專題10圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。【模型證明】如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大?！窘忸}關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（2023·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓(xùn)練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷TPQ，僅從射門角度大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門較好（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】解：如圖所示，【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【答案】（1，0）【分析】作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，推出當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，設(shè)E（x，y），則P（x，0），根據(jù)圓半徑相等得到關(guān)于x和y的方程，解之即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，作△MNP的外接圓E，則∠MPN為弦MN所對(duì)的圓周角，∴當(dāng)圓E的半徑最小時(shí)，∠MPN最大，∴當(dāng)圓E和x軸相切時(shí)，∠MPN最大，設(shè)E（x，y），則P（x，0），又M（1，4），N（1，2），根據(jù)EM=EN=PE，【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角，根據(jù)夾角轉(zhuǎn)化為圓的半徑最小是解題的關(guān)鍵，有一定難度．例3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長為．

【答案】4?2【分析】過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接AP′,MP【詳解】：過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′,記AM的中點(diǎn)為N,PM與⊙O交于點(diǎn)Q,連接A

則∠AP∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴∠ADP′=90°∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=1∵過點(diǎn)A、M作⊙O與CD相切于點(diǎn)P′，∴∠O∵AM的中點(diǎn)為N,∴ON⊥AM，AN=NM=1∴∠OND=90°，∴四邊形OP′DN在Rt△MON中,ON=∴DP′=ON=22,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)此時(shí)CP=4?22，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問題，涉及到了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與BC相切且經(jīng)過D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．【分析】（1）根據(jù)等量代換，按步驟進(jìn)行作答即可；（2）如圖3，記直線交過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，解答過程同（1）；（2）解：同意，理由如下，問題應(yīng)用：解：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，切線的性質(zhì)，余弦、正切，勾股定理，作垂線，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行求解．例5．（2023上·北京東城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：直線l與相離，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于的“視角”最大時(shí)，則稱這個(gè)最大的“視角”為直線l關(guān)于的“視角”．②若點(diǎn)B關(guān)于的“視角”為，直接寫出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】（1）解：①如圖，過作的切線，切點(diǎn)分別為、，（2）解：①如圖，點(diǎn)關(guān)于的“視角”為，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，直線以為圓心，為半徑的圓的一條切線，【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“視角”，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，理解新定義：（1）圓外一點(diǎn)關(guān)于圓的視角就是：“過圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這兩條切線的夾角就是這個(gè)點(diǎn)關(guān)于這個(gè)圓的視角”；（2）當(dāng)直線和圓相離時(shí)，這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角就是“過圓心向這條直線作垂線，垂足關(guān)于這個(gè)圓的視角就是這條直線關(guān)于這個(gè)圓的視角”是解題的關(guān)鍵．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長最?。弧鰽BC的面積最??；△ABC的周長最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin?！逴A+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．例2、（2023·山東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為。【解析】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，作三角形BEC的外接圓，連接OB，OC，OE，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，則EF=2，（AD與BC之間的距離為2），BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠BOC=2∠BEC，∵∠BEC=45°，∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCB=45°，設(shè)OB=OC=OE=r，則OG=BG=r，BC=2BG=r，∵OE+OG≥EF,，∴r+r≥2，解得r≥44，即BC≥44，當(dāng)G，O，E三點(diǎn)共線，即EF與EG重合時(shí)，BC有最小值，最小值為44，∴SABCD最小=BC最小×EF=(44)×2=88，四邊形ABCD面積的最小值為88。例3．（2023·陜西咸陽·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_______；【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．【答案】（1），；（2）；（3）8

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．例5．（2023·重慶·?？既＃﹩栴}探究（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝．（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，園藝師將花壇設(shè)計(jì)成由兩種花卉構(gòu)成的新造型，根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°，現(xiàn)需要在△AEF的區(qū)域內(nèi)種植甲種花卉，其余區(qū)域種植乙種花卉．已知種植甲種花卉每平方米需200元，乙種花卉每平方米需160元．試求按設(shè)計(jì)要求，完成花卉種植至少需費(fèi)用多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)和判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形和四邊形的面積問題等知識(shí)，利用四點(diǎn)共圓及圖形的旋轉(zhuǎn)變換是解決本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練

