2026屆高三開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)本試卷共150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量a=(2，2)，b=(λ，-4)，λ∈R，若a⊥(a+b)，則λ=A.-1 B.0 C.1 D.22.已知函數(shù)f(x)=5sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<π2的部分圖象如圖所示，則ω=A.3 B.4 C.32 D.3.(x+y+1)6的展開(kāi)式中x3y2項(xiàng)的系數(shù)為A.120 B.90 C.60 D.454.瓷器是由瓷石、高嶺土、石英石、莫來(lái)石等燒制而成的，其外表施有玻璃質(zhì)釉或彩繪.通過(guò)在窯內(nèi)的高溫?zé)疲善鞅砻娴挠陨珪?huì)因?yàn)闇囟鹊牟煌瑥亩l(fā)生各種化學(xué)變化.某瓷器可近似地看作由一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體，如圖所示，該瓷器的體積為A.556π B.900π C.732π D.588π5.若a=cos15°-sin15°，b=12，c=sin105°cos15°+cos75°sin195°，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c6.已知直線mx+ny=1與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則n=A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，E，F(xiàn)，G，H四個(gè)開(kāi)關(guān)控制著五盞燈，其中開(kāi)關(guān)E控制著1，2，3號(hào)燈，開(kāi)關(guān)F控制著2，3，4號(hào)燈，開(kāi)關(guān)G控制著3，4，5號(hào)燈，開(kāi)關(guān)H控制著1，4，5號(hào)燈.開(kāi)始時(shí)，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動(dòng)E，F(xiàn)，G，H這四個(gè)開(kāi)關(guān)中兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)，則其中2號(hào)燈亮的概率為A.12 B.13 C.34 8.兩條直線的夾角指的是兩條直線所形成的小于或等于90°的角.若曲線y=eax與曲線y=lnxa的兩條公切線的夾角為30°，則(3+1)(1+lnaA.(3-1)ln34 B.(3+1)ln34 C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z=(2-ai)2+7i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上，則a的值可以為A.3 B.1 C.-3 D.-110.如圖，月牙形是由兩段圓弧圍成的一個(gè)封閉圖形，若兩段圓弧所在圓的半徑相同，兩圓的圓心分別為坐標(biāo)原點(diǎn)O和C，A(-1，-2)，B(2，1)，直線l：y=x+b與月牙形只有兩個(gè)交點(diǎn)，則參考數(shù)據(jù)：cos37π180≈45A.|OC|=2B.圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=5C.b的取值范圍為(10-2，10)∪{-1}D.月牙形的面積約為37π36+11.如圖，有一個(gè)直三棱柱ABC-A1B1C1容器，AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，E為棱BB1上一動(dòng)點(diǎn)，則A.異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為365B.AE+C1E的最小值為337C.三棱錐A1-ABC1的外接球的半徑為109D.在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球(全部進(jìn)入)，則小球的表面積的最大值為9π題序1234567891011答案三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合M={0，1}，N={x|x2+x+m=0}，若M∪N={-1，0，1}，則N=.

13.已知雙曲線C：x212-y24=1的右焦點(diǎn)為F，M，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若G(0，2)，且F為△MNG的重心，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線14.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1>1，a50≤-71，a100>-200，且數(shù)列{an}在區(qū)間[-8，1]中的項(xiàng)比在區(qū)間(-47，-38)中的項(xiàng)多2項(xiàng)，則an=.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0.(1)求B；(2)若∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，且AD=2DC=273，16.(15分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，DD1的中點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)F在平面AEC1內(nèi).(2)若AA1=2AB，求平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值.17.(15分)甲、乙兩人進(jìn)行游戲，且都有1個(gè)紅色彈珠和1個(gè)黃色彈珠，每人每次獨(dú)立地隨機(jī)取出1個(gè)彈珠相互交換.(1)若只交換1次，求甲的彈珠的顏色相同的概率；(2)若只交換1次，記甲有紅色彈珠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望；(3)若一共交換3次，最后甲的2個(gè)彈珠顏色相同，則甲獲勝，否則乙獲勝，試問(wèn)這個(gè)游戲是否公平?18.(17分)已知函數(shù)f(x)=xex-a2x2-ax+12，a(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)若a=1，函數(shù)g(x)=f(x)-x(ex-lnx-1)，當(dāng)x1<x2，且g(x1)+g(x2)=0時(shí)，證明：x1+x2>2.19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(-3，0)的距離與到定直線l：x=-253的距離之比為35，記動(dòng)點(diǎn)P(1)求軌跡C的方程.(2)已知F2(3，0)，點(diǎn)A，B在軌跡C上，且在x軸的同側(cè)，AF1∥BF2，AF2交BF1于點(diǎn)G，證明：|GF1|+|GF2|為定值.

