2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)測題演練試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）設(shè)(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，則代數(shù)式(a^2+2a+2024)的值為（）A.0B.1C.2025D.2026對于任意實(shí)數(shù)(x,y)，定義運(yùn)算“(\otimes)”：(x\otimesy=ax+by+cxy)，其中(a,b,c)為常數(shù)。若(1\otimes2=3)，(2\otimes3=4)，且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)(m)使得對任意實(shí)數(shù)(x)都有(x\otimesm=x)，則(m)的值為（）A.-4B.-2C.1D.4已知(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(D)在邊(BC)上，且(BD=2)，將(\triangleABD)沿(AD)翻折得到(\triangleAB'D)，則(B'C)的長度為（）A.(\sqrt{13})B.4C.(\sqrt{17})D.5若關(guān)于(x)的方程(x^2+(k-2)x+k^2=0)的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則(k)的值為（）A.-1B.1C.±1D.2設(shè)(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，則(S)的整數(shù)部分是（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）已知正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，則(a)的最大值為________。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(diǎn)(E)是邊(BC)上一點(diǎn)，將(\triangleABE)沿(AE)折疊，點(diǎn)(B)落在點(diǎn)(F)處，若(CF=DF)，則(BE)的長度為________。已知(x,y)為正實(shí)數(shù)，且(x+y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})的最小值為________。一枚質(zhì)地均勻的骰子，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6。連續(xù)拋擲兩次骰子，記第一次朝上的數(shù)字為(m)，第二次朝上的數(shù)字為(n)，則滿足(m^2+n^2<25)的概率為________。已知(a,b)是正整數(shù)，且(a^2-b^2=2025)，則這樣的有序數(shù)對((a,b))共有________對。三、解答題（共4小題，第11-13題每題20分，第14題25分，滿分85分）（本題滿分20分）已知二次函數(shù)(y=x^2+bx+c)的圖像與(x)軸交于(A,B)兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)(C)，且(\triangleABC)是等腰直角三角形。（1）求(b^2-4c)的值；（2）若點(diǎn)(A)的坐標(biāo)為((-1,0))，求二次函數(shù)的解析式。（本題滿分20分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的(\odotO)交(BC)于點(diǎn)(D)，交(AC)于點(diǎn)(E)，過點(diǎn)(D)作(DF\perpAC)于點(diǎn)(F)。（1）求證：(DF)是(\odotO)的切線；（2）若(AE=4)，(DF=3)，求(\odotO)的半徑。（本題滿分20分）已知正整數(shù)(n)滿足(n^2+2025n)是一個(gè)完全平方數(shù)，求(n)的最小值。（本題滿分25分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(0,3))，(B(4,0))，點(diǎn)(P)是線段(AB)上的一個(gè)動點(diǎn)（不與(A,B)重合），過點(diǎn)(P)分別作(PD\perpy)軸于點(diǎn)(D)，(PE\perpx)軸于點(diǎn)(E)，設(shè)矩形(PDOE)的面積為(S)，點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為(t)。（1）求(S)關(guān)于(t)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出(t)的取值范圍；（2）當(dāng)(t)為何值時(shí)，(S)取得最大值？最大值是多少？（3）在點(diǎn)(P)運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)(P)使得(\triangleAPD)與(\triangleBPE)相似？若存在，求出(t)的值；若不存在，請說明理由。四、附加題（共2小題，每小題15分，滿分30分）已知(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，且(a+b+c=1)，求證：(\frac{a}{1+a^2}+\frac{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq\frac{9}{10})。如圖，在(\triangleABC)中，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC)，點(diǎn)(D)是(BC)的中點(diǎn)，點(diǎn)(E,F)分別在(AB,AC)上，且(\angleEDF=90^\circ)。若(BE=12)，(CF=5)，求(EF)的長度。（注：附加題不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）試題解析說明（以下為簡要解析思路，詳細(xì)過程略）C：化簡(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})得(a+1=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}+1)，平方后代入計(jì)算。D：根據(jù)定義列方程組(\begin{cases}a+2b+2c=3\2a+3b+6c=4\ax+bm+cxm=x\end{cases})，解得(m=4)。A：作(AH\perpBC)于(H)，用勾股定理求(AD=\sqrt{13})，再用翻折性質(zhì)和余弦定理求(B'C)。A：由韋達(dá)定理得(k^2=1)且(\Delta\geq0)，解得(k=-1)。B：放縮法得(\frac{2025}{4049}<S<\frac{2025}{2025}=1)，整數(shù)部分為1。675：當(dāng)(a=b=c=675)時(shí)取等號。3：設(shè)(BE=x)，用勾股定理列方程((8-x)^2+3^2=(6-x)^2+5^2)。9：柯西不等式((x+y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})\geq(1+2)^2=9)。(\frac{13}{36})：枚舉滿足(m^2+n^2<25)的((m,n))共13組。6：分解(a^2-b^2=(a-b)(a+b)=2025)，因數(shù)對有6組。（1）(b^2-4c=4)；（2）(y=x^2-2x-3)或(y=x^2+2x-3)。（1）連(OD)，證(OD\perpDF)；（2）半徑(r=5)。(n=1125)：設(shè)(n^2+2025n=k^2)，配方得((2n+2025)^2-(2k)^2=2025^2)。（1）(S=-\frac{3}{4}t^2+3t(0<t<4))；（2）(t=2)時(shí)(S_{\text{max}}=3)；（3）(t=\frac{12}{7})或(t=\fra