§2.1函數(shù)的概念及其表示分值：95分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.(2025·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=4-xx的定義域?yàn)锳，函數(shù)g(x)=log2x，x∈12，4的值域?yàn)锽，則A∩A.(0，2) B.(0，2]C.(∞，4] D.(1，4]2.已知f(x)=log2x,x等于()A.1 B.2 C.22 D.43.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，則m等于()A.2 B.3 C.4 D.54.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿.科研人員為了測(cè)量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時(shí)30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時(shí)間為t，則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是()ABCD5.記無理數(shù)e=2.7182…5904523536…小數(shù)點(diǎn)后第x位上的數(shù)字是y，則y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則下列說法正確的是()A.f(4)=8B.x不是y的函數(shù)C.N?MD.y=f(x)是周期函數(shù)6.已知f(x)=-x2+2x,x≥0,x2+2x,x<0,實(shí)數(shù)a滿足f(aA.(∞，2)∪(0，2)B.(∞，2)∪(2，+∞)C.(2，0)∪(0，2)D.(2，0)∪(2，+∞)7.設(shè)函數(shù)f(x)=x,0<x<1,2(x-1),x≥1,若f(a)=fA.14 B.128.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0,若f(A.[21，+∞) B.(∞，21]C.[3，1] D.[1，+∞)二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.下列說法正確的是()A.f(x)=|x|，φ(t)=t2B.y=1+x·1-x與y=C.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0，2]D.若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素，則值域中也只含有一個(gè)元素10.已知函數(shù)f(x+1)=x+2x，則(A.f(x)=x21(x∈R)B.f(x)的最小值為1C.f(2x3)的定義域?yàn)閇2，+∞)D.f1x的值域?yàn)閇0，+∞11.(2024·南陽模擬)黎曼函數(shù)(Riemannfunction)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：R(x)=1(注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù))，則下列結(jié)論正確的是()A.R=68B.黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]C.黎曼函數(shù)的最大值為1D.若f(x)是奇函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=R(x)，則f865+f(32+6)=三、填空題(每小題5分，共15分)12.函數(shù)f(x)=2-xlnx的定義域?yàn)?3.(2025·昆明模擬)已知函數(shù)f(x-1)=x+2，若f(a)=4，則a=.14.已知函數(shù)f(x)=2x+1,x<1,x2,x≥1,則ff12=；若f15，16題每小題6分，17，18題每小題5分，共22分15.(多選)對(duì)?x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[0.618]=0，[2.71828]=3，我們把y=[x]，x∈R叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯(Gaussian)函數(shù).以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題，其中是真命題的有()A.?x∈R，[|x|]=|[x]|B.?x，y∈R，[xy]<[x][y]C.?x，y∈R，若[x]=[y]，則xy<1D.不等式2[x]2[x]3≥0的解集為(∞，0)∪[2，+∞)16.(多選)若存在實(shí)數(shù)M，使得|f(x)g(x)|≤M在f(x)和g(x)的定義域的交集上恒成立，則稱f(x)與g(x)具有“M近似關(guān)系”，下列說法正確的是()A.f(x)=2x+1，g(x)=2x具有“2近似關(guān)系”B.f(x)=ln2x，g(x)=lnx+2具有“2近似關(guān)系”C.f(x)=x-1x+1(x>1)與g(x)=12x(x>1)D.f(x)與g(x)=xx-1(1≤x≤5)的定義域相同，且具有“1近似關(guān)系”，則f(x)的值域包含于[1，417.已知函數(shù)f(x)=mx2-(m-2)x+m-1.若其定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是；若函數(shù)f(x)的值域是[0，+18.(2024·合肥模擬)同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè)a，b∈Z，m∈N*且m>1.若m|(ab)則稱a與b關(guān)于模m同余，記作a≡b(modm)(“|”為整除符號(hào)).同余方程x2x≡0(mod3)中的所有正根構(gòu)成函數(shù)f(n)的值域，其中f(1)<f(2)<f(3)<…<f(n)，n∈N*，則f(n)=.

答案精析1.B2.B3.B4.A[水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，所以在注水速度恒定的情況下，開始水的高度增加的由快變慢，中間增加的最慢，最后增加的由慢變快，由圖可知選項(xiàng)A符合.]5.B[由題意可得M=N*，N={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，則N不是M的子集，C不正確；無理數(shù)e小數(shù)點(diǎn)后第4位上的數(shù)字為2，故f(4)=2，A不正確；當(dāng)y=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值不是唯一確定的，根據(jù)函數(shù)的定義可知x不是y的函數(shù)，B正確；由于e為無理數(shù)，所以y=f(x)不是周期函數(shù)，D不正確.]6.D[由題意可知，a≠0.當(dāng)a<0時(shí)，f(a)=a2+2a，f(a)=a22a，所以由f(a)<f(a)可得a2+2a<a22a，即a2+2a<0，解得2<a<0，當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=a2+2a，f(a)=a22a，所以由f(a)<f(a)可得a2+2a<a22a，即a22a>0，解得a>2，所以a的取值范圍是(2，0)∪(2，+∞).]7.D[易得f(x)在(0，1)和[1，+∞)上單調(diào)遞增，∴0<a<1，∴f(a)=a，∴f(a+1)=2a，由f(a)=f(a+1)得a=2a，解得a=14或a=0(舍去)則f