參考答案【解題分析】因?yàn)閍=(2，2)，b=(λ，-4)，所以a+b=(2+λ，-2)，因?yàn)閍⊥(a+b)，所以2×(2+λ)+2×(-2)=0，解得λ=0.【解題分析】由題圖知3T4=7π12-π12=π2，所以T=2π3【解題分析】(x+y+1)6的展開(kāi)式中x3y2項(xiàng)的系數(shù)為C63C【解題分析】由題圖可知，半球的半徑為6，圓柱的底面半徑為6，高為8，圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，高為9，所以該瓷器的體積為12×43π×63+π×62×8+π3(62+22+62×2【解題分析】因?yàn)閍=cos15°-sin15°=2sin(45°-15°)=22，c=sin105°cos15°+cos75°sin195°=sin75°cos15°-cos75°sin15°=sin(75°-15°)=sin60°=32【解題分析】(方法一)由y2=4x,mx+ny=1得y2=4x(mx+ny)，所以y2x2-4n·yx-4m=(方法二)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為y124，y1，B點(diǎn)的坐標(biāo)為y224，y2，因?yàn)橹本€OA與OB的斜率之和為4，所以y1y124+y2y224=4，即1y1+1y2=1，所以y1+y2=y1y2.由y2=4x,mx+ny=1得y2+4nmy-4【解題分析】先后按動(dòng)E，F(xiàn)，G，H這四個(gè)開(kāi)關(guān)中兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)，有A42=2號(hào)燈亮有兩類(lèi)情形.第一類(lèi)，按第一個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈滅，按第二個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈亮，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方法有A22=2種(E，第二類(lèi)，按第一個(gè)開(kāi)關(guān)和第二個(gè)開(kāi)關(guān)均與2號(hào)燈無(wú)關(guān)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方法有A22=2種(G，H兩個(gè)開(kāi)關(guān)進(jìn)行全排列).故所求事件的概率為2+212【解題分析】由題易知，曲線y=eax與曲線y=lnxa關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以曲線y=eax的切線l2的傾斜角為60°，即切線l2的斜率為3.設(shè)直線l2與曲線y=eax的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，eax0)，y'=aeax，所以aeax0=3，所以直線l2的方程為y-eax0=3(x-x設(shè)直線l2與曲線y=lnxa的切點(diǎn)坐標(biāo)為x1，lnx1a，y'=1ax，所以所以直線l2的方程為y-lnx1a=3(x-x1)，即y=3x-3x1綜上可知，-3x0+3a=-3x1+lnx1a，解得(3+1)(1+lna【解題分析】因?yàn)閦=(2-ai)2+7i=4-a2+(7-4a)i，所以4-a2=7-4a，解得a=3或a=1.【解題分析】由題易知，圓O的半徑為5，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，-a)，且a≠0，所以(a-2)2+(1+a)2=5，解得a=1，所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=5，|OC|=2，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.設(shè)直線l1：y=x+t，當(dāng)直線l1過(guò)點(diǎn)B(2，1)時(shí)，t=-1，當(dāng)直線l1與圓O相切時(shí)，|0-0+t|2=5，解得當(dāng)直線l1與圓C相切時(shí)，|1-(-1)+t|2解得t=10-2或t=-10-2，因?yàn)橹本€l：y=x+b與月牙形只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b的取值范圍為(10-2，10)∪{-1}，故選項(xiàng)C正確.連接AC，BC，AB(圖略)，易求得△ABC的面積為32設(shè)∠ACB=θ，CA=(-2，-1)，CB=(1，2)，所以cosθ=CA·CB|CA|·|CB|=-45，所以θ≈π-37π180=143π180，所以月牙形的面積約為5π-2×12×(5)2【解題分析】對(duì)于選項(xiàng)A，在平面ACC1A1中，過(guò)點(diǎn)A1作A1D∥AC1交CC1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BD，因?yàn)锳C⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，所以BD=234，A1B=73，A1D=35，所以cos∠BA1D=A1B2+A1D2-BD22A對(duì)于選項(xiàng)B，將四邊形CBB1C1繞BB1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A1，B1，C1三點(diǎn)共線，連接AC1，交BB1于點(diǎn)E(圖略)，此時(shí)AE+C1E的值最小，最小值為AC1=337，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)G，H分別為AC1，A1B的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G，H分別作平面AA1C1，平面AA1B的垂線，交點(diǎn)為O，連接GH，由題知，GH=12BC=5，OG2+OH2=GH2設(shè)三棱錐A1-ABC1的外接球的半徑為R，所以O(shè)G2=R2-AG2，OH2=R2-AH2，所以O(shè)G2+OH2=2R2-AG2-AH2，即2R2=GH2+AG2+AH2，所以2R2=25+454+734，解得R=109對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，所以12×6×8=12(6+8+10)r，解得r=2，因?yàn)?r=4>AA1，所以放入的1個(gè)小球的半徑的最大值為AA1【解題分析】因?yàn)镸∪N={-1，0，1}，M={0，1}，所以-1∈N，所以(-1)2-1+m=0，即m=0，所以N={-1，0}.