1第一章空間向量與立體幾何典型例題講解一、基本概念回歸知識回顧1：空間向量的數(shù)乘運算1.1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．1.2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的知識回顧2：共線向量與共面向量2.1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2.2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．2.3拓展：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中2.4、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2.5共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使2.6拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識回顧3：空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.知識回顧4：兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）知識回顧5：向量長度的坐標(biāo)計算公式若，則，即知識回顧6：兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式設(shè)，則知識回顧7：用向量法求空間角7.1、用向量運算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則①②.7.2、用向量運算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）7.3、用向量運算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：空間向量的基底1．已知是空間的一組基底，則下列向量中能與，構(gòu)成一組基底的是（

）A． B． C． D．2．已知，，是不共面的三個向量，下列能構(gòu)成一組基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（多選）已知是空間的一個基底，若，則錯誤的是（

）A．是空間的一組基底 B．是空間的一組基底C．是空間的一組基底 D．與中的任何一個都不能構(gòu)成空間的一組基底4．（多選）若向量{，，}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，高頻考點二：用基底表示向量1．如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點，則（

）A． B．C． D．2．如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則等于（

）A． B．C．- D．3．如圖，在正方體，中，點是的中點，點在上，且，則（

）A． B．C． D．4．如圖所示，在正三棱柱中，M為的重心，若，，，則______．（用、、表示）高頻考點三：空間向量平行與垂直1．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．已知，，若，則m的值為（

）A．－2 B．2 C． D．3．已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．4．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．以上都不對5．已知向量，若，則實數(shù)________．6．已知空間三點、、，設(shè)，．(1)若向量與互相垂直，求實數(shù)的值；(2)若向量與共線，求實數(shù)的值．7．已知，．(1)求的值；(2)當(dāng)時，求實數(shù)k的值．高頻考點四：空間向量模的計算1．已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．362．在棱長均為1的平行六面體中，，則（

）A． B．3 C． D．63．向量，，，且，，則______.4．如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______．6．已知長方體，，，在上取一點M，在上取一點N，使得直線平面，則線段MN的最小值為________.高頻考點五：空間向量夾角的計算1．已知，，則（

）A． B． C．0 D．12．若向量，且與的夾角余弦值為，則實數(shù)等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或3．《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．4．已知，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是______．5．若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_________.6．已知O為坐標(biāo)原點，，，若與的夾角為120°，則實數(shù)______．7．已知空間三點，，，則與的夾角的大小是______．高頻考點六：空間向量的投影1．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______．2．已知點，，，，則向量在向量方向上的投影向量為______．3．已知點，與同向單位向量為，則向量在方向上的投影向量為___________.4．已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_________.5．已知空間三點A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.6．已知，，.(1)求；(2)求在上投影的數(shù)量.高頻考點七：利用空間向量求距離角度1：利用空間向量求點線距1．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為________．2．為矩形所在平面外一點，平面，若已知，，，則點到的距離為__．3．已知直線的方向向量為，點在上，則點到的距離為_______.4．在空間直角坐標(biāo)系中，點，則到直線的距離為__________．5．如圖，在長方體中，，，若為的中點，則點到平面的距離為______．6．已知平面的一個法向量為，點為內(nèi)一點，則點到平面的距離為__________.角度2：利用空間向量求點面距1．在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．2．正方體的棱長為1，E?F分別為?CD的中點，求點F到平面的距離.3．已知正方形ABCD的邊長為1，平面ABCD，且，E、F分別為AB、BC的中點，求點D到平面PEF的距離．高頻考點八：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角1．如圖，在三棱錐中，，，，則異面直線OB與AC所成的角是（

）A．30° B．60° C．90° D．120°2．如圖，三棱錐中，，，，分別是的中點，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．3．如圖所示，在正四棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為______．4．如圖，在正方體中，M為線段的中點，N為線段上的動點，則直線與MN所成角的正弦值的最小值為________．5．已知空間四邊形各邊及對角線長都相等，分別為的中點，求與夾角余弦值．6．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點．(1)求證平面；(2)若E為的中點，求AE與所成的角．7．如圖，正四棱錐中，，，為棱上的動點．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)若滿足，求異面直線與所成角的余弦值．8．已知正方體的棱長為1，O為中點．(1)證明：平面；(2)求異面直線與OD所成角的大小．角度2：利用向量方法求線面角1．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在正方體中，直線和平面所成角的正弦值是____；3．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，若，，為的中點，則與平面所成角的正弦值為______．4．在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段（不與重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是__________.5．如圖所示，在棱長為1的正方體中，P，Q分別是線段，上的點，滿足平面，則與平面所成角的范圍是__________．6．如圖，在四棱錐中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分別是的中點，為的中點．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．7．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點D為棱上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．(1)求證；(2)若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值．8．如圖，在圖1的等腰直角三角形中，，邊上的點滿足，將三角形沿翻折至三角形處，得到圖2中的四棱錐，且二面角的大小為.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.9．如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點在平面上的射影H在直線上．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．10．如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，點是的中點.(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值.角度3：利用向量方法求二面角1．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD，E為側(cè)棱DD1上一點，若直線BD1平面AEC，則二面角E-AC-B的正切值為（

）A． B．- C． D．-2．已知正三棱柱的棱長均為，是側(cè)棱的中點，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．在正方體中，二面角的正切值為（

）A． B．2 C． D．4．如圖，點??分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，，，設(shè)二面角的大小為，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為__________．6．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，，.記平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)求平面與平面所成的角的正弦值.7．如圖，在多面體中，平面，四邊形是平行四邊形.為的中點.(1)證明:平面.(2)若是棱上一點，且，求二面角的余弦值.8．如圖，三棱柱中，，交于點O，AO⊥平面.(1)求證：；(2)若，且直線AB與平面所成角為60°，求二面角的余弦值.9．如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點．(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角的余弦值．高頻考點九：利用空間向量解決探索性問題角度1：直線與平面所成角探索性問題1．如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2．在長方體中，，，O是AC的中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．在正方體中，點O為線段的中點.設(shè)點P在線段（P不與B重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．如圖，在五面體ABCDE中，正三角形ABC的邊長為1，平面，，且．設(shè)CE與平面ABE所成的角為，，若，則k的最大值為（

）A． B．1 C． D．5．如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.(1)點在線段上，且，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(2)點在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.6．如圖，在四棱錐中，平面，∠∠，，，，分別為線段，上的點(不在端點)．當(dāng)為中點時，是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由．7．圖1是直角梯形，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.8．如圖，已知四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，E為AD的中點，過BE作平面，分別交側(cè)棱PC，PD于M，N兩點，且.(1)求證：平面平面ABCD.(2)若，是否存在平面，使得直線PB與平面所成角的正弦值為？請說明理由.角度2：平面與平面所成角探索性問題1．如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（

）A． B．C． D．2．如圖所示，三棱錐的側(cè)棱長都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點，為直線上的動點，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值為_________.3．四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，平面平面．(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點在線段上且滿足，求二面角的余弦值．4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分別為CC1，BC，AC的中點，點P在線段A1B1上運動，且.(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ；(2)是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC的夾角為60°？若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由.5．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．(1)證明：平面；(2)已知，為上的點且，，求與平面所成角的正弦值的最大值．6．如圖，在四棱錐中，底面，底面是梯形，，且，，．(1)求二面角的大??；(2)已知為中點，問：棱上是否存在一點，使得與垂直？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．7．如圖，在直角梯形中，，，平面，，．(1)