A．2 B．3 C． D．【答案】A

2．（2022下·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1,0，B7,0．點(diǎn)C是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)∠ACB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為【答案】0,【分析】依題意，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，得出四邊形COGE為矩形，在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，勾股定理得出EG=7，則OC=【詳解】解：∵點(diǎn)C在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心一定在第一象限，設(shè)圓心為E，過E作EC⊥x軸交于C，過E作EG⊥x軸交于G，∴四邊形COGE為矩形，∴CE=OG，OC=EG，在y軸上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，MB與圓E的交點(diǎn)為N，連接AN，∴∠ACB=∠ANB，∵∠ANB>∠AMB，∴∠ACB>∠AMB，∴當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大，∵A1,0，B7,0，∴G4,0，∴OG=CE=4，AG=3∴EG=7，∴OC=7，∴C0,【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，得出當(dāng)y軸與圓E相切時(shí)，∠ACB的度數(shù)最大是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是米．

【答案】203【分析】先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，

∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝3EF＝203m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝203m，故答案為：203．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明OB是⊙F的切線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積與最大面積之比等于．【答案】【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線a與圓相切于A，B是直線a上另一點(diǎn)，C、D在圓上，那么∠CBD<∠CAD.如圖2，是人看廣告牌的情景.如圖3，廣告牌的桿子高BD=9.6米，廣告牌畫面高CD=10米，人自高1.6米，為了使人看廣告牌的視角最大，人站立的地方距離廣告牌的水平距離應(yīng)為米.【答案】12【分析】令NH=1.6，作HG∥a交CB于點(diǎn)G，作CD的中垂線交CD于點(diǎn)F，在中垂線上取一點(diǎn)O使OC=GF，然后以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，然后過O作OE⊥a，交GH與點(diǎn)M，則知GH與圓相切與點(diǎn)M，則站在E點(diǎn)處看廣告牌的視角最大，算出BE長即可．【詳解】令NH=1.6，作HG∥a交CB于點(diǎn)G，作CD的中垂線交CD于點(diǎn)F，在中垂線上取一點(diǎn)O使OC=GF，然后以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，然后過O作OE⊥a，交GH與點(diǎn)M，則知GH與圓相切與點(diǎn)M，則站在E點(diǎn)處看廣告牌的視角最大，∵BD=9.6米，CD=10米，人高NH=1.6米，【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圓實(shí)際運(yùn)用的考查，熟練掌握?qǐng)A的知識(shí)作出示意圖是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．6．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，3），點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為．【答案】(，0)或(，0)【分析】分點(diǎn)C在x軸的正半軸上和負(fù)半軸上兩種情況求解，過點(diǎn)A、B作⊙P，點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，利用圓周角大于對(duì)應(yīng)的圓外角得到此時(shí)∠ACB最大，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)A、B作⊙P，點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(0，1)、(0，3)，∴OA=1，AB=31=2，∵PH⊥AB，∴AH=BH=1，∴OH=2，∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴PC=OH=2，∴PA=2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，同理可求C點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．故答案為：(，0)或(，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7.（2023·廣東·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面積的最小值為，故答案為：．8、（2023重慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地ABCD，AB=120m，BC=70m，現(xiàn)要對(duì)這塊空地進(jìn)行改造，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在AB的中點(diǎn)M處修建一個(gè)觀景臺(tái)，AD、BC邊上分別修建亭子E、F，且∠EMF=120°，并在三角形MAE和三角形MBF區(qū)域種植景觀樹，在矩形其他區(qū)域均種植花卉，已知種植景觀樹每平方米需200元，種植花卉每平方米需100元，試求按設(shè)計(jì)要求，完成景觀樹和花卉的種植至少需費(fèi)用多少元?（結(jié)果保留根號(hào)）?！窘馕觥咳鐖D，延長EM交CB的延長線于點(diǎn)G，則∠AME=∠BMG，∠EAM=∠MBG=90°，∴∠FMG=∠FMB+∠BMG=∠FMB+∠EMA=180°∠EMF=60°(定角出現(xiàn))，∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，AB=120，∴AM=BM=AB=60(定高出現(xiàn)，則構(gòu)造三角形的外接圓)，∴△EAM≌△GBM（ASA），S△EAM=S△GBM，S△EAM+S△FMB=S△GBM+S△FBM=S△FMG.