課時分層作業(yè)四十四直線、平面平行的判定及其性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下面四個正方體圖形中,點A,B為正方體的兩個頂點,點M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的圖形是 ()A.①② B.①④ C.②③ D.③④【解析】選A.由線面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.2.(2018·棗莊模擬)設(shè)a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面.則下列四個命題中,正確的是 ()A.若a,b與α所成的角相等,則a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥bC.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b【解析】選D.對于選項A,a,b不一定平行,也可能相交;對于選項B,只需找個平面γ,使γ∥α∥β,且a?γ,b?γ即可滿足題設(shè),但a,b不一定平行;對于選項C,可參考直三棱柱模型排除.【變式備選】(2018·廈門模擬)已知α,β是兩個不同的平面,下列四個條件中能推出α∥β的是 ()①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β;②存在一個平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【解析】選C.對①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β?α∥β,故①正確,排除B,D,對于③,存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,如圖所示,不能推出α∥β,故排除A.3.已知平面α及直線a,b,下列說法正確的是 ()A.若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線平行B.若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線不可能垂直C.若直線a,b平行,則這兩條直線中至少有一條與平面α平行D.若直線a,b垂直,則這兩條直線與平面α不可能都垂直【解析】選D.由題意逐一分析所給的選項:若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線不一定平行;若直線a,b與平面α所成角都是30°,則這兩條直線可能垂直;若直線a,b平行,則這兩條直線中可能兩條都與平面α不平行;若直線a,b垂直,則這兩條直線與平面α不可能都垂直.4.已知正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=4,AA1=1,E,F分別為AB,AC的中點,P為棱BC上一點,則P到平面FEB1C1A.1B.2C.3D.隨點P的位置改變而改變【解析】選C.BC∥EF,不妨取BC的中點為P,如圖,取B1C1的中點D,AP與EF交于H,作PG⊥DH,由于A1D⊥B1C1,PD⊥B1C1,PD∩A1D=D,B1C1?平面EFC所以平面AA1DP⊥平面EFC1B1,交線為DH,易求PH=3,又PD=1,故DH=2.由PD·PH=DH·PG,所以PG=32故點P到平面FEB1C1的距離為35.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是AB的中點,F在CC1上,且CF=2FC1,點P是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)上一動點,且PB1∥平面DEF,則tan∠ABP()A.12,3C.13,103【解析】選D.在AA1上取點M,使得AM=12MA1,連接B1M,則B1M∥DF,取C1D1的中點為N,連接B1N,則B1N∥DE.因此平面B1MN∥平面DEF,過點N作NG∥DF交DD1于點G,連接MG,則B1,M,G,N四點共面.且DG=23DD1.因為PB1∥平面DEF.所以點P在線段MG上運動.當點P分別與點M,G重合時,tan∠ABP取最小值6.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條【解析】選C.如圖所示:平面α截得平行四邊形為EFGH,因為FG∥EH,可證明FG∥平面ABD,由線面平行的性質(zhì)可知FG∥AB,所以AB∥α,同理可得CD∥α,所以有兩條棱和平面平行.7.如圖是正方體的平面展開圖.關(guān)于這個正方體,有以下判斷:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正確判斷的序號是()A.①③ B.②③ C.①②④ D.②③④【解析】選C.由已知中正方體的平面展開圖,得到正方體的直觀圖如圖所示:由FN⊥EM,FN⊥MC?FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正確;由CN∥BE,則CN∥平面AFB,故②正確;由圖可知BM∥DE顯然錯誤,故③不正確;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE二、填空題(每小題5分,共15分)8.點P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對角線BC1上運動,則下列四個命題①三棱錐A1D1DP的體積不變;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面A1PB⊥平面PDB1.其中正確的命題的序號是____________.

【解析】如圖,對于①,因為BC1∥平面A1DD1,所以P到平面A1DD1的距離不變,三棱錐A1D1DP的體積不變,①正確;對于②,因為平面A1BC1∥平面ACD1,所以A1P∥平面ACD1,②正確;對于③,因為在同一平面內(nèi),過直線外一點與已知直線垂直的直線只有一條,所以DP⊥BC1不正確,③不正確;對于④,因為B1D⊥平面A1BC1,B1D?平面PDB1,所以平面A1PB⊥平面PDB1,④正確.故正確的命題為①②④.答案:①②④9.(2018·青島模擬)將一個真命題中的“平面”換成“直線”“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”.給出下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是______________.(填命題的序號)

