專題30雙曲線及其性質(zhì)（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程2023年全國乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國乙（理科），第11題,5分2023年全國乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關(guān)系，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)2023年全國乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關(guān)系向量的數(shù)量積2023年全國乙（理科），第20題,12分2023年全國乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點(diǎn)問題；2023年全國甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題2023年全國甲（理科），第8題,5分2023年全國甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點(diǎn)弦2023年全國甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形2023年全國甲（理科），第20題,12分2023年全國甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.根據(jù)定義Ⅰ，平面內(nèi)、是兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于定點(diǎn)間距離)，即(為常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。根據(jù)定義Ⅱ，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離之比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線；2.雙曲線在坐標(biāo)軸上的取值區(qū)域?yàn)?、或者、；雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱；3.雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)、，這兩點(diǎn)在橫軸上，且叫做雙曲線的實(shí)軸，長度為；另外，還有兩個(gè)頂點(diǎn)、，這兩點(diǎn)在縱軸上，且叫做雙曲線的虛軸，長度為；4.雙曲線有兩條漸近線，橫軸為，豎軸為；5.雙曲線的離心率，其中是雙曲線的半焦距。離心率取值范圍為；6.雙曲線上的一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離的比等于雙曲線的離心率；7.圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離可以通過焦半徑公式計(jì)算。過右焦點(diǎn)的半徑，過左焦點(diǎn)的半徑；8.當(dāng)雙曲線的實(shí)軸與虛軸長相等時(shí)，即，雙曲線的離心率√2；【備考策略】1.了解雙曲線產(chǎn)生的實(shí)際背景,感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它的簡單幾何性質(zhì)；3.通過對雙曲線的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；【命題預(yù)測】1.雙曲線的定義和基本屬性可能會繼續(xù)是考查的重點(diǎn)。這包括雙曲線的定義、取值范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線等；2.雙曲線的幾何性質(zhì)也是一個(gè)可能的考查重點(diǎn)。雙曲線的離心率和焦半徑公式等，這些不僅涉及到雙曲線的形狀和大小，還涉及到雙曲線與坐標(biāo)軸和焦點(diǎn)等的關(guān)系；3.在考查雙曲線的計(jì)算時(shí)，可能會在復(fù)雜度上有所提升；知識講解一、雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之的絕對值等于常數(shù)(小于||)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線,這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的,兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的.

(1)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為.

(2)在雙曲線的定義中,當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是;當(dāng)||時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形(續(xù)表)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍或,,或?qū)ΨQ性對稱軸:,對稱中心:

頂點(diǎn)漸近線離心率,,其中軸線段叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長||=;線段叫作雙曲線的虛軸,它的長||=.叫作雙曲線的實(shí)半軸長,叫作雙曲線的虛半軸長

,,的關(guān)系三、等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率e=2.

雙曲線的幾個(gè)常用結(jié)論(1)與雙曲線有共同漸近線的雙曲線系的方程為.(2)焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系).(4)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為.四、直線和雙曲線的位置關(guān)系1.直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.設(shè)雙曲線方程為,直線方程為,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的方程,(1)若,當(dāng)時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線無公共點(diǎn).(2)若,則直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行.2.弦長公式:設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn),則,或.3.雙曲線的切線方程雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.雙曲線的定義及應(yīng)用(1)利用雙曲線的定義判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程;(2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常用定義,運(yùn)用平方的方法,建立與的聯(lián)系.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.定義法:由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線,由雙曲線的定義確定或,從而求出,寫出雙曲線方程.2.待定系數(shù)法:先確定焦點(diǎn)在軸上還是在軸上,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定的值,即“先定型,再定量”,如果焦點(diǎn)位置不好確定,可將雙曲線方程設(shè)為,再根據(jù)條件求的值.求雙曲線的離心率或其范圍的方法:(1)求的值,由直接求;(2)列出含有的齊次方程(或不等式),借助于消去,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解.求與漸近線有關(guān)的雙曲線方程的常用方法:(1)與雙曲線共漸近線的方程可設(shè)為;(2)若雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的方程可設(shè)為.求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法(1)點(diǎn)在雙曲線上,求相關(guān)式子(目標(biāo)函數(shù))的取值范圍,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決.(2)求雙曲線焦距的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值時(shí),要檢驗(yàn)等號是否成立.(1)解答直線與雙曲線的公共點(diǎn)問題時(shí),不僅要考慮判別式,更要注意當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí),直線與漸近線平行的特殊情況.(2)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的問題,應(yīng)分兩種情況討論:雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)注意對直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論.解決綜合問題時(shí),可以仿照橢圓的處理思路,借助于方程思想,將問題進(jìn)行化歸,然后利用直線與雙曲線的位置關(guān)系進(jìn)行求解.(1)解決與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí),除了要準(zhǔn)確把握題意,了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念之外,還要注意雙曲線的定義的靈活運(yùn)用.(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量的取值范圍.