∵種植景觀樹每平方米需200元，種植花卉每平方米需100元，∴種植景觀樹的區(qū)域越小，所需要的總費(fèi)用就越少，作△FMG的外接圓，連接OM，OF，OG，過點(diǎn)O作OH⊥FG于點(diǎn)H，∴∠FOH=∠GOH=∠FOG=∠FMG=60°，F(xiàn)H=GH，設(shè)OH=x，則OM=OF=2x，HF=x，GF=2x,∴OM+OH≥MB，∴2x+x≥60，解得x≥20，且MH的最小值為60，∴GF=2x≥2×20=40，∴GF的最小值為40，∴S△FMC最小=×60×40=1200,∴S五邊形DEMFC最大=120×701200=84001200，∵200×1200+100>(84001200)=+,∴完成景觀樹和花卉的種植至少需費(fèi)用（景觀樹每平方米的費(fèi)用×景觀樹面積+花卉每平方米的費(fèi)用×花卉面積）（+）元。9.（2023·山東·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對(duì)該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的△AEF？若存在，請(qǐng)求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】定角旋轉(zhuǎn)，求面積最小，考慮將AF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交BC所在直線于G，構(gòu)造定角定高模型，通過三角函數(shù)，等積轉(zhuǎn)化，將求△AEF和△AEG的面積用相同的邊表示，既將求S△AEF的最小值轉(zhuǎn)化為求S△AEF’的最小值?！窘獯稹堪选鰽DF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點(diǎn)E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，設(shè)△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R，10．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知四邊形ABCD中，∠BCD＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值【分析】本題首先作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，繼而求出EC，AE的最大值即可求解本題．【詳解】作△BCD的外接圓⊙O，連接OB，OD，OC，OE，過點(diǎn)O作OH⊥BD于H，如下圖所示：∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，∵，∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，∵OB＝OD=OC，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，又∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝，【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，解題關(guān)鍵在于輔助線的構(gòu)造以及最值問題的轉(zhuǎn)化，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角之間的關(guān)系需熟記于心，求解邊長時(shí)勾股定理較為常用，幾何題目出現(xiàn)60°等特殊角度時(shí)，常構(gòu)建特殊的直角三角形，利用三邊關(guān)系以簡化運(yùn)算．11．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【提出問題】我們知道，點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系（如圖1）．已知在⊙O中，點(diǎn)A、B、C分別是圓外、圓上、圓內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)D、E是上不與點(diǎn)B重合的任意兩點(diǎn)，分別連接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比較、、的大小關(guān)系．【解決問題】小邕利用已學(xué)知識(shí)判斷和的大小關(guān)系，步驟如下：∴∠DFE<∠DCE，∴∠B<∠DCE．(1)請(qǐng)參照小邕的解題步驟，比較和的大小關(guān)系，并說明理由．【實(shí)踐應(yīng)用】(3)2022卡塔爾世界杯正在如火如荼地進(jìn)行中，全民足球熱情高漲．因此某校舉辦了足球比賽，在其中一場比賽中（如圖4），甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已經(jīng)沖到B點(diǎn)，同伴丙已經(jīng)沖到C點(diǎn)．此時(shí)有三種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門；第三種是甲將球傳給丙，由丙射門．僅從射門角度越大，進(jìn)球概率越大的角度考慮，請(qǐng)直接寫出應(yīng)選擇第幾種射門方式．(2)視角∠APB度數(shù)的最大值是，理由見解析(3)選擇第三種射門方式更好，理由見解析（3）結(jié)合【解決問題】，比較，，的大小，即可得到答案．12．（2023·廣東深圳·校考一模）【問題發(fā)現(xiàn)】

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，本題的難度很大，計(jì)算非常復(fù)雜，準(zhǔn)確細(xì)心的計(jì)算是解答的前提．

（3）當(dāng)M是y軸與經(jīng)過A，C，M三點(diǎn)的圓的切點(diǎn)是最大計(jì)算即可.（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

設(shè)外接圓的圓心為E，Q是異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，連接，，交圓于點(diǎn)T，

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）問題探究與應(yīng)用實(shí)踐

(2)如果此時(shí)點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為（0，a），（0，），請(qǐng)求出視點(diǎn)的坐標(biāo).（用a，的代數(shù)式表示）（二）應(yīng)用實(shí)踐：應(yīng)用上述結(jié)論，讓我們解決如下問題：（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求解即可．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理和解直角三角形，解題關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角度數(shù)的一半．下面根據(jù)圓周角定理進(jìn)行探究．【答案】(1)(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用、三角函數(shù)綜合、等腰直角三角形、勾股定理等．掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，如圖所示，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用類比思想解答是解題的