1a=f(4)=6.8.A[因?yàn)閒(x)=x令f(a)=t，則f(f(a))≥3可化為f(t)≥3，當(dāng)t≥0時(shí)，t2+2t≥3，解得t≥1(負(fù)值舍去)，即f(a)≥1；當(dāng)t<0時(shí)，t2+2t≥3，即t22t+3≤0，而t22t+3=(t1)2+2>0，故上述不等式無解，綜上，f(a)≥1，若a≥0，則a2+2a≥1，解得a≥21(負(fù)值舍去)；若a<0，則a2+2a≥1，解得a=1(舍去)，綜上，a≥21.]9.ABD[φ(t)=t2=|t|，故f(x)與φ(t)有相同的定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系，故表示同一個(gè)函數(shù)，故Ay=1+x·1-x=(1+x)(1-x)=1-x2的定義域需滿足1+x≥0，1-x≥0，解得1≤x≤1，y函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0，1]，故C錯(cuò)誤；由函數(shù)的定義知，若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素，則值域中也只有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故D正確.]10.CD[依題意，f(x+1)=(x)2+2x=(x+1)21，則f(x)=x21當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；在f(2x3)中，2x3≥1，解得x≥2，因此f(2x3)的定義域?yàn)閇2，+∞)，C正確；顯然f

1x=1x21，0<x≤1，于是1x2∈[1，+∞)，因此f

1x的值域?yàn)閇0，+∞11.BC[R68=R34=14因?yàn)閜，q∈N*，pq是既約真分?jǐn)?shù)，x=pq，0，1或(0，1)上的無理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，又p，q∈N*，pq為既約真分?jǐn)?shù)，所以1q的最大值為12因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，并且是以2為周期的周期函數(shù)，f

865=f

18-45=f

-45=f

45=15，f(32+6)=f(42)=f(426)=f(642)=0，所以f

865+f(12.(0，1)∪(1，2]解析要使函數(shù)f(x)有意義，則2-x≥0，lnx≠0，x故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，1)∪(1，2].13.1解析令x-1=t，t≥0則x=t2+1(t≥0)，f(t)=t2+3，故f(a)=a2+3=4(a≥0)，解得a=1.14.4(1，1)∪(1，+∞)解析因?yàn)閒

12=2×12所以f

f12=f(2)=22當(dāng)a≥1時(shí)，f(a)>a?a2>a，解得a>1；當(dāng)a<1時(shí)，f(a)>a?2a+1>a，解得1<a<1，所以不等式的解集為(1，1)∪(1，+∞).15.BCD[對(duì)于A，[|2.5|]=[2.5]=2，|[2.5]|=|3|=3，A為假命題；對(duì)于B，[21.1]=[0.9]=0，[2][1.1]=21=1，0<1，B為真命題；對(duì)于C，因?yàn)閇x]=[y]，所以x，y∈[n，n+1)，n∈Z，所以xy<1，C為真命題；對(duì)于D，不等式2[x]2[x]3≥0，解得[x]≤1或[x]≥32，所以不等式的解集為(∞，0)∪[2，+∞)，D為真命題.16.BCD[對(duì)于A項(xiàng)，易知f(x)，g(x)的定義域均為R，因?yàn)閒(x)g(x)=2x+12x=2x>0，所以不存在實(shí)數(shù)M，使得|f(x)g(x)|≤M在R上恒成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，易知f(x)，g(x)的定義域均為(0，+∞)，因?yàn)閨f(x)g(x)|=|ln2xlnx2|=|ln22|=2ln2<2在(0，+∞)上恒成立，所以根據(jù)定義可知，f(x)=ln2x，g(x)=lnx+2具有“2近似關(guān)系”，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)閒(x)=x-1x+1=當(dāng)x>1時(shí)，x+1>2，0<2x+1所以0<f(x)<1.因?yàn)間(x)=12x在(1，+∞所以0<g(x)<g(1)=12所以|f(x)g(x)|<1在(1，+∞)上恒成立.根據(jù)定義可知，f(x)=x-1x+1(x>1)與g(x)=12x(x>1)具有“1對(duì)于D項(xiàng)，令t=x-1(1≤x≤5)則0≤t≤2，則x=t2+1，設(shè)h(t)=t2+1t=t-122+34，0根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，34≤h(t)≤3所以34≤g(x)≤因?yàn)閒(x)與g(x)=xx-1(1≤x≤5)的定義域相同，且具有“1近似關(guān)系”根據(jù)定義可知，|f(x)g(x)|≤1在[1，5]上恒成立，所以g(x)1≤f(x)≤g(x)+1.因?yàn)?4≤g(x)≤3所以341=14≤f(x)≤所以f(x)的值域包含于[1，4]，故D正確.]17.233解析若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則有m>0且Δ=(m2)24m(m1)≤0，解得m≥23所以m的取值范圍是23當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=mx2-(m-2)x+m-1=令g(x)=mx2(m2)x+m1，g(x)≥0，當(dāng)m<0時(shí)，g(x)的圖象開口向下，故f