考點(diǎn)一、雙曲線的定義及應(yīng)用1．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（

）A． B． C． D．3．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．5

4．（2023屆廣東省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．5．若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．2．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．63．雙曲線過焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m4．（2023屆廣東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）“k<2”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022年高考天津卷數(shù)學(xué)真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．3．設(shè)雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．1．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A．B．C． D．3．與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線方程為．考點(diǎn)三、雙曲線的幾何性質(zhì)1．已知雙曲線C的離心率為是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則的面積為（）A． B．C． D．3．若雙曲線mx2＋ny2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，則（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m1．設(shè)表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）.A． B．2k C． D．2．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值為（）A．4 B．－4 C．－ D．考點(diǎn)四、雙曲線的離心率1．已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．2．（2023屆湖北省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知、是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．31．如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)滿足，且，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．3．（2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題）設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．考點(diǎn)五、雙曲線的漸近線1．（2023屆山東省一模數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為C上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N，若，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2023年山西省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的實(shí)軸長為4，虛軸長為6，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為．1．（2023屆廣東省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的漸近線方程為，則（

）A．5 B． C． D．2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M，若，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.考點(diǎn)六、雙曲線相關(guān)的軌跡方程1．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B分別是定直線和上的動(dòng)點(diǎn)，若的面積為定值S，則線段的中點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.1．已知兩條直線：，：，有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與，都相交，并且，被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值，，則動(dòng)圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線2．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓：，為圓心，為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C． D．考點(diǎn)七、與雙曲線有關(guān)的最值問題1．（2023年河南省質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且與軸垂直，點(diǎn)是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．長為11的線段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，，直線MF與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且，直線MP與以MN為直徑的圓交于點(diǎn)M?Q，則的最大值為（

）A．48 B．49 C．50 D．424．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．851．已知雙曲線，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．2．（2023屆江西省摸底測試數(shù)學(xué)（理）試題）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023年河南省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最短距離為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，分別為其左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).則的最大值是（

）A．7 B．6 C．5 D．4考點(diǎn)八、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用1．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．3．北京冬奧會火種臺（圖1）以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（

）A．2B．C． D．1．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學(xué)性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.已知以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點(diǎn)到中心的距離為.2．如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為.3．青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個(gè)落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16，上瓶口圓的直徑為20，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12，則該雙曲線的離心率為.考點(diǎn)九、直線與雙曲線的關(guān)系1．過雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長是.2．（2023屆福建省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為C上一點(diǎn)，直線PA，PB與分別交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為.3．（2023屆江蘇省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).1．（2023年四川省階段性測試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，是雙曲線上一點(diǎn)，則直線和直線的斜率之積的最大值為（

）．A． B． C． D．2．（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為的直線l與雙曲線C交于異于M的不同兩點(diǎn)A、B，直線MA、MB的斜率分別為、，若，求直線l的方程．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．設(shè)為橢圓和雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且在第一象限，是的左焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜53．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．（2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（課標(biāo)卷））等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（）A． B． C． D．5．雙曲線：與雙曲線：的（

）A．實(shí)軸長相等 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)相同C．焦距相等 D．離心率相等6．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)（全國卷II））雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．7．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（

）．A． B． C． D．9．（2018年全國卷Ⅲ文數(shù)高考試題）已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為（）A． B． C． D．10．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為（）A． B．C．2 D．11．已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則．12．（2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，關(guān)于C的一條漸近線的對稱點(diǎn)為P.若，則的面積為（

）A．2 B． C．3 D．413．（2023屆浙江省教學(xué)質(zhì)量檢測（二模）數(shù)學(xué)試題）費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則．14．已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離為．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線l與曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若直線FA、FB的斜率之和為0，則動(dòng)直線l是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若存在這樣的定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的定點(diǎn)，請說明理由．15．（2023屆江蘇省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【能力提升】1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的離心率為5，點(diǎn)在C上，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023年江西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3．若實(shí)軸長為2的雙曲線上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，分別為，的離心率，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．35．在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，且經(jīng)過的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為雙曲線上一點(diǎn)，，的內(nèi)切圓的圓心為，則（

）A． B． C． D．7．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)?，曲線和在第一象限相交于點(diǎn)P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是.8．（2023屆湖南省一模數(shù)學(xué)試題）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，則的最大值為.9．（2023屆安徽省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線E：的左右焦點(diǎn)分別為，，A為其右頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線與軸交于Q點(diǎn)．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為