基本不等式專項訓(xùn)練04（較難）（解析版）1．已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.2．若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，進而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當且僅當時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.3．已知點G為三角形ABC的重心，且，當取最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合，及余弦定理可得，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，即，所以，所以，又，，則，所以，即，由，，，所以，所以，當且僅當時等號成立，又在上單調(diào)遞減，，所以當取最大值時，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積運算及余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形重心的性質(zhì)和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.4．已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內(nèi)切球半徑，再畫圖設(shè)底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達出表面積的公式，再設(shè)，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當且僅當，即時取等號.故選：A.5．在正四棱臺中，，．當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正棱臺的性質(zhì)，表示出棱臺的高與邊長之間的關(guān)系，根據(jù)棱臺的體積公式，將體積函數(shù)式子表示出來，利用不等式求解最值，得到棱臺的高.因為外接球的球心一定在棱臺上下底面中心的連線及其延長線上，通過作圖，數(shù)形結(jié)合，求出外接球的半徑，得到表面積.【詳解】圖1設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當且僅當，即時等號成立，此時棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.圖2當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故選：D.6．已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項與前項和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當時，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當且僅當時等號成立，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項公式，即可得通項公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.7．設(shè)橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對稱，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點，由已知條件知四邊形為矩形，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據(jù)，得到的范圍，然后利用對勾函數(shù)的值域得到的范圍，然后由求解.【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B8．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準線上；②△PAB為直角三角形，且為直角；③PF⊥AB.已知P為拋物線的準線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求得，通過PF⊥AB求得，進而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.【詳解】易知，焦點，準線方程，直線斜率必然存在，設(shè)，，，聯(lián)立化簡得，顯然；又PF⊥AB可得，即，化簡得，過作軸交于點，可得為中點，故，故，當且僅當時取等.故三角形PAB的面積的最小值為4.故選：C.9．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.【詳解】一方面由題意有，另一方面若有成立，結(jié)合以上兩方面有，且注意到，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當且僅當；又已知，所以，即，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)當且僅當，從而得出，從而由基本不等式即可順利求解.10．在中，，，，為線段上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分