

2

17.(l)-x3+x

⑵r(x+1)(.1)

(3)-2

【分析】本題主要考查了新定義運算，整式混合運算，分解因式，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握運算法則，準(zhǔn)確計算.

(1)根據(jù)定義，列式進(jìn)行計算即可；

(2)先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；

(3)將丁-x=2整體代入求值即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：

(-x)A(l-x)

=(-x)3-(l-x)2+(-x)(l-x)+l

=一/-1+2匯72一1+工2+1

=-x2,+X:

(2)解：-%3+x

=-21)

=-x(x+l)(x-l);

(3)解：?.?Y-X-2=0，

x3-x=2?

-x3+x=-(x3-x)=-2.

18.(I)c=2V2+1；

(2)見解析

⑶。=x+2.

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用.

(1)根據(jù)“如意數(shù)”的定義即可判斷；

(2)利用配方法即可解決問題；

(3)根據(jù)“如意數(shù)”的定義，構(gòu)建方程求出〃即可.

【詳解】(1)解：c=&xl+0+l=20+l;

(2)解：C=(〃L4)(T〃)+(〃L4)+(-"I)

=-in2+4/z2-4

=-(/??-2)2<0,

..c<0：

(3)解：由題意射+3爐-]=(f—1?+(』-1)+力,

x2b=d+2x2，

,XWO,

b=x+2.

19.(1)-1；-A-5

(2)0或1或3

【分析】本題主要考查了新定義，整式的加減計算，解?元?次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠

準(zhǔn)確讀懂平衡數(shù)的含義.

(1)根據(jù)平衡數(shù)的定義列式求解即