沖刺強基計劃題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項和\(S_n=100\)，則\(n\)等于（）A.9B.10C.11D.126.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的最大值為（）A.0B.2C.-2D.47.直線\(3x+4y-12=0\)與\(x\)軸、\(y\)軸分別交于\(A\)、\(B\)兩點，則\(\vertAB\vert\)等于（）A.5B.4C.3D.\(\sqrt{7}\)8.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\sqrt{a}\lt\sqrt\)9.若復(fù)數(shù)\(z=1+2i\)（\(i\)為虛數(shù)單位），則\((z+\frac{1}{\overline{z}})\cdot\overline{z}\)的值為（）A.\(6\)B.\(6+2i\)C.\(4\)D.\(4+2i\)10.已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\mid0\ltx\lt6,x\inN\}\)，則滿足\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的個數(shù)為（）A.4B.8C.7D.16二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)2.已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)，\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)，則下列說法正確的是（）A.若\(l_1\parallell_2\)，則\(a=-1\)或\(a=2\)B.若\(l_1\perpl_2\)，則\(a=\frac{2}{3}\)C.當(dāng)\(a=2\)時，\(l_1\)與\(l_2\)重合D.當(dāng)\(a\neq2\)時，\(l_1\)與\(l_2\)相交3.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等比數(shù)列D.等比數(shù)列的公比不能為04.對于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關(guān)于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱D.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增5.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)6.下列關(guān)于圓錐曲線的說法正確的是（）A.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2-b^2\)B.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)C.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)D.橢圓、雙曲線、拋物線都是平面截圓錐面得到的曲線7.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列運算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\inR\)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)8.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至少有一個零點B.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)一定有零點C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上不一定是連續(xù)函數(shù)D.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點9.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，則（）A.\(A\capB=\{1,2\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3\}\)C.\(B\subseteqA\)D.\(A\)的真子集個數(shù)為710.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（）A.求函數(shù)的單調(diào)性B.求函數(shù)的極值C.求函數(shù)的最值D.求曲線的切線方程三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x\midx\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為0）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）6.橢圓的離心率越大，橢圓越扁。（）7.函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）是奇函數(shù)。（）8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則\(\vertz\vert=a^2+b^2\)。（）10.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：對函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)配方得\(y=(x-1)^2+2\)。對稱軸為\(x=1\)，在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)。當(dāng)\(x=1\)時，\(y_{min}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時，\(y_{max}=6\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值。答案：因為\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)是第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{2\sqrt{2}}{3})\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與直線\(x+2y-1=0\)的交點坐標。答案：聯(lián)立方程組\(\begin{cases}2x-y+1=0\\x+2y-1=0\end{cases}\)，由第一個方程得\(y=2x+1\)，代入第二個方程得\(x+2(2x+1)-1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{5}\)，則\(y=\frac{3}{5}\)，交點坐標為\((-\frac{1}{5},\frac{3}{5})\)。4.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求公比\(q\)。答案：根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，\(a_3=a_1q^{2}\)，已知\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，則\(8=2q^{2}\)，即\(q^{2}=4\)，解得\(q=\pm2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，設(shè)\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，\(y_1\gty_2\)，所以在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減；同理在\((0,+\infty)\)上也單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論在實際問題中如何建立函數(shù)模型。答案：首先明確問題中的變量關(guān)系，確定自變量與因變量；然后分析實際情況，找出等量關(guān)系；根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)表達式，注意確定定義域，定義域要符合實際意義。最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解問題。4.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在通項公式和求和公式上的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：都是數(shù)列重要類型。區(qū)別：通項公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1q^{n-1}\)；求和公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)，等比數(shù)列\(zhòng)(S_n=\begin{cases}na