【解題分析】由題知，F(xiàn)(4，0)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)，因?yàn)镕為△MNG的重心，所以x1+x2+03=4，y1+y2+23=0，即x1+x2=12，y1+y2=-2，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6，-1).因?yàn)镸，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，所以x1212-y124=1,x2【解題分析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以相鄰兩項(xiàng)間的差的絕對(duì)值相等，因?yàn)?-(-8)=9=-38-(-47)，且數(shù)列{an}在區(qū)間[-8，1]中的項(xiàng)比在區(qū)間(-47，-38)中的項(xiàng)多2項(xiàng)，所以1，-8，-38，-47均為數(shù)列{an}中的項(xiàng).設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，易知d<0，1，-8，-38，-47四個(gè)數(shù)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差依次為-9，-30，-9，這三個(gè)數(shù)均為d的整數(shù)倍，所以-3是d的整數(shù)倍，設(shè)d=-3m，m∈N*，因?yàn)閍50≤-71，a100>-200，所以a1+49d≤-71，a1+99d>-易得-12950<d<-7249，所以-12950<-3m<-7249，即5043<m<49因?yàn)閍1+49d≤-71，所以1<a1≤52，所以a1=52，故an=-32【解題分析】(1)因?yàn)?a+b-c)(b-a+c)-3ac=0，所以b2-(a-c)2-3ac=0，所以-ac=a2+c2-b2，所以cosB=a2+c2-b22ac=-(2)因?yàn)锳D=2DC=273，所以b=7，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以ABBC=ADDC，即由(1)知，-ac=a2+c2-b2，解得a=1，c=2，因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△DBC，所以12acsinB=12a·BDsinB2+12c·BDsinB2，解得BD=ac【解題分析】(1)設(shè)G為CC1的中點(diǎn)，連接GF，AF，BG(圖略).由題易知GFCD，BACD，所以GFBA，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以AF∥BG，易知BG∥EC1，所以AF∥EC1，故點(diǎn)F在平面AEC1內(nèi).6分(2)不妨設(shè)AB=1，則AA1=2，以BC，BA，BB1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，1，0)，A1(0，1，2)，E(0，0，1)，C1(1，0，2)，所以EC1=(1，0，1)，EA1=(0，1，1)，EA=設(shè)m=(x1，y1，z1)為平面A1EC1的法向量，所以m·EC1=0,m·EA1=0,即x1+所以平面A1EC1的一個(gè)法向量為m=(1，1，-1).設(shè)n=(x2，y2，z2)為平面AEC1的法向量，所以n·EC1=0,n·EA=0,即x2+所以平面AEC1的一個(gè)法向量為n=(1，-1，-1).因?yàn)閏os<m，n>=m·n|m||所以平面A1EC1與平面AEC1夾角的余弦值為13.15分【解題分析】(1)由題知，交換1次，甲的彈珠的顏色相同的概率為12×12+12×12=(2)由題知，若只交換1次，則甲、乙兩人取紅色彈珠和黃色彈珠的概率均為12，XP(X=0)=12×12=14，P(X=1)=12×12+12×12=12，P(X=所以X的分布列為X012P111所以X的期望E(X)=0×14+1×12+2×14=1(2)用A1，A2，A3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色相同，用B1，B2，B3分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色不相同.由(1)知，P(A1)=P(B1)=P(B3|B2)=P(B2|B1)=P(A3|B2)=P(A2|B1)=12易知P(A3|A2)=P(A2|A1)=0，由全概率公式知，P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(B2)P(A3|B2)=P(B2)P(A3|B2)=12P(B2)=12[1-P(A同理可得P(A2)=12[1-P(A1)]=14，所以P(A3)=121-14=38故這個(gè)游戲不公平.15分【解題分析】(1)f'(x)=(x+1)ex-a(x+1)=(x+1)(ex-a).1分當(dāng)a≤0時(shí)，由f'(x)>0得x>-1，由f'(x)<0得x<-1，所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增；2分當(dāng)0<a<1e時(shí)，由f'(x)>0得x>-1或x<lna，由f'(x)<0得lna<x<-1，所以函數(shù)f(x)在(lna，-1)上單調(diào)遞減，在(-∞，lna)和(-1，+∞)上單調(diào)遞增；4分當(dāng)a=1e時(shí)，f'(x)≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；5分當(dāng)a>1e時(shí)，由f'(x)>0得x>lna或x<-1，由f'(x)<0得-1<x<lna，所以函數(shù)f(x)在(-1，lna)上單調(diào)遞減，在(-∞，-1)和(lna，+∞)上單調(diào)遞增.7分(2)當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=f(x)-x(ex-lnx-1)=xlnx-12x2+12，則g'(x)=lnx-x+1，令φ(x)=lnx-x+1，則φ'(x)=1x-1，當(dāng)0<x<1時(shí)，φ'(x)>0