【解析】由線面垂直的性質(zhì)定理可知①是真命題,且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題,故①是“可換命題”;因為垂直于同一平面的兩平面可能平行或相交,所以②是假命題,不是“可換命題”;由公理4可知③是真命題,且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題,故③是“可換命題”;因為平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面,故④是假命題,故④不是“可換命題”.答案:①③10.如圖,平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,【解析】因為平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F,連接AD,BE,CF,所以AD∥BE∥CF,所以ABBC=DE因為AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以2BC=43,解得BC=所以AC=AB+BC=2+32=7答案:7【變式備選】如圖,平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F.已知AC=15cm,DE=5cm,AB∶BC=1∶3,【解析】如圖所示,連接AF,交β于點G,則點A,B,C,G,F共面;因為α∥β∥γ,平面ACF∩β=BG,平面ACF∩γ=CF,所以BG∥CF,所以△ABG∽△ACF,所以ABBC=AG同理,有AD∥GE,AGGF=DE所以ABBC=DE又ABBC=1所以AB=14AC=15BC=34AC=45所以EF=3DE=3×5=15cm.1.(5分)對于平面α和不重合的兩條直線m,n,下列選項中正確的是 ()A.如果m?α,n∥α,m,n共面,那么m∥nB.如果m?α,n與α相交,那么m,n是異面直線C.如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n∥αD.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α【解析】選A.由線面平行的性質(zhì)定理,可知A正確,B選項中,n可以與m相交,C選項中,直線n可以與平面α相交,D選項中,n可以在平面α內(nèi).2.(5分)已知點E,F分別為正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1上的點,且AE=12AB,AF=13AA1,點M,N分別為線段D1E和線段C1F上的點,則與平面ABCDA.1條 B.3條C.6條 D.無數(shù)條【解析】選D.取BH=13BB1,連接FH,則FH∥AB,在線段D1E上取OE=13D1E,在線段DE上取EK=13ED,連接OH,OK,BK,則易得四邊形OKBH為矩形,連接HE,在D1過點M在平面D1HE中,作MG∥HO,交D1H于點G,再過點G作GN∥FH,交C1F由于MG∥HO,HO∥KB,KB?平面ABCD,MG?平面ABCD,所以MG∥平面ABCD,同理由GN∥FH,可推得GN∥平面ABCD,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,則MN∥平面ABCD,由于M為D1E上任意一點,故這樣的直線MN有無數(shù)條.【變式備選】1.如圖,在正四棱錐SABCD中,點E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥平面SAC;④EP∥平面SBD中恒成立的為 ()A.②④ B.③④C.①② D.①③【解析】選A.如圖所示,連接AC,BD相交于點O,連接EM,EN,SO,在①中:由異面直線的定義可知:EP與BD是異面直線,不可能EP∥BD,因此不正確.在②中:由正四棱錐SABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC,因為SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因為點E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,BD∩SD=D,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故正確.在③中:由②同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,則EP∥EM,與EP∩EM=E相矛盾,因此當P與M不重合時,EP與平面SAC不垂直,即不正確.在④中:由②可知平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此正確.2.如圖,矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,正確的命題是①BM是定值;②點M在圓上運動;③一定存在某個位置,使DE⊥A1C④一定存在某個位置,使MB∥平面A1DE.A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④【解析】選B.取DC中點N,連接MN,NB,則MN∥A1D,NB∥DE,所以平面MNB∥平面A1DE,因為MB?平面MNB,所以MB∥平面A1DE,④正確;∠A1DE=∠MNB,MN=12A1D=定值,NB=DE=定值,根據(jù)余弦定理得,MB2=MN2+NB22MN·NB·cos∠MNB,所以MB是定值.①正確;B是定點,所以M是在以B為圓心,MB為半徑的圓上,②正確;只有當矩形ABCD滿足AC⊥DE時存在DE⊥A1C,其他情況不存在,③不正確.所以3.(5分)在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是__________.

【解析】如圖,連接AM并延長交CD于點E,連接BN并延長交CD于點F,由重心性質(zhì)可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點,由EMMA=ENNB=12,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC,且MN答案:平面ABD,平面ABC4.(12分)如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過點A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點. 求證:(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【證明】(1)因為AS=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA的中點,所以EF∥AB.因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因為EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因為平面SAB⊥平面SBC,且交線為SB,又因為AF?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因為BC?平面SBC,所以AF⊥BC.又因為AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.又因為SA?平面SAB,所以BC⊥SA.5.(13分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點E,F分別為AB和PC的中點,連接EF,BF. (1)求證